田剛：龐加萊猜想與幾何_風聞

演講 | 田剛

來源：未來論壇

在古希臘，學習幾何被認為是尋求真理的最有效的途徑。毫無疑問，數學及數學家對人類文明的進步做出了不可磨滅的貢獻。本文為2015年11月，北京大學田剛教授在“未來論壇”上做的題為《龐加萊猜想與幾何》的報告實錄，講述了作為拓撲學發展重要動力之一的龐加萊猜想的研究歷史。

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我今天要講的是龐加萊猜想與幾何的關係。我先説明一下，要講我現在做的研究確實是比較困難的，在座可能只有一部分人能聽懂，如果講一大堆公式可能效果也不好。今天更多講一點數學的歷史，希望給大家傳遞一個信息，數學是有用的。我講的龐加萊猜想其實現在還沒有實際應用，但整個數學發展的過程對人的思維、對自然和真理的追求都是非常重要的事。龐加萊猜想提出的時間很長，得到更多公眾的注意是因為克萊（Clay）數學研究所在本世紀初的時候懸賞7個重大問題，並不是説這7個問題就是數學中僅有的問題，也不是説它們就是最重要的，但是這7個問題確實是非常重要的問題，其中一個就是龐加萊猜想。這在數學裏是有傳統的。上世紀初，1900年的第一屆國際數學家大會上，大衞·希爾伯特提出23個歷史性數學難題，對數學上百年的發展起到非常重要的作用。克萊研究所懸賞這7個問題也是受此啓發的。解決大衞·希爾伯特的23個問題中任何一個可以拿數學大獎，所以是有一定的激勵作用。

龐加萊

龐加萊（1854-1912）是法國著名數學家，他也是理論科學家和科學哲學家。1904年，龐加萊提出了著名的龐加萊猜想，在100多年時間裏一直困擾着全世界的數學家。龐加萊猜想的出現與幾何學的發展緊密相關。我在今天首先回顧歷史。

數學，尤其是幾何學，所涉及對象就是普遍而抽象的東西。它們同生活中的事物有關，但是又不來自於這些具體的事物，因此在古希臘學習幾何被認為是尋求真理的最有效的途徑。據説柏拉圖學院門口寫着：不習幾何者不得入內。古希臘的幾何地位是非常高的。

畢達哥拉斯

畢達哥拉斯（約公元前569年—公元前475年）是古希臘著名的哲學家、數學家和天文學家，其思想和學説對希臘文化產生了巨大的影響。在數學方面，畢達哥拉斯有一個著名的定理，西方叫畢達哥拉斯定理，在中國叫勾股定理。當時畢達哥拉斯還提出了地圓説，他覺得地球是圓的，這是非常了不起的事。2500多年前大家生活區域非常小，所見之處基本可以説是平坦的，怎麼能想象地球是圓的？這一點是畢達哥拉斯學派一個非常了不起的地方，他們不僅猜到地球是圓的，甚至想出一個辦法測地球的直徑，跟現在的測量相差不是很大。

希帕蒂婭

在歐幾里得以前，人們已經積累了許多幾何學的知識，然而缺乏系統性。在公元前300年左右，歐幾里得完成了《幾何原本》一書。這本書非常著名，對我學數學也有很大的影響。在我上小學的時候，當時很多時間不上課，在家自學的有幾本書，其中一本就是《幾何原本》。公元前100年考古發現了一份《幾何原本》拓片。古希臘有記載的第一個女數學家叫希帕蒂婭，她是著名數學家，也是天文學家、哲學家。希帕蒂婭和父親一起對《幾何原本》進行修訂。在西方藝術作品中也有這位女數學家的形象，她死得比較慘，由於她的學説、文本和觀點跟當時基督教產生很多思想上的衝突，她當時被報復處死。她終身未嫁，她是嫁給了科學。

《幾何原本》

《幾何原本》全書分13卷，有5條“公理”或“公設”、23個定義和467個命題。歐幾里得由公理、公設和定義出發，嚴格推導出命題。當時這些定理都是沒有實際用處的，純粹是邏輯推理和演繹，但是非常漂亮。比如講，其中嚴格論證了畢達哥拉斯定理（即“勾股定理”）：直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。在公元前約3000年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，還知道許多勾股數組。考古文獻中有一個泥版，最大勾股數是18541，12709，13500，這個數肯定不是測量出來，這應該古巴比倫人思考得出來的，因為不可能靠測量出來，當時的技術水平測不了這麼大的數。古埃及人也應用過勾股定理。在中國，商朝的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理特例。在西方，據説最早提出並證明這一定理的是公元前六世紀的畢達哥拉斯，但他是如何證明這個定理的，我們找不到了。這個嚴格證明出現在《幾何原本》裏。

《幾何原本》中的最亮的一個結果是歐幾里得證明了只有五種正多面體並給出了它們的作法。柏拉圖學派認為世界是由五種元素組成，它們對應了五種正多面體，用現代數學語言是對應五種對稱羣。這些完全從抽象思維得出來的東西非常漂亮。

歐幾里得

歐幾里得幾何學成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典範。在之後的2000多年間，這一嚴格的思維形式，不僅用於數學，也用於其它科學，甚至用於神學，哲學和倫理學中，產生了深遠的影響。但是其似乎顯然的“平行公設”，所謂“通過一已知點，能作且僅能作一條直線與已知直線平行 ”，卻遭到質疑。

這是什麼原因呢？歐幾里得《幾何原本》有五條公設，其他是定義，定義是明確要研究東西是什麼意思，從公設和定義出發推導整個平面幾何的定理。公設中前四條都很容易看，第五公設相比不那麼顯而易見。第五公設是否能作為公設，還是應作為定理？這就是最著名的、爭論了長達2000多年的關於“平行線理論”的爭論。從邏輯推理來説這一條公設是不是從其他四條公設推出來，很多人做這方面研究，歷史長河中可以搜到很到歷史上著名數學家研究這個問題。這是一個純學術問題。

在1830年左右，俄國數學家羅巴切夫斯基、匈牙利數學家雅諾什發現了第五公設不可證明，創立了非歐幾何學。其實第五公設根本不需要，一樣可以做幾何。可以有平面幾何，也可以有非歐幾何。雅諾什在研究非歐幾何學的過程中曾遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親、數學家鮑耶•法爾•卡什一輩子研究這個問題沒有任何進展，他不希望兒子走他的老路，認為他的研究是耗費精力勞而無功的蠢事。高斯也發現第五公設不能證明，並且研究了非歐幾何。高斯是著名的數學家，他不敢發表，害怕因此對他的名聲有影響。因為當時平面幾何、歐式幾何是大家普遍接受的東西，突然説有一種幾何不是歐式幾何，一下子難以被人接受。

龐加萊圓盤

簡單説一下，如非歐幾何模型之一的龐加萊圓盤模型所示：過“直線”外一點可以做出無數條與該“直線””“平行”的“直線”，當時是非常新的幾何，現在看這個幾何非常有用，之後還會看到有很多非歐幾何的應用。埃舍爾1959年完成的木刻版畫“圓極限 III”，在有限的畫面中表現無窮：“畫面中的魚比喻成從邊緣發射而來的火箭，它們從無窮的遠處發射而來，經過圓的中心，又慢慢地游回千里之外”。這個相當於一個藝術作品，用一些非歐幾何直線畫出來的東西，比平面幾何還好看，更豐富。自然界非歐幾何也存在，像大堡礁的珊瑚，有的珊瑚呈現非歐幾何的形狀。

木刻版畫“圓極限 III”與大堡礁珊瑚

大約過了20多年，1854年，黎曼（Riemann，G.F.B.1826—1866）發明了黎曼幾何，今明兩年很多地方紀念黎曼逝世150年。黎曼是德國數學家，他是高斯的學生，早期不做幾何，而是做分析的。當時在德國拿到博士以後，不一定能夠做講師、教授，做教授還要經過教授資格考試。黎曼是高斯的學生，非常聰明，高斯想試試他，看看到底有多聰明，讓他做幾何問題，結果他就創立了黎曼幾何。他引進了流形和度量的概念，並且證明曲率是度量的唯一內涵不變量。歐幾里得幾何，非歐幾何都屬黎曼幾何。前者是平坦曲率的情形，後者曲率為負。黎曼告訴大家有更多種的幾何，有一個度量就是一種幾何，以前平面幾何只是其中非常特殊的一種。一個曲線的曲率，可以看到它的彎曲程度。總的來説曲率測量曲面或者空間的彎曲程度，有時候需要考慮更高維的空間，這個時候它的曲率也是可以定義的。黎曼還有一個貢獻，考慮抽象空間概念的時候，我們可能看不到這些空間，三維空間在我們這個空間裏面是看不到的，但曲率確實存在。我們舉一個例子，在廣義相對論中，宇宙一切物質的運動都可以用曲率來描述，引力場實際上就是一個彎曲的時空。一個著名的事件是愛丁頓日全食，它證實了愛因斯坦的理論，光線“彎曲”了。我們可以看到太陽後面的恆星，為什麼能看到，就是因為在這個空間直線實際上是彎曲的，太陽有很大的引力造成空間彎曲，所以曲率確實是存在的。

黎曼

幾何學的進一步發展產生了很多新的數學分支，拓撲學是其中一支，但它與通常的平面幾何、立體幾何不同，拓撲學對於研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關係都無關。比如一個茶杯的表面和一個救生圈的表面是一樣的，它的形狀可以不一樣，但拓撲性質是一樣的。拓撲有一個好處，就是特別的穩定，形狀變了以後拓撲性質仍不變，看上去是非常抽象的東西或者跟以前想象得幾何不一樣的東西，現在量子計算就用到了拓撲不變性。

拓撲學猜想

龐加萊猜想就是拓撲學著名的研究問題之一，它給出最簡單的三維空間（即三維球面）的拓撲刻畫。1904年，法國數學家亨利·龐加萊提出了一個拓撲學的猜想：任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。

3維球面的拓撲刻畫

一百年多來，龐加萊猜想的研究是拓撲學發展的重要動力，包括上世紀60～70年代高維空間的拓撲分類，80～90年代四維空間微分結構的研究。但很多基本問題尚未解決。低維空間的拓撲仍是非常活躍的研究領域。它與物理緊密聯繫。舉幾個例子，1960年，S. Smale將其推廣到任意維，並解決了5維及5維以上的廣義龐加萊猜想。1982年，M. Freedman解決了4維的廣義龐加萊猜想。1980年，W. Thurston提出了一般3維空間的幾何化猜想，龐加萊猜想是幾何化猜想的自然推論。他還驗證了一大類3維空間確實滿足他的猜想。雖然這類空間不包括龐加萊猜想，但為龐加萊猜想成立提供了強有力的證據。

球極投影

如前所説，龐加萊猜想給出3維球面的拓撲刻畫。那3維球面有何特別性質呢？我們不可能直觀地看到3維球面，因為我們所在空間就是3維，不可能把3維球面放在我們所熟悉的3維空間中，但是我們可以通過類比的方法想象3維球面，通過2維球面來想象、刻畫或理解3維球面的可能性質。那2維球面有什麼特別性質呢？假如説我站在北極點作投影，2維球面可以看成是平面加上一個對應北極點的無窮遠點。類似的，我們可以用數學推導給出一個3維球面到我們生活的3維空間的球極投影。所以，3維球面可以等同於我們生活的3維空間加上一個無窮遠點。這在數學上可以嚴格確定。

兩個圓盤粘合成一個2維球面

還有一種看法，拓撲學從兩個圓盤開始，然後形變——拓撲學不關心形狀，只要是連續的形變就不會改變拓撲的性質——通過形變得到兩個半圓，半圓的邊界粘合起來就得到球面。類似於我們包餃子。也就是説2維球面是兩個圓盤沿着邊界粘起來的樣子。我們就可以想象，3維球面就是把兩個3維球體沿着邊界（也就是二維球面）粘合而成，數學上確實如此。

3維球面描述一：3維空間加上無窮遠的點

所以3維球面有兩個特殊描述，一個描述是3維空間加上無窮遠的點；另外一個是兩個實體球沿着邊界——邊界是2維球，粘合起來。這兩個描述看上去非常簡單，實際上背後還是隱藏着很多東西。第一個説法説明3維球面是單聯通的。一個2維球裏面有一個洞，一定可以填滿，也就是説2維球面是單連通的，即球面上每個圓盤都界一個拓撲圓盤，或直觀地説，2維球面沒有孔。像2維球面的情形一樣，3維球面也是單連通的，即3維球面沒有孔，它上面的每一圓圈都可收縮到一點。我們可以用3維球面的第一種刻畫證明這個性質。對3維球面上任給的圓圈，去掉圓圈外一個點後，剩餘部分等同於我們所在的、沒有孔的三維空間。因此給定圓圈可收縮到一點， 也就是説3維球面是單連通的。

我們剛才説明了3維球面是單聯通的（即沒有孔），而龐加萊猜想説：如果一個3維空間沒有孔（單聯通的），那麼它一定是3維球面。這個問題的證明要難得多。一百年來，拓撲學家是如何去設法證明龐加萊猜想的呢？經典途徑是什麼？

我們從曲面講起，曲面是二維的，因為局部地我們可以用兩個數字來描述曲面上的點。有三個洞的曲面，或者是一個洞的曲面，把裏面填滿，就成為一個3維實體，都可以坐落在我們生活的3維空間裏，並且都是一個3維實體的邊界。我們稱這樣的3維實體為實心環柄體。曲面和實心環柄體的虧格是孔的數量。

3維球面描述二：兩個實體球沿着邊界——邊界是2維球，粘合起來

3維球面的第二種刻畫表明它是通過粘合兩個3維球體整個邊界而得到。這在數學中稱為3維球面一個0虧格的環柄體分解，即3維球面可以環柄體（都是沒有孔的）而分解。實際上，在上世紀50、60年代證明的，就知道任何沒有邊界的閉3維空間都能夠通過粘合兩個一定虧格（孔的數量）的環柄體的整體邊界而成。這就是數學上已經嚴格證明的3維空間環柄體分解定理。

虧格為1的環柄體分解

但是分解不是唯一的。一個3維空間可以有不同虧格的環柄體分解。我們可以從已知的3維球面虧格為0的環柄體分解出發，構造出3維球面虧格為1的環柄體分解。從3維球面出面，這兩個實體球分解，實體中間打一個洞出來，把打出來的部分彎一下，與被挖洞的第一個球再接起來，會得到新的環柄體，相當於製作茶杯的辦法。這樣做的東西實際上整體物質沒變，但最終得到一個3維球面的虧格為1的環柄體分解。你還可以做虧格為2的，實際上，只要想象力足夠豐富，沿這個方法做下去，就不難得出任何虧格的環柄體分解。

高虧格的曲面的結構比2維球面更復雜，會有許多不同的方式來把它們粘合在一起，這樣會得到許多不同的3維空間。但是，只有一種辦法將2維球面同自身粘合，就是有虧格為0的環柄體分解的3維空間一定是3維球面。如果我們能找到一個方法，使給定單連通的3維空間分解為兩個3維球體，則它一定是3維球面，從而解決了龐加萊猜想。這個想法很簡單，但是做起來很難，一百年來，拓撲學家都在尋找這一方法。

最早研究龐加萊猜想的有影響力的數學家可能是J. Whitehead。1930年，他宣稱給出了一個證明，隨後發現了錯誤，主動撤銷了這個證明。但在此過程中，他發現了一些單連通、非緊的，但不能等同於歐幾里得3維空間的有趣例子。

在20世紀50年代與60年代期間，許多有影響力的數學家，諸如：Bing、Haken、Moise和Papakyriakopoulos（常簡稱Papa）先後嘗試着去解決猜想。但都被發現他們想給的證明有缺陷。

Christos Papakyriakopoulos

特別要提一下Papa這個希臘數學家，他是1948年來到普林斯頓大學訪問，後來留下來工作。他在二戰時參加過游擊隊，希臘二戰的時候有左派，有流亡政府，還有當時跟納粹合作的政權，他參加的左派組織在山裏打游擊。那時候他自學了很多數學，特別是代數拓撲。後來證明了三個非常重要的定理：Dehn引理，閉路定理以及球面定理，這些都是三維拓撲的基礎性工作。他因此獲得1964年美國設立的第一個Veblen幾何獎。Papa從上世紀60年代初起就開始研究龐加萊猜想，他完全意識到他的努力不一定會有結果，但是他堅持，一邊做數學，一邊聽音樂，人也是非常聰明的。據説他生活非常有規律，每天8點吃早飯，8點半到辦公室，11點半吃中飯，3點半參加tea time，4點或者去聽報告，或者回到辦公室做數學。這樣他堅持研究龐加萊猜想，直到他1976年因病去世。他後來留在美國，很可能因為當時希臘的左派受到打壓，他的老師工作都沒有了，所以他要自謀出路，後來到了美國就沒有回去過。當時還有一個有趣的插曲，上世紀50年代希臘安全部門因他的左傾活動，要美國政府把他遣送回國，當時普林斯頓大學不同意，保護了他，他對於普林斯頓大學還是非常感激的。

龐加萊猜想最終的解決依賴於微分幾何和分析的方法，最重要的工具是R.Hamilton提出的裏奇曲率流。R. Hamilton證明了裏奇曲率流的許多基礎性結果，並給出瞭解決Thurston三維流形幾何化猜想的綱領。他也解決了龐加萊猜想的一些特別情形，但他無法克服一些關鍵技術問題。有趣的是，普林斯頓大學與龐加萊猜想有很深的淵源。無論是嘗試過而未成功的數學家中，還是對最終解決做出突出貢獻的數學家中，許多都在普林斯頓大學工作或學習過，如J. Whitehead，Papakyriakopoulos，R.Hamilton等等。

Perelman

最終解決這個問題的人是Perelman，Perelman在2002年11月12日在網上公佈了自己的結果，並給多個數學家發了電子郵件告知他有關證明的一篇論文。之後半年中，他又發佈了兩篇系列論文。在這三篇文章中，他概述了龐加萊猜想以及更一般的Thurston幾何化猜想的證明，從而實現了Hamilton提出的綱領。

Perelman的證明，用到了過去50年甚至更長時間微分幾何中的許多重要進展，但最終解是他完成的，他的解中間牽涉到很多數學家的工作，包括非負曲率空間的分類，黎曼幾何的緊性理論，熱傳導方程的Harnack型估計，曲率下方有界空間的塌縮理論，極小曲面理論等等。

Perelman的證明缺少細節，令人很難讀懂，驗證工作十分困難。經過幾組數學家的大約兩年時間的努力，終於補齊了龐加萊猜想的證明細節。雖然Perelman的證明有些漏洞，但都可以修復。Thurston幾何化猜想的證明驗證工作更曲折一點。就在2012年，R.Bamler還發現Perelman的證明以及他人補的細節都忽視了一個重要的技術問題，幸運的是，利用Perelman的思路可以設法解決這一問題。R. Bamler還證明了比Thurston幾何化猜想更廣的一個深刻幾何定理。他2011年畢業於普林斯頓大學。

後來我們知道，在2010年3月18日， Clay研究所將首個Millennium獎授予Perelman。但他沒有參加2010年6月8日在巴黎舉行的頒獎儀式。這個會我當時也在，去了很多數學家。他於2010年7月拒絕了Millennium獎。之前在2006年，他還拒絕了世界數學家大會頒發的Fields獎。Perelman認為：“大家應該理解如果證明是對的，那麼其它的認可都是不需要的。”這是很好的一句話，科學成果本身的價值是最重要的。但是Perelman是否又犯了一個小錯這就不知道了，並非每人都能這麼想。

Perelman問題解決以後，還有很多遺留的問題，最最突出的就是光滑的4維龐加萊猜想，雖然M. Freedman於1982年解決了4維的廣義龐加萊猜想，但我們不知是否“存在一個光滑的4維空間，它同胚於一個4維球面但不微分同胚於4-球面”。這被稱為光滑的4維龐加萊猜想，依然未被解決，並且被認為是十分困難的。這是現在數學中非常重要的一個問題，怎麼樣確定光滑結構，有沒有微分幾何的方法？都是很多數學家嘗試回答的問題，也是現在數學中非常重要的問題。1957年，J.Milnor 在7維找到28個“怪球”，表明光滑的龐加萊猜想在7維是不成立的。

CT

上述的幾何研究屬基礎數學，它開始都不是以“有用”為動力的，都是在追求一種真理。但實際上卻是極為“有用”的，幾何在我們生活中用處很多。我舉一個例子，大家都經常聽到的CT（計算機輔助X射線斷層成像儀，簡稱CT），醫生通過它可以觀察到人體內部微小的病變和病灶分佈，能夠及早採取正確的治療措施。CT成像技術歸功於Godfrey Hounsfield和南非出生Allan McLeod Cormack。它的數學基礎是Radon變換。Radon變換在被發現的最初並沒有馬上得到應用，但這並不意味着它沒有意義和價值。

所以數學是非常有用的，只不過有些研究結果暫時還沒得到實際應用。

謝謝大家。

本文經授權轉載自微信公眾號“未來論壇”。

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