紐結：一種特殊類型的複雜性_風聞

撰文 | 詹姆斯·格雷克

翻譯 | 林開亮

紐結是日常打結的形式化、標準化與理想化，即一維線條在三維空間中彎彎曲曲所形成的封閉環。在數學家心目中，紐結是自然最本質的形狀之一。紐結理論的未來，究其本身而言，是研究一種特殊類型的複雜性。

一系列令人驚奇的發現正在幫助數學的最純粹形式之一——紐結理論——的實踐者來解決該學科最基本的問題：如何將一個紐結與另一個紐結區分開來。

同時，對於正在研究類似於化學和分子生物學中分子結構的纏繞、環狀線體的科學家，這些進展為其提供了一種新的工具。關於紐結的數學認知似乎為科學家們將分子組織、破譯成複雜DNA結構的方式帶來了直接的希望。

理論家所研究的紐結是日常打結的形式化、標準化與理想化，即一維線條在三維空間中彎彎曲曲所形成的封閉環。它在數學家心目中是自然最本質的形狀之一。關於命名、分類和理解紐結的問題被證實是極為困難的。

DNA的圖像清楚地顯示出，伴隨有旋轉和交錯的紐結可以通過分子塗層可視化，從而通過電子顯微鏡看到。數學上的發現似乎為解開在生命的複製與重組的基本過程中，從一個結構變為另外一個結構的方式提供了鑰匙。

“這是數學和生物學的一個非比尋常的連接，”美國國立衞生研究院的水內清志（Kiyoshi Mizuuchi）説。“你可以獲得關於酶的強有力的信息，而這些信息原本是不可能獲得的。”

最重要的是，化學家和分子生物學家正逐漸意識到，這些重要特徵可以通過採用紐結理論家的現實觀點來理解。在歐幾里得幾何學中，結構屬於剛性領域，紐結理論家則完全靈活地看待這些結構。這就是拓撲學的本質，而紐結理論是這門“橡皮幾何”的一個分支。距離和尺寸是無關緊要的。如果某一紐結可以被彎曲、扭曲、拉伸、擠壓或以其他方式變形成為另一個的紐結（在不被切割或解開的情況下），則這兩個紐結就是等價的。

最基本的拓撲原理是很難被證明的。例如，決定兩個紐結（被畫在紙上或用細繩來模擬）是否相同或不同的問題被證實是一個貫穿始終的難題。任何一個曾經解開包裹或解開一束紗線的人都熟悉該問題，它的實質已經佔據了數學家們將近一個世紀的時間，現在似乎比以往任何時候都更接近現代幾何學的核心。

倫敦南岸大學理工學院的數學家莫文·西斯爾思韋特 (Morwen B.Thistlethwaite) 説：“在這個課題中，存在很多潛在的困難。這些問題很容易被陳述，但解決起來卻十分困難。並且這些技巧已經變得非常強有力。”

事實上，紐結理論中的重大問題有時以娛樂性的智力題為幌子而出現。例如，假設“作弊”被定義為將一個閉合紐結的一部分穿過另一部分，你必須作弊多少次才能把給定的紐結“解開”或變成圓環？對於一個僅有8個交叉的紐結而言，答案最近才被證明，是兩次，其證明需要300頁的密集分析。對於其他簡單的紐結，解結次數仍然未知。

確定性是難以捉摸的

對於此類問題，一個持久性的主題是，解決方案似乎顯而易見，但最後的確定度卻不然。作弊一次似乎不足以解開紐結。兩個紐結似乎是不同的，在經過幾個小時的解紐和解環之後，通過試驗，你會肯定它們是不同的。但也許僅僅是你還不夠耐心或者不夠聰明，因而，不能通過眼睛和手來得到確定的結果。數學家需要一個系統。

當水手根據物理特徵對紐結進行分類時，數學家需要對繩圈和交叉的列表方式賦予明確的定義。當紐結變得越來越複雜時，其複雜性也隨之增加。最簡單的紐結，稱為三葉結，僅用三個交叉的方式即可畫出。除了它的鏡像之外，它是唯一的。類似地，有四個交叉的紐結只有一個，有五個交叉的紐結只有兩個。但是有十個交叉點的紐結有165個，而總共有13個交叉點的紐結有2965個，該數量是現存的完整目錄中最高的。

交叉數逐漸增多，從而變得越來越複雜的紐結。| 圖片來源：Wikipedia

自首個重要的紐結分類表於19世紀由蘇格蘭物理學家彼得·格思裏·泰特（Peter Guthrie Tait）和美國數學家利特爾 (C. N. Little) 給出以來，數學家一直在試圖尋找出“不變量”，即一些可以將一個紐結與另一個紐結區分開來的基本性質。完美的不變量將可以區分任何一對紐結。儘管一些不變量是不夠完美的，但它們比其他的一些不變量要更有效。

紐結理論的最新突破是發現了一種特別強大的不變量，它能夠區分其他不變量對之失效的紐結。幾個數學家羣體各自獨立地制定了一些規則，這些規則可以使得他們處理任意紐結，並將其系統地變為一個代數表達式，該表達式被稱為多項式，即數字和變量的組合。

多項式可充當紐結的一種標記。與紐結本身不同，通過觀察，多項式就可以被區別開來。如果兩個紐結的多項式是不同的，則這兩個紐結就是不同的。不幸的是，如果它們是相同的，這兩個紐結卻未必是相同的。

大小與形狀無關緊要

正如在所有的拓撲問題中一樣，一個環的具體大小或形狀是無關緊要的。重要的是紐結的交叉、上線或下線的方向，以及它們相對於其他交叉點的排列。

第一個多項式不變量，且是直至最近唯一的一個，於20世紀20年代被發現。它區分了許多紐結，但是數學家無法預知該多項式何時有效，何時失效。

加州大學伯克利分校的沃恩·瓊斯 (Vaughan F. R. Jones) 是一位代數領域而非紐結理論領域的專家，在1984年，他發現了一個新的多項式不變量，之後一個接一個的數學家進一步利用了他的發現。

“這是一個非常令人興奮的、驚人的發展，”巴納德學院的一位數學家瓊·伯曼 (Joan S. Birman) 説，她是研究紐結和與其有着近親關係的辮 (braid) 方面的權威。“這對於紐結理論是重要的，且其重要性的更大意義在於它是數學上兩個完全不同領域之間的橋樑，人們從來沒有想象到有這樣一個聯繫。”

來自不同領域的300位數學家，以及一些分子生物學家，下週將在加利福尼亞州聖克魯斯召開的會議上討論這些新的進展。

馬薩諸塞州克拉克大學伍斯特分校的戴維·耶特（David Yette）説：“這為數學的一部分領域打開了一個在此之前完全沒有預想過的前景之門。”他和其他五位數學家發現了另一個新的多項式，被稱為Homfly，該名稱來自他們姓氏的首字母。耶特博士説：“數學作為一個整體正在被改變的跡象是，當每個人都認為不同領域是分開發展的時候，它們被發現是相互聯繫的。這些領域開始聚集，成為某一整體的一部分。”

如新技術一樣強大的是，這些多項式也是神秘莫測的：到目前為止，紐結理論家無法很好地解釋為什麼它們工作得如它們做的一樣好。某種程度上，將一個具體結構轉換成一個抽象的代數表達式，其過程必須抓住該紐結的一些本質特徵，但是沒有人準確地知道這些本質特徵是什麼。從某種意義上説，數學家熟知新發現背後的代數，而不是幾何學。

“它們是神奇的，”伯曼博士説，“這是我們正在做的魔術。這個多項式抓住了某些事實，但是很難説它是什麼。”

即使沒有新的不變量，將交叉數不大於13的所有紐結分類也是可能的，這一工作在1982年就完成了，但其過程艱鉅且容易出錯，甚至是證明三葉結與平凡結不同也非常難，用早期的方法來區分兩個難以辨別的紐結時需要大量的計算。理論上，它可能需要數百萬小時的計算時間。與之相比，新的多項式要快得多。

艾奧瓦大學的數學家喬納森·西蒙 (Jonathan Simon) 説：“它們非常重要，同時非常簡單。人們早就應該看到這些——這裏的‘人們’指的是過去20年的所有紐結理論家。”

有幾個數學家超越了常規抽象學科的通常界限，開始探索化學的含義，西蒙博士就是其中之一。

很多年前，化學家們就已經知道，分子可以採用紐結的形式，也可以採用其他結構，比如鏈環或者説“索烴”。但直到最近為止，大多數有幾何思想的化學家考慮的都是剛性模型而不是無限靈活的模型。

“現在化學家們已經開始製造分子，它們位於空間中的差異是由於拓撲結構，而不是剛性幾何結構。”西蒙博士説，“拓撲學中充滿了美麗的圖畫和簡潔的思想，且對思想和圖畫有一些迷戀，但這裏也有實質性的內容。”

其他化學家和生物學家正在研究通過某些化學反應或肌肉細胞陣列傳播的特殊波。在此類“激發介質”中，刺激產生一種反應，該反應從一個地方傳播到另一個地方，就像池塘中一個向外盪漾的波浪。視網膜中神經細胞薄片是一個例子，而心肌是另外一個例子。在三維空間中，這樣的波浪可以形成奇妙的形狀，而這些形狀的核心可以形成線狀細絲。

2017年，科學家第一次合成了有8個交叉的分子糾結，圖中是這種紐結的X射線晶體結構。| 圖片來源：Robert W. McGregor

“意大利麪片”

“當你有一個空間擴展的媒介，你可以有結構、線條、意大利麪片狀，”阿瑟·温弗裏 (Arthur T. Winfree) 説。他是一個理論生物學家，在實驗室中藉助於強大的計算機對激發介質進行了廣泛的模擬。“所有這些數學都可以被鎖定、存儲和移動，並且在一個完全不同的環境中使用。”

這些細絲，正如它所產生的那樣，可以被連接甚至被打結。獨特的拓撲形狀似乎產生了獨特的類型。

在分子生物學中，最著名的三維結構是DNA，其超螺旋的雙螺旋結構連接兩條鏈，並將其遺傳信息壓縮到可管理的空間區域。如線圈般盤繞的超螺旋能儲存細胞可使用的能量，就像扭曲的橡皮筋所具有的能量一樣。

當螺旋的線在重組過程中需要被拉開，然後重新纏繞時，螺旋還產生了一個可怕的拓撲問題。研究這些過程的生物學家已經改變了他們的重點。許多生物學家越來越多地關注於空間中鏈的靈活性排列，而不是專注於DNA的組成基元——鹼基對——的排列，將DNA單線視為簡單的直線。

糾纏的DNA結構。| 圖片來源：Chris Hammang

“我們有了美好的一天”

通常，這些結構似乎影響酶的作用，酶在重組過程中充當媒介和信使。加州大學伯克利分校的分子生物學家尼古拉斯·科扎雷利（Nicholas R.Cozzarelli）是一名分子生物學家，他開創了塗層技術，從而使得DNA紐結的成像成為了可能。他説：“這是我們的美好的一天，這一天，數學和生物化學有了最完美的結合。”

紐結理論現在能使生物學家觀察酶反應的開始和結束階段，並推斷出中間階段是什麼，還可以使他們預知酶臨時斷鏈以解開結的可能性方式。特別地，新的瓊斯多項式似乎提供了一種量化此過程的方法，這也許是因為該多項式對紐結的交叉特別敏感。

對於大多數數學家來説，在化學和生物學方面的應用仍然是一個次要的問題，樂於去了解但並不是特別令人驚訝。紐結理論的未來，正如他們所看到的，將一如過去，究其本身而言是研究一種特殊類型的複雜性。

本文經授權取自《數學百年風雲：〈紐約時報〉數學報道精選（1892-2010）》（上海科技教育出版社，2019年6月），文中圖片來自網絡。

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