“中國古代沒有科學”之9：重新認識《幾何原本》，致那些年白學的幾何_風聞

要點：1.科學的精髓，是公理化的邏輯體系。個別的科技成就，只能説是建造科學大樓的磚瓦！中國古人，連這方面的初步嘗試都沒有！

2.墨家設計那麼多機關器械，會不懂這些幾何原理？但是，為什麼中國就沒有誕生近代科學呢？祖沖之把圓周率都算到小數點後7位了，《幾何原本》裏的那些定理我相信祖沖之很多都知道，但是為什麼祖沖之寫不出《幾何原本》？

3.我們的教育恰恰把這個最重要的東西給忽略了，我們的數學教育裏把定理的熟悉使用看做最為重要的東西，而對從顯而易見的公理邏輯嚴密的推導出這些定理的事情卻不是很關注。這種科學範式的方法論是我們數學教育裏最缺少，也是我在文章裏一直大力提倡的。

4.西方數學最為重視的形式邏輯和演繹推理，在我們的教育裏一直極度缺乏，想想我們小時候數學做得最多的題目是什麼？是應用題！我們關心的一直都是它的實用性，而不是它的邏輯和演繹。

原創：長尾科技

對於幾何，我們很多人是既熟悉又陌生。熟悉是因為我們從初中（可能現在小學就有了）就在開始學幾何；陌生是因為很多人雖然學了那麼多年幾何，但是並不知道幾何到底是什麼。他們沒有讀過**《幾何原本》，也不知道以《幾何原本》為代表的幾何學範式**在科學裏有多重要，這樣就錯失了幾何的精髓。

所以，對於幾何，對於**《幾何原本》**，我們需要重新認識一下。

01我們的幾何

先回憶一下，大家當年是怎麼學習幾何的？

我們那時候學幾何，老師是先講一些基本的幾何概念，比如直線****、線段、圓、三角形、直角等等。再講一些這些概念的基本性質，學習一些重要的**定理，**然後把這些性質、定理記下來，做題熟練它，然後這一塊的幾何就算是學好了。

然後，隨着我們的年級不斷升高，我們認識的幾何圖形越來越複雜。從開始的簡單的三角形、矩形、圓慢慢拓展到多邊形、圓錐、橢圓、立方體等等等等。但是，基本的學習方法沒有變：都還是以定理為中心，以證明為中心。能夠熟練的掌握一種幾何體的各種相關的性質定理，能發現那些不知道為什麼要這樣劃，但是跟神一樣這樣一劃就能解決問題的輔助線，就算把幾何學好了。

這樣不斷的學習下去，我們對幾何圖形的性質瞭解得越來越多，做題越來越熟練，我們自以為對歐幾里得的精髓的把握越來越準。但是，我們卻忽略了一樣非常重要的東西，一樣令牛頓、愛因斯坦都瘋狂為之着迷的東西。

愛因斯坦説：“一個人當他最初接觸歐幾里得幾何學時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那麼他是不會成為一個科學家的。”我們現在再回過頭想想，我們小時候學幾何的時候，真的有感受到過這種愛因斯坦説的感動麼？

很少有人會有（如果你有，那麼你非常的幸運）這種感動，因為這種歐幾里得幾何學身上最可貴最美的東西，恰恰是我們學校編寫幾何教材，老師教授幾何的時候不會講，最容易忽略的東西。

那麼，這種東西到底是什麼呢？

02科學的範式

我先跟大家説5句話，你們判斷一下這些話是對的還是錯的，還是一看就知道是對是錯。

1、任兩點都可以用一條直線相連

2、線段可以無限延長成一條直線

3、可以以任意點為頂點，任意長度為半徑畫一個圓

4、所有的直角都相等

5、過直線外一點，有且只能做一條直線與已知直線平行

好了，我的五句話説完了，你們覺得這些話是對是錯，你們認可不認可？

可能有人看完之後感到一陣失落，好歹是長尾君高能預警了要説的話，想着怎麼着也應該是有點難度的命題讓我來判斷吧。沒想到是這樣幾個只要學了初中幾何，不，只要學了初一的幾何，阿不，就算沒學幾何也知道這肯定的對的命題。

因為這五句話都太簡單太“顯而易見”了，而且與生活的經驗是如此的相符，誰要覺得這5句話有問題那肯定是腦袋有問題。

沒錯，在初一學幾何的時候，1、2兩條在學直線、線段的時候老師是直接這樣定義的。學圓的時候默認我們都會用圓規畫圓，所以第3條也是默認成立的，第4條老師直接告訴你直角就是90°，大於90°的叫鈍角，小於90°的叫鋭角。第5條稍微麻煩一點，好像叫什麼平行公理，但是一樣非常容易理解。

也就是説，這5句話裏説的東西我在初一學幾何的時候就在不同地方已經瞭解了，沒學幾何的人也覺得這是顯而易見的。但是，把他們這樣放在一起倒是覺得挺新鮮，為什麼要把這5句話放在一起呢？難道老奸巨猾的長尾只是隨手抓了5句話來逗我玩？

如果我告訴你這五句話是並列出現在歐幾里得的傳世名著，那本影響西方科學兩千多年的鉅著**《幾何原本》**第一卷的，你會不會感覺到吃驚？

如果我再告訴你，《幾何原本》裏的全部幾何公設就是這5句話（我對這些話做了通俗處理，第5條換了説法但是跟原來的等價，另外還有五條公理是一般的公理，是不管是不是幾何都通用的），沒有第6條几何公設了，你會不會覺得吃驚？

如果我最後再告訴你：歐幾里得幾何學裏的全部定理，你從初中到高中甚至大學學的所有平面幾何相關定理，你用來證明幾何題目所需要的各種性質都可以從這5句話裏嚴密的推導出來的。你會不會感到震驚？

沒錯，你沒有聽錯，這5句看起來非常簡單的5條公設，就是歐式幾何的全部假設。從這5條假設出發，歐幾里得邏輯嚴密地證明了467個命題。

也就是説，如果你承認最開始的那5條簡單得不像話的公設，你就得沒有任何異議的接受他後面證明的那467個命題。後面那些命題可能很多不是很直觀，有很多甚至跟直覺常理相違背，但是它就是一個十分正確的存在，正襟危坐在那裏，嚴密的邏輯推導足以碾壓你的一切懷疑。

03潑點冷水

上面的描述可能讓你對歐幾里得有種滔滔江水般的敬仰，覺得在兩千多年前有這麼一個人能夠從5個公理出發證明這麼多定理實在是太牛掰了。

但是，如果我告訴你**《幾何原本》這本書裏幾乎所有的定理在歐幾里得之前就已經知曉了，並且許多證明也是這樣**。歐幾里得做的工作不過是把它們整理在一起，你會不會突然覺得歐幾里得沒什麼，甚至只是個盜用別人勞動成果的騙子？

但是，我再告訴你這些事情不光我知道，兩千多年來西方人一直都知道這個事，但是他們依然把歐幾里得把**《幾何原本》**封神，你會不會覺得奇怪？

如果你覺得奇怪，説明你還是不太瞭解真正的西方科學的精神。

我們回過頭來想一想，這些定理，這些三角形圓形的性質難道我們中國古代的數學家們不知道麼？中國一樣在很早就發現了勾股定理，中國能比歐洲提前1100多年把圓周率精確到小數點後7位，你覺得那些定理我們的古人會搞不明白？

墨家設計那麼多機關器械，會不懂這些幾何原理？但是，為什麼中國就沒有誕生近代科學呢？祖沖之把圓周率都算到小數點後7位了，《幾何原本》裏的那些定理我相信祖沖之很多都知道，但是為什麼祖沖之寫不出《幾何原本》？

有人覺得我在胡攪蠻纏，説歐幾里得也沒有寫出**《九章算術》啊。是，這個沒錯，但是《幾何原本》奠定了西方科學的基礎，奠定了西方科學研究的範式。有《幾何原本》，才有了牛頓的《自然哲學數學原理》**（牛頓的這本書基本上就是按照《幾何原本》的標準樣式寫的），才有了近代科學的誕生。

04最重要的事

所以，**《幾何原本》**裏出現的那裏定理本身並不是很重要。

重要的是：歐幾里得通過對前人工作的整理，通過超凡入聖的洞察力和判斷力選擇了5條顯而易見的基本假設。然後仔細的安排了所有的定理，使所有的定理跟前面的定理邏輯一致，在需要證明的地方給出了補充。然後，歐幾里得完成了這樣一個工作：把原本看起來零零散散的一些定理通過邏輯嚴密地綁在了一起，而它們需要承認僅僅只有5個顯而易見的公理。

那些定理就像是一個個零散的部件，在歐幾里得這裏形成了一個完整的體系。就像一堆各自為王的草寇被整編成了正規軍，一顆顆散落的珍珠被串成了一條項鍊，所以你説歐幾里得的工作重不重要？

從此，西方的科學裏有了體系一説。西方的科學家們驚歎於歐幾里得發明的這套方法，於是紛紛將這一套東西引入到自己的研究領域，從此這種方式成為了西方科學研究的一個基本範式。

於是，大家再研究一個全新領域的時候，都先挑幾個最基本的假設作為公理，然後從這些公理出發推導出一些定理，當然，他必須保證自己推導的這些定理前後不矛盾（這就需要很強的邏輯能力，《幾何原本》就是對邏輯能力最好的訓練教材）。然後他會以這些推導出來的定理為基礎，利用嚴密的邏輯一步步擴大領地，最終建立一個完善的學科。

因為他們知道只要公理可靠，那麼推出來的定理也一定是可靠的，那麼我再基於這些定理推出來的其他定理也一定是可靠的，所以我的知識領地只會增加不會減少。但是，這同時也意味着這裏所有的定理都有連帶責任，只要有一條定理跟事實不符，那麼整個體系就會垮掉。

對於任何一套體系，如果我假設的公理越簡單越基本，那麼顯然他出現漏洞的可能性就會越小，被人接受理解的可能性也越大。如果需要的前提假設越多，就跟武林高手練功一樣，留的罩門就越多，就越容易被人找出破綻。

光速不變就是愛因斯坦在狹義相對論裏提出的一條假設（另一條是相對性原理，説物理定律在一切慣性參考系中都具有相同的數學表達形式），狹義相對論就是從這兩個假設推導出來的。

05邏輯的力量

如果我是幾何老師，我倒更願意直接選擇《幾何原本》作為學習幾何的教材，我想讓學生知道：學習幾何最重要的不是掌握了幾個定理，會做幾條輔助線，而是你自己能夠從那幾個最簡單的公理出發，一部一部推導出那麼多看起來不那麼直觀的定理。這些定理看起來好像很玄乎很不可思議，但是你回顧自己推導的過程，每一步都走的那麼堅實，每一個推理步驟都無懈可擊，所以這個定理無論看起來怎麼不可思議，但是絕對是正確的。

這就是邏輯的力量，這就是理性的力量**。**

這時候你會由衷的感嘆邏輯的偉大，科學的偉大，許多年後你可能會忘了《幾何原本》裏的那些定理。但是，推導那些定理的那些過程和那種思維的範式都會深深的印在你的腦海裏，而這些東西，才是《幾何原本》留下來最珍貴的東西。

掌握了**《幾何原本》**的精髓，你才會面對未知領域的時候有信心去構建一個系統，有信心去研究並掌握這一領域背後的全部秘密。如果你沒有這種科學邏輯系統化的概念，就算你的想象力洞察力再豐富，也只能發現一些零散的東西，或者解決一些別人留下來的問題。

牛頓的偉大在哪裏？伽利略和開普勒其實已經做了很多零散前瞻性的研究工作，但是，只有牛頓能夠從這些零散的結論實驗數據中看出他們內在的邏輯聯繫，並且把這些零散的東西整理成一個有機的體系。這種工作，我們想想，和歐幾里得整理**《幾何原本》**的事情是不是很類似？

歐幾里得之前人們就已經知道那些幾何定理，只不過他們是零散的方式存在的，是歐幾里得將他們有機的整合成了一個體系。如果你有機會把《幾何原本》和《自然哲學的數學原理》拿來做一個對比，你就會發現牛頓的**《自然哲學的數學原理》**在風格上跟《幾何原本》極其相似。

可惜，我們的教育恰恰把這個最重要的東西給忽略了，我們的數學教育裏把定理的熟悉使用看做最為重要的東西，而對從顯而易見的公理邏輯嚴密的推導出這些定理的事情卻不是很關注。這種科學範式的方法論是我們數學教育裏最缺少，也是我在文章裏一直大力提倡的。

06回顧一下歷史

1582年，明神宗萬曆十年，有一個叫利瑪竇的意大利人來到中國，萬曆皇帝在宣武門賜給了利瑪竇一棟別墅，讓他安心的在北京做東西方的科技文化交流工作。不久，利瑪竇就收了一位好學生徐光啓，利瑪竇以《幾何原本》為教程教授徐光啓西方的數學理論，然後兩人合作翻譯了**《幾何原本》**的中文版。

我們現在經常説的三角形、平行線、直角、鋭角、相似等等詞語，都是徐光啓發明的。徐光啓也絕對是個聰明人，他學習《幾何原本》後就利用這裏的幾何知識精準地預測了一次日食，搞得朝野振動。一時間西方科學名聲大振，然後一大波西方科學著作就潮水般地被翻譯進來了。

徐光啓意識到了《幾何原本》代表的這種西方科學範式的方法論非常的重要，他那時候就意識到了幾何學代表的這種嚴密的邏輯推理方法是科學研究的基礎。

也就是説，明朝的末期就已經有人看到了《幾何原本》最珍貴的地方，那麼為什麼400多年後的今天，我們很多人依然看不到這一點呢？西方數學最為重視的形式邏輯和演繹推理，在我們的教育裏一直極度缺乏，想想我們小時候數學做得最多的題目是什麼？是應用題！我們關心的一直都是它的實用性，而不是它的邏輯和演繹。

徐光啓利用《幾何原本》預測日食的那一年是1610年，距離科學巨星牛頓的誕生還有33年。那個時候，大量的西方科技著作被引入中國，有介紹托勒密和亞里士多德的自然哲學、邏輯學和方法論的，有介紹天文儀器地理知識的，有介紹心理學和人體生理解剖學的，有介紹機械學和工程學。

基本上，中世紀西方科學都被搬到了中國，你覺得這樣的大背景下，如果牛頓的《自然哲學的數學原理》發表了，他能不被引入中國？可惜，這一切隨着明朝的滅亡煙消雲散，西方人再次來到中國帶的就不是《幾何原本》，而是鴉片了。

然後，直到今天，我們還得努力地科普這些在西方學生看起來再正常不過的東西，欠的債總是要慢慢還的。

07最後的祝福

如果你是小學生，我希望你明白數學不是隻用來做算術做應用題的，你現在用的那些自然數、那些幾何圖形都是對自然的一種抽象，對世界的一種描述。因為世界很美很奇妙，所以數學很美很奇妙。

如果你是初中生，我希望有機會你能弄一本**《幾何原本》**來讀一讀，看看能不能邏輯嚴密的自己推導出那些定理，並且體會《幾何原本》代表的這種方法。如果你能用自己的方法證明勾股定理，作為一個初中生，那給你帶來的喜悦將不亞於發現了這樣一個定理。

如果你是高中生，我首先希望你對數學的興趣還沒有被磨滅。如果你有幸還喜歡數學，你不用為了提高數學就去買一堆奧數書，你可以去了解一下微積分的思想，可以去了解一下數學的思想史、方法論和哲學史。

如果你是大學生，你要知道《高等數學》或者《數學分析》的那點東西是遠遠不夠的，而很多數學家在這個年齡已經做了很多原創性的工作了。

如果你是研究工作者，我希望你能深刻體會《幾何原本》代表的這種西方科學的思想方法，能夠用它構建自己的一套體系。中國不缺乏解決單一問題的人，但是極度缺乏能夠系統化某個領域的大師。

這篇文章是對我一年半以前的兩篇文章的一個整理，這樣大家的閲讀體驗會更好，關於《幾何原本》的事情，我以後還會細説。之所以在今天發這篇文章，是因為今天是張卜天老師最新翻譯的**《幾何原本》首發的日子，出版社邀請我寫一篇《幾何原本》相關的文章（本次推送的頭條**）。

因為我向來是極力推薦大家都去看看《幾何原本》的，而且這是張卜天老師的翻譯大作，所以把之前的文章整理下也一起發出來了。關於張卜天老師和這個翻譯版的特點，我在推送的頭條文章裏已經作了解釋，這裏就不説了。

然後我就可以回答這個讀者問了我好多次的問題了：究竟買哪個版本的《幾何原本》好？

答：張卜天老師翻譯的《幾何原本》。