量子霸權：進展解析與算法展望_風聞

谷歌人工智能量子團隊近期發表了其利用超導量子處理器實現量子優勢的文章，引起普遍的關注和評述，但大家對於谷歌團隊在文章中具體展現了什麼量子計算任務則並無詳細討論，本文依據谷歌團隊文章的正文和附件，將對量子優勢結果進行較為詳細的解讀。谷歌採取的量子計算方案被稱為隨機量子線路採樣，即對於一個隨機而確定的量子線路，通過採樣方法得到比特串集合，並實現此集合中比特串的幾率分佈對應於量子線路的幾率幅。由於是隨機量子線路，經典計算機需要計算才能得到相應的結果，而對於具有53個量子比特，深度達到20個循環的量子線路，這個計算任務即使對於現今最強大的超級計算機也在短時間裏沒法完成，從而實現對於一類具體計算任務，量子計算機比經典計算機更強大的展示。最後將對量子優勢的發展進行簡單的討論。

關鍵詞：量子計算，超導量子比特，量子優勢

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引言

過去幾年，量子計算、 量子信息與量子模擬獲得長足的發展, 但人們一直都在關心量子計算機相對於經典計算機有什麼優勢這個問題，短期內要實現量子計算中針對大數分解的舒爾（Shor）算法是有困難的，人們針對量子計算研究現狀提出了“量子霸權”（quantum supremacy）和“量子優勢”（quantum advantage）等名稱各異但任務相近的目標，即針對某個計算任務，量子計算機比經典計算機更有優勢，這個優勢一般反映為計算速度，也可以表現為難易程度、經濟性等方面，但是考慮到實用性的量子計算算法並不多，人們對具體計算任務的實用化和應用並不要求。由於國內外對於“量子霸權”這個名稱存在有較多爭議，後邊我們都採用量子優勢這個名稱。

人們已經知道，量子態的希爾伯特空間是按照量子比特數成指數增長的，那麼當我們實現了50個左右的量子比特數，態空間維度為 

，要存儲量子態全部振幅及相位信息已經超越了計算機的內存，簡單估計要在如此大的態空間來進行多步驟複雜的運算已經超越了現有計算機的能力，所以實現量子優勢的一個最低要求是量子比特數超過50，否則會處於經典計算機計算能力範圍之內。但是，值得指出的問題是，一個包含有多粒子的量子系統，如果考慮到多能級及噪音等因素，其態空間維數可以輕易的超過50個量子比特的情況，經典計算機已經不能利用精確對角化等計算方法來全面描述這個系統的性質，但我們不能簡單的宣稱這個系統就實現了量子優勢。基於這樣的考慮，我們應該怎樣來提出一個量子優勢的方案或者算法呢？

量子優勢算法問題並沒有明確的標準，我們可以考慮下面幾點：1）是一個有明確定義的計算問題。這樣經典計算機和量子計算機可以用適合自己的算法來實現，避免出現受限於特定算法路徑而使二者處於不平等的地位，

即需要避免經典計算採用非最優算法這種情況。2）體現量子優勢一般需要可涉及所有態空間的問題，不然經典計算機可以利用軟件模擬相應算法而得到結果，導致量子優勢並不明顯或者不存在。3）算法結果是一個經典信息。我們考慮所有結果都需要讀出，儘管有可能算法的結果是量子情況的疊加態形式，也需要用一個經典答案來比較經典和量子計算機的結果。4）需要考慮噪音對結果的影響。近期的量子計算特色可以概括為有噪音中等規模量子技術（Noisy Intermediate-Scale Quantum Technologies），在結果有一定錯誤率的情況下，我們需要仍然能對計算速度等進行比較。基於以上這些考慮，提出一個有説服力的量子優勢算法並不容易。

最近，谷歌人工智能量子團隊基於其最新發展的超導量子計算處理器，利用隨機量子線路採樣方案，實現了量子優勢的展示，其創新點有下面幾個方面：1）超導量子計算芯片採用了量子比特二維方格佈局，格點上緊鄰量子比特間利用可開關聯結器（coupler）耦合，量子比特調控及讀出線採用三維封裝技術, 位於二維方格的上部對應位置。2) 量子算法為隨機量子線路採樣， 實驗中最複雜線路利用了53個量子比特，20層循環，每層循環由每個量子比特上的隨機單比特邏輯門和隨後的兩比特邏輯門構成。3）一個確定的線路利用量子計算機可在200秒裏採樣一百萬次，而利用現有最強大經典計算機需要1萬年，例如利用美國超算“頂點”（summit）來計算。

谷歌團隊的實驗是一個標誌性成果，我們有以下一般性評述：1）這個結果是量子計算優勢（Quantum computational supremacy）；2）所執行計算任務沒有實際應用價值，而是一個展示；3）沒有量子糾錯，不是容錯性量子計算，但這個計算任務本身允許錯誤發生，所以並不需要量子糾錯；4）沒有破解任何密碼，包括量子密碼；5）但意味着開始，潛在的，可以有用了, 而且並不能被經典計算機所替代！基於此平台的有實際應用價值的算法和任務將是變革性技術。

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超導量子處理器結構及性能參數

谷歌團隊製備了一種新的超導量子處理器，稱之為“Sycamore”,這個單詞原來是北美常見的一種懸鈴木樹的名字，該處理器集成有9行6列成方格狀排列共54個量子比特，比特本身是常用的基於約瑟夫森效應的transmon量子比特，如前所述這個處理器不同之處在於量子比特的調控及讀出線，並不刻蝕在量子比特佈局的平面上，而是位於其上部另一層，比特層和調控層利用倒裝焊封裝在一起，所以是一種三維封裝技術。由於邊上一個量子比特不能正常工作，實驗利用了53個量子比特來進行工作。

每個量子比特處於方格頂點處，處於緊鄰格點的量子比特通過一個可快速開關的聯結器耦合在一起，耦合強度可達40MHz,

這樣設計的優點是兩量子比特邏輯門利用聯結器的開關來控制此較強的耦合，實驗中可在12納秒時間完成，比原來器件的兩比特門快速很多，大約只有原有器件的十分之一時間，由於量子比特的平均相干時間為16微秒，完成20層循環的量子線路系統仍將具有很好的相干性，保證了算法的實現。另外聯結器斷開時，每個比特的操控不會影響到其它比特，所以串擾效應很低，而過去的器件則必須對串擾進行修正，對全部比特單比特門的校正需要很大的工作量。

邏輯門錯誤率分別在兩種情況下進行標定，一種情況是僅單獨考慮執行邏輯門操作的比特，另一種情況是考慮多個量子比特同時有邏輯門操作在進行，實驗發現後一種情況錯誤率只有稍許增加，從0.15%增長為0.16%，表明多個邏輯門同時操作幾乎互不影響，兩比特邏輯門的錯誤率在單獨執行和同時多個在平行執行這兩種情況下分別為0.36%和0.62%，同樣相互間影響較小。另外讀出效率在單獨和同時兩種情況下分別為3.1%和3.8%。

各個邏輯門錯誤率相互獨立對量子線路整體的保真度刻畫非常關鍵，因為最終實現量子優勢的線路並不能直接給出或者計算出明確的保真度，而是通過類比得到的估計值，這個數據的可靠性依賴於邏輯門錯誤率互不影響這個基本假定。

量子處理器中的超導電路包含有除了量子比特外的高能級，其多佔據的幾率依賴於非諧性，器件平均非諧性為-208MHz，具有較低泄露錯誤率。

總體來説，谷歌量子處理器各個性能參數幾乎都處於世界先進水平，其中尤其是兩比特門保真度很高，應該是因為其耦合器結構，另外一個突出的特點是性能參數對所有53個量子比特一致性很高，數據方差很小，表明其器件製備工藝穩定。

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隨機量子線路採樣算法及其性質刻畫

隨機量子線路採樣的過程和完成的任務如下：利用53個量子比特執行隨機量子線路，通過測量得到系列的53位比特串，目標是得到的比特串集合其對應的量子線路振幅（幾率幅）平均值大於一個特定值，比如大於全部比特串的振幅平均值。簡單的説計算目標為：找出一個比特串子集，其在量子線路中的振幅較高。

前面討論時我們已經指出，量子優勢算法應涉及全部量子態空間，在全部53個量子比特上的隨機量子線路即滿足此條件，隨機量子線路因為沒有特定的結構，其量子態將包含所有可能性，導致量子線路的末態結果無法通過簡單的方法或者某種特徵預測，也即意味着基於此量子線路的採樣問題需要量子計算機執行該線路的邏輯門操作，而經典計算機需要直接計算，從計算複雜度上來説是一個難的問題。

具體到實驗，這個隨機量子線路的構成為：初始化後每個量子比特隨機執行一個單比特旋轉門，單比特旋轉門的集合由三種門構成，   ，分別為繞X軸,Y軸及X+Y軸的旋轉，，隨後一個量子比特通過四個聯結器中的一個和其緊鄰的量子比特做一個固定的兩比特邏輯門，同時注意到任意兩個兩比特門不能同時涉及到某個比特。這樣由全部比特的單比特門和部分比特的兩比特門構成了量子線路的一層循環，每層循環的單比特門選取是隨機的，最複雜的線路深度為m=20層循環， 共有1113個單比特門和430個兩比特門。實驗中，同樣一種隨機的線路會採樣百萬次左右。由於單比特門只有三種，而兩比特門又受限於方格狀結構，此線路並非完全隨機，而是偽隨機量子線路， 我們知道通用量子計算邏輯門可以由單比特任意旋轉門和兩比特門構成， 上述偽隨機量子線路也具有一定的普適性，滿足計算複雜度的要求。

執行隨機量子線路操作U後，我們會得到一個維度為253維希爾伯特空間的量子態，同時對53個量子比特進行測量，得到一個53位的比特串,, 即一次採樣結果，對確定的一種線路重複測量百萬次，即採樣百萬次，結果是百萬個比特串，。

現在我們來分析一下細節: 1) 53個量子比特的空間維數大約為，測量次數為， 比起維數D很小， 所以我們幾乎不能的幾率分佈

具體來説，採樣需要完成的計算任務為：給定一般的量子線路U和一個正數b，找出k個比特串，使之滿足不等式，

這裏b一般處於1到2之間，實驗中b並不先期給定，而是依賴於實驗的精度。明確的寫出這個式子為：，選取的k個比特，根據公式將可得到的平均值，可以相等，所以比特串有一定的權重，儘管k數據量較小。這個任務的要求是得到的比特串所對應的線路幾率幅平均值較大。

假設在採樣中出現的幾率為,我們將得到平均值,這個形式類似於一般的保真度的概念，但稍有不同，首先保真度是對所有D個幾率求和，這裏可以是一個子集，而且需強調k’指採樣的k個比特串中k’個不同的比特串,另外如果是實驗測量結果，應該符合量子力學原理。如果隨機選取k個比特串，或者以等幾率遍歷所有D個比特串，我們有， 這就是b=1的情況。

我們可以分別用經典計算機和量子計算機來完成這個計算任務，當然我們已經意識到這個計算任務本身是關於量子線路計算的，所以可以自然的利用量子計算機來處理。首先考慮如果不做任何計算，而是隨機的給出比特串集合，由於每個比特串的幾率幅平均值是1/D, D=253，如前所述得到的不等式是b=1的情況。經典計算機可以採取矩陣計算的方法來得到不同比特串的幾率幅，然後給出幾率幅較大的比特串即可完成任務，但是這個計算是難的問題。一種極端情況是任選一個比特串，計算檢查此比特串在給定量子線路中的振幅是否超過平均值，如果超過則全部個比特串都選此比特串，但理論已經證明，判斷一個比特串的振幅值是難的計算問題。

量子計算機的計算方法為執行完量子線路後測量，測到的k個比特串就滿足這個不等式，原因是如果測量量子態,需注意這是基，所以不同，而採樣到有些是相同的，根據量子力學原理，我們會以較大的幾率測量到幾率幅較大的比特串，所以傾向於能完成這個任務，即期望值為，這裏我們有k’個已歸一化的，如果量子計算機不發生錯誤，會期望，及測量到的幾率等於線路對應的幾率幅,這裏需考慮一個歸一化因子 r 因為採樣到的比特串是全部比特串的子集，測到的比特串將滿足b=2，, 下面將會有詳細證明。另外假設量子計算機測量次數,我們將得到全部的幾率分佈, 採樣問題也可簡單地解決。

這裏小結一下，量子計算機採樣得到的比特串集合將滿足 b 大於1，如果隨機給出比特串集合，得到的值是 b=1, 但是利用經典計算機計算在短期內達不到量子計算機同樣精度的結果。

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量子計算機保真度與隨機量子線路採樣算法的聯繫

考慮非常特殊的量子線路U，比如 為或者Greenberger-Horne-Zeilinger （GHZ）態，，採樣後得到的結果應該總是得，或者各半，理論上b會達到D或者D/2這種非常大的數字，但是一個普通的隨機線路U,如果沒有錯誤理論上的期望值為 b=2。如果噪音很大，我們測量得到任何比特串的幾率都是1/D, 和隨機選取比特串沒有區別，所以 b=1。谷歌團隊基於, 引入作為實驗中類似保真度的度量，稱為交叉熵保真度，對應於沒有錯誤發生，對應於噪音導致最終的量子態實際是最大混態，類似於白噪音。下面我們來解釋這些結論。

考慮噪音非常大的極端情況，即對應於最大混態，，這裏 I 是單位矩陣。每個比特串在量子計算機裏的實際幾率幅都是1/D, 即D個幾率幅全部集中於大小為1/D處，。那麼如果沒有噪音，一個隨機線路產生的量子態其比特串幾率幅分佈有無規律呢？是有規律的，即儘管特定的幾率幅對應的比特串是隨機的，但幾率幅分佈本身有規律可循。

對一個隨機量子線路，幾率幅處於的比特串佔比為,即是比特串密度（多少）按照其振幅的分佈函數，這個分佈函數符合Porter-Thomas分佈，當然分佈函數是歸一化的,計算中考慮 D 較大，這個歸一化式也意味着隨機選取比特串將得到 b=1。現在考慮量子計算機的採樣過程，幾率幅處於的比特串總數為, 即量子線路的疊加態應有這樣的形式，，根據量子力學原理這些比特串會以幾率 p 被採樣到，那麼採樣到的比特串個數為,即是量子計算機採樣時比特串密度按照振幅的分佈函數。已知採樣比特串的分佈函數，需要求得的平均值，可以得到，計算中已經用到 D較大這個條件，此結果意味着量子計算機如果沒有錯誤將得到 b=2。如果需要和前面的分離變量公式相對應，可以發現這裏實際是求在分佈函數下的期望值。總結起來，利用量子計算機採樣到的個比特串，其對應的量子線路中幾率幅平均值。

所以隨機量子線路中比特串個數按照振幅符合Porter-Thomas分佈是採樣算法中的一個基本假設，谷歌團隊指出，其隨機線路深度超過大約m=12時，此假設和實驗符合的很好。

至此我們已經知道，隨機的採樣或者噪音足夠強，會得到b=1, 而如果用量子計算機，理論上會得到b=2。對於有噪音的量子計算機，我們期望可以用交叉熵保真度來刻畫中間情況，,  處於0與1之間，可對應於量子計算機的正確率，交叉熵的定義為：,注意是量子線路中定義的的幾率幅， 而複雜線路中比特串的幾率幅是計算難的問題。算法任務需要確認確定性的大於0，谷歌團隊工作很重要的內容是估計交叉熵的大小。

對實現量子優勢的線路，交叉熵是無法明確得到的，所以只能採取估計的方法。估計算法中需要有兩個假設：1）量子計算機的所有錯誤的平均效果和一個退極化量子信道一致，即每個比特發生X,Y,Z三種錯誤的幾率相等，量子態密度矩陣寫為無錯誤密度矩陣和完全混態的幾率和形式。2）所有量子門操作相互間無影響，基於這個實驗的事實我們可以知道交叉熵保真度將按照循環層數m成指數衰減，而一層的交叉熵是所有邏輯門操作保真度相乘得到，即按照邏輯門數量成指數衰減。這樣我們可以估計出量子優勢線路的交叉熵。

為了驗證這樣的估計是合理而正確的，谷歌團隊利用簡化的量子線路作標定。可以預期量子線路的交叉熵只是和循環層數m相關，而和具體線路結構本身無關，這樣可以直接把量子優勢線路中53個量子比特分為相互間沒有兩比特門操作的兩組：直接去掉橫跨於兩組比特間的全部或者部分兩比特門,簡化的線路交叉熵是明確得到的，以此作為量子優勢線路交叉熵的估計值。在線路深度m較小時，估計值和真實值是近似相等的。可以確定最終的估計值是正確的，最複雜量子優勢線路的線性交叉熵保真度為0.2%。

谷歌團隊在200秒之內一種線路測量百萬次，得到採樣結果，可以使得b值從隨機選取比特串的1上升到至少1.002。

如果利用經典計算機怎樣來做到這樣的結果呢？谷歌團隊利用了不同的計算資源包括谷歌公司本身的服務器資源和美國的“頂點”超算來具體計算這個量子線路。簡單的説這個計算任務是系列隨機而確定的矩陣相乘作用到一個253維的向量上，最終算出向量的具體形式，採樣要求找出向量中模較大的元素位置，類似於説明其在超維空間中的指向。這裏矩陣對應於邏輯門，向量對應於量子比特。谷歌團隊採用了數種方法來計算，如薛定諤算法對應的全振幅或者薛定諤-費曼算法先計算部分比特後黏貼為整體的方法，並估計在一個合理的時間段裏，經典計算機並不能完成量子計算機同樣的任務，當然在評估時間時已經考慮到交叉熵保真度的大小問題，使得互相比較處於平等條件。

谷歌在其文章中已經指出更優的經典算法會被發現，但是這個進步將會被更先進的量子處理器所超越。

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量子優勢算法展望與討論

隨機量子線路採樣實現量子優勢依賴於先期理論和實驗對此問題的深入探索，在更多研究組和各種實驗平台都接近實現量子優勢所需要的最低要求時，除了實驗技術的繼續進步，方案的選擇也需要更多的關注和研究。

隨機量子線路採樣本身當然是一個選擇，可以選取不同的實現方法，比如不同於邏輯門操作，而是選取依賴於平台的易於實現的量子操作，其隨機性可以施加於單比特上的旋轉變換，也可選取對應於多比特量子線路中某些關聯參數，但是這種選擇應該滿足兩個條件，1）經典模擬線路是一個難的問題，2）量子計算的正確率需要準確的估計。

量子多體物理和統計的某些問題應該是大家期待的方案，也具有科學價值，具體可以考慮與自旋玻璃基態相關的課題，比如利用量子退火算法和經典蒙卡計算的比較。與量子化學、機器學習和大數據等結合的量子計算方案，也是非常有前景的選擇。

應該説明確刻畫一個量子計算機易於解決而經典計算機難於計算的問題本身是一個創新性問題，相信更多研究人員的關注會促進這個方向的發展。

谷歌團隊也研究了測量統計漲落和不確定度問題，對經典計算機的計算時間的估計問題，測量效率問題等。當然值得討論的問題也很多，比如線路構造的隨機性問題，隨機線路比特串幾率幅分佈的統計問題，交叉熵保真度還較小問題等等，但是技術的進步是顯然的，算法的每種選擇總會帶來相應的問題，這些問題都是今後這個方向後續工作的價值。最後説明一下，解讀不能替代對原文的閲讀，也許解讀本身就是某種曲解。

致謝：感謝物理所向濤院士，許凱副研究員，國科大張富春教授，蘇剛教授，天津大學李新奇教授，浙江大學王浩華教授，物理所研究生葛自勇，孫政杭等就相關課題所進行的多次深入討論。筆者曾在不同場合數次講解討論過谷歌團隊的文章，儘管谷歌團隊的文章有詳細的結果展示，筆者仍希望中文解析和展望文章能有助於大家對谷歌進展的瞭解。

參考文獻

[1] Arute F et al., Quantum supremacy using a programmable superconducting processor, 2019 Nature. 574 505，and Supplementary Information.