硬核預警：量子力學的九種形式
本文來源：微信公眾號“中科院物理所”
摘要
本文介紹非相對論量子力學的九種形式。它們分別是波動形式，矩陣形式，路徑積分形式，相空間形式，密度矩陣形式，二次量子化形式，變分形式，導航波形式和哈密頓-雅可比形式。同時還提到多世界詮釋和交易詮釋的理論。總體上來看這幾種形式在數學表示上以及概念上都有明顯的區別，但它們卻對實驗結果做出了完全相同的預測。
一、為什麼關心多種表示形式？
經典力學的高級課程會花費很多時間來探討經典力學的各種形式——牛頓力學，拉格朗日力學，哈密頓力學，最小作用量原理等（可以參見附錄A）。但這些在高級量子力學課程上卻沒有出現！事實上，甚至在研究生課程中也都在一致地強調波動形式，而幾乎不重視其它幾種形式。之所以這樣做，原因是顯而易見的——即使只學習量子力學的一種形式都已經很難了。但必定有聰明的同學會有疑問，既然我們能學幾種經典力學的形式，那麼為什麼就不能學幾種量子力學的形式呢。本文介紹了九種量子力學的形式。
既然這些力學形式會對實驗結果給出完全相同的預測，我們為什麼還要學這麼多呢？我想至少有三個原因使我們需要學習它們。第一，有些問題用一種形式表示很困難，而用另一種形式表示則將變得容易得多。例如經典力學中拉格朗日力學允許出現廣義座標，在很多情況下它要比牛頓力學容易一些。第二，不同的形式將給人以不同的視角。例如在經典力學中牛頓力學和最小作用量原理分別用不同的圖示來展現“世界是怎麼運行的”。第三，不同的形式在不同的情形下很容易推廣到新的理論中。例如，拉格朗日力學可以相當容易地從保守經典力學推廣到保守相對論力學，而牛頓力學則可以很容易地從保守經典力學中推廣到經典耗散力學。正如化學家E.Bright Wilson所説：
“我過去常常去找J.H.Van Vleck，向他請教量子力學方面的問題。我發現他非常有耐心，而且非常樂於幫助我。但有時他會用一種混合了波動力學，算符積分以及矩陣運算的大雜燴給我講，這讓我這個勉強是薛定諤方程新信徒的人倍感苦惱。我不得不學着用另一種語言來思考，當然這些對我來説也是絕對有必要的。”
當然想要歷數這些形式，不可避免地要分清什麼是量子力學的“形式（formulations）”，什麼是量子力學的“詮釋（interpretations）”。我們在此的目的只是去分清不同的數學形式，但數學形式還是會影響概念的解釋（或受概念解釋的影響），所以這種區分方法的輪廓絕不可能是清晰的。我們也意識到別的人可能會有完全不同的劃分方法。此外還有一個附加的困惑，哥本哈根解釋這個術語包含甚廣，但定義卻非常不嚴格。例如哥本哈根的兩個主要奠定者之一維納 . 海森堡曾説過“位置的觀測會影響動量”，而尼爾斯.波爾則特別反對“相”的概念，我們經常會發現他在物理著作中提到諸如“測量會干擾現象”的話。
附錄A：經典力學的各種形式
我們知道的經典力學的形式有以下幾種：
牛頓力學
拉格朗日力學
哈密頓力學
哈密頓原理（費曼和朗道稱作最小作用量原理）
莫陪督最小作用量原理（也與歐拉、拉格朗日、雅可比等人有關）
最小約束（高斯）
最小曲率（赫茲）
吉布斯-阿佩爾
泊松括號
朗格朗日括號
劉維爾方程
哈密頓-雅可比方程
這些形式在任何一本經典力學教科書中都或多或少地談論過。在這本書中有對它們清晰、廣泛地研究：
E. T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, 4th ed. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1937 .
二、九種形式
1、矩陣形式（海森堡）
沃納·海森堡
量子力學的矩陣形式，由海森堡於1925年發展出來。這是第一種被發現的量子力學形式。而現在廣泛被應用的薛定諤的波動形式則比矩陣形式的發現晚大概六個月。
在矩陣形式中，每一個力學觀測量（例如位置、動量或能量）在數學上都被表示為一個矩陣（也稱作一個算符）。對一個有N（大多數情況下N=∞）個態的系統來説，這些矩陣將是一個 ×的厄米矩陣。一個量子態 | 數學上就表示為 一個 ×1的列矩陣。
與實驗結合
假設觀測量的值由算符 表示。然後對於任意函數()，在| 態測量()的期望值則為
|()|
這個式子不只是依賴於，還依賴於()。它不僅可以用來求期望值，還可以用來求不確定性（只需要取
）。事實上，還可以由()來求本徵值的譜。如下：考慮一個實數集1, 2, 3, … 以及非負函數
那麼集合1, 2, 3, …將構成的本徵值，當且僅當
在矩陣形式中特別強調算符的地位，本徵問題在其中看起來是如此地自然。但人們也發現了它在計算含時變量或考慮全同粒子時卻不那麼自然了。這些問題在隨後二次量子化中則可以很自然地解決。
含時性
與觀測量能量相應的算符稱為哈密頓量，表示為
。任何一個算符隨時間的變化為
而|態不隨時間變化。
應用
在很多應用上（或許是大多數），波動力學相較矩陣力學都更直接。但一個例外是，對於諧振子的問題，波動力學要用晦澀難懂的厄密多項式來解決，而矩陣力學的算符分解的技巧（升、降階算符）則要清晰容易的多。同樣，在角動量的討論中也用到了相同的技巧。更廣義的分解方法（下面Green的書中有描述）可以解決更廣義的問題，不過其帶來的複雜性也使得用波動方程看起來更經濟一些。
推薦參考
現代對量子力學的處理大多是混合了波動和矩陣形式，但更強調波動的一面。若想參考那些較為強調矩陣形式的文獻，我們推薦
1. H. S. Green, Matrix Mechanics P. Noordhoff, Ltd., Groningen, The Netherlands, 1965 .
2.T. F. Jordan, Quantum Mechanics in Simple Matrix Form Wiley, New York, 1986 .
歷史
矩陣力學形式是多種量子力學形式中第一個被發現的。原始文獻有
3. W. Heisenberg, “Uber die quantentheoretische Umdeutung kinematis- cher und mechanischer Beziehungen”, “Quantum-theoretical re- interpretation of kinematic and mechanical relations” , Z. Phys. 33, 879–893 1925 .
4. M. Born and P. Jordan, “Zur Quantenmechanik,” “On quantum me- chanics” , Z. Phys. 34, 858 – 888 1925 .
5. M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, “Zur Quantenmechanik II”, Z. Phys. 35, 557–615 1926 .
這三篇文獻（還有一些別的）被譯成英文
6. B. L. van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics North-Holland, Amsterdam, 1967 .
不確定原理在該理論成型兩年後提出
7. W. Heisenberg, “U ber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretis- chen Kinematik und Mechanik”, “The physical content of quantum kinematics and mechanic” , Z. Phys. 43, 172–198 1927 English translation in J. A. Wheeler and W. H. Zurek, editors, Quantum Theory and Measurement Princeton University Press, Princeton, NJ, 1983 , pp. 62 – 84 .
2、波動形式（薛定諤）
埃爾温·薛定諤
相比矩陣形式，量子力學的波動形式把注意力從“可測量”轉移到了“態”上。兩粒子的系統的態（忽略自旋）數學上表示為一個六維位形空間的複函數，即
另一種等價的選擇是，我們可以在六維動量空間中表示這個態
薛定諤引入這種形式的目的是希望能夠把量子力學寫成一種符合直覺的形式。但最終他很失望，因為他發現他的波函數只能存在於位形空間，而不是實際的三維空間。波函數應當被看作是一個計算觀測結果的數學工具，而不是一個存在於空間中的物理實體（像足球、氮分子，或電場）。（參考附錄B）
含時性
位形空間波函數隨時間改變的方式為
其中粒子的質量分別為m1,和m2，而V(x1, x2)是經典勢能函數。等價的，在動量空間波函數隨時間的改變為
其中是能函數的傅里葉變換為
在測量一個物理量之後，波函數塌縮到一個與該物理量相應的本徵函數上。
能量本徵態
很多態都沒有一個確定的能量。它們的本徵方程是
其能譜可能是離散的（量子化的）也可能是連續的，這取決於勢能函數V(x1, x2)和能量的本徵值。
全同粒子
如果兩個粒子是全同的，那麼波函數在下標變換的情況下將是對稱的或反對稱的
這取決於這兩個粒子是波色子還是費米子。這個關係對於動量空間的波函數也同樣成立。
推薦參考
大多數量子力學的文獻都較為強調波函數形式。其中相對較好的教材有
8. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, translated by J. B. Sykes and J. S. Bell, 3rd ed. Pergamon, New York, 1977 .
9. A. Messiah, Quantum Mechanics North-Holland, New York, 1961 .
10. D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics Prentice–Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1995 .
11. R. W. Robinett, Quantum Mechanics: Classical Results, Modern Sys- tems, and Visualized Examples Oxford University Press, New York, 1997 .
歷史
薛定諤在下面這篇文章中第一次寫下位形空間中的能量本徵方程
12. E. Schro dinger, ‘‘Quantisierung als Eigenwertproblem Erste Mittei- lung ,’’ ‘‘Quantization as a problem of paper values part I ’’ , Annalen der Physik 79, 361–376 1926 .
他在五個月之後寫下含時方程（他稱之為“真正的波動方程”）
13. E. Schro dinger, ‘‘Quantisierung als Eigenwertproblem Vierte Mittei- lung ,’’ ‘‘Quantization as a problem of proper values part IV ’’ , An- nalen der Physik 81, 109–139 1926 .
英譯版本
14. E. Schro dinger, Collected Papers on Wave Mechanics Chelsea, New York, 1978 .
附錄B 規範變換
波函數在大多數量子力學討論中都扮演着中心的角色，以至於我們很容易陷入一種思維模式中，即認為波函數不再是一個數學工具，而是一個物理實體。但考慮一下這個問題，或許我們就不會再這麼認為了。假設一個帶電粒子（電荷q）在一個電場中運動，電場可以由一個標量勢(x, t)和矢量勢A(x, t)描述。那麼位形空間的薛定諤方程為
另一方面，我們可以用規範變換勢來描述同一個系統
我們可以證明用新的勢來描述的波函數與原來的波函數之間有這樣的關係
規範變換並沒有改變這個系統，不管採用哪一種規範變換，我們計算得到的實驗結果都是一樣的。然而波函數卻實實在在地發生了變化。（其實，概率密度在規範變換下不能也不會改變，所以我們可以隨意地選擇位相，而位相對干涉的響應有貢獻）。
3、路徑積分形式（費曼）
理查德·費曼
路徑積分形式（也稱為歷史求和形式）把我們的注意力從“態”轉移到了“轉移概率”上。例如，假設有一個粒子在時間位於x，我們希望求出在時間f時該粒子位於xf的概率有多大。這個概率的值可以這麼算：
列舉出從初態到末態的所有經典路徑；
計算每一條路徑的經典作用量 = ∫();
給每條路徑分配一個正比於 /的“轉移振幅”（調整比例係數以滿足歸一性）;
對所有路徑的振幅求和（因為路徑是連續的，所以這裏的求和實際上是一種積分，稱之為“路徑積分”）;
求和的結果就是從初態到末態的轉移振幅，其平方即轉移概率。
對別的不同的問題，例如對於粒子從一個動量變到另一個動量，或初態既沒有確定的位置也沒有確定的動量的情況，上面的程序就需要稍做調整了。
應用
在非相對論量子力學中，用路徑積分直接解決問題往往不會很容易。但另一方面，在物理和化學的其他方面卻有大量的應用，特別是在經典量子場論以及統計力學中。例如，在量子體系的蒙特卡羅模擬中，路徑積分方法是一個很強大的工具。
15. M. H. Kalos and P. A. Whitlock, Monte Carlo Methods Wiley, New York, 1986 , Chap. 8.
此外，很多人覺得這種形式更有吸引力，因為其數學形式更接近經驗——核心是轉移概率，而不是觀測不到的波函數。因此在教學中路徑積分也是很有效的。
16. E. F. Taylor, S. Vokos, J. M. O’Meara, and N. S. Thornber, “Teaching Feynman’s sum over paths quantum theory”, Comput. Phys. 12, 190– 199 1998 .
全同粒子
路徑積分的這套程序可以直接推廣到多個非全同粒子或幾個全同的玻色子。（這裏的“路徑”現在意味着幾個粒子的軌道）不過這套程序卻不能同樣地直接應用到全同費米子，不然的話費米子和玻色子表現得就完全一樣了。
圖 1 如果兩個粒子是全同費米子，那麼有交換性的路徑的振幅，如III和IV，在求和前必需乘以-1.
對全同費米子來説，正確方法需要再加入一個步驟。當列舉從時間的初態到時間f的末態的所有經典路徑時（圖1），注意有一些路徑相對於其他路徑交換了粒子（圖1中，在路徑III和路徑IV交換了粒子，而路徑I和路徑II沒有）。對於費米子路徑的振幅分配其實是和前面講的完全一樣的，只是求和之前，要在那些交換了粒子的路徑前乘上一個“-”號。（這其實是泡利定理：在你的腦海裏，把兩個粒子末態f相互靠近。隨着間隔越來越小，路徑I的振幅將和路徑III的振幅一致，同樣，每一個無交換路徑也將和有交換路徑一致。由於因子 -1，在求和過程中這些振幅相消。因此兩個全同費米子不能移動到同一個位置。）
這個符號調整對於人類來説並不困難，但對計算機來説卻造成了一個很大的挑戰（被稱之為“費曼符號問題”）。以下量子蒙特卡羅模擬的文獻中，有對這個問題的討論：
17. N. Makri, “Feynman path integration in quantum dynamics”, Comput. Phys. Commun. 63,389-414 1991.
18. S. Chandrasekharan and U.-J. Wiese, ‘‘Meron-cluster solution of fer- mion sign problems,’’ Phys. Rev. Lett. 83, 3116–3119 1999 .
推薦參考
19. R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Inte- grals McGraw-Hill, New York, 1965 .
20. D. F. Styer, ‘‘Additions and corrections to Feynman and Hibbs,’’ http:// www.oberlin.edu/physics/dstyer/TeachQM/Supplements.html.
21. L. S. Schulman, Techniques and Applications of Path Integration Wiley, New York, 1981 .
歷史
這種形式是在這篇文章裏發表的
22. R. P. Feynman, ‘‘Space–time approach to non-relativistic quantum mechanics,’’ Rev. Mod. Phys. 20, 367–387 1948 .
4、相空間形式（魏格納）
一個限制在一維上的單粒子，魏格納相空間分佈函數為
這個函數有很多有用的特性：
函數本身是純實數，可正可負；
對動量的積分可以給出位置的概率密度
對位置的積分可以給出動量的概率密度
如果用一個常數相因子替代波函數ψ，魏格納函數不變。
給出W(x, p, t)，我們能通過兩步求出波函數。首先進行傅立葉變換
然後選擇任意一點x0，其中W(x0, p, t)不等於零，得
魏格納函數並不是相空間中的概率密度——按照海森堡的不確定原理是沒有這樣的實體存在。但它還是具有幾個相同的特性的，因此用“分佈函數”這個詞應該更恰當一些。
含時性
其中核K(x, p)為
全同粒子
如果波函數在交換中是對稱或反對稱的，那麼魏格納函數將是對稱的
這當然並不意味着玻色子和費米子在這種形式中表現的一樣：由前面方程求得的波函數在交換時仍會顯示出原有的對稱性。不過這確實表明了在相空間形式中，交換對稱性比在波函數形式中更難判斷。
應用
對於態體系（N也許等於∞）,波函數由N個複數以及所有的相位多值（即2N 1個實數）描述。對於同一個體系，魏格納函數需要N2個實數。很明顯，魏格納函數並不是一個記錄量子態信息最經濟的方式。魏格納函數在以下情況會比較有用，即相比較為經濟的波函數形式，從冗餘的魏格納函數會更容易得到需要的信息。（例如，動量密度只需要魏格納函數對位置一個簡單的積分即可得到，而從共形空間波函數得到動量密度則需要傅立葉變換的平方）
很多問題，尤其是量子光學上的問題，都可以歸入到這裏。可以參考如下的文獻：
23. D. Leibfried, T. Pfau, and C. Monroe, ‘‘Shadows and mirrors: Recon- structing quantum states of atom motion,’’ Phys. Today 51, 22–28 1998 .
24. Y. S. Kim and W. W. Zachary, editors, The Physics of Phase Space Springer-Verlag, Berlin, 1987 .
建議參考
25. Y. S. Kim and E. P. Wigner, ‘‘Canonical transformation in quantum mechanics,’’ Am. J. Phys. 58, 439–448 1990 .
26. M. Hillary, R. F. O’Connell, M. O. Scully, and E. P. Wigner, ‘‘Distribution functions in physics: Fundamentals,’’ Phys. Rep. 106, 121–167 1984 .
歷史
相空間形式由此文首次提出
27. E. P. Wigner, ‘‘On the quantum correction for thermodynamic equilibrium,’’ Phys. Rev. 40, 749–759 1932 .
5、密度矩陣形式
一個純態|ψ的密度矩陣是其外積
如果給出密度矩陣，那麼量子態|ψ可以通過這個方法來獲得：首先選擇任意態|，於是右矢|ψ（未歸一化）等於
（只要這個量不等於零）。
密度矩陣也可以（雖然很少）叫做“密度算符”。就像其他的量子力學算符一樣，密度算符與所選擇的基態無關，但是算符矩陣的元素
的大小取決於基態選擇。
密度矩陣形式在處理統計力學知識時非常強大。例如，如果不知道一個系統的態的具體信息，但是知道是在三個態中的一個——|ψ（概率為pψ）, |（概率為p），|χ（概率為px）。這個系統我們稱之為“混合態”（與“純態”對立）。一個混合態不可以表示為
這是三個原始態的疊加態。同樣的，混合態的密度矩陣為
本小節接下來所有的結果都可以應用到純態和混合態中。
含時性
密度矩陣隨時間的變化
其中
是哈密頓算符。（注意：這裏的式子與矩陣形式中算符隨時間演化的式子有一個符號差）
全同粒子
密度矩陣，和魏格納相空間分佈函數一樣，在全同粒子交換位置的情況下保持不變，不管它是玻色子還是費米子。和魏格納分佈一樣，這也並不意味着對稱性和反對稱性波函數將會表現的一樣；這只是意味着兩者的差異隱藏在了密度矩陣中，而不是實際地顯示出來。
應用
對於N態體系（N也許等於∞）,一個純態波函數由N個複數以及所有的相位多值（即2N 1個實數）描述。而同一個系統，密度矩陣需要N個實對角元素加上N(N 1)/2個覆上對角元素，也即共N2個實數來描述。然而，通過對這些密度矩陣的跡的操作，加上可以處理混合態，密度矩陣形式可以在物理的多個領域有應用。特別是這個公式
簡直就是量子統計力學的咒語。
推薦參考
28. U. Fano, ‘‘Description of states in quantum mechanics by density matrix and operator techniques,’’ Rev. Mod. Phys. 29, 74–93 1957 .
29. K. Blum, Density Matrix Theory and Applications, 2nd ed. Plenum, New York, 1996 .
歷史
密度矩陣在此文首次提出。
30. J. von Neumann, ‘‘Wahrscheinlichkeitstheoretischer Auf bau der Quan- tenmechanik,’’
‘‘Probability theoretical arrangement of quantum me- chanics’’ , Nachr. Ges. Wiss. Goettingen,245–272 1927 , reprinted in Collected Works Pergamon, London, 1961 , Vol. 1, pp. 208–235.
6、二次量子化形式
這種形式起重要作用的是生成和湮滅（粒子）算符。其發展與量子場論有關，在量子場論中這些作用（生成／湮滅）是真實的物理效應（例如，一個電子和一個正電子湮滅生成一個質子）。不過這種形式卻有着廣泛的應用領域，特別是可以應用到系統包含大量（但卻恆定）全同粒子的多粒子理論當中。
這種形式不幸的名字要歸因於歷史原因——是站在非相對論量子力學的角度起的名字。更好的名字應該叫“佔有數形式”。
二次量子生成算符
會在量子態|ψ “生成”一個粒子。單粒子態是由
作用到一個沒有粒子的態（真空態）|0上形成的。因此下面這幾個不同的表示都是描述的相同的單粒子態
所以如果只考慮單粒子體系的話，二次量子化形式和波函數形式是等價的（甚至看起來有些笨拙）。
多粒子體系會怎麼樣呢？假設|ψ，|和|χ是正交的單粒子態。那麼一個具有兩個全同粒子的態是由真空態生成兩個粒子產生的，例如
。如果這兩個全同粒子是玻色子，那麼
如果是費米子
這説明了一個廣義的規則：玻色子生成算符滿足對易關係
費米子生成算符滿足反對易關係
（這裏反對易標記{A, B} = AB + BA。）二次量子化標記在多粒子體系中的有明顯的優勢。很多物理學家同意下面這兩個式子是等價的：
顯然用第一個更簡單。如果還沒感覺，可以看看下面這個對比
其等價形式為
當然二次量子化最大的優點還不僅僅是使標記變得簡潔。波函數形式允許你——事實上，它很容易使你——寫下這樣的表達式
這個表達式在交換下既不是對稱的也不是反對稱的，所以這個表達式不會是任何全同粒子的量子態。但波函數形式並沒有提供任何明顯的警告説這個表達式是不合法的。而作為對比，在二次量子化形式中，根本就不可能寫出一個像上面這樣的表達式——對稱性（或反對稱性）會通過生成算符的對易關係（或反對易關係）自動具備，所以在二次量子化形式中只有合法的態才會被表達。由於這個原因，二次量子化形式在多粒子理論中被廣泛的使用。
推薦參考
31. H. J. Lipkin, Quantum Mechanics: New Approaches to Selected Topics North-Holland,Amsterdam, 1986 , Chap. 5.
32. V. Ambegaokar, ‘‘Second quantization,’’ in Superconductivity, edited by R. D. Parks MarcelDekker, New York, 1969 , pp. 1359–1366.
33. W. E. Lawrence, ‘‘Algebraic identities relating f irst- and second- quantized operators,’’ Am. J.Phys. 68, 167–170 2000 .
這本書中有對二次量子化形式應用的廣泛討論:
34. G. D. Mahan, Many-Particle Physics, 3rd ed. Kluwer Academic, New York, 2000 .
歷史
二次量子化由狄拉克研究光子時引入，隨後由約旦（Jordan）和克萊因（Klein）擴展到有質量玻色子，由約旦和魏格納擴展到費米子。
35. P. A. M. Dirac, ‘‘The quantum theory of the emission and absorption of radiation,’’ Proc. R.Soc. London, Ser. A 114, 243–265 1927 .
36. P. Jordan and O. Klein, ‘‘Zum Mehrko rperproblem der Quantentheo- rie,’’ ‘‘On themany-body problem in quantum theory’’ , Z. Phys. 45, 751–765 1927 .
37. P. Jordan and E. Wigner, ‘‘U ber das Paulische A quivalenzverbot,’’ ‘‘On the Paulivalence line prohibition’’ , Z. Phys. 47, 631–651 1928 .
狄拉克和約旦-魏格納的文章被重印。
38. J. Schwinger, editor, Selected Papers on Quantum Electrodynamics (Dover, New York, 1958).
7、變分形式
“變分形式”很容易和更為常見的“變分原理” 搞混。後者是給基態能量提供一個限制，而變分形式則可以給描述所有態（不只是基態）及其隨時間的演化（不只是能量）提供一個完整的圖像。變分形式類似於經典力學中的哈密頓原理。
在這種形式中核心概念仍然是波函數
，但其隨時間演化的規則不再是薛定諤方程。讓我們再一次考慮一個非相對論的忽略自旋的兩粒子體系。在所有可能的歸一化波函數
，正確的那個波函數必需滿足使時間和共形空間的積分作用量達到極小值：
其中“拉格朗日密度”為
這裏Im{z}的意思是的虛部。不難證明一點，即此處的極小值準則等價於薛定諤含時方程。
應用
在實際應用層面，這種形式可以直接和變分原理聯繫在一起，用來估計基態能量。在基礎理論層面，我們注意到場變分技巧常常規定物理規律的形式必須滿足洛倫茲不變性。這在以下三個方面扮演着很重要的角色：
1）在電磁理論中
39. J. Schwinger, L. L. DeRaad, Jr., K. A. Milton, and W. Tsai, Classical Electrodynamics Perseus Books, Reading, MA, 1998 , especially Chaps. 8 and 9,
2）在廣義相對論（希爾伯特形式）中
40. C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation Freeman, San Francisco, 1973 , Chap. 21,
3）量子場論中
41. C. Itzykson and J.-B. Zuber, Quantum Field Theory McGraw-Hill, New York, 1980 .
正是由於這個原因，現在人們更喜歡以變分形式作為工具把物理拓展到新領域。例如超對稱弦／膜：
42. E. Witten, ‘‘Reflections on the fate of spacetime,’’ Phys. Today 49, 24–30 April 1996 .
43. E. Witten, ‘‘Duality, spacetime and quantum mechanics,’’ Phys. Today 50, 28–33 May 1997 .
但是，在以下這些情況中，變分形式並不直接參與其中：
1）具有固有的非相對論性質；
2）涉及時間和共形空間的積分，而不是時間和物理空間的積分。
推薦參考
44. P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics McGraw-Hill, New York, 1953 , pp. 314–316 and 341–344.
【注意：在這份參考文獻中拉格朗日密度的定義與前文中的有相反的符號，所以Morse和Feshbach的積分作用量在正確的波函數下是極大值，而不是極小值】
歷史
這種形式源於該文獻（同一篇文章，介紹了有質量玻色子的二次量子化）：
8、導航波形式（德布羅意-波姆）
路易·維克多·德布羅意
我們用一個電子和一個質子（忽略自選）系統的例子來概括導航波形式。在經典力學中這個系統在數學上用三維中兩個點的運動軌跡來描述。在波函數形式中這個系統由包含六維共形空間的復值波函數描述。在導航波形式中這個系統則同時由物理空間中的兩點和共形空間中的波函數描述。波函數在此稱為“導航波”，這個導航波（依據其經典勢能函數）給兩個點提供信息告訴它們該怎麼運動。
導航波形式最常引用的版本是波姆的（但也應該看一下Durr，Goldstein、Zanghi等的版本）。在波姆的版本中波函數的形式為
如果我們定義量子勢依賴於態
那麼我們的導航波隨時間的演化為
及
其中
第一個方程類似於一個哈密頓-雅可比方程；第二個方程就像一個連續性方程，其中P代表概率密度。
這兩個點粒子運動的加速度為
及
換句話説，力不僅僅由經典勢的梯度提供，還有量子勢的梯度。點粒子的初始勢能是不確定的：對於系統整體，初始勢的概率密度為
。因此和質子有關的粒子及和電子有關的粒子都有一個確定的位置和動量；不過初始的整體不確定性及量子勢共同使得對任何一個系綜的測量集都必然滿足ΔxΔp ≥ /2。
波函數改變時，量子勢
會在共形空間中立即改變，這種機制對量子力學中典型的非局域相關性有貢獻。當然有一個更自然的機制阻止了人們把這種即時改變用到超光速的信息交流。
應用
要用導航波形式，我們必須同時計算軌跡和波函數，所以並不奇怪，在計算上對於大部分問題這種形式都是非常複雜的。例如雙縫干涉現象，這個常常會在大二現代物理問題中用波函數形式解決，但在導航波形式中則需要很高的計算技巧：
46. C. Philippidis, C. Dewdney, and B. J. Hiley, ‘‘Quantum interference and the quantum potential,’’ Nuovo Cimento Soc. Ital. Fis., B 52, 15–28 1979 .
但另一方面，導航波形式在考慮量子力學基本特性的問題上卻很有效。例如貝爾（John Bell）關於定域性的劃時代理論，其量子理論就受到導航波形式的啓發。且很多聰明的研究者發現導航波形式本身具有很深刻含義。例如：
47. J. S. Bell, ‘‘Six possible worlds of quantum mechanics,’’ in Possible Worlds in Humanities, Arts and Sciences: Proceedings of Nobel Sympo- sium 65, 11–15 August 1986, edited by S. Alle n Walter de Gruyter, Berlin, 1989 , pp. 359 – 373. Reprinted in J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1987 , Chap. 20, pp. 181–195.
48. H. P. Stapp, ‘‘Review of ‘The Undivided Universe’ by Bohm and Hi- ley,’’ Am. J. Phys. 62, 958–960 1994 .
推薦參考
49. D. Bohm, B. J. Hiley, and P. N. Kaloyerou, ‘‘An ontological basis for the quantum theory,’’ Phys. Rep. 144, 321–375 1987 .
50. D. Bohm and B. J. Hiley, The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory Routledge, London, 1993 .
51. D. Du rr, S. Goldstein, and N. Zangh , ‘‘Quantum equilibrium and the origin of absolute uncertainty,’’ J. Stat. Phys. 67, 843–907 1992 .
歷史
路易斯.德.布洛意在1927年索維會議上首次提出這種形式。但該想法的主要發展開始於：
52. D. Bohm, ‘‘A suggested interpretation of the quantum theory in terms of ‘hidden’ variables, I and II,’’ Phys. Rev. 35, 166–179 and 180–193 1952 .
9、哈密頓-雅可比形式
威廉·哈密頓
經典哈密頓-雅可比形式可以系統地找到變量的變化，因此由此導出的運動方程是完備的。特別是，其結果如果用另外一組稱為“作用角”形式的新變量表示，那麼我們可以無需知道運動本身是什麼樣的，就能得到週期運動的週期。
經典哈密頓-雅可比理論給量子力學的發展提供了重要的啓發。（狄拉克的“變換理論”也同樣強調了變量變換的方法，Wilson-Sommerfeld版的舊量子理論依賴於作用角的變量。）但直到1983年Robert Leacock和Michael Pagdett對其作出拓展，才被認為是一個完整的哈密頓-雅可比形式的量子力學。這種形式的核心概念是“哈密頓原理函數”
，於是
【注意：這個函數可能是復的，這裏的S不是導航波中定義的S】哈密頓原理函數滿足量子哈密頓-雅可比方程
【注意：“量子哈密頓-雅可比方程”這個名稱除了應用於這個方程，也應用於導航波方程】
如果其結果換成以作用角的形式表示，那麼這個形式可以在不需要知道本徵函數的情況下得到能量本徵值。
推薦參考
53. R. A. Leacock and M. J. Padgett, “Hamilton–Jacobi/action-angle quan- tum mechanics”, Phys. Rev. D 28, 2491–2502 1983 .
54. R. S. Bhalla, A. K. Kapoor, and P. K. Panigrahi, “Quantum Hamilton– Jacobi formalism and the bound state spectra”, Am. J. Phys. 65, 1187– 1194 1997 .
55. J.-H. Kim and H.-W. Lee, “Canonical transformations and the Hamilton–Jacobi theory in quantum mechanics”, Can. J. Phys. 77, 411–425 1999 .
10、總結和結論
我們上面已經討論了九種不同形式的量子力學。在這個過程中我們學到了什麼？可能我們在經典力學中已經領教過了，而且在日常生活中也學到過，即：“沒有萬能藥”。這裏的每一種形式都會在一些應用上更容易或者理論的某些方面更明晰，但是沒有一個形式能夠成為“通往量子力學的捷徑”。量子力學在我們經典的眼睛中看起來很奇怪，所以當直覺欺騙我們時，我們採用數學作為我們的可靠指南。這幾個各種形式的量子力學可以重新組織這種奇異性，但它們不能把這種奇異性給消除掉。
矩陣形式，被發現的第一種形式，在解決諧振子和角動量問題中很有用，但用來解決其它問題就比較困難了。最流行的波函數形式是解決問題的標準形式，但卻給人留下一個概念上的錯誤印象——讓人誤以為波函數是一個物理實體，而不是一個數學工具。路徑積分形式在物理上是吸引人的，且能夠推廣到超出非相對論量子力學的領域當中去，但其大多數的應用上都是很費力的。相空間形式在考慮經典極限時是很有用的。密度矩陣形式可以很容易地處理混合態，所以它在統計力學中有特別的價值。這對二次量子化形式也是正確的，特別是當系統包含大量全同粒子時，二次量子化尤為重要。變分形式在應用上很少會是一個好的工具，但在把量子力學推廣到未知領域卻有着很大的價值。導航波形式給出了一些概念性的問題。而哈密頓-雅可比形式則方便我們去解決其他一些難處理的約束態問題。
我們很幸運地生活在這樣一個宇宙，自然提供給我們了這樣的恩賜。
三、附加問題
本節探討兩種量子力學的詮釋（這兩種詮釋也可能會被視作量子力學的形式），然後簡單討論一點四個別的內容。
1、多世界詮釋（埃弗雷特（Everett））
多世界詮釋處在“形式”和“詮釋”的邊緣————事實上其創始人休.埃弗雷特（Hugh Everett）稱之為“相對態形式”，不過布萊斯.德威特（Bryce DeWitt）給它命名的“多世界詮釋”流傳更廣。
在這種詮釋中，沒有“波函數的塌縮”這回事。這個時候問題從“世界中發生了什麼？”變成“一個特定的故事線上發上了什麼？”。這種觀點的改變可以用一個例子很好地説明：如果一個女科學家不能下定決心是結婚還是推掉婚約，她沒有拋硬幣來決定，而是將一個圓偏振的光子發射到偏振片上，如果從偏振片中出來一個線偏的光子，光子探測器將記錄下這個信號，並觸發一個鈴鐺響起。這個女科學家事先決定，如果鈴響她就出嫁；否則她就保持單身。在波爾的量子力學版本中，問題將是“發生了什麼”，答案是這個女科學家有50%的可能結婚，50%的可能推掉婚約。而在埃弗雷特的版本中，問“發生了什麼”是不正確的，因為這兩件事都發生了：有一條故事線是線偏光子射出，鈴響，結婚；而還有另一條故事線，光子被吸收，沒有鈴響，婚約終止。每一條故事線都是存在的。要想知道我們生活在哪一條故事線上，我們只需要簡單地看一下這個科學家的婚姻狀態即可。如果她結婚了，那麼我們就生活在那條線偏光子射出繼而鈴響的故事線上；否則就是生活在另一條故事線上。“發生了什麼”這個問題是不恰當的——我們應該問“在一條特定的故事線上發生了什麼”。（就像問“到芝加哥有多遠”這個問題是不恰當的，而應當問“從舊金山到芝加哥又多遠”一樣）
在這個相對態形式中，波函數從來都沒塌縮——它只是一直地這麼分叉下去。而每一個分支都是相容的，沒有哪個分枝比別的分枝更好。（在多世界版本中，我們説共存分支宇宙，而不是多故事線。）概括來説，相對態理論更強調相關性，而避免塌縮。
應用
相對態形式在數學上等價于波函數形式。所以並沒有任何技術上的原因使我們選擇一個而不選另一個。但是另一方面，我們發現相對態形式的概念方面，對是否會變成不活躍的基態有深刻的解釋。例如，大衞.多伊奇在1985年的論文（該論文催生了量子計算這個肥沃的領域）中他表達了自己的觀點：“除了埃弗雷特的解釋外，其他所有的量子理論的解釋對量子計算性質的直觀説明都是無法忍受的。”
56. D. Deutsch, ‘‘Quantum theory, the Church-Turing principle and the uni- versal quantum computer,’’ Proc. R. Soc. London, Ser. A 400, 97–117 1985 .
推薦參考
57. H. Everett III, ‘‘ ‘Relative state’ formulation of quantum mechanics,’’ Rev. Mod. Phys. 29, 454–462 1957 .
58. B. S. DeWitt and N. Graham, in The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics Princeton University Press, Princeton, NJ, 1973 .
59. Y. Ben-Dov, ‘‘Everett’s theory and the ‘many-worlds’ interpretation,’’ Am. J. Phys. 58, 829–832 1990 .
60. B. S. DeWitt, ‘‘Quantum mechanics and reality,’’ Phys. Today 23, 30–35 September 1970 .
61. L. E. Ballentine, P. Pearle, E. H. Walker, M. Sachs, T. Koga, J. Gerver, and B. DeWitt, ‘‘Quantum mechanics debate,’’ Phys. Today 24, 36–44 April 1971 .
2、交易詮釋（克萊默）
交易詮釋（The Transactional Interpretation）是比較清晰和有價值的，但卻很難用一個簡單的指南來描述這種詮釋，所以很多考察過這種詮釋的人覺得它有點兒怪異。如果我們這裏簡短的介紹讓你產生了誤解，那麼強烈建議你查閲一下參考文獻。
在交易詮釋中，源和探測器，假設是電子，它會發射出延遲波（retarded wave）（順着時間行進）和超前波（advanced wave）（逆着時間行進），形成駐波。一個由源向探測器移動的電子，包括一個從源出發的“出價波”（Offer Wave，相應於ψ）和一個從探測器出發的“確認波”(Confirmation Wave，相應於ψ)，它們相互干涉產生一個“跨時空的握手”。在電子還沒有離開源之前，兩個波之間破壞性的干涉（此時兩者相互抵消）會確保電子不可能到達探測器；在電子發出之後，其建設性的干涉會在源和探測器之間形成一個具有完整振幅的波，兩個波之間交易的程度決定了粒子撞擊到探測器上的概率。
應用
根據克萊默的説法，“交易詮釋……和傳統的量子力學（即波動形式）預測的結果沒什麼區別……我們發現它作為決定用哪些量子力學計算的指南更有用，而不是去做這種計算……交易詮釋的主要用途是作為一個概念模型，為用户提供了一種方法，使得用户有一個清晰的可視化的複雜量子過程，並能快速分析看似“矛盾”的情境。在對那些至今仍然很神秘的量子現象的直覺理解方面，交易詮釋看起來也是有很大價值的。”例如，在交易詮釋中，波函數坍縮不會出現在任何一個特定的時間點，而是“非時間性的”（atemporal），發生於整個交易過程——出價波與確認波發生交互作用所在的時空區域。這些波被視為在物理上是真實存在的，而不是一個數學道具。
全同粒子
交易詮釋的討論通常在單粒子量子力學的背景下進行的。我們不清楚的是，在一個二粒子系統中是否有兩個“跨時空的握手”或者一個“共形時空的握手”。因此，我們在此無法解釋交易詮釋如何區分玻色子和費米子。
推薦參考
62. J. G. Cramer, ‘‘The transactional interpretation of quantum mechanics,’’ Rev. Mod. Phys. 58, 647–687 1986 .
63. J. G. Cramer, ‘‘An overview of the transactional interpretation of quan- tum mechanics,’’ Int. J. Theor. Phys. 27, 227–236 1988 .
64. J. G. Cramer, ‘‘Generalized absorber theory and the Einstein–Podolsky–Rosen paradox,’’ Phys. Rev. D 22, 362–376 1980 .
原文來源：DOI: 10.1119/1.1445404
作者 | Daniel F. Styer .etc
翻譯 | Camel
審校 | 陳星