給孩子講傅立葉變換，肖邦的鋼琴會怎麼説？ | 樂聊樂有理_風聞

撰文 | 吳進遠（美國費米國家加速器實驗室）

兩個音色不同的聲音，它們的波形是不同的。我們可以把很多正弦波加起來，構成一個複雜的波形。反過來，也可以把複雜的波形，拆開成一個個正弦波。後面這個過程即是數學中的傅立葉變換。

晚自習之後，我和珍旭班長離開圖書館，一起走在校園裏。見我不做聲，珍旭班長問：“你前一陣寫了不少音樂的文章吧？”（參見向牛學琴：偉大的七聲音階是怎樣出現的、問道朱載堉，尋蹤維也納：十二平均律的前世今生、畢達哥拉斯在鐵匠鋪發現錘子聲音的和諧？當真？、小號只有三個鍵，為啥能吹那麼多音？、歌劇大師搞發明：拉風的阿依達小號有啥科學道理？）

“是的。可是讀者們説，講音樂不能不把傅立葉變換講清楚。”

“對呀。”

“我其實是寫了傅立葉變換的，但讀者們認為我寫得太晦澀，專有術語太多。”我説：“可是傅立葉變換是大學的課程，沒法講得簡單呀。”

“要想把傅立葉變換講透徹的確需要大學知識。”珍旭班長説：“但你可以先用一些簡單實際的例子，做個初步的説明呀。”

見我一時説不出話，珍旭班長示意我在路邊長椅坐下，在手機上劃了一陣：“給你看看我小時候，爺爺給我講睡前故事，是怎麼講傅立葉變換的吧。”説着在我身旁坐下。

我頓時覺得心跳加速，腦子裏有一段時間一片空白。隱約記得珍旭班長介紹説，這些睡前故事的視頻本來是用老式8毫米錄像帶錄下來的，幾個月前爺爺奶奶剛把它們轉換成數字的視頻文件。

1 音色與波形

珍旭班長點開一個視頻，屏幕上出現一個毛絨動物熊貓。她介紹説，這是我們家庭成員中最小的一位，叫熊貓晶晶。

“我是熊貓，”小珍旭粗着嗓子扮演熊貓晶晶。

“我吃竹子，”視頻中熊貓晶晶仰頭搖晃，好像非常驕傲，“我要唱《五指歌》。”

小珍旭稚嫩的童音和爺爺渾厚的男中音一齊唱響：

“一二三四五，上山打老虎。（老虎！老虎！老虎！老虎！——熊貓晶晶驚恐喊道。）”

“老虎打不着（老虎！老虎！老虎！老虎！），看見小松鼠。”

“松鼠有幾個，讓我數一數。數來又數去，一二三四五。”

見我一頭霧水懵在那裏，珍旭班長解釋道：“熊貓的天敵是各種食肉猛獸，因此熊貓晶晶聽到老虎會害怕。”

視頻繼續，小珍旭問道：“爺爺，我們唱一樣的《五指歌》，為什麼我們的聲音不同呀？”

“這倒是一個好問題。”爺爺説：“不過，你首先要解釋清楚，你説的聲音不同是什麼意思。”

小珍旭從牀頭櫃抽屜裏拿出她的兒童口琴，吹了一個音：“咪——”

“咪——”她自己按照這個音高唱出這個音符，然後説：“爺爺唱。”

“咪——”

“熊貓晶晶，”小珍旭捧起毛絨熊貓：“我和爺爺唱的音符一樣嗎？”

“一樣一樣。”

“可以聽出兩個人的聲音不同嗎？”

“可以可以。”

“哈哈哈，”爺爺笑道：“晶晶説得對，我們兩人唱的音符是一樣的。都是C調中的咪，也就是E，頻率為 659.3 赫茲。”

“既然頻率一樣，為什麼我們的聲音仍然可以聽出差別呢？”

“這是因為我們的音色不同。”

“什麼叫音色？”

“音色和聲音的波形有關，”爺爺解釋道：“兩個音色不同的聲音，它們的波形是不同的。”

“什麼是波形？”

“我們聽到的聲音是一種波動，它是振動的物體推動周圍空氣產生的。振動的物體讓周圍的空氣一會兒壓縮，一會兒舒張，使得空氣的壓強出現微小的強弱變化，於是這種壓強的強弱變化就會傳播開來，變成聲波。”

“當聲波來到我們的耳朵或者話筒時，耳朵裏的鼓膜或者話筒裏的膜片就被空氣有時推，有時拉。如果把這種推拉運動放大，帶動一根針，讓它在一張勻速運動的紙上刻畫，就可以畫出一個波浪一樣的圖形。剛才我們兩人唱的音符是E，頻率為 659 赫茲，也就是説，這種推拉運動每秒鐘重複 659 個週期。但我們可以聽出兩個人的音色不同，畫出的波形也不同。除了人的聲音，不同的樂器也有不同的音色。”

“那麼，”小珍旭問：“我的口琴聲音波形是什麼樣的呢？”

爺爺點開電腦上一個軟件，小珍旭吹響她的口琴，她吹的是音符E，電腦記錄下一個波形。（其實，現在我們在手機的應用商店裏，也可以找到顯示聲音波形的軟件。）

“我們再看看別的樂器波形是什麼樣的。”爺爺拿來一把小提琴，拉響一個音符，也是E。電腦記錄下另一個波形。

“呀，口琴和小提琴聲音的波形真的很不一樣。”小珍旭説：“可是，這些波形裏，有那麼多上上下下，看着好複雜呀。”

“確實很複雜。”爺爺在電腦上打開另一個軟件，説：“不過，複雜毛糙的波形可以看成是一些簡單光滑的波形疊加起來的，你看。”

“這裏有好幾個波形，看着很光滑。”小珍旭説：“最上面那個波動得最慢，往下一個比一個快。”

“對的，這些波形叫正弦波，橫座標是時間，單位是毫秒。最上面那個正弦波的頻率是659赫茲，第二到第五個波形，它們的頻率分別是659赫茲的2、3、4、5倍。這些整數倍頻的正弦波，在音樂上叫做泛音。”

“我會算。”小珍旭搶着説：“659赫茲的2倍是1318赫茲，3倍是1977，4倍是2636，5倍是？5倍是3295。”

“不錯，算得挺快。”爺爺表揚道，然後接着解釋：“這樣一些正弦波，按照一定的比例疊加起來，就可以得到最下面那個波形。”

“什麼叫疊加？”

“你在每一個時間點上畫一條豎線，每一個波形在這個時刻都有一個高度，把這些高度像疊羅漢那樣加起來，就叫疊加。”

“真有趣，本來幾個光滑的正弦波，疊加起來就變得像鋸齒一樣了。”

“你再看看這個。”爺爺在電腦上改了幾個數。

“咦，疊加出來的波形變得像方方的饅頭了。您在電腦上改了什麼呀？”

“這些正弦波還是原來的頻率，我只不過改了一下這些正弦波疊加時振幅的比例。你比較一下兩個圖，就可以看出有的頻率成分變大了，而有的變小了。”

“這就是説，”小珍旭若有所思，“不同頻率的正弦波，疊加時的比例不同，形成的波形也不同。也就是説，一個樂器的音色，是這些頻率成分，或者説泛音的比例決定的？”

“不錯，總結得很好。把一個複雜的波形，分解成為許多正弦波的過程，叫做傅立葉變換。”

“噢，我明白了。我們可以把很多正弦波加起來，構成一個複雜的波形。反過來，也可以把複雜的波形，拆開成一個個正弦波。”小珍旭的確天資聰穎。“可是，怎麼才能拆開呢？”

“明天還要上學，且聽下回分解。”爺爺逗她。

小珍旭顯然不想睡，於是像演木偶戲那樣舉起熊貓晶晶：“爺爺，晶晶不懂。請爺爺，用熊貓和竹子作為例子，給晶晶再講一講。”

“一隻熊貓，拿着一根竹子，一邊走，一邊在地上畫。如果只有它的腿在左右搖晃，那麼在地上畫出來的波形就比較簡單光滑。可是今天熊貓吃飽了嫩竹筍很高興，身子也在搖晃，走一步搖晃兩次。胳膊也搖晃，走一步搖晃三次。手也搖晃，走一步搖晃四次。這樣一來，就會在地上畫出一個很複雜的波形。晶晶懂了嗎？”

“懂了懂了。”

“好了。現在熊貓晶晶回到牀頭櫃上，小珍旭蓋好被子，睡覺。”

2 通過共振理解傅立葉分析

第二天晚自習之後，我和珍旭班長在校園長椅上接着看視頻。我想看看爺爺怎樣講解把複雜波形分拆為正弦波，當然，我更享受和女神在一起的美好時光。

“我是熊貓，我吃竹子，我要唱《五指歌》。”

“一二三四五，上山打老虎。（老虎！老虎！老虎！老虎！）……”

好嘛，她們家睡前故事還挺講究程式化的。後來珍旭班長告訴我，她的節奏感還有和聲知識，都是通過唱《五指歌》學的。

視頻裏，爺爺開始講故事：“從前有座山，山裏有個廟，廟裏有個老和尚。他房間裏有個磬，經常自己發出聲音，有時在白天，有時在黑夜。老和尚以為有妖怪，嚇得生了病。”

“這是個唐朝的故事，我知道，叫《曹紹夔 (kuí) 捉妖》。”小珍旭搶着説：“後來，老和尚的朋友，洛陽一個管音樂的官叫曹紹夔的來看望他。正好趕上廟裏敲鐘，磬也跟着響了起來。於是曹紹夔大笑，讓和尚第二天準備好酒好菜，他來捉妖。第二天，曹紹夔來了，酒足飯飽之後，拿出一把銼刀，在磬上銼了幾下。以後磬就再也不響了。”

“這是為什麼呢？”

“這是因為鐘聲的頻率和磬的共振頻率一樣，敲鐘的時候，聲波引起磬共振。曹紹夔在磬上銼了幾下，把它的共振頻率改變了，就不會再共振了。”

“講得對。”爺爺説：“現在我們把這個故事拓展一下，設想老和尚房間裏放了好多個磬，它們的共振頻率從低到高各不相同。如果你去了，隨便唱出一個音，情況會怎麼樣呢？”

“我覺得，那麼多的磬，不管我唱什麼音，總會有一個的共振頻率和我唱出聲音的頻率接近，所以應該會引起共振。”

“只會引起一個磬共振嗎？”

“這？”小珍旭苦苦思索。

“我們昨天講了，當我們唱一個音符時，比如唱E，裏面除了 659 赫茲的頻率成分，還有哪些？”

“還有 659 赫茲的2、3、4、5 等倍頻的正弦波，或者叫泛音。它們的頻率是 1318、1977、2636、3295 赫茲。”小珍旭豁然開朗：“也就是説，我唱出一個音，會引起很多個磬一起共振，只要它們的共振頻率與這些泛音頻率相近。”

“這樣一來，我們就知道你唱的聲音裏有哪些頻率成分。而且，根據這些共振的相對振幅，我們就可以知道這些泛音之間振幅的比例。這其實就可以看成是傅立葉分析。”

“傅立葉分析？”

“傅立葉是個法國的數學家，和肖邦差不多同時代，比肖邦年齡大一些。”

“可是，”小珍旭問：“要作傅立葉分析，到哪裏去找那麼多磬呢？”

“不一定非得用磬，用弦也可以呀。鋼琴裏不是有很多弦嗎？”爺爺説：“我們可以到客廳用鋼琴做個實驗。”

小珍旭噌的一下，穿着睡衣睡褲從被窩裏跳了出來。

“披上衣服。”拍攝錄像的奶奶在畫面外喊道。

爺爺和小珍旭趴在地板上，輕輕地取下鋼琴底部的蓋板，按下鋼琴的右踏板，使得鋼琴的所有琴絃可以自由振動。

“咦，鋼琴裏有聲音，好像我們説話的回聲一樣。”

“你試試對着鋼琴喊一聲。”

“啊——”小珍旭喊道。

鋼琴跟着發出微弱的聲音，聽起來和小珍旭的聲音非常像。（點擊“閲讀原文”，查看視頻）

爺孫兩個對着鋼琴喊話、唱歌、學牛叫、學狼叫，鋼琴都會隨之發出相應的聲音。

哈哈，鋼琴華麗變身為傅立葉分析儀，不知道大鋼琴家肖邦當年有沒有試過。他經常在巴黎的沙龍里給那些紳士貴婦們演奏，聽眾中很可能有過傅立葉。如果他在演奏時，順便表演一下這個“魔術”，也許會減少一點演奏的辛苦吧。我不知怎麼，腦回路里搭出這麼一個念頭。

其實這個實驗我也做過，我在手機上找到一個圖給珍旭班長看：“用這個圖，可以把整個實驗過程看得更清楚。”

這個圖是使用手機的APP Spectrum View 來記錄的譜圖。橫座標為時間，縱座標為頻率，每個頻率成分的強度用顏色顯示。

在圖中，開始有0.8秒左右我們對鋼琴喊出一個持續穩定的聲音，顯然，這段時間內聲音的強度比較大。這個聲音的基頻大約是250 Hz左右，不過它的基頻成分強度不是很大，而是以2倍頻與3倍頻為主。此外還存在很多高倍頻的成分。

喊聲停止後，我們可以看出鋼琴上對應於1到5倍頻的琴絃被顯著地激勵起來，並持續振盪。

實際上，在喊聲停止後約1秒左右的時間內，鋼琴發出的聲音與原來的人聲非常像，而過了一會，雖然鋼琴還有聲音，但已經與原來的聲音不像了。這是由於開始時，鋼琴能夠按照原來聲音的比例發出4倍與5倍頻成分。隨着時間推移，這些高頻成分衰減很快，等到只剩下低頻成分時，聲音的相似度就會變差。從圖中我們可以看出4倍與5倍頻成分衰減得相當快。

3 相位與音色之謎

“你們在看什麼吶？”泉餘室友又一次毫無徵兆地出現了。

“我們在學習兒童睡前故事版的傅立葉變換。”

“正好，我有個青年失眠燒腦版的問題。”泉餘室友説着，從口袋裏掏出一疊皺皺巴巴的紙：“你們幫我看看。”

“一個週期函數f(t)可以展開成為傅立葉級數，寫出來是這個樣子。你們注意到了吧，每個頻率成分包含有兩個係數。”

“是啊，包含a和b，它們分別是餘弦函數和正弦函數的係數。通過這兩個係數，我們可以算出每個頻率分量的振幅和相位。”

“可是，我們討論頻譜時，很多時候比較關注振幅，很少注意相位。”泉餘室友説：“手機上的傅立葉分析軟件也經常是隻顯示強度分佈，不顯示相位關係。這是為什麼呢？”

“我覺得，原因之一是在很多實際應用中，頻率分量的強度比較重要，而相位相對不很重要。比如我們的耳朵辨別音色時，只能感知各個頻率成分之間的相對強度比例，而不能感知它們之間的相位關係。” 珍旭班長邊説邊掀開筆記本電腦：“你們看。”

“我們用基頻和幾個整數倍頻的正弦函數可以近似構成一個鋸齒波。可是如果我們讓二次倍頻的振幅不變，只改變一下相位，把它從正弦函數變成餘弦函數，最後組合出的波形就會改變。”

“對呀，倍頻成分的相位變了，波形自然也會改變。”泉餘室友説：“那麼，我們的耳朵能聽出來嗎？”

“在這種情況下，”珍旭班長説：“各個頻率成分的相對強度沒有變，因此我們的耳朵聽不出來，感覺還是原來的音色。”

“什麼？”我大惑不解：“你説聲音的波形變了，音色可以不變？視頻裏，爺爺怎麼説的？”

“爺爺説的是：兩個音色不同的聲音，它們的波形是不同的。”珍旭班長解釋：“但反過來卻不一定。”

“珍旭同學，”泉餘室友一本正經地開玩笑説：“我很尊重您，但我更尊重科學。我還是無法不經過思考，盲目相信您的説法。”

“要不要做個實驗？”珍旭班長説。

“好啊。”我贊成：“一言不合做實驗，這才是我們物理系學生的風格。”

“我負責生成聲音信號。”珍旭班長拿起手機：“你們也都拿出手機，一個負責觀察頻譜，一個負責觀察波形。”

珍旭班長點開手機軟件，在上面輸入了500、1000、1500、2000 和 2500 赫茲這幾個頻率值。

又點了一下屏幕，這樣一個混合的聲音播放了出來，聽着好像是鵠鸕鳥的叫聲。我們把手機湊到一起，我在頻譜上看到幾個尖峯，泉餘室友手機上顯示了一個奇形怪狀的波形。

“現在我把 1000 赫茲改成 1000.2 赫茲。”珍旭班長説：“這樣一來，等價於讓1000 赫茲頻率成分的相位緩慢變化。”

現在這個混合的聲音聽上去和剛才幾乎沒有不同，還是鵠鸕鳥的叫聲，儘管其中一個頻率成分的相對相位持續緩慢地變化着。從頻譜上看，幾個尖峯也沒有變化。可是，泉餘室友手機上的波形，卻像小蟲子一樣不停地蠕動着。（點擊“閲讀原文”，查看實驗視頻）

“好了，現在敲黑板。”珍旭班長有些得意：“期末考試部分選擇題如下。”

（1）音色不同則波形不同。答案：對（2）波形不同則音色不同。答案：很多時候如此，但不一定。

“嗯，我現在認同這個理論了。”泉餘室友説，可是仍然故意嘴硬：“但並不是因為聽了您的講解，而是因為看見了實驗結果。”

“這有什麼不同嗎？”珍旭班長酣暢淋漓地發揮她的伶牙俐齒：“我不是也要按照前人實驗的結果來講嗎？不過你這種科學態度應該表揚。對於科學問題，應該不迷信盲從他人，包括不迷信盲從班長、朋友乃至學術權威，堅持通過自己的思考理解科學結論。在這個問題上，我倆尊你為師。”

“你倆？”泉餘室友掩口而笑。

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