正弦函數牛在哪？先和娃一塊看看頻譜| 樂聊樂有理_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2020-01-19 10:56
撰文 | 吳進遠（美國費米國家加速器實驗室）
人們常説，繪畫是空間的藝術，音樂是時間的藝術。繪畫是顏色在空間中渲染，音樂是音符沿着時間流淌。而頻譜是把聲音中的頻率沿着頻率展開排列，並繪製成圖像，就像陽光穿過三稜鏡色散成七色光譜。各種各樣的樂器、歌聲都會產生出獨特的頻譜圖，普通話中一二三四聲的聲調甚至會在頻譜圖畫出抑揚頓挫的圖案。
上週晚自習之後，我和我暗戀的女神珍旭班長，一起看了她爺爺在她小時候給她講的睡前故事傅立葉變換的視頻（參見《給孩子講傅立葉變換，肖邦的鋼琴會怎麼説？| 樂聊樂有理》）。不過，視頻中還留下了許多且聽下回分解的地方。又一天晚自習之後，我問珍旭班長：“你爺爺後來有沒有給你講頻譜呀？”
“當然講了。給小朋友講睡前故事，每次不可能講太多內容，因此複雜的話題就必須分成好幾次來講。”珍旭班長説着又找出一個視頻，打開和我一起看。
1 各種樂器的頻譜
“我是熊貓，我吃竹子，我要唱《五指歌》。”
“一二三四五，上山打老虎。（老虎！老虎！老虎！老虎！）……”
“今天，我們講頻譜。”爺爺説：“漢語中，譜是個很常用的字，它的意思是根據事物的類別或系統排列編制的表冊、書籍或繪製的圖形等等。比如家譜族譜，是按照輩分排列，記錄家庭成員的文本。”
“我們彈鋼琴或者唱歌用的樂譜是按什麼排列的呢？”小珍旭問。
“樂譜是按照時間次序，把每個節拍中演奏演唱的音符記錄下來的一種文稿。”
小珍旭舉起熊貓晶晶：“爺爺，晶晶不懂。請爺爺，用熊貓和竹子作為例子，給晶晶再講一講。”“在大熊貓繁育中心，有熊貓的食譜。食譜是按照時間順序，把大熊貓每餐吃多少竹子，添多少窩頭蘋果胡蘿蔔開列記錄出來的表格。”
“那頻譜是什麼？”
“頻譜是把一個聲音中存在的頻率成分按照頻率排列的圖。我們常説的光譜其實是一種電磁波的頻譜。光譜是按照顏色，也就是説光的波長或頻率，記錄下來的光強度分佈。”爺爺説着，打開電腦，啓動一個軟件。然後拿起一把小提琴，對着電腦話筒，拉出一個穩定的長音，電腦上顯示出一個頻譜。（現在手機上也有可以生成頻譜的應用軟件。）
小提琴的頻譜
“這個音是E，就是C調裏的咪，它是用小提琴最細那根弦空弦演奏的，頻率大約659赫茲。”爺爺解釋道：“你看，頻譜上顯示出許多尖峯，最左邊那個是基頻，然後是2、3、4、5倍頻等等。正是這些倍頻泛音，決定了小提琴的音色。”
“我想看看我的小口琴的頻譜。”小珍旭説着，拿起口琴，對着電腦話筒吹出一個長音，也是C調裏的咪。電腦上顯示出另一個頻譜。
口琴的頻譜
“成功啦，成功啦。”小珍旭高興地説：“口琴的聲音裏也有基頻和高倍頻泛音。”
“你看看口琴和小提琴的頻譜是不是不一樣？”
“是不一樣。”小珍旭仔細觀察：“實際上，兩種樂器前面三個尖峯的比例好像差不多，但是口琴第4、5、6等幾個峯明顯比較高。嗯，好像口琴的聲音確實聽着更亮一點。”
“老師有沒有教過你們用口琴來模擬小提琴？”
“教過。”小珍旭邊説邊演示：“第一，舌頭堵住下排孔，只讓口琴上面的的簧片振動。第二，手捂住口琴前邊，把口琴聲音悶一點。這樣，口琴聽起來就很像小提琴了。”
“從頻譜上看，用手捂住口琴，就可以讓它的高頻成分衰減得厲害點。我們把口琴第4、5、6等幾個峯壓低一些，它的頻譜就和小提琴非常像了。這實際是用濾波的方法，來改變不同頻率成分的相對強度，以獲得不同的音色。”
2 挖一挖波形上的山峯
珍旭班長又找出一個視頻打開。
“我是熊貓，我吃竹子，我要唱《五指歌》。”
“一二三四五，上山打老虎。（老虎！老虎！老虎！老虎！）……”
“我們昨天見到的樂器頻譜裏都有那麼多峯，有沒有隻有一個峯的樂器？”小珍旭問到。
爺爺轉身拿起一個小方盒，按了一個開關，方盒發出嗚嗚的叫聲。
“這個小方盒是信號發生器，它可以發出正弦波信號，正弦波在頻譜上只有一個峯。”
正弦波的頻譜
“正弦波的波形看起來像是平靜池塘水面上微小的波浪，很均勻，也很平滑。它的聲音聽起來很純淨，好像一點雜質都沒有一樣。”
“所以音樂家管正弦波叫做純音。當然，如果用純音來演奏音樂，就顯得太單調了。此外，自然的發聲體很少能發出絕對的純音，因此，我們現在見到的樂器在頻譜上都有很多峯。”
“要是把正弦波的波形改變一下，它的頻譜會是什麼樣呢？”
爺爺搬動小方盒上的一個開關：“我們把正弦波的山峯堆高一點，低谷挖成尖尖的槽，讓它變成三角波，這時我們就看到頻譜上增加了一些尖峯。”
三角波的頻譜
“三角波和正弦波差得不太多，所以新增加的這些峯比基頻那個峯矮不少，而且一個比一個矮。”
“咦，好奇怪。”小珍旭指着三角波的頻譜説：“頻譜上第二個峯頻率好像不是第一個峯的二倍。”
“你算算是多少倍？”
“好像是3倍。後面一個峯的頻率是基頻的5倍。再後一個是7倍。為什麼新增加的這些高次倍頻裏沒有2、4、6倍頻呢？”
“這是因為三角波平移半個週期波形是正負反轉的。當你站在任意一個山峯或者山谷，向左看和向右看，看到的波形是相同的。”
爺爺又搬動小方盒上的開關：“我們要是把三角波的山尖剷平，把山谷填平，就得到梯形波。要是再進一步把山坡修得很陡，就得到方波。這種方波和正弦波差得更遠，因此頻譜裏的高頻成分就相對比較高了。”
方波的頻譜
“方波平移半個週期波形也是正負反轉的，所以也只有奇數倍頻。”
“方波的聲音聽着像是單簧管。”小珍旭評論道。接着又問：“這些峯之間長出的小草是什麼？”
“這是因為方波波形在跳上和跳下的時候，速度非常快。系統裏的電子器件跟不上，就可能產生一些失真。這些失真會在頻譜上產生一些強度不太大的頻率成分，就是這些小草。”
爺爺再次搬動小方盒上的開關：“現在，我們保持方波的一邊不變，把另一邊修理成緩慢下降的山坡。這時，我們得到一個鋸齒波。”
鋸齒波的頻譜
“鋸齒波平移半個週期波形不是正負反轉的了，因此，頻譜裏出現了2、4、6、8等等的偶數倍頻的尖峯。”
3 譜 圖
珍旭班長又找出一個視頻打開。把“一二三四五，上山打老虎”這部分跳了過去。
“我們這幾天見到的頻譜都單獨一個嗚嗚聲音的，真正演奏的音樂也可以做頻譜分析嗎？”小珍旭問道。
“當然可以。你可以到鋼琴上來彈一個曲子，我們來分析一下這個曲子的頻譜。”
小珍旭穿着睡衣睡褲從被窩裏跳出來，自覺地加了一件衣服，跑到客廳，坐到鋼琴邊。爺爺讓她彈了《一閃一閃亮晶晶》的前兩句，只彈了右手部分。電腦上得到一個顯示。
“對於自然的聲音，包括用樂器演奏的音樂，我們可以把話筒採集到的聲音切成一小段一小段來做頻譜分析。每一小段時間之間，頻譜都可能發生變化。為了顯示這種變化，我們需要把分析的結果按照時間展開，這樣二維的頻譜就變成了三維的。在上面的圖中，縱座標是頻率，橫座標是時間。第三個維度，也就是頻率成分的強度，用不同的顏色來表示，顏色越偏紅，強度越大。這種顯示我們一般叫做譜圖，有的時候有人叫它聲紋圖。”
“哈哈，我看出來了。”小珍旭指着譜圖：“這裏面每一條豎線對應按下鋼琴琴鍵演奏的一個音符。多多嗦嗦啦啦嗦——發發咪咪來來多——”
“你注意看。”爺爺説：“鋼琴演奏的每一個音符，除了最低的基頻，從下往上，還可以看到很多整數倍頻的泛音。”
“可是，”小珍旭問：“除了演奏音樂，或者唱歌，我們一般説話也可以做頻譜分析嗎？”
“可以呀。”爺爺説：“我們漢語普通話有陰陽上去四個聲調，你可以挑幾個有這四聲的字來試一試。”
“一句話裏包含有四個聲調的字？這個好辦。都——來——跑——步——身——強——體——壯——”小珍旭念道。電腦記錄分析了這個段聲音，顯示出一個譜圖。
“真好玩。”小珍旭説：“普通話裏的一二三四聲的聲調，真的就像漢語拼音裏標的那樣，是水平、上升、拐彎和下降。”
“你現在能看出，這個圖上一道一道的條紋了吧？”爺爺説：“所以有的行業的人管這類譜圖叫做聲紋。”
“這些條紋是什麼？”
“我們講漢語時的韻母，或者歐洲語言中的元音是一種週期性的振動，就像樂器演奏一個音符一樣。因此韻母的頻譜，也像樂器一樣，是由基頻和整數倍頻構成的，在譜圖上，是一組從下到上等距離的條紋。”
“這些條紋為什麼會上下拐彎呢？”
“我們説話的時候，聲帶的張緊程度不斷變化，振動的頻率也隨着變化，在譜圖上顯現出來，就是條紋的上下拐彎。另外人的口型也在變化，口型變化影響到口腔的共鳴特性，這種共鳴使得不同的頻率成分的相對強度變化。所有這些，使得我們説話的聲音變得可以聽懂。此外，不同的人聲音也因為聲帶與口腔形狀的不同而不同，使得我們從聲音能夠分辨出不同的人。有的情況下，即使説話的人刻意變聲，專家也可能通過説話的譜圖，來辨認説話人的聲音特徵。”
“每個人説話的聲音都有它的特徵，是不是就像人的指紋一樣？” 小珍旭問。
“對的。所以，譜圖被稱為聲紋圖，也有這麼一層意思。”
叮鈴鈴，電話響了，爺爺按下免提。奶奶那天晚上去單位開會，不放心，特意打來電話，囑咐了很多。爺爺説，“放心吧，小珍旭學習睡覺，樣樣不耽誤。”
電腦把電話內外的聲音分析成頻譜，顯示出了譜圖。
“吼吼吼。”小珍旭舉着熊貓晶晶説：“你們人類喜歡打電話，可是又經常説電話裏説不清。”
“哈哈蛤。”爺爺問：“你覺得什麼説不清呢？”
“電話裏的聲音經常是悶悶的，好像感冒了一樣。尤其是波坡、得特這樣的聲音不容易聽清楚。”
“觀察得很仔細。”爺爺表揚道：“從上面這個譜圖，你就能大概看出原因。”
“前面這一段是電話裏的聲音，好像用剪刀整整齊齊地剪了一下。後面電話外説話的聲音，就沒有這麼一種限制。”
“是的，我們現在用電話系統，把語音信息做了濾波，只有 3600 Hz 之下的頻率成分可以通過，3600 Hz 以上的頻率成分統統阻擋出去，這樣做是為了節約通訊信道資源。本來人類的語言信號中，3600 Hz 以上的頻率成分很少，所以切掉了影響不太大。但這些切掉的高頻成分雖然量不大，但有時卻攜帶比較重要的信息，可能影響通話雙方的互相理解。”
4 為什麼正弦函數那麼牛？
“又在學習兒童睡前故事版吶？”泉餘室友又一次毫無徵兆地出現了。
“你又有青年失眠燒腦版的問題了？”珍旭班長問。
“還真有一個。”泉餘室友説。
“那你要請我們倆吃夜宵。”我説。
“你倆？”泉餘室友掩口而笑：“沒問題。”
在校門外茶餐廳一通風捲殘雲之後，泉餘室友拋出了他的問題：“為什麼正弦函數這麼牛呢？”
“在回答你的問題前，你必須把牛的定義講清楚。”我説。
“我們做傅立葉變換、頻譜分析的時候，實質上是把任意的信號看成是許多正弦函數的疊加。數學上，曲裏拐彎的函數有很多，我們為什麼就選中了正弦函數呢？”
“也許，在自然界中，很多物體是按照正弦函數的規律振動的。”我説。
“難道不是因為正弦函數簡單美觀，因此受到人們的青睞？”泉餘室友反問。
“我覺得不是。”珍旭班長説：“數學中，簡單美觀的函數相當多，人們之所以選擇正弦函數，而不是其他曲裏拐彎的函數，恐怕還是受到了自然現象的啓迪。”
“可是，我們印象中，人們想得到正弦波，都是用信號發生器來產生。”泉餘室友仍有些懷疑：“你們説説，在我們周邊50米範圍內，哪些東西會產生正弦波？哦，手機不算哈。”
珍旭班長把高腳杯裏的橙汁喝掉一半，放到桌上，指指高腳杯：“它就能產生正弦波。”
“真的？”
“做個實驗怎麼樣？”珍旭班長説着，拿起一根筷子，“叮——”，輕輕地敲了一下高腳杯。
泉餘室友掏出手機，點開頻譜分析軟件。珍旭班長又敲擊了幾下高腳杯，手機上的軟件顯示出一個譜圖。
“你們看，高腳杯敲響時，存在許多振動模式，不同的振動模式有不同的頻率。”珍旭班長解釋：“可是頻率比較高的那些振動模式衰減得非常快，最後就剩下一個頻率最低的振動模式。因此，只有經過足夠長的時間，高頻模式衰減光了，杯子的振動就逐漸變成了符合正弦函數規律的簡諧振動。”
我説：“在真實的世界上，也許沒有什麼東西是嚴格按照正弦函數規律振動的。可是，當振動的振幅很小的時候，它們就趨向於簡諧振動。比如單擺、吊燈、鞦韆等等，振動幅度比較大的時候，它們的振動規律非常複雜。但是在擺動幅度很小的時候，它們的振動規律就非常接近正弦函數了。”
“實際上，我們還可以看看科學史。”珍旭班長説：“牛頓在拿起稜鏡分解太陽光的時候，他並沒有先驗地選擇任何函數。可是，太陽光經過稜鏡，由於色散，分解成了紅橙黃綠青藍紫的光譜。這種光譜，是把白光按照光的頻率分解開來。這實質上説明，白光是以正弦函數為單位，與物質發生作用，從而產生色散的。”
“看起來，以自然現象為師，並不是一句空話。”泉餘室友説。
特 別 提 示
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』開通了按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。
版權説明：歡迎個人轉發，任何形式的媒體或機構未經授權，不得轉載和摘編。轉載授權請在「返樸」微信公眾號內聯繫後台。
相關閲讀
2 歌劇大師搞發明：拉風的阿依達小號有啥科學道理？| 樂聊樂有理