球冠面上的“事”，怎樣説才清楚_風聞

完整的球面切去一片就成了球冠面了，可別小看了它，很多有趣的應用都和它密切相關呢！

人眼角膜是一片張角為60度的球冠面，醫生要測量它的面形，診斷後才能給你動激光手術矯正視力；光學鏡面無論是凹的，還是凸的，都是完美的或偏離極小的球冠面，光線在上面不停地反射、折射，最終繪出一張張美麗的圖像；雙向反射分佈函數，被用來描述材料在光照下反射能量在半球面上分佈，被廣泛應用於遊戲渲染中，給你帶來真實感；高數值孔徑光學系統（如光刻機、高分辨率顯微鏡）的像差表述、局部地磁場建模等都是球冠面上的事情。

圖1(a) 人眼角膜為張角60度的球冠面

圖1(b) 相機鏡頭裏各種透鏡都是球冠面

圖1(c) 材料的雙向反射函數；圖1(d) 超高分辨率光學聚焦系統

伽利略説數學是描述世界的語言，可球冠面上的“事”用現有語言真的很難説清楚。使用平面上的函數，如勒讓德函數、傅里葉級數等，很容易把彎曲面上的事説“平”了。著名的球諧函數（Spherical harmonics）是整球面上的“王者”，在描述氫原子電子能譜上“功勳赫赫”，但是到了球冠面上卻“畏首畏尾”，説話含混不清。

因此，獲得一組數學表達，能將球冠面上發生的事清晰地表達出來，是科研人員長久以來的願望。它必須滿足三個條件：（1）在球冠面上是完備的，這樣在球冠面上任意連續的分佈，都可以用這組函數以任意精度逼近；（2）在球冠面上是正交的，這樣信息傳遞沒有冗餘，擬合過程數值穩定；（3）具有顯式表達，這樣就能通過直接計算或遞推獲得指定階次的表達式，利於計算編程使用。簡而言之，就是準確、簡潔、優美。

近期，中科院南京天文光學技術研究所研究人員鄭奕和中國科學院大學研究生魏凱等人從平面單位圓與球冠在拓撲形態上的同構出發，構造了兩者之間的一一映射，使用Zernike多項式原理，系統推導出球冠面上的正交完備函數系的獲得方法。在此基礎上，獲得了3組具有解析表達的函數。

第一個是“半球諧函數”（Hemispherical Harmonics），形態見圖2(a)。它在半球面上的正交性、完備性獲得了證明，表達式與球諧函數相同，但有特殊的柵格分佈，見圖2(b)。半球諧函數的發現不僅加深了對球諧函數的理解，還揭示了平面Zernike多項式與球諧函數之間內在關聯。第二個是“Zernike球面函數”（Zernike Spherical Functions），第三個是縱向球面函數（Longitudinal Spherical Functions），它們在任意球冠上都具有正交不變性，甚至可以拓展到超半球冠，適應性強。

圖2(a) 前15項半球諧函數HSH的形態；圖2(b) 半球諧函數在球諧函數中的分佈，黃色格點為半球諧函數，灰色格點為伴隨半球諧函數，兩者組合為球諧函數。

研究還討論了球冠面上數據擬合的問題。通過對擬合協方差矩陣條件數的分析，所獲球冠函數相對球諧函數、Zernike多項式具有顯著優勢，計算穩定，而且對噪聲不敏感。

圖3(a), (b), (c)分別是球諧函數、Zernike函數、半球諧函數在半球上的擬合協方差矩陣，可見只有(c)中的半球諧函數為單位矩陣，球諧函數和Zernike函數的協方差矩陣存在大量非對角元素不是零，是線性相關的；圖2(d) 協方差矩陣條件數比較，半球諧函數為1.0不隨階次變化，Zernike函數的條件數隨階次線性增加，球諧函數高於半球諧函數幾個數量級，研究獲得的半球諧函數優勢明顯。

課題還對所獲函數的逼近能力進行了驗證，對半球上的階躍函數進行了擬合，結果顯示球冠函數能夠逼近台階函數，而且數值穩定。

圖4(a) 用4階、20階和140階球冠函數擬合半球上的台階分佈; (b) 擬合殘差隨階數下降的曲線、

該項研究成果已在國際光學期刊《光學快報》（Optics Express Vol. 27, No. 26 37180–37195, 2019）上發表。

**來源：**中國科學院國家天文台南京天文光學技術研究所