扭結、編織、自旋網絡，你熟悉而不瞭解的量子空間 | 展卷_風聞

目前，追尋量子引力理論的科學家分成了兩條主要的途徑，他們互為敵手，但在根源上兩派有許多特徵是相似的。其一是弦論，目前隊伍很壯大，從粒子物理學出發研究量子引力問題。另一條途徑則是圈量子引力理論。與弦論相比，圈量子引力較為小眾，但它的知名度與影響力也在逐漸增長。它從廣義相對論出發，也借鑑了粒子物理學的許多思想和技巧。它預言空間在本質上是量子的，從量子空間的幾何形狀（被稱為自旋泡沫）中，時間以跳躍的演化序列的形式演生出來。

今天的文章摘選自著名科普作家吉姆·巴戈特的《量子空間》。這本書圍繞着圈量子引力理論發展過程中的兩位領軍人物——李·斯莫林和卡洛·羅偉利——而展開，講述了圈量子引力的故事。

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撰文| 吉姆·巴戈特****

翻譯 | 齊師傍

1987年8月， 李·斯 莫 林 和 特 德·雅 各 布 森 向《 核 物 理 學B》（Nuclear Physics B）期刊提交了一篇論文，介紹他們取得的突破。當時，雅各布森已經在馬薩諸塞州波士頓附近的布蘭代斯大學謀得了一份博士後職位，與斯坦利·德塞爾共事。雖然他們取得了成功，但當時還是沒有人知道將量子理論與廣義相對論結合起來到底有沒有可能做到。不過至少他們要走的下一步已經頗為明瞭了。

儘管斯莫林和雅各布森推導出的精確解後來被證明沒有物理意義，斯莫林仍然相信他們首次窺見了時空形狀的量子態，而這一步原本是他認為的難點所在。下一個任務是解一系列方程，來證明這些量子態與座標系的選擇無關，即它們是廣義協變的。他原本認為這會是比較容易的工作。

然而開始不久後，斯莫林一開始的樂觀情緒很快便煙消雲散。他回到耶魯，與如今已獲得助理教授職位的克蘭合作，然而他發現，他們要麼能找到代表這組方程的解的量子態，要麼能找到代表那組方程的解的量子態，但是無法找到能夠同時符合兩組方程的解。他們開始確信，他們正嘗試做的這件事情是不可能成功的。

卡洛·羅韋利之所以選擇在大學時學物理，部分原因是為了逃避兵役。拿到博士學位後，要求他服兵役的指令終於噩兆般地來臨，他拒絕了，做好了在監獄裏待兩年的準備，他認為那也比當一年兵要強。但他運氣不錯，只被拘留了幾天。他回憶道：“那段時間，意大利政府正往黎巴嫩運送軍隊，這是‘二戰’以後的頭一回，大眾並不支持政府這樣做。他們不想讓我這種人製造風波，於是決定放我走。”剛被釋放，他就回到了錫拉丘茲，跟着阿什特卡開展進一步的研究，還開始計劃去耶魯拜訪李·斯莫林。

1987年10月的一天，羅韋利出現在了斯莫林的辦公室裏。他們的討論進行得十分艱難。斯莫林説：“我跟他解釋，説我這兒現在沒什麼可做的，因為我們這項研究完全陷入了困境，停滯不前。”他對羅韋利説，他完全歡迎羅韋利待在這兒，但因為他們正在進行的工作看起來是不可能完成的，或許羅韋利還是應該考慮回意大利。

這個消息太讓人心碎了。羅韋利的感情遭遇了打擊，正處於“最深的絕望中”，而現在看來他的科學理想也要受挫了。羅韋利無法控制自己的情緒，眼淚奪眶而出。看到斯莫林因為自己突然哭泣而表現出困惑的神情，羅韋利趕緊道歉並解釋了他的不幸遭遇。斯莫林表示非常同情，並坦陳自己最近也剛剛經歷了一場類似的分手。

現場一片尷尬的沉默。

為了轉換話題，讓氣氛再次輕鬆起來，斯莫林問羅韋利喜不喜歡帆船運動。羅韋利露出了微笑，他確實熱愛帆船運動。他們當即離開了辦公室，往耶魯大學的船庫走去。他們選了一條小船，在那一天接下來的時間裏一直在康涅狄格州海岸線東邊一個小海灣裏度過。他們忘記了所有的科學問題，暢談自己的生活、理想及感情問題。羅韋利在克蘭住的公寓裏租了一個房間。在接下來的一天裏，斯莫林完全沒見到他的人影。但到了第三天，羅韋利來到斯莫林辦公室門前。

“我找到解決所有問題的方法了。”他説。

斯莫林、雅各布森和克蘭全力發展的這一理論已經消除了格點結構，但他們得出的量子態仍然是自旋聯絡的函數。然而，自旋聯絡本身周圍還帶着引力場，而在廣義相對論中，引力場就是時空本身。因此，哪怕這些量子態看起來已經與背景的時空格點無關了，它們也並沒有真正地與背景時空相脱離。這就解釋了為什麼他們得到的解沒能通過座標系檢驗。

羅韋利意識到，在此基礎上，利用他從艾沙姆那裏學到的技巧，對解進行一次重新表述，就能只以力圈的形式來表示量子態了。同樣的邏輯可以用在多個問題上，這即將成為一類由交叉的圈——“引力圈”組成的理論，這類圈不僅存在於空間中，它們的集合本身即為空間。

不到一天，他們就確定這是一個極好的想法。往這個想法裏填充細節又花了幾個月的時間：

最終，我們得到了波利亞科夫提到過的宏大願景中的那種理論：在這樣一個理論中，只存在純粹的圈，這些圈用極為簡單的、可得到精確解的方程描繪了真實世界的一方面。而且，有了這種理論，只依賴於圈與圈之間的相互關係——它們如何打結、如何相連、如何形成扭結，我們就能構建愛因斯坦引力理論的量子版本。

他們決定動身去錫拉丘茲，向阿什特卡展示這一發現。在去機場的路上，開道奇牌達特車的斯莫林與後面一名開瑪莎拉蒂的男子發生了點兒小摩擦，瑪莎拉蒂車主嫌斯莫林開得太慢。美國汽車和意大利汽車開展了一場短暫的不平等較量，美國汽車毫不費力地勝出。斯莫林的道奇全身而退，而瑪莎拉蒂近乎報廢。

羅韋利發着高燒，但仍堅持報告了團隊的結果。報告結束後，所有人陷入了長長的沉默，打破這一沉默的是阿什特卡，他説這是自己頭一次見證有可能成為量子引力理論的方程組。

不久之後，他們就飛往倫敦，向艾沙姆展示了這一結果，然後參加了於1987年12月14至19日在印度果阿舉行的關於引力和宇宙學的國際會議。羅韋利並沒有收到這個大會的邀請，而且申請參加的截止時間也已經過了，但一種衝動讓他決定碰碰運氣，直接過去。他的大膽讓他如願以償：他成功地訂到了大會參與者住宿的酒店裏最好的房間。

他們在會議上的報告非常成功。“量子廣義相對論的圈空間表述”獲得了更多人的關注，這一理論後來被稱為**“圈量子引力”（LQG）**①。

① 羅韋利在1998年的一篇綜述中提到了這個名字，但這個名字過了很多年才流行起來。其他的理論物理學家提出了不同的名字。亞歷杭德羅·科裏基回憶道，在1996年一場酒吧裏的討論中，物理學家大多還將這一理論稱為“非微擾量子引力的圈表述”。（引自2017年11月21日作者與科裏基的個人交流）

事實證明，從這一初始的突破誕生，到物理學家對空間的量子本質產生一種真實的理解，並定義圈量子引力的範疇，還需要8年的時間。這一旅程包含三個步驟。

從圈到結

要研究圈量子引力理論，我們該從何處開始呢？這是一個關於引力圈的理論，因此我們或許可以通過探索圈（空間量子態）的性質得到很多收穫，這就是關於紐結（knot）的理論。只要你係過鞋帶，打過繩結，或者打過領帶，你應該就對“結”很熟悉了。如果你聽説如今在數學上有一大類理論專門研究紐結，可能會有些奇怪，但數學上的紐結與我們日常生活中遇到的繩結不太一樣。首先，數學上的紐結出現在形成連續圈的物質中，而不是日常生活中單條一維的線繩（比如領帶）或把單條線繩的兩端系起來（如鞋帶）所組成。

一個閉合的、沒有打結的圈被稱為無紐結圈（unknot），顯然，它不包含紐結。最簡單的紐結之一是三葉結（trefoil），如圖1和圖2所示。這類物體是三維的，但為了把它們呈現“在紙上”並對它們進行一些操作，我們需要把它們投影到二維平面中，並展示出圈的哪些部分在其他部分之上，即壓過了其他部分（而被壓住的部分則通常被繪製成圈上缺失了一部分）。如果你花很長時間仔細把玩一個三葉結，你會發現它確實打結了——你不可能通過任何平滑的操作把結去掉。為了解開它，我們只能把繩子剪斷，並把兩端重新連接起來。

如果我們擁有了兩個或者兩個以上的圈，情況就會變得更復雜一些。兩個圈可以形成鏈，即無法在剪斷其中一個圈的情況下把它們分開。在看起來很邪惡的懷特黑德鏈環（以英國數學家J. H. C. 懷特黑德的名字命名）中，一個無紐結的圈被另一個無紐結的圈在扭曲的狀態下穿過，這樣的兩個圈無法在不剪斷圈的情況下分開。這一圖案出現在雷神②的傳奇戰錘③上。三個圈可以組成一個博羅梅安鏈環，它們看起來像一套類似九連環的智力玩具，但又有所不同：儘管任意兩個環都沒有相互穿過，但這三個環是一個整體，無法分離。

② 雷神（Thor）是北歐神話中的雷霆和力量之神，其武器是一把戰錘。——譯者注

③ 以紐結的圖案來裝飾雷神之錘的傳統延續至今。如果你是漫威電影宇宙系列電影的粉絲且善於觀察，就會發現電影中的雷神之錘上裝飾着一個簡單的三葉結。

圖1. 三葉結、懷特黑德鏈環、博羅梅安鏈環

圖2. 雷神之錘

從雷神之錘的圖案可以看出，紐結在人類歷史上已經存在很長時間了。早期的紐結理論學家希望能構建一套數學語言，以描述一個含有大量扭曲結構的複雜的圈到底是否包含紐結，或者一系列圈的組合是不是連成了不可分離的鏈環④。他們還想將所有可能出現的紐結和鏈環分成不同的類別（目前已知的紐結與鏈環有60億種），並在它們之間建立數學關係。

④ 所有曾經被電視、機頂盒、DVD播放器、音響系統背後的一團亂線搞得崩潰的人，一定都思考過這種問題。

紐結理論在物理學中的應用也有一段相對長的歷史了，至少可以追溯到19世紀60年代。開爾文勳爵建立的原子渦流理論認為，原子是以太中的紐結和鏈環所形成的。在1869年發表的一篇論文中，開爾文描繪了一系列紐結和鏈環，其中就包括三葉結、相連的環以及博羅梅安鏈環。如今，紐結理論在自然科學中的應用十分廣泛，包括拓撲量子場論，以及研究DNA（脱氧核糖核酸）、蛋白質等複雜生物分子物理學性質的領域。然而，它與圈量子引力的關係並沒有那麼大，其原因留待下文解釋。

斯莫林和羅韋利使用紐結理論獲得了一些進展，主要是給不同的可能量子態解分了類，但他們仍然不清楚這些態的物理意義是什麼。他們遇到了兩個問題。

在量子力學中，每個可觀測量都與一個對應算符有關。算符是我們可以應用於波函數的一項數學操作，如將它乘一個量，或者對它求微分。在量子力學中，如果我們將能量的算符（也可以是其他算符，僅以能量為例）應用在波函數上，就會得到一系列離散的、量子化的波函數的能量值——能量就是一個可觀測量。

廣義相對論屬於經典理論，並不像量子理論那麼依賴算符⑤。它描述的是質能與時空之間的關係，而如果我們把所有存在的物質都移走，在原則上會發生什麼呢？這是第一個問題。圈量子引力原本想要的描述的是時空本身是如何演生出來的，但要以量子場論的形式重新表述，在缺乏物質的情況下，算符和可觀測量就根本無法定義了。我們不能給空間安上一個算符，因此也就沒有對應的可觀測量。

⑤ 與廣義相對論有關的經典的可觀測量是非局域性的，而且極為複雜。因此，想要導出對應的量子力學算符也極其困難。

第二個問題與時間有關。狄拉克此前發現，在廣義相對論的約束哈密頓表述中，時間“消失”了。這一結果被延續至惠勒−德威特方程和ADM表述中。森、阿什特卡、斯莫林、雅各布森、克蘭和羅韋利為進一步重新表述該理論所做的一切工作，都沒能讓時間維度重新出現。

這些問題表明，儘管用紐結理論可以找到一些解並對其分類，但它並不能告訴我們該如何詮釋這些解。羅韋利和斯莫林不得不承認：“如何在物理學上詮釋我們找到的這些圈態，仍是一個懸而未決的問題。”

從紐結到編織

下一個重大進展出現在約1990年末、1991年初。在一間嘈雜的車庫裏等待汽修工人修好他的車時，斯莫林在筆記本上草草寫下一系列方程。他發現了一種方法，可以構建並演算量子力學的算符來表示物理區域，以使得到的“譜”——該區域可以取的多種量子化的值——有限大，無須重正化。

這是他們幾個月以來工作的高潮。在過去的幾個月裏，他們一直致力於發展來自QCD的新的數學手段，並試圖使其適應背景無關的算符。在1991年6月於西班牙加泰羅尼亞舉行的一場國際理論學會議上，斯莫林做了一系列報告，總結了這一工作。

在1988和1989年的兩個夏天，斯莫林都會前往意大利，與羅韋利一起度過“工作假期”。雖然1990年羅韋利去了匹茲堡工作，但他們在接下來的7年裏仍然每年夏天都去意大利。這麼做既有實際的原因，也有個人原因。羅韋利的父親一開始介紹斯莫林住在他們家隔壁的單人間公寓裏，羅韋利又介紹斯莫林認識了一位來自維羅納的女性朋友，斯莫林很快與這位姑娘訂了婚。“這些經歷既改變了我的生活，也改變了我的科研事業，”斯莫林説，“圈量子引力理論要感謝（維羅納的）香草廣場和但丁廣場周邊的那些咖啡館，我們有很多工作都是在那裏完成的。”

1991年夏天，斯莫林以訪問科學家的身份去了離維羅納只有一小時車程的特倫託大學。阿什特卡也加入了他們，三人一起嘗試應用斯莫林新想出的數學技巧。三人取得了一些進展。他們發展出一種結構，以描述相連的引力圈如何結合在一起，形成一種不斷延伸的“編織”（weave）。這再次暗示我們，我們以為空間是連續的，物體可以在其中平滑穩定地移動，但這只是宏觀經典世界中的幻影，正如遠看光滑連續的牀單表面，近看其實由無數細密的亞麻或棉線交織而成。雖然牀單遠看是一個面，但線與線之間其實並不存在物質。圈量子引力理論提出，在普朗克尺度下，空間是不連續的，由一個一個的基本單位或量子（也就是圈）組成。這些空間的基本組成單元以編織的方式組合在一起，與其説像連續的線編織成的牀單，不如説像是環環相套形成的鎖子甲 。羅韋利蒐集了他能找到的所有鑰匙環，把它們串在一起，為這類“圈空間”製作了一個三維物理模型（如圖3所示）。他後來開玩笑説，他把維羅納所有的鑰匙環都用上了。

圖3 為了展示連續空間如何由一系列的引力圈相串聯、編織而成，羅韋利用了“維羅納能找到的所有的鑰匙環”，製作了這樣一個三維模型

現在的難題就是用斯莫林的面積算符來清晰地展示理論是如何預言圈編織成時空形狀的了。

從編織到自旋網絡

1992年夏天，阿什特卡與斯莫林在一項美意聯合科研補助金的支持下，再次來到特倫託。1993年8月，斯莫林與羅韋利在維羅納又取得了一項重大進展。他們發現了一種方法，可以同時利用與背景無關的面積和體積算符構建出有限的哈密頓量。

1993年，賓夕法尼亞州立大學給阿什特卡提供了埃伯利物理學教授的職位，以及建立一個新的引力物理學與幾何學研究中心的機會。他與校方談判，説服校方同意他把斯莫林從錫拉丘茲帶來，並爭取到了另一個教職，它後來給了阿根廷理論物理學家豪爾赫·普林。

1994年，斯莫林仍然保持了夏天去意大利的傳統。這次，他利用了位於意大利的裏雅斯特的國際高等研究學校（SISSA）的訪問講師職位，的裏雅斯特距離維羅納大約兩個半小時的車程。上午，斯莫林和羅韋利各自獨立計算，然後在草藥廣場上的一家咖啡館碰面，比對各自的結果。他們正努力嘗試理解體積算符，事實證明它比面積算符難處理得多。羅韋利描述道：“它很難，因此它很有意思，它簡直棒極了。”

經過最後的衝刺，他們解決了這個問題，擺在他們面前的情形又改變了。

他們的計算表明，圈之間的串聯遠不如它們產生的網絡重要，因此羅韋利的鑰匙環模型已經過時了。不應該把重點放在理解圈之間是如何相交的、在哪裏相交的，在新的描述中，交點本身才是更重要的，它們成了網絡中的“節點”。將體積算符用在節點上，就得到了可觀測量：在節點處特定數目的量子體積。

斯莫林突然意識到，這種網絡他曾經見過。那便是彭羅斯曾經構造的自旋網絡。

1971年，彭羅斯向自己提出了一個看似簡單而無害的問題：有沒有可能把連續的時空換成一個僅由物體之間的相互作用構成的系統？

我自己的目標是嘗試用離散的組合量的方式描述物理學，因為當時我相當堅定地認為，物理學定律和時空的結構從根本上應當是離散的，而非連續的。此外，另一個驅動我研究的動力來自馬赫原理的一種形式，它認為空間的概念本身應該是被導出的，而非原本就存在的。

我自己的目標是嘗試用離散的組合量的方式描述物理學，因為當時我相當堅定地認為，物理學定律和時空的結構從根本上應當是離散的，而非連續的。此外，另一個驅動我研究的動力來自馬赫原理的一種形式，它認為空間的概念本身應該是被導出的，而非原本就存在的。

彭羅斯的偉大的想法是根據已經量子化的基本概念建立一種結構，讓連續的概念作為一種極限情況（即近似）出現。但應該選擇哪些概念呢？他毫不猶豫地開始研究自己眼中“最有量子力學特徵的物理量”：自旋。

我在第4章提到過自旋。電子擁有一種內稟角動量，由一個叫作自旋量子數的量來表徵，其大小固定，為1/2。這意味着電子在磁場中可以“指向”兩個不同的方向，我們可以稱其為“自旋向上”和“自旋向下”。然而，彭羅斯想知道這個問題的答案：“電子是怎麼知道哪個方向是‘上’，哪個方向是‘下’的呢？”這很明顯是我們先假設了一個背景時空，然後強加給電子的方向⑥。要去除背景時空，就意味着我們只處理總自旋角動量——由所有物體的自旋加起來而得。總自旋並不要求我們事先規定一個方向。

⑥  當然，電子自旋的方向只在電子經過磁極之間時才顯示出來，因此磁極本身規定了一個“方向”。但這並不能回答彭羅斯提出的問題，因為磁極的方向也需要在時空中被事先指定。

彭羅斯得到的結果就是所謂的自旋網絡（spin network），見圖4。這一結構與物理學結合，為物體之間的結合方式建立了某種規則，從而保證總自旋角動量永遠守恆。

圖4. 在嘗試設計一種既離散又有相關性的空間描述的過程中，彭羅斯使用自旋角動量的基本概念發展出了自旋網絡。圖中就是一個自旋網絡的示例

彭羅斯證明，只要網絡的總角動量足夠大，就能以其自身構建出逆着其他可被測量的大型網絡的相對定向的方向。想象有這麼一個自旋網絡，它擁有很大的總自旋角動量（例如為N），現在我們將一個單位的自旋角動量傳遞到另一個大的自旋網絡（總自旋角動量為M）中。在這個過程中，有一定概率這一個單位的自旋角動量會加到第二個自旋網絡中（得到M + 1），也有一定概率第二個自旋網絡會被減去一個單位的自旋角動量（得到M− 1）。彭羅斯證明，這些概率之間的關係定義了兩個網絡之間的夾角。不僅如此，他還證明，所有這類夾角之間的關係，與三維歐幾里得空間中的夾角關係完全一致。這表明，常規的空間和幾何學從大的自旋網絡中的一系列相互關係中演生了出來。

彭羅斯在開始構造這一理論時，完全沒有預先在大腦中設定任何理論的形式結構，他只是基於空間應該是離散且相關的這一想法，想出了自旋網絡的結構。實際上，彭羅斯的這種理論僅包含一個想法：自旋網絡不足以構成一整個研究課題（彭羅斯本人花了更多精力在通往量子引力的另一條道路——扭量理論上面）。

斯莫林肯定早在哈佛讀博的時候就聽説過自旋網絡了。“我真的搞不明白自己為什麼花了這麼長時間才意識到自旋網絡可以被看作圈量子引力的基礎。”他承認。但是，與自旋網絡相關的計算令人望而生畏：它們極為複雜，又容易出錯，只要一個簡單的正負號錯誤就會給整個結果帶來災難性的影響。不過，斯莫林還是勇敢地接受了這一挑戰，並在1994年訪問牛津，直接向這系列計算的發明者彭羅斯本人請教。

這是一項卓越的成就。彭羅斯之所以發展出自旋網絡，只是因為他感覺連續時空的觀念不太對勁。把阿什特卡的廣義相對論自旋聯絡表述量子化，就得到了引力的“圈”和“紐結”，然後得出一個由圈編織起來的空間。斯莫林和羅韋利如今已經找出了應用體積與面積算符的方法，並且證明圈量子引力理論中的空間是離散而相關的，在他們推進這一工作的過程中，彭羅斯早已建立的自旋網絡理論就在背後靜靜地看着他們。應用體積算符，就會得到自旋網絡節點處的離散“顆粒”，即量子化的空間。

應用面積算符，就會得到網絡中的連線上（即離散顆粒相連的地方，如圖5所示）的量子化的面積。這些顆粒極為微小，一個質子裏裝得下多達1065 個這樣的體積量子。從一個顆粒移動到相鄰顆粒形成的閉合迴路就是圈量子引力理論中“圈”的起源，而圈上每條線所帶有的值的總和就反映了引力場的強度，即空間彎曲的程度。

圖5.（a）斯莫林和羅韋利應用了彭羅斯的自旋網絡，將節點替換成空間的體積量子；（b）將節點之間的連線替換成體積量子之間相接的面的面積量子

這趟旅程曾經充滿困惑、沮喪，甚至絕望，而且遠未結束，但此時斯莫林和羅韋利感受到了少有的真正的歡欣。他們發表了兩篇關鍵的論文，一篇關於面積與體積的離散性，另一篇關於量子引力與自旋網絡之間的聯繫。這兩篇論文代表了他們最引以為傲的科學發現，也是他們在圈量子引力方面被引用次數最多的論文。

這可稱得上是個碩果累累的夏天了。

本文經授權選編自《量子空間》一書（出品方：中信出版·鸚鵡螺，2019年11月），文中圖片來源請參見原書。

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