怪物與月光：1998年菲爾茲獎得主Borcherds的數學工作_風聞

“這次是一場很難有機會聽到的演講, 從故事的開頭就談到許多數學最基本的東西及其典故。一般研究生做數學研究的時候, 都是比較偏重技術性, 從定義定理開始, 即便不知道這些定理的由來, 也還是繼續進行技術性的邏輯推導。但不管從任何角度來看, 我們做研究都必須知道故事的來龍去脈及源頭, 這樣才能提供繼續往下走的動力。“

原載：《數學傳播》35卷第4期演講人：林正洪（台灣中央研究院數學研究所）

時間：2011年 12月24日

來源：和樂數學

來源：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/

今天的演講題目怪物與月光有點不大像數學。如果你來這邊覺得會聽到我談月光怪獸, 對不起, 今天不談月光怪獸, 也不説月光之下的怪獸, 我們今天談的是實實在在的數學問題。也許你會感到疑惑, 為什麼名字那麼奇怪, 怪獸與月光, 我希望大致解釋一下為什麼用這樣的名字來看數學問題, 另一個很重要的問題是 Richard Borcherds 在這個月光與怪獸之間做了些什麼事情, 讓他獲得1998年的菲爾茲獎, 這是最主要要説的內容, 當然這之間多少會提到些數學, 有些簡單, 有些較難。但是我希望大家可以趁此機會了解, 其實數學家並不是像大家想象中那樣死板, 我們想的東西其實有很多是跟一般人一樣。

首先, Monster是什麼, 第二個問題Moonshine月光是什麼, 為什麼用那麼奇怪的名字命名數學問題。當然, 除了解釋是什麼之外, 也會提到為什麼是有趣的, 或是説為什麼很特別。接下來, 簡單介紹一下Richard Borcherds。他的第一篇論文發表的時候只有20出頭, 在25、26歲時就有些非常重要的結果。我也會簡單地講一下他做了什麼事情, 有那些貢獻令我們對 Monster 和 Moonshine 有更好的瞭解。

什麼是 Monster? 什麼是 Moonshine? 要了解這個問題必須要先知道一般人對 Monster 與 Moonshine 的印象是什麼, 接着才延伸到數學問題, 然後你就會發現 Monster 與 Moonshine 這兩個稱呼是有其意義。一旦瞭解它背後的意義, 就會發現這兩個命名一點都不奇怪。

那什麼是 Monster? 根據字典的定義, 所謂的怪物一般是想象的、既大又醜又可怕。我們的重點就在大與可怕。美醜是主觀的我們忽略不多談, 但是, 大是一定要夠的。日本人對 Monster 有其他的想法, 他們的怪物可以是小巧可愛的, 例如皮卡丘等, 與之前的定義相反。目前研究 Monster 的數學家中有很多是日本人, 對他們來説這是非常漂亮、可愛的。

那麼 Moonshine是什麼? 用中文來説就是月光, 意思是什麼? 一種解釋是不是很亮、模糊不清，但漂亮的。另一種比較靠近我們今天主題的解釋是不大實在、空妄的, 英文有一句俚語moonshine in the water, 也就是中文的水中月, 看得到摸不到, 不實在, 虛無飄渺的。所以某種程度來説, 為什麼命名為月光, 是因為它是不實在的, 沒有可以觸摸的方法, 不知道會發生什麼事情。另一種解釋是英文的俚語, moonshine 指的是走私或私釀的酒。如果在網絡上搜尋 moonshine, 可以看到許多酒精私釀的圖片。等一下大家就會知道為什麼要命名為 moonshine, 因為它就像私釀酒一樣, 還沒有取得合法的資格。

實際上我們所説的 Monster是什麼, 簡單的説它是個有限羣 (finite group)。如果學過代數, 就會知道什麼是有限羣, 是在研究些什麼東西。Monster是最大的一個散在單羣(sporadic simple group), 要解釋什麼是單羣比較困難, 從簡的解釋就是它沒有正規子羣 (normal subgroup)。英文中sporadic指的是分散的、不常出現的, 當你研究單羣的時候可以發現, 有許多的單羣例子, 而sporadic是分散的, 沒有一個好的方法説明它是什麼樣的羣。在數學裏面若有一個對象(object)是 sporadic、exceptional, 也就是不清楚來源, 也不清楚與其它對象之間的關係, 這些東西在某種程度上都是重要的, 必須費心思去研究。

Sporadic 羣總共有26個不同的羣, 其中Monster是最大的, 剩下的各有不同的名字, 有5個是Mathieu羣, Janko（注: Zvonimir Janko (1932- ), 克羅西亞羣論學家, 羣論中Janko羣就是以他為名。）發現了四個, 稱為 Janko羣, Conway（注: John Horton Conway (1937-2020), 英國數學家, 在組合、幾何、數論、羣論、物理等都有很重要的工作。）發現三個, 是 Conway羣, Fischer（注: Bernd Fischer (1936), 德國數學家, 以在有限單羣的貢獻最為人所知。）有三個羣, 是Fisher羣, 其他分別由不同的人發現也都各有命名。在這當中, Monster 和 Baby Monster 也都是由 Fischer 發現的, 不過一般稱為 Monster 和 Baby Monster, 並沒有用 Fischer 的名字命名。另外, 還有兩個羣分別稱為 Thompson（注: John Griggs Thompson (1932-), 美國數學家, 1970年獲頒菲爾茲獎, 2008年獲頒 Abel 獎, 以有限羣的研究聞名。）和 Harada。Harada（注: Koichiro Harada 原田耕一郎, 羣論學家, 證明了Gorenstein-Harada 定理。）是我博士班時的指導教授, 從他那邊聽了不少故事, 可以與大家稍作分享。另外, 這個圖表也有稍作區別, 加了上線的就是 Monster本身, 加了底線的羣 與 Monster 沒有直接關係, 黑色的羣與 Monster 有直接關係, 是Monster的子羣或商子羣 (quotient subgroup)。一旦清楚理解 Monster 羣, 也就知道了其他20個羣, 這也是為什麼大部分的注意力都集中在 Monster 羣上, 因為它不但是最大的羣, 還包含了其他20個羣。現在大部分的人都稱 Monster 羣為 Fischer-Griess Monster。為什麼會有人喜歡稱他為 Friendly Giant, 因為縮寫 F. G. 同時也是 Fischer 和 Griess（注: Robert Griess (1945- ), 美國數學家。） 的這兩個姓氏的第一個字母。現在稱Monster, 則變成了 M。另一種寫法是

代表它們與 Fischer 的工作是相關的。

什麼是Moonshine呢? 這沒辦法用三言兩語詳細説明, 但是簡單來説它代表 Monster 羣特徵標(character) 和數論中一種很重要的函數——模函數(Modular function) 的神秘關係, 是一個完全出乎意料的關係。模函數和羣看起來沒有甚麼特別的關係, 在研究數論或黎曼曲面時常會遇到模函數, 但跟有限羣好像沒有太大關係。有了這個奇怪的關係, 數學家們第一個想知道的問題就是它是否正確, 第二個問題自然而然地就是為什麼是正確的。如果是正確的, 有沒有一個好的解釋。當然, 解釋的好壞見仁見智各自認定, 不過總是有一個這樣的關係存在。重點是它把Monster的研究推廣到純粹有限羣的研究之外, 它帶到數論、李代數、甚至是物理的領域。在我繼續之前, 先簡單地解釋有限羣是什麼。羣論可以説是在19世紀初期, 從 Evariste Galois（注: Evariste Galois (1811-1832), 法國數學家, 最有名的工作是多項式的可解性, 他的研究奠定了現代代數基石。）開始的。他有個很重要的工作是有關多項式方程的開方解。他非常的年輕, 過世的時候才21歲, 逝世的原因是與人決鬥。所以可以想象這工作是在18、19歲完成的, 他也曾經入獄, 是個有許多故事的人, 很值得説上一説。為什麼他那麼重要, 事實上整個有限羣論的觀念可説是由他一手所建立的。舉個簡單的例子, 中學的時候學過二次方程式的解, 可以用以下這個特定的方法來做。

所以只要利用開方就可以完全解決這個問題。同樣的方法可以套用在三次、四次或更高次的方程式嗎? 如果是三次、四次的方程, 是有類似的方法, 不過解不是這樣清楚、容易, 許多書都可以查到, 但是基本上有個求解的算法, 只需要利用開方這個程序, 就可以完成。

大約也是在19世紀時, Abel（注: Niels Henrik Abel (1802-1829), 挪威數學家, 以證明五次方程的根式解的不可能性和對橢圓函數論的研究聞名, 阿貝爾獎就是為了紀念他而設立。）證明了5次或更高次的方程, 這樣求解的方式是不可行, 做不出來的。但是他只提出了一個做不出來的例子, 並沒有清楚的列出可行與不可行的方程, 而我們知道有些方程是可行的。

相對之下, Galois 則是把可使用開方處理與不可使用開方處理的條件清楚寫出。他的想法是革命性的, 在他之前, 重點放在求解的各式方法, 但他卻把重點放在研究解本身的對稱性(symmetry)上。何謂解的對稱性? 當有許多解的時候, 可以對解做置換 (permutation)——就是變換它們的相對位置, 但卻不影響解之間的代數性質。Galois稱這些置換為"a group of permutation of roots"(解的置換羣), 大家會想為什麼這樣的數學要稱為"羣(group)", 這裏可以看到"羣(group)“這一説法的起源。在羣之外, 他也提出了另一個觀念"域(field)”, 但我就不多談了。現代一般稱這個羣為Galois 羣, 這個羣可以看做對稱羣的子羣, 以下是一個簡單的例子。

所以, 羣是什麼? 你可以把羣視為研究特定對象 (object) 對稱性的工具。這研究當然不限於有限羣, 無限羣也是可以做的。簡單的説, 現代羣論的研究就是對稱性 (symmetry) 的研究。以全等三角形為例, 利用反射使它左右交換, 交換後, 這個三角形還是同樣的三角形。如果同時做二次不同的反射, 可以發現, 三角形的頂點被旋轉了, 但是還是三角形, 沒有改變。這樣一來, 這個三角形的對稱羣 (group of symmetry) 有六個元素 (element), 三個是反射, 另外三個是旋轉。這樣的羣就是現在説的dihedral 羣。

同一個羣, 可以用很多不同的方法去討論。上面例子中的羣都是由反射所生成, 所以稱之為反射羣。

那麼 Monster 是怎麼發現的? 讓我説一些歷史。之前提過, 很多羣的類型都是反射羣。反射的階數是2, 做一次後, 反過來再做一次, 作用就互相抵消。數學上, 階數為 2 的元素 (element) 被稱為對合元(involution)。什麼樣的羣是由對合元所產生的。如果只要求單羣, 幾乎每個單羣都是由對合元所生成, 所以對研究單羣的數學家來説, 這是個非常重要的問題? 但這樣還是很困難, 因為兩個對合元互乘後, 階數可以是任意的。所以 70 年代初, B. Fischer 問了以下的問題：

同構於 Baby Monster 的 2 階擴張(double cover)。他們分別找到證據顯示這個羣是存在的, 這就是現在説的 Monster 羣。這個羣的存在與否當時還沒確定, 但如果存在的話, 是什麼樣的呢? 他們發現這個羣一定是 6 置換羣, 會有兩個2階的共軛類(conjugacy classes), 簡言之就是有兩類型的對合元(involution)。Monster羣的不可約表示的維數最小是 196883, 也就是起碼要用 196883X196883 矩陣。這樣的大小即便是現在的計算機都沒辦法處理。另外如假設這 196883 維的不可約表示存在, 可以算出 character table。不單如此, Simon Norton（注: Simon Norton (1952- ), 英國羣論學家。）在做完 character table 之後, 發現這個 196883 的表示有個可交換但非結合的代數結構。當然這個代數結構相對Monster是不變的, 也就是Monster 會保存乘積。所以, 所有的東西都是建構在196883的表示是存在的。Thompson 在 1979 年有一篇文章, 討論如果真的有這個 196883 的表示, Monster 羣會是唯一的。所以問題都在如何把這個196883的表示做出來。

1982年Griess發表了這個196883的代數的論文, 實際上, 他在 1980 年就已經公佈了這個結果。這件事在當時是一件非常轟動的事情, 還上了報紙新聞, 因為 196883 是一個這麼龐大的矩陣, 加上那時候的計算機技術也不甚發達, 所以沒有人相信這個羣可以那麼快就做出來。沒想到, Griess用手就把它算出來, 發表的論文也不過是一百頁左右。除了把這個 196883 的代數算出來, 他也證明了 Monster 是存在的。後來 Conway跟 Griess 將原來的做法簡單化, 把196883加了一個單位元變成196883+1, 因為這是代數結構, 所以希望有單位元, 比較容易處理。這樣做的好處是容易處理, 壞處是維度又變大了。

將是一個模函數 (modular function)。

從前做數論的人沒有想過會有這樣的東西, 當有了這個猜想以後, 數學家們如 Conway, Norton 等人開始計算試着解釋

是不是 modular function, 花了很久的時間算這個東西, 算完之後, 得到許多的數字也不知道該怎麼辦, 到圖書館去查19世紀末的書, 看到許多數字跟剛剛算出來的一模一樣。因為一模一樣, 所以他就列出這些所有可能的函數, 一共有171個。當然這之間有很多的巧合, 但是從這些巧合可以發現這些函數不是一些無用的東西, 是有意義的, 以前就經常有人研究它。這些函數非常特別, 是所謂的 hauptmodul of genus 0。在此稍微解釋一下 2 維的 compact surface 可以用 genus 去分類。球體就是 genus 0。至於 hauptmodul 的意思是指這個函數可產生其它所有同類的函數, 這我就不再解釋, 因為是比較技術性的東西。

而 Moonshine 這個名稱的由來就是因為 Conway, Norton 等人嘗試去解釋這個關係, 但當時完全沒有足夠的證據, 也沒有證明。他們發表的文章也是數學論文中的一篇奇葩, 因為沒有太多的定理, 也少有證明, 只有觀察與計算。這樣的數學論文是非常少有的。也是因為這個關係在當時還沒完全"合法", 所以被稱為 moonshine也就一點都不奇怪。

1983年時Frenkel（注: Igor Borisovich Frenkel (1952- ), 俄裔美籍數學家, 主要研究領域在表現理論與數學物理）-Lepowsky（注: James (Jim) Lepowsky (1944- ), 美國數學家, 研究領域包含李帶數與頂點代數）-Meurman（注: Arne Meurman (1956- ), 瑞典數學家, 研究領域包含有限羣與頂點代數）使用物理學中的頂點算子(vertex operator)做出了 McKay 和 Thompson 所猜想的 Monster 模, 頂點算子的方法對羣論來説是全新的, 這些頂點算子開始時是物理學家在1960年代所發明的。在 Frenkel, Lepowsky 和 Meurman 發表了他們文章後不久, Borcherds在美國科學院的 proceedings 上發表了Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster（注: Borcherds, Richard E., Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster., Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 83 (1986), no. 10, 3068-3071. ）。他在這篇文章中, 定義了一個新的代數系統, 稱為頂點代數(vertex algebra)。在文章中他提到 vertex algebra 與 Kac-Moody 和 Monster 的關係, 最特別的是他提到 Frenkel-Lepowsky-Meurman 的 Monster 模是個頂點代數。要注意的是這篇文章是在 proceedings 上發表的, 所以文章很短沒有辦法把證明納入。後來, Frenkel-Lepowsky-Meurman 修改他的一些定義, 引入頂點算子代數 (vertex operator algebra) 的觀念, 證明 Monster 模是頂點算子代數, 不單如此, Monster 是這個頂點算子代數的自同構羣, 所以 Monster 描述一個很大代數系統的對稱性 (symmetry)。這個 module 現在稱為月光頂點算子代數 (Moonshine Vertex Operator Algebra)。在證明中Frenkel-Lepowsky-Meurman等人必須要用到 Griess 的結果, 所以 Griess 的工作也是非常重要的。

Conway 和 Norton 所提出的171個函數, 後來在1992年被 Borcherds 證明了, 並在1998年獲頒菲爾茲獎。他是如何證明的呢? 他用了很繁複的步驟。他先利用Frenkel-Lepowsky-Meurman的月光頂點算子代數製造了一個更大的頂點代數。接着他使用物理學弦論中的"沒鬼定理" (“no-ghost” theorem) 建造了一個李代數(Lie algebra), 這是一個廣義 Kac-Moody 代數, 目前也被稱為 Borcherds 代數, 最初也是由Borcherds所提出。由此可以看出, 為了解決這個問題, 他提出了許多全新的觀念, 非常重要, 是以前所不知道的。最後, 他利用李代數特徵標 (character) 理論和上同調方法計算了 McKay-Thompson series 的係數, 並證明 Conway 和 Norton 的猜想。由此可以看到, Borcherds做了兩件非常重要的事情, 首先, 他理解到要解決這個問題, 必須要用到李代數的特徵標 (Charatcer) 的理論, 因此他花了不少功夫去確立廣義 Kac-Moody 代數的特徵標理論。另外, 他發現研究 Monster 使用頂點算子代數是必須的。以上這些都是非常重要的創見, 他獲獎的原因就在這裏, 因為完全是以前的人沒想到的。不過, 如果仔細去看歷史, 會發現大部分工作不是他一個人完成, 是許多人的貢獻而成的。

到此, 我們發現這個領域令人驚訝地把許多看似完全沒有關聯的東西連在一起。第一個當然是有限羣, 第二個是模函數, 第三個是李代數的理論, 最後甚至連物理都扯入, 把弦論也帶進來了, 因為頂點算子代數最原始的觀點都是從弦論那邊得來。

簡單的説, 頂點算子代數就是物理上的共形場論 (conformal field theory) 的代數結構, 而Monster 是這種代數結構的對稱性 (symmetry)。所以最後, 有一個直到目前為止都還沒有人能夠回答的問題, Monster是不是跟實實在在的物理有關? 可不可能是宇宙中的一種目前還未知的對稱性? 研究物理場論都會提到對稱性。當然這個很大, 因為我們的宇宙是非常非常大的。

結 語

成功大學數學系許瑞麟主任：這次是一場很難有機會聽到的演講, 從故事的開頭就談到許多數學最基本的東西及其典故。一般研究生做數學研究的時候, 都是比較偏重技術性, 從定義定理開始, 即便不知道這些定理的由來, 也還是繼續進行技術性的邏輯推導。但是我覺得不管從任何角度來看, 我們做研究都必須知道故事的來龍去脈及源頭, 這樣才能提供繼續往下走的動力。很謝謝林教授今天帶給我們的演講, 就算不是做這個領域, 相信聽了演講之後, 還是可以有一個最基礎的認識。如果以為已經有了一個概念成形, 就算對內容細節還不甚理解, 我以為這場演講的目的也已經達成。

本文演講者林正洪教授任職台灣中央研究院數學研究所，整理者陳麗伍為台灣中央研究院數學研究所助理。

本文經授權轉載自微信公眾號“和樂數學”。

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