伽利略的相對性思想 | 《相對論-少年版》先讀為快_風聞

相對論的發展是一個長達300餘年的思想過程，在愛因斯坦1915年奠立廣義相對論的那一刻達到了頂峯。相對論是純粹理性思維的勝利，是物理現實的內在和諧與數學表達的形式美學之間完美的相互激勵，是嚴謹的日耳曼文化與浪漫的拉丁文化的燦爛結晶。物理規律的變換不換性是相對論的核心思想。沿着樸素相對論、伽利略相對論經由狹義相對論抵達廣義相對論，這一條綿密的思想河流上有激動人心的關於物理學創造的歷史畫卷。由中科院物理所研究員曹則賢所著《相對論-少年版》一書為我們展示了這一畫卷的深刻與動人之處。下文即節選自“伽利略相對論”一章。

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提要

伽利略是物理學的奠基者，單擺公式、落體公式和慣性定律皆出自其手。在慣性參照框架中，一個不受外力的物體會保持靜止或者勻速直線運動的狀態。相互間作勻速直線運動的參照框架，若其一為慣性參照框架，則全部都是慣性參照框架。伽利略發現置身於勻速運動的船艙內，人對周圍環境的觀察不能判斷船是否

後相對性思想的進一步拓展埋下了伏筆。慣性定律後來成了牛頓第一定律，擺脱對慣性參照框架的依賴是推廣狹義相對論的原初動機之一，廣義相對論的一大進步是修正了慣性運動的概念。

撰文 | 曹則賢（中科院物理所研究員）

卧看滿天雲不動，不知雲與我俱東。

—陳與義《襄邑道中》

1 伽利略與近代物理學

伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642)，意大利哲學家、藝術家、作家、數學家、天文學家，近代科學的奠基人，一個善於擺弄小玩意兒的人[1]。單擺運動週期的規律，

即單擺週期平方近似地正比於擺繩長度但與擺錘質量無關，自由落體或者物體沿斜面無摩擦滑下的運動規律，h=½at^2，即下落高度與時間平方成正比，都是伽利略在沒有時間測量的條件下得出來的基本運動規律。通過研究一個從斜坡滾下的小球在對面斜坡上能爬升的高度，伽利略得出結論，在沒有摩擦的極限情形下 (不存在哦！醉心於通過什麼測量研究物理學的人，不妨多思考一下伽利略的工作)，小球應該爬升到下落時的初始高度而與斜坡的坡度無關。伽利略進一步做他的思想實驗 (Gedankenexperiment)：“若小球從高處滾下後滾到了一個傾角為零度的斜坡上，傾角為零度的斜坡那就是地平面，按理它依然要爬升到初始時的高度，可是在地平面上它又一點兒也爬升不起來，那結果會怎樣呢？小球就只好一直、永遠這麼無助地往前滾下去。也就是説，一個物體，若沒有來自外部的強迫，會一直保持自己的運動狀態。”這揭示的就是所謂的物質的慣性 (inertia，惰性，懶的量度) [2]。在愛因斯坦的相對論文獻中，慣性、質量和慣性質量是混用的，因為愛因斯坦明白實質上它們就是一個概念。牛頓第一定律就是慣性定律，早在牛頓出生之前就由伽利略揭示出來並完整表述了。牛頓第二定律為ma=F，其中的m可以理解為物體懶惰程度的度量。施加同樣的外力F，m越大，其獲得的加速度a就越小。所以在牛頓第二定律ma=F中出現的這個質量，為了嚴謹，會被稱為慣性質量 (inert mass)，以區別於牛頓萬有引力公式

中出現的質量，那裏的質量是引力質量 (gravitational mass) 。Mass，本義為一大坨。關於質量概念的意義及其在物理學中的演化，請參見本章的深度閲讀。

傳説中，伽利略曾登上比薩的斜塔，拋下大小不同的兩個鐵球，證明了質量 (重量) 不同的物體是同時 (同步) 下落的。這個實驗，包括落體公式、慣性定律，都是相對論理論發展過程中里程碑式的內容，後文我們會加以詳細討論。

2 伽利略相對論與伽利略變換

研究運動要用到時間、位置矢量、速度和加速度。樸素相對論關切位置矢量變換

下物理規律的不變性，沒有納入時間的因素。伽利略更進一步，伽利略相對論關切速度變換下物理規律的不變性。

關於運動的感知問題，我國東漢時期成書的《尚書緯·考靈曜》中有句雲：“地恆動不止而人不知，譬如人在大舟中，閉牖而坐，舟行而不覺也。” 這説的是，人坐在船中無視船外之物，若船是勻速行駛的，則人不能感知船是否在移動，遑論船移動的快慢。由此，作者 (姓名未知，可惜！) 進而推論，大地也是一直在 (飄) 動的，但我們無從察覺地球的運動。這段話反映了一個特定層面上的相對論原理，即後來愛因斯坦所宣稱的伽利略相對論原理。我國古人的思想，由於沒有給出對這個原理進一步的闡述，更談不上用數學語言的系統表述及物理應用，未被看作是相對論理論的前身。我們甚至可以設想，在歷史上的某個時刻，還有別人也認識到了這一點。

伽利略相對論，源自其1632年出版的《關於托勒密和哥白尼兩大主要世界體系的對話》一書中的一段描述。伽利略以"表明所有用來反對地球運動的那些實驗全然無效的一個實驗"為題，詳細敍述了封閉船艙內發生的現象。伽利略寫道：“為了最終表明實驗 (揭示勻速運動) 的完全無效，我覺得此處正好給各位展示一個容易進行驗證的途徑。把你和幾位朋友一起關進一艘大船甲板下的主艙裏，帶上幾隻蒼蠅，幾隻蝴蝶，以及別的能飛的小動物。再帶上一大碗水，水裏有魚；吊起一隻瓶子，讓裏面的水滴到下面放置的廣口容器中。船靜止時，請仔細觀察小動物在船艙裏是以同樣的速度四處亂飛的。魚兒遊動，無所謂是朝着哪個方向；水滴會落到正下方的容器裏；朝你的朋友扔過去個什麼東西，你也無需在這個方向上加把勁兒，那個方向上省點力兒，扔出去的距離都是一樣的；雙腳起跳，你在不同方向上會跳出去一樣遠。當你仔細做了這些觀察 (毫無疑問，船靜止的時候事情就應該是這個樣子的) 後，讓船以任何速度前行，只要速度是均勻而非忽快忽慢的。你將會看到前述效應不會有一絲兒改變，你也不能從這些觀察判斷出船到底是走是停。起跳，你會越過跟從前一樣的距離，不會是朝着船尾跳得遠而朝着船頭跳得近一些兒，儘管船在高速前行，在你浮在空中的時候你腳下的船板 (在你往船尾跳時) 在相反的方向上一直前行。朝對面的同伴扔個什麼東西，你也無需因為他是在船頭或者船尾的方向而格外用力。水滴會象從前一樣落到正下方的容器而不是飄向船尾，儘管下落過程中船往前竄出了一大截。碗中的魚兒往前遊和往後遊一樣輕鬆，會一樣自在地遊向碗邊的魚食。最後提一下，蝴蝶和蒼蠅會繼續四下亂飛，而不會朝船尾聚集，好像因為不得不總停留在空中跟船分離又要長途旅行而終於累了跟不上船的行程似的。再者，如果點着什麼東西升起了煙，那煙會直直地升起形成一團小云彩，靜止在那裏，既不往前也不往後。這些 (船動與靜時) 效應相對應的原因是，大船的運動為其所容納之所有物體共享，包括空氣。這就是為什麼我説過你要呆在甲板下的原因；如果是在開放的空間中，空氣就不能跟上船的行程了，則我們所説的效應多少會有些不同。無疑地，煙要比空氣自身更落後一截，蒼蠅，還有蝴蝶，會被空氣裹挾而落後，因而若它們跟船離得遠的話就跟不上船的行程。但是讓它們保持靠近船，它們就能輕鬆地跟上；因為船，連帶着它周圍的空氣，是一個整體。因為類似的緣故，當我們騎馬的時候，會看到一些蒼蠅和牛虻會老跟着我們的馬，在馬身上從這塊兒飛到那塊兒。”伽利略在這裏想要説明的一個根本思想是：“不能以任何力學實驗來判斷一艘船是靜止還是在以任何速度勻速行駛中。”自然可以由此推論，對於地球的運動，人們也無法覺察到。比較伽利略的這一段同《尚書緯·考靈曜》中的論述，論證採用的情景以及論證模式分毫不差。當然，如今我們知道，地球的運動包括公轉、自轉和章動，比我們假定的船在水上的勻速運動複雜多了。後來法國科學家傅科 (Jean Bernard Léon Foucault, 1819-1868) 發明的傅科擺可演示地球的自轉[3]。不管怎樣，伽利略在這裏傳達了一個思想，不能用力學實驗區別一運動系統的不同勻速運動狀態。愛因斯坦把伽利略這個思想當成(特定層面上的)相對論，稱之為伽利略相對論。

伽利略的相對論是説，對於以任何速度勻速運動的觀察者來説，宇宙還是那個宇宙，宇宙裏的事件所應遵循的規律還是那個規律。套用我國古人的智慧，這叫“動靜等觀”。用數學的語

北京西山大覺寺的匾額“動靜等觀”

北京西山大覺寺的匾額 “無去來處”

3 伽利略相對論下的物理學

伽利略相對論常被詮釋為慣性的體現。一個支撐伽利略相對論的實驗是勻速運動體系內，自由落體過程同靜止體系中的自由落體過程是一樣的。你在行駛中的大船的垂直桅杆頂部釋放一個鐵球，它會砸在桅杆的基部。在一個岸上的觀察者看來，船勻速向前運動，而球的運動是勻速運動加上落體運動。球作為船之成體系的一部分，它和船具有同樣的向前的恆定速度。球砸到甲板時，船和球向前走過了同樣的距離，因此球必然會砸在桅杆的基部。這裏暗含的另一個重要內容是，描述運動的位置、速度和加速度都是矢量，而矢量是具有可加性的[4]。將速度乘上時間，加速度乘上時間的平方，就變成了和位置矢量同樣的數學對象—本來就是運動造成的位移矢量。一個拋體的動態位置矢量，就是其初始位置矢量，同勻速運動造成的位移矢量以及自由下落造成的位移矢量之和，

其中g是重力加速度矢量。運動的分解與求和，對應的是數學上矢量的分解與求和。

牛頓的萬有引力理論 (約成於1684年) 是滿足伽利略相對論的。考察一個質量為m的小物體 (設想是一個西瓜) ，其位置矢量為r1，被一個質量為M的大物體 (設想是地球)，其位置矢量為r2，所吸引的問題。由於m＜＜M，可以設想成是西瓜向着不動的地球下落。西瓜受力為西瓜-地球之間的萬有引力，

則根據牛頓第二定律，西瓜的運動方程為

作變

4 慣性與慣性參照框架

伽利略在研究自一個斜坡滾下的小球在對面斜坡上爬升的問題時，發現小球在對面斜坡上的爬升高度接近初始高度。在沒有摩擦的極限情形下，小球的爬升高度應等於初始高度，而與斜坡的傾斜程度無關 (現實世界中當然總有摩擦。這樣的思考方式才見抽象的威力) 。那麼，若對面斜坡的傾角為零，也即根本沒有坡只有平面，則小球追求上升到初始高度的努力會表現為一直往前運動下去。由此，伽利略得出了運動的慣性定律：“一個不受外力影響的物體會保持原有運動狀態。”這個慣性定律後來成了牛頓第一定律。後來的廣義相對論之於狹義相對論的一大進步是對慣性運動概念的修正。

慣性定律成立的參照框架 (reference frame) 是慣性參照框架 (inertial reference frame) 。所謂慣性，就是懶，不會主動改變。在慣性參照框架中，一個不受外力的物體會保持靜止或者勻速直線運動的狀態。相互間作勻速直線運動的參照框架，若其一為慣性參照框架，則全部都是慣性參照框架。慣性和慣性參照框架是相對論的關鍵詞。擺脱對慣性參照框架的依賴是推廣狹義相對論的原初動機之一。這是後話，且待下文分解。

參考文獻

1. 曹則賢，《物理學咬文嚼字》卷一，中國科學技術大學出版社(2018).

2. Galileo Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico e Copernicano (關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話), 收錄於《伽利略全集》 (le opera di Galileo Galilei) 卷七。英文為Dialogue concerning the two chief world systems-Ptolemaic & Copernican, translated by Stillman Drake, 2nd edition, University of California Press (1967). 這一段文獻非常重要，故將英文內容照錄如下：For a final indication of the nullity of the experiments brought forth, this seems to me the place to show you a way to test them all very easily. Shut yourself up with some friend in the main cabin below decks on some large ship, and have with you there some flies, butterflies, and other small flying animals. Have a large bowl of water with some fish in it; hang up a bottle that empties drop by drop into a wide vessel beneath it. With the ship standing still, observe carefully how the little animals fly with equal speed to all sides of the cabin. The fish swim indifferently in all directions; the drops fall into the vessel beneath; and, in throwing something to your friend, you need throw it no more strongly in one direction than another, the distances being equal; jumping with your feet together, you pass equal spaces in every direction. When you have observed all these things carefully (though there is no doubt that when the ship is standing still everything must happen in this way), have the ship proceed with any speed you like, so long as the motion is uniform and not fluctuating this way and that. You will discover not the least change in all the effects named, nor could you tell from any of them whether the ship was moving or standing still. In jumping, you will pass on the floor the same spaces as before, nor will you make larger jumps toward the stern than toward the prow even though the ship is moving quite rapidly, despite the fact that during the time that you are in the air the floor under you will be going in a direction opposite to your jump. In throwing something to your companion, you will need no more force to get it to him whether he is in the direction of the bow or the stern, with yourself situated opposite. The droplets will fall as before into the vessel beneath without dropping toward the stern, although while the drops are in the air the ship runs many spans. The fish in their water will swim toward the front of their bowl with no more effort than toward the back, and will go with equal ease to bait placed anywhere around the edges of the bowl. Finally the butterflies and flies will continue their flights indifferently toward every side, nor will it ever happen that they are concentrated toward the stern, as if tired out from keeping up with the course of the ship, from which they will have been separated during long intervals by keeping themselves in the air. And if smoke is made by burning some incense, it will be seen going up in the form of a little cloud, remaining still and moving no more toward one side than the other. The cause of all these correspondences of effects is the fact that the ship’s motion is common to all the things contained in it, and to the air also. That is why I said you should be below decks; for if this took place above in the open air, which would not follow the course of the ship, more or less noticeable differences would be seen in some of the effects noted. No doubt the smoke would fall as much behind as the air itself. The flies likewise, and the butterflies, held back by the air, would be unable to follow the ship’s motion if they were separated from it by a perceptible distance. But keeping themselves near it, they would follow it without effort or hindrance; for the ship, being an unbroken structure, carries with it a part of the nearby air. For a similar reason we sometimes, when riding horseback, see persistent flies and horseflies following our horses, flying now to one part of their bodies and now to another.

3. Albert Einstein, the Meaning of Relativity, Taylor & Francis (2004). Translated by Edwin Plimpton Adams, 原文為 Vier Vorlesungen über Relativitätstheorie (相對論四講), Vieweg (1922).

註釋

[1] 人類獲得對世界的感知的重要途徑之一是手。就造就科學家一事而言，手的訓練一點也不比腦的訓練欠缺丁點兒意義。學會用手寫字、推導公式、做實驗，用眼觀察，用腦子思考，當這些成為習慣的時候，一個人就初具科學家雛形了。

[2] Inert gas, 惰性氣體，指氦、氖、氬、氪、氙和氡六種元素，因為它們懶得與別的元素髮生化合反應，所以基本上以單質、氣體的形式存在(not always)。其中，氬，argon，西文字面意思就是不幹活。

[3] 微小的加速運動也是感知不到的，這屬於探測極限的問題(detection limit)。對任何信號的測量，都要求信號強度達到某個閾值以上。手頭的儀器探測不到光就以為物質是暗的或者某區域是個黑洞，就屬於對實驗物理常識的無知。

[4] 矢量是對vector (攜帶者) 的誤解和誤譯。Vector 只需要有線性代數結構(乘以標量係數和相加)，可以但無需有方向和長度。

[5] 這裏的不是中的乘號，而是兩個矢量的叉乘。但是，叉乘只對三維空間裏的矢量成立。這裏的問題需要更多的數學知識才能理解。科學，至少物理學是這樣，是在不斷修正錯誤的過程中才多少有點兒正確的內容的。

本文為曹則賢著《相對論-少年版》第4章。該書由科學出版社2020年4月出版。

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《相對論~少年版》目錄

目錄

作者序之一

作者序之二

少年能學會相對論嗎？當然！

如何讀這本書

一頁紙相對論

兩頁紙相對論

第1章 引子

第2章物理時空、參照框架與座標系

2.1. 物理時空

2.2. 參照框架

2.3. 座標系

2.4. 參照框架與座標系

第3章樸素相對論

3.1 經典力學範式

3.2 參照點

3.3 開普勒行星運動三定律

3.4 樸素相對論

第4章伽利略相對論

4.1 伽利略與近代物理學

4.2 伽利略相對論與伽利略變換

4.3 伽利略相對論下的物理學

4.4 慣性與慣性參照框架

第5章變換不變性與洛倫茲變換

5.1. 二次型、轉動與變換不變性

5.2. 波動方程的不變變換

5.3. 麥克斯韋波動方程

5.4. 洛倫茲變換

5.5. 洛倫茲變換的歷史

5.6. 洛倫茲羣與龐加萊羣

第6章狹義相對論基礎

6.1. 狹義相對論緣起

6.2. 長度、時間與時空

6.3. 光速

6.4. 相對性原理

6.5. 為什麼叫狹義相對論？

6.6 愛因斯坦的開山之作

6.7 狹義相對論時空關係

6.8. 狹義相對論效應

6.9 再論光速

6.10 洛倫茲變換的一般性推導

6.11. 相對論動力學

6.12 相對論經典電磁學

6.13 作為幾何理論的狹義相對論

6.14 非常特別相對論

第7章相對論質能關係

7.1. 質量與能量

7.2. 德∙普萊託的質能關係

7.3. 愛因斯坦的質能關係

7.4. 電子-正電子湮滅

7.5．能量-動量張量

7.6. 勞厄和克萊因的最終證明

7.7. 一點補充説明

第8章相對論量子力學

8.1. 相對論與量子力學的結合

8.2. 克萊因-戈登方程

8.3. 狄拉克方程

8.4. 相對論量子力學方程的一般構造

8.5. 量子場論

第9章彎曲空間與彎曲徑跡

9.1. 運動軌跡

9.2. 平面、直線與平直空間

9.3. 曲線、曲線長度與曲率

9.4．空間的曲率

9.5．測地線

第10章曲線座標

10.1．導言.

10.2．曲線座標系的定義

10.3. 協變基和逆變基

10.4. 曲線座標語境下的積分與微分

10.5. 曲線座標系舉例

第11章變換視角下的物理量

11.1. 物理量

11.2. 張量變換

11.3. 度規張量

11.4. 協變微分

第12章 廣義相對論基礎

12.1. 廣義相對論的前驅

12.2. 為什麼要推廣相對論？

12.3. 等價原理與廣義協變性

12.4. 廣義相對論引力場方程

12.5. 測地線方程

12.6. 引力場方程的希爾伯特推導

12.7. 關於彎曲空間的數學知識補充

第13章引力場方程的解

13.1 史瓦西解

13.2 德西特解

13.3 多餘的話

第14章廣義相對論效應

14.1. 導言

14.2. 反常水星近日點進動

14.3. 引力彎曲光線

14.4. 引力紅移

14.5. 關於光的感嘆

第15章. 整體相對論

15.1. 引力作用下的兩體運動

15.2. 牛頓的水桶實驗

15.3. 愛因斯坦的馬赫原理

15.4. 整體相對論

15.5. 結語

附錄1 相對論物理數學預備知識羅列

附錄2. 相對論關鍵人物與事件

附錄3. 愛因斯坦的物理學成就與年譜

附錄4. 愛因斯坦相對論著作目錄

跋

特 別 提 示

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