ABC猜想證明了嗎？外行看不懂證明，但能瞭解科研的基本經驗 | 袁嵐峯_風聞

導讀

一個好的想法應該有很多用處，而不是隻能幹一件事。像張益唐和佩雷爾曼的工作，從一個新思路出發，很快就得到了一些有趣的結果，令人信心大增。而望月新一的理論卻不是這樣，推了300多頁，只是為了ABC猜想這一件事。你覺得這是奇蹟呢，還是錯誤呢？

最近，數學界有一條新聞引起了公眾的關注：ABC猜想再起波瀾。具體地説，日本數學家望月新一（Shinichi Mochizuki）宣稱證明了ABC猜想的論文被接收了。但奇妙的是，大部分數學家並不認為這真正解決了問題。

望月新一（見他在京都大學的主頁http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/）

ABC猜想是什麼？

這個猜想的名字特別簡單，所以許多外行都早有耳聞。這是一個簡單但非常強大的猜想，在數學中的重要性僅次於最大的難題黎曼猜想，比普通人熟悉的難題哥德巴赫猜想和孿生質數猜想還要重要。

黎曼

ABC猜想的重要性在於，如果它是正確的，那麼就建立了加法和乘法之間的某種聯繫。哥德巴赫猜想和孿生質數猜想之所以迷人和困難，也都是因為它們涉及了加法和乘法之間的關係。在這兩種基本的運算之間建立起聯繫，影響將是非常深遠的。

如果證明了ABC猜想，那麼立刻可以推出很多重要的結論。例如費馬大定理，就是費馬説“我想到了一個絕妙的證明，但頁邊太窄我寫不下”的那個。

費馬大定理

費馬大定理折騰了人類300多年，直到1995年才由英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）證明，這個證明長達幾百頁。

安德魯·懷爾斯

而假如ABC猜想成立，那麼我們用幾行就能證明費馬大定理。對ABC猜想的威力有些概念了吧？

用ABC猜想證明費馬大定理（https://www.sohu.com/a/212354205_100082182）

如果你想了解ABC猜想具體是什麼意思，以及上面這個簡短的證明是怎麼推理的，我們會在後面的附錄中詳細解釋。在這裏可以簡單地解釋，ABC猜想説的是：

如果有兩個互質的自然數a和b，它們的和a + b = c，那麼在絕大多數情況下，abc的根積rad(abc) > c。

如果你對“互質”和“根積”這兩個概念不感興趣，那麼可以跳過後面的數學討論。如果你想知道它們是啥意思，下面這個簡短的解釋就足夠。

每一個自然數都可以分解質因數，即寫成若干個質數的乘積。例如

10 = 2 × 5，

12 = 22 × 3，

27 = 33。

這裏面可能每個質因數只出現一次，例如10，也可能有些質因數出現多次，例如12和27。

兩個自然數如果沒有共同的質因數，也就是説最大公約數等於1，那麼我們就説它們是互質的（coprime）。例如10和27互質，而10和12不互質。請注意，互質並不意味着這兩個數本身是質數。它們倆都可以是合數，僅僅是沒有共同的質因數而已。

如果a和b互質，c = a + b，那麼c跟a、c跟b也互質。為什麼呢？假如不是這樣，比如説c跟a不互質，那麼它們都可以被某個質因數k整除。但b = c - a，所以b也可以被k整除。這樣a和b就不互質了，跟前提矛盾。因此，c必然跟a和b都互質。所以，我們可以把ABC猜想討論的(a, b, c)這三個數稱為一個互質三元數組。

互質是一個小學數學裏就有的概念，而根積（radical）就稍微高深一點。它的定義是，一個自然數的所有質因數相乘一次，無論這個質因數出現多少次。例如10的根積就是

2 × 5 = 10，

12的根積就是

2 × 3 = 6，

27的根積就是3。

一個有趣的問題是，1怎麼辦？1既不是質數也不是合數，我們定義它的根積等於1。

根積的英文是radical，一個數a的根積寫成rad(a)。顯然，rad(a)總是小於等於a，只有在a的每個質因數都只出現一次時才取等號。

ABC猜想關心的問題就是：abc三個數乘積的根積即rad(abc)，跟c相比，哪個大？

它猜測的答案是：在絕大多數情況下，rad(abc) > c。

做一些數值實驗，就能對此有些概念。

例如：a = 2，b = 7，c = 9 = 32。這時rad(abc) = 2 × 7 × 3 = 42 > c。

又如：a = 1，b = 8 = 23，c = 9 = 32。這時rad(abc) = 1 × 2 × 3 = 6 < c。

又如：在固定c = 81 = 34的情況下，在a和b的所有組合中，只有兩種情況滿足rad(abc) < c，分別是1 + 80 = 81和32 + 49 = 81，其他的全都是rad(abc) > c。大家可以驗證這一點，然後想想，這是為什麼。

通過這些數值實驗，很快就可以理解，對於一般的互質三元數組(a, b, c)，rad(abc) > c是通例，rad(abc) < c是反例。不過，這只是對ABC猜想的一個粗略描述，因為所謂“絕大多數情況”是個不嚴格的表述，是給外行聽的。數學家有一套精確的語言，來描述“絕大多數情況”是什麼意思。

反例有多少個呢？假如反例只有有限多個，那麼它相對於無限多的通例自然是少得多。但其實我們可以證明，反例是無限多的，所以ABC猜想並沒有這麼簡單。但數學家有一套語言來描述，這無限多的反例仍然是極其少見的。

對於非專業人士來説，瞭解這麼多已經相當不錯了。你現在就可以去跟外行對線，説你是ABC猜想的專家。如果你想搞清楚反例為什麼有無限多以及如何嚴格表述ABC猜想，那麼請參見後面的附錄，歡迎大家更上一層樓。

下面的問題是，ABC猜想引起了什麼爭議呢？

ABC猜想是在1985年，由法國數學家喬瑟夫·奧斯達利（Joseph Oesterlé）和英國數學家大衞·馬瑟（David Masser）提出的。

喬瑟夫·奧斯達利

大衞·馬瑟

2007年，法國數學家呂西安·施皮羅（Lucien Szpiro）提出了一個證明，但很快被發現有錯誤。2012年，日本數學家望月新一提出了一個證明，然後有趣的事情發生了。

最大的有趣之處在於，別人聽不懂他在説什麼。

新一君自創了一套理論，稱為“宇宙際Teichmüller理論”。這名字乍一看嚇人一跟頭，不過搜索一下就會發現Teichmüller是一位德國數學家的名字，早就有Teichmüller理論、Teichmüller空間之類的術語了。

宇宙際Teichmüller理論（見望月新一的論文頁面http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html）

新一增加的，是那個前綴“宇宙際”。這個詞乍一看好似奧特曼風格，不過看一下英文就明白是inter-universal。雖然還是不知道具體意思，不過inter和universal都是數學裏的常用詞，這就好理解多了。

雪上加霜的是，新一自創了很多術語和符號。例如“霍奇劇院”（Hodge theatre），這個概念的定義如下。

霍奇劇院的定義

如果説有一種美德叫做“用户友好”，那麼新一顯然對此完全沒有考慮！

他的特立獨行還表現在，這些論文並沒有發在學術期刊上，也沒有發在預印本平台上，而是發在自己的主頁上。我的地盤我做主，獨立特行到如此程度的科學家現在實在太少見了！

一般而言，當你提出了一個長篇的證明時，你應該四處去做講座，向同行解釋你的想法。懷爾斯就這樣做過。證明龐加萊猜想的俄羅斯數學家佩雷爾曼（Grigory Perelman）是個非常憤世嫉俗的人，但他也這樣做過。偏偏新一就不幹，別人請他去講他也不去。

佩雷爾曼

有些數學家認真研究了新一的論文，然後指出了一些錯誤。新一做了相應的修正，宣稱這些錯誤已經補上了。

但是，兩位德國數學家舒爾茨（Peter Scholze）和斯蒂克斯（Jakob Stix）認為，論文中有些地方的錯誤是不可彌補的。舒爾茨是數學界最高獎之一菲爾茲獎的得主，所以這個批評是十分嚴重的。在大多數數學家看來，就不值得花大力氣去研究新一的論文了。然而新一認為，是他們錯誤理解了自己的證明，論文不需要做任何修改。雙方為此鬧翻了，這個爭論到現在都沒解決。

舒爾茨

斯蒂克斯

舒爾茨和斯蒂克斯的文章《為什麼ABC仍然是猜想》

最近的新進展是，2020年4月3日，有一個數學雜誌宣佈接收了新一的論文。但令人撓頭的是，這個雜誌的主辦單位就是新一所在的京都大學數理解析研究所，而且主編就是他自己。這樣做，真的沒有瓜田李下之嫌嗎？

不過我們立刻要補充一下：按照雜誌的描述，新一並沒有參與審稿。他甚至連新聞發佈會都沒參加。在這些方面，還是有節操的。説到底，數學界懷疑的還是論文本身的問題。論文被接收，並沒有改變大多數數學家的看法，——信的照樣信，不信的照樣不信。

專業論壇上的討論認為，望月新一的論文被接收沒有改變大多數數學家的負面看法（https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=11709）

如果你問我，望月新一的證明對不對？我當然不知道，這是超級內行才有資格判斷的事。不過，基於科學研究的普遍經驗，我很贊同華人菲爾茲獎得主陶哲軒的評論。

陶哲軒

他的基本意思是，一個好的想法應該有很多用處，而不是隻能幹一件事。像張益唐和佩雷爾曼的工作，從一個新思路出發，很快就得到了一些有趣的結果，令人信心大增。而望月新一的理論卻不是這樣，推了300多頁，只是為了ABC猜想這一件事。你覺得這是奇蹟呢，還是錯誤呢？恐怕是錯誤的可能性更大。

張益唐

【陶哲軒的原文是英文，下面有一箇中文翻譯】

（https://www.sohu.com/a/214344881_199523）：

“我沒有足夠的知識對望月的論文做專業的評價，但對您所提到的張益唐和佩雷爾曼的工作非常熟悉。它們之間一個顯著的區別在於張益唐和佩雷爾曼在論文的開始就給出簡潔的‘概念驗證’，而他們所發展的方法也能很快地用於相應領域，得到一些有意思的非平凡新結果，或是給出一些已有的非平凡結論的新證明。望月的論文缺乏這樣的‘概念驗證’。

在佩雷爾曼的論文中，第5頁就已經給出了Ricci流的全新解釋：它將Ricci流視為梯度流，看起來非常有潛力。在第7頁，他就用該解釋建立了一個關於Ricci流的精彩定理。雖然這個定理相距最終證明龐加萊猜想甚遠，但它本身就是一個新奇而有趣的結果，使得這個領域的專家迅速認定這篇論文有很多‘好東西’。

張益唐的54頁論文沿襲瞭解析數論的傳統，將所要用到的引理放在論文的開頭，因此有不少對專家而言是標準性的內容。但是這些引理陳列之後的第6頁，張益唐就給出了一個非平凡的觀察：只要能改進Bombieri-Vinogradov定理對光滑模的估計，就能證明素數間距離有限。這並非這篇論文最深刻的部分，但是它將原問題簡化為更容易處理的問題。與此相反，無數試圖攻克像黎曼猜想這樣大問題的論文不斷將原有問題複雜化，直到奇蹟發生，而這樣的奇蹟通常只是一個錯誤。

從我瞭解的信息來看，望月工作的‘概念驗證’就要300多頁，這樣才能證明ABC猜想。在我看來，如果能有一個更簡短的，比如少於100頁的 ‘概念驗證’，就有可能幫助人們消除對這一證明的疑問。如果需要300多頁來建立一個全新的獨立體系，而這個體系只能用來證明ABC猜想，卻沒有任何其他的外在意義，這將是一件非常奇怪的事情。”

最後，歡迎大家關注我們的賬號“科技袁人”。我想，這個普遍的道理對觀眾朋友們來説，是比ABC猜想本身更大的收穫。

附錄：ABC猜想的嚴格表述

我們在前面説到，ABC猜想的內容是：兩個互質的自然數a + b = c，那麼abc三個數相乘的根積rad(abc)在絕大多數情況下大於c，只在極少數情況下小於c。

我們來仔細想想：rad(abc)跟c相比哪個大，是由什麼決定的？

稍微思考就會發現，答案取決於在這三個數的質因數中，有多少個是出現多次的。

如果c的所有質因數都只出現一次，那麼rad(c) = c。再乘上a和b的質因數，rad(abc)肯定就大於c了。

如果c有些質因數出現了多次，那麼rad(c) < c。所以問題就是：乘上a和b的質因數，是否足以補償從c到rad(c)的損失，把rad(abc)拉到大於c呢？

由此我們可以理解，反例的特點是，在a、b、c中包含質因數的高次冪。這樣才能把rad(abc)拉得儘量低，以至於低於c。

例如前面舉的1 + 80 = 81，這時b = 80 = 24 × 5，c = 81 = 34，

rad(abc) = 2 × 5 × 3 = 30 < c。

又如32 + 49 = 81，這時a = 32 = 25，b = 49 = 72，c = 81 = 34，

rad(abc) = 7 × 2 × 3 = 42 < c。

現在我們在直覺上可以理解，rad(abc) > c的通例是絕大多數，rad(abc) < c的反例是極少數。但真正的問題在於，什麼叫做絕大多數和極少數呢？

如果反例只有有限多個，那麼相對於無窮多組（a, b, c），當然就是極少數了。但我們立刻可以證明，反例有無限多個。

例如，令

a = 1，

b = 26n - 1，

c = 26n，

其中n是自然數。

這時c的質因子只有一個2，所以

rad(abc) = 2 rad(b)。

下面我們來考慮一下，b有哪些質因子？

注意到

b = 26n - 1= 64n - 1 = (63 +1)n - 1，

用二項式定理展開，立刻發現它可以被63整除。

63 = 9 × 7 = 32 × 7，

所以b的質因子中至少出現了兩次3，因此

rad(b) ≤ b/3。

由此可見，

rad(abc) = 2 rad(b) ≤ (2/3) b < b < c。

這對任何自然數n都成立，所以這樣的反例有無窮多個。

所以，我們該怎麼描述這個無窮多的極少數呢？

用微積分裏常用的思路，我們可以説：雖然rad(abc) < c的反例有無窮多個，但如果在那個較小的量上加一個指數，把它變大一點，那麼無論這個指數多麼小，反例就都只有有限多個了。

用數學語言表述，就是：對於任意的正數ε，滿足

rad(abc)1+ε < c 

的互質三元數組（a, b, c）都只有有限多個。

這就是ABC猜想的一種常用表述。

另一種等價的常用表述是，先定義一個量叫做互質三元數組（a, b, c）的“品質”（quality），

q(a, b, c) = lnc / ln[rad(abc)]。

顯然，q < 1就對應通例，q > 1就對應反例。

那麼，q > 1的那些反例有什麼特點呢？

上面的第一種表述等價於説，大於1的q雖然有無窮多個，但對於任意一個正數ε，大於1 + ε的q都只有有限多個。這就是ABC猜想的另一種常用表述。

這是一個非常有意思的分佈。大於1的q雖然有無限多個，但你如果問：大於1.1的q有多少個？回答是隻有有限個。

再問：大於1.01的q有多少個？還是隻有有限個。

即使你問：大於1.0000001的q有多少個？還是隻有有限個。

由此可見，在1到任意小的1 + ε之間，都包含了幾乎全部的大於1的q。在外面的漏網之魚總是可以數出來，而不是無限多。

由此還可以推出，在所有的q值中存在一個最大值。如果不是這樣的話，大於1 + ε的q就有無限多個了。

那麼，這個最大的q值是多少呢？目前還不知道。不過通過數值搜索，已知的最大q值出現在下面這個三元組中：

a = 2，

b = 310 × 109 = 6436341，

c = 235 = 6436343。

它的

rad(abc) = 2 × 3 × 109 × 23 = 15042，

你看，它比c小得多。這個三元組的

q = ln6436343 / ln15042 = 15.677 / 9.6186 = 1.6299。

有一個分佈式計算項目，叫做ABC@home（http://www.equn.com/wiki/ABC@home）。它的目標是，利用大家空閒的計算資源，窮舉算出直到 c ≤ 1018 的反例三元組。這樣雖然不能證明ABC猜想，但通過觀察反例的分佈，也許能夠提供一些洞察。

ABC@home的研究內容簡介

下面，我們來看如何通過ABC猜想證明費馬大定理。費馬大定理説的是：

對於任何大於2的自然數n，xn + yn = zn都沒有正整數解。把xn、yn和zn理解成a、b和c，就很容易看出它和ABC猜想之間的聯繫。

用ABC猜想證明費馬大定理（https://www.sohu.com/a/212354205_100082182）

在前面的ABC猜想的第二種表述中，假定我們已經知道q的最大值不超過2，也就是説，任何的互質三元數值都滿足c < rad(abc)2，沒有反例。這並不完全等價於ABC猜想，而是一個跟它有密切聯繫的猜想。

假如a = xn，b = yn，c = zn，那麼根據根積的定義可知，

rad(abc) = rad[(xyz)n] = rad(xyz) ≤ xyz < z3。

在這裏用上c < rad(abc)2，就得到

c = zn < rad(abc)2 < z6。

這説明，費馬大定理如果不成立，那麼n必然小於6，也就是隻能取3、4、5。但歐拉已經證明了n = 3的情況，費馬自己證明了n = 4的情況，狄利克雷和勒讓德證明了n = 5的情況，所以這些可能都排除了。

歐拉

費馬

狄利克雷

勒讓德

結論就是：費馬大定理對所有的n都成立。

你看，這就是ABC猜想小試牛刀。如果它真的被證明成立，必將帶來一場革命！