從畢達哥拉斯到開普勒的多面體之旅_風聞

撰文：Christine Dezarnaud Dandine

翻譯：吳凡

來源 | 求諸堂

早在古典時代就已為人所知的多面體，不僅在數學中，而且在哲學中扮演了重要角色，並且在不同的科學領域之間架起了橋樑。約公元前6世紀哲學在希臘誕生了。哲學家們革新了思想史：對於林林總總的解釋世界與人類的起源與演變的神譜和神話，他們代之以理論構造，這些理論排除了神力，建基於與觀測事實相容的一些基本原則。從那以後，“人是萬物的尺度（法文：l’homme est la mesure de toutes choses）”（普羅泰戈拉）。回憶一下詞源，“尺度”的法語是“mesure”，和諧與節律的觀念裏就包含了這個詞，這些觀念都從屬於“對稱”概念，對稱的法語是“symétrie”，由希臘語詞素syn與metron構成，意為具有同樣的尺度，或者根據同樣的尺度。（視頻Henry Segerman 講解柏拉圖立體與阿基米德立體，請前往“返樸”觀看）

畢達哥拉斯及其正多面體

球形、圓形及其性質一直以來就被與宇宙的某種表現聯繫起來。先驅者畢達哥拉斯（公元前6世紀）教導説，關於大自然的知識建基於從某些整數的性質導出的和諧。他的門徒將5種完美立體的發現歸功於他，完美立體的面是全等的多邊形：等邊三角形，不等腰或等腰直角三角形與正五邊形。注意，除了正五邊形之外，這些圖形都很容易尺規作圖，此後尺規可作圖是統治着《幾何原本》（公元前3世紀）中闡述的歐氏幾何的隱含條件（原注2：第八卷）。畢達哥拉斯的同代幾何學家已經證明，藉助於三種正多邊形（正三角形、正方形、正五邊形）就可以構造出五種凸正多面體（原注3：每個面都是全等的正多邊形，每兩個相鄰的面之間的二面角都相等）：正四面體、立方體、正八面體、正十二面體與正二十面體。

柏拉圖的前蘇格拉底學術環境

在物理學史上有兩大派針鋒相對的學説：

1． 元素論：恩培多克勒（公元前5世紀）從四大元素（水、氣、火、土）出發來描述我們所處的連續結構的月下世界中的各種變化，四大元素受到兩種彼此對抗的力的作用而改變其組合的比例：愛力使元素結合，恨力使元素分離。亞里士多德繼承了四元素説，為其增加了兩對性質：熱與冷，干與濕。經他完善後的元素論統治着物理學直到17世紀。

2． 原子論：德謨克利特與留基伯（約公元前460-370）教導説，物質是由原子組成的，原子是細小不可分割的粒子，它們在虛空中游動，在萍水相逢中創造曇花一現的組合。但如此一來怎麼解釋某些形式，某些存在的恆久呢？

柏拉圖多面體

柏拉圖對多面體的歷史有核心貢獻，以至於5種正多面體被稱為“柏拉圖體”或者“柏拉圖多面體”。對他而言，幾何學不僅僅是關於圖形的研究，更是通往理念世界的不二法門，對稱的完美正反映出理念世界的完美。

在《第邁歐篇》中，柏拉圖描繪了將世界幾何化的最初嘗試之一。根據他的理論，世界（譯註：此處指柏拉圖所謂的現實世界，或稱“可感世界”。理念世界先於現實世界而存在。）是由一個造物主（démiurge）在理念完美性的啓發下建造出來的。這個世界由完美的月上世界或稱“不變世界”與我們所處的月下世界組成，月上世界圍繞着月下世界作永恆不變的旋轉，而看似不規則的行星運動則發生在我們的月下世界。這個充滿變化的月下世界由恩培多克勒的四大元素組成的物質所形成。柏拉圖了不起的創造性在於用多面體的形狀來刻畫這四大元素。要注意，這既不是觀察，甚至也不是演繹，而是公理方法。這些“指配”是基於可移動性（這一點仍然缺乏説服力）的考慮來證明的：

“我們將立方體指配給土元素。因為土是四種元素中最難自發移動的，[…] 類似地，把剩餘四種圖形中最難移動的（正二十面體）指配給水，最易移動的（正四面體）指配給火，中間性質的圖形（正八面體）指配給氣。”

在這些元素中，氣、水與火都可以通過增刪組成這些元素的等邊三角形來彼此轉化。對土元素來説這種轉化是不可能的，因為土元素只能還原到等腰直角三角形。在構成了正十二面體的正五邊形內不能找到以上兩種三角形。因此正十二面體不能還原到四大元素，就從這個分類中排除了。柏拉圖給它預留了一個相當不同的角色：代表作為一個整體的宇宙。

亞里士多德：弒父者

當上呂刻昂（譯註：即亞里士多德創立的雅典學園）的首腦之後亞里士多德就與他的師傅柏拉圖分道揚鑣了。作為原子論者堅決徹底的反對派，他也反駁元素的多面體理論。首先他向恩培多克勒的四大元素賦予了兩對性質：熱與冷，干與濕。從而四大元素就可以通過增減這四條性質而互相轉化，因此正多面體就不再被看作特殊圖形。再者，用正方形與正三角形都可以鋪滿平面，而用正五邊形就不可能做到，總會留出空隙。空隙就是虛空！自然界厭惡虛空，亞里士多德將虛空視同不存在。因為不可能使用某些多面體，尤其是正十二面體與正二十面體這些具有五階對稱的多面體來緊密地填充空間，所以柏拉圖的理論只是美學性質的假設，只是形而上學的思辨，不滿足物理學的科學方法的標準。在19世紀與20世紀，人們將會懂得這些多面體可以鋪滿非歐空間。

亞里士多德不容置疑地責難柏拉圖在多面體元素的問題上採取的公理式論證，並且用“虛空不存在”來駁斥，而這個不存在性本身説到底也是公理式的。他這麼做的第一個後果就是導致了對原子論長達兩千餘年的非難。第二個後果要嚴重得多，源於中世紀思想對亞里士多德論斷的全盤採納；經年累月地教授這些論斷，鞏固了元素與性質的理論（原注6：此處不討論在希臘古典時期廣泛採用的地心模型的沉重後果）。

亞里士多德駁倒了正多面體的理想化角色，為數學研究開闢出一片廣闊天地。其後繼就是歐幾里得與阿基米德（公元前3世紀）的天才工作。阿基米德發現了一類引人矚目的新多面體：這些半正多面體的面是正多邊形，但可以是不同的形狀，例如可以是一些共邊的正三角形與正方形。這些多面體共有13個，可以通過對5種柏拉圖多面體以不同方式依次截斷而得到。

圖1：13種半正阿基米德多面體

多面體的又一個黃金時代：文藝復興

偉大的美第奇家族的初代，老科西莫 (1389-1464) 與他的後人們一樣對科學研究很感興趣。他活躍地參與了由馬爾西里奧費奇諾 (1433-1499) 主持的希臘原典的首批翻譯。在老科西莫的庇護下，費奇諾在Careggi創辦了柏拉圖學園，出版了《柏拉圖對話錄》的完整拉丁文譯本。這個譯本在美第奇家族的圈子裏取得了絕大成功，並通過他們的眾多人脈網迅速傳播開來。

從藝術家們的，尤其是喬託 (1266-1337) 與布魯內萊斯基 (1377-1446) 的作品中，從萊昂·巴蒂斯塔·阿爾伯蒂 (1404-1472) 發表在他的名著《De Pictura》（《論繪畫》，1435）裏的理論成果中，所有畫家都熟知了透視法的研究與運用。皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡 (1412-1492) 出版了一冊透視法專著（《De prospectiva pingendi》，即《論繪畫中的透視》），並將書中的法則應用於他自己的繪畫與多面體圖形。

盧卡·帕喬利的著作《De Divina proportione》（《論神聖的比例》）試圖將全部基督教教義與幾何知識及黃金分割的性質糅合起來。列奧納多·達·芬奇 (1452-1519) 用主要的正與半正多面體的出色素描細緻入微地給這部論著配上了插圖。

開普勒的多面體研究

在《Harmonices Mundi》（原注8：《世界的和諧》，復刻本見 www.imgbase-scd-ulp.u-strasbg.fr ）中開普勒着手研究了多面體。這本書一開頭就細緻描述了5種正多面體與13種凸的半正的阿基米德立體的幾何性質及其嚴格的構造方法。他最有原創性的貢獻還是在於描述了兩個非凸的星形正多面體，此後稱為“開普勒多面體”。

圖2：開普勒的星形多面體

開普勒對天體物理的基礎性貢獻

開普勒在《Mysterium Cosmographicum》（《宇宙的神秘》）中闡述了一個太陽系模型，其中行星的不同軌道內切於5個與軌道大小相匹配的完美立體，那時他認為自己已經作出了史無前例的重大發現，可以將科學與哲學統一在一個宏偉的綜合理論中。

圖3：《宇宙的神秘》中層層嵌套的柏拉圖多面體

這冊書中藴含着開普勒三大定律的萌芽，這三大定律描述了行星圍繞太陽運動的主要特徵，引領牛頓發現了他的引力定律。支撐這個幾何構造的論證是雜糅的，既是柏拉圖主義的，又是基督教的：“神只能創造一個完美的世界，且[…]，因為只有5種完美的立體，所以它們一定是被設計來插進六條行星軌道之間的，它們完美貼合這些軌道。”

事實上，把軌道強行塞進立體模型的做法一經審視就會顯得十分不自然。在發現海王星與天王星之後，開普勒就被迫放棄了他美麗的建構（譯註：原文如此。不知作者為何寫出這句關公戰秦瓊來。）。

本文譯自亨利龐加萊研究所編著的Objets mathématiques一書中的篇目De Pythagore à Kepler, un voyage polyédrique ，作者Christine Dezarnaud Dandine 是物理學博士與哲學博士，在索邦大學教授理論化學與哲學。中文版將由哈爾濱工業大學出版社出版。

本文經授權轉載自微信公眾號“求諸堂”。