白馬非馬，非費米液體—非—費米液體 | 量子多體中的吶喊與彷徨_風聞

撰文 | 孟子楊 (中國科學院物理研究所)

來源：中國物理學會期刊網

我承認，這是一個晦澀的題目。

白馬非馬的故事見《公孫龍子·白馬論》， 是一個著名的哲學命題。故事來自於先秦諸子百家中的名家，其代表人物公孫龍子有這樣一個悖論：白馬有顏色 (白) 和外形 (馬) 兩種特徵，而馬只有外形一種特徵，所以白馬描述的範疇不同於馬所描述的範疇，故而白馬和馬不是同一個事物。在我們現代人看來，這個故事顯然是古人在和我們開詭辯的玩笑，混淆了詞語的範疇，當然這也是名家做為諸子百家中詭辯家的老本行。公孫龍子老先生還有不少外國同行，比如古希臘的芝諾，他的悖論——飛矢不動，阿基里斯永遠追不上烏龜——實際上混淆了有限與無限的概念。如是的哲學命題都是我們今天訓練思維的好材料。但是偶爾拿出來仔細想想，其實又總會發現我們這些看似聰明的現代人，也並不比我們的祖先進步了多少，有時反而更加不如了。

就拿白馬非馬的故事來説吧。現代量子多體物理學有兩個基本的支柱，一是朗道費米液體理論，二是朗道—金茲伯格—威爾遜對稱性破缺理論。前者是對於自然界中大量存在的金屬導體，即由電子形成的液體的十分有用和準確的描述；後者是相變與臨界現象和物質分類理論的基本框架。筆者在之前的文章中多次提到過後者[1, 2]（編注：參見《被解救的諾特》），今天我們來聊聊前者。

朗道費米液體理論描述了金屬的基本性質。這個理論中有費米和朗道兩個名字。其中的費米主要是指金屬導體中存在的費米麪這樣一個概念。如圖１(a)所示，在動量空間的布里淵區內，電子從能帶的帶底填充到可以佔據的最高的動量，這些動量構成了一個封閉曲面，是為費米麪 (Fermi surface，在空間維度D=2 的時候，曲面就是一個封閉曲線)。自然界的金屬如金、銀、銅、鐵、錫還有各種合金，這樣的塊材中縱然存在阿伏伽德羅常數

朗道告訴我們，這些具有質量m*，磁距g*，譜函數是有限展寬(life time τ為有限值)的電子，其實應該被稱為準粒子 (quasiparticle)，朗道費米液體的核心就是準粒子在其質量、磁距、壽命被重整化之後，仍然可以像沒有感受到相互的自由電子一樣運行。這麼一來，人們就可以用處理量子力學單體問題的方法來處理具有阿伏伽德羅常數多個電子的金屬，得到對其基本性質的理解。比如朗道費米液體理論就成功解釋了為什麼在低温下，金屬的

我們後人回望先師朗道解決問題的方式，基本上是靠天馬行空地猜。當然那是建立在他對於物理問題的實質具有準確的洞察力 (unerring intuition) 的前提之下。他理論的很多細節，後來都被俄國朗道學派的七十二賢人們用高超的圈圖計算(diagrammatic calculation) 嚴絲合縫地彌補起來，這些結果的集大成就是這樣一本凝聚態物理學的經典教科書Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics，此書的三位作者也都是響噹噹的名字，出於對前賢的尊敬，讓筆者在此寫下他們的全名：Alexei Alexeyevich Abrikosov,Lev Petrovich Gor’kov,Igor Ekhiel’evich Dzyaloshinski.

這三位朗道門下的亞聖也都在凝聚態物理學中留下了各自濃墨重彩的工作，感興趣的讀者可以自己去查，此處就不贅述了。總之這本書是如此的出名以至於後世的讀者們都不會記得此書本來的名字，而是直呼其為AGD(三位作者姓的首字母)。在冷戰時期和後冷戰時期的物理學圈子裏，AGD 顯然是比KGB更加響亮的俄國名字，至於KGB 是什麼，讀者也自行查閲吧。就算到了今天，在美國、歐洲還有我們中國的知名凝聚態物理學研究機構中，其實也沒有過多少能夠通讀AGD 的研究生，能夠通讀，也就離博士階段獨立展開科研工作不遠了。

話題再回到白馬非馬，費米液體理論成功解釋了大多數普通金屬的行為，甚至後來的BCS 超導理論也都是建立在費米液體的框架之上，其功勞善莫大焉。那麼我們能否也像公孫龍子一樣問一個問題，有沒有不屬於費米液體範疇的金屬，有沒有—非—費米液體呢？答案還真有，而且這樣的不屬於費米液體範疇的金屬材料正在隨着時間的增長變得越來越多。更加讓人覺得神奇的是，凝聚態物理學家想來想去，折騰了幾十年也想不出一個合適的名字，最後真的就學了我們的老祖先公孫龍子，乾脆把這些物理系統統稱為“ 非費米液體(Non-Fermi-Liquid，NFL)”。如果説公孫龍子説“白馬—非—馬”，是哲學家的詭辯，那麼物理學家説“非費米液體—非—費米液體”(注意這裏的斷句)。可是實實在在的對於實驗現象的總結，是老實到了可愛的斷語。只是有時候，筆者真是對於人們在描述新事物時語言的貧乏感到憋氣，也就是在這種時候，筆者總會覺得我們比之於千年之前的祖先，不但沒有變得高明，反而是在退化了。

還是説説非費米液體吧。既然是非費米液體，那就是和費米液體範疇不同的事物。再次強調，這裏是真正的不同，不是哲學家的詭辯，我們可以嘗試列舉之：

•非費米液體中沒有準粒子；

•非費米液體經常出現在量子臨界區域中；

•非費米液體被認為是高温超導的正常態；

•非費米液體的基本性質很難通過解析計算嚴格得到；

•……

總之，非費米液體是朗道費米液體理論不能解釋的現象，縱然洞察力深刻如朗道及其流亞者，面對非費米液體也拿不出unerring intuition，不得不面對無法解釋實驗現象的尷尬。其實20 世紀後半段的凝聚態物理學研究中，人們不斷地發現非費米液體的行為，比如重費米子材料、銅基、鐵基高温超導材料還有許多過渡金屬氧化物的合金，都是非費米液體的典型代表。圖２(a)與(b)是重費米子材料中的例子。這是我國浙江大學袁輝球老師與合作者

屬狀態(ferromagnetic metal，FM，其實也是費米液體) 經過量子相變進入順磁金屬(FL 就是費米液體) 的狀態，在量子相變點之上的臨界區中，系統就處在非費米液體的奇異金屬態(strange metal，SM)， 這時系統的電阻和比熱都有偏離費米液體的行為。如圖２(b)所示，電阻隨温度線性降低而不是如費米液體一般隨温度平方降低，比熱隨着温度有一個大於１的power，近於C/T ~ - log(T)，而不是如費米液體一般C/T 在低温下為常數。非費米液體的行為在高温超導體更是如此，如圖２(c)所示的銅基高温超導體空穴摻雜“普適”相圖[4]。超導dome 之上的strange metal 區域中，系統的電阻呈現線性的温度依賴關係，跨越好幾個温度數量級，

更別説此處還有贗能隙和反鐵磁的莫特絕緣體相，非費米液體、贗能隙、莫特絕緣體之間的相互轉變和轉化，都是量子多體問題中仍然沒有解決的問題。這些就是人們經常提到的強關聯電子問題，是超越朗道費米液體理論和朗道—金茲伯格—威爾遜對稱性破缺理論框架的新問題。這樣的問題中醖釀着凝聚態物理學量子多體問題的新範式，是目前研究的前沿。

好的，既然我們用了上面磕磕絆絆的語言，生硬地陳述了“非費米液體—非—費米液體”這樣的實驗事實。那麼對於非費米液體，人們從理論上是不是一點辦法也沒有呢？也不盡然，後世的物理學家們雖然沒有朗道的天賦，但也還是在勤勤懇懇地整理和記錄實驗觀測的結果，努力抽象出最簡單的理論模型，然後發展和運用解析和數值工具，研究如是的模型中是否藴藏着非費米液體的蛛絲馬跡。鑑於問題所牽扯到的廣度和深度，以及可以預想的讀者們在看到公式後還能集中精力的短暫life time，在這篇文章中的最後部分，我們將會只鋪墊一些討論非費米液體的基本概念，兼及運用數值和解析結合的辦法理解非費米液體的基本模型。真正的討論將會留在下一篇文章中進行，既減輕了大家的心理壓力，也讓筆者可以更加充分地準備。還希望大家耐心等待。

對於如是的強關聯電子系統，需要運用格林函數和自能的語言來討論。在無相互作用系統中，電子的格林函數一般寫成

有了格林函數和自能的語言來描述強關聯電子系統，下面的問題就是：用這樣的語言，在怎樣的模型系統中，用什麼樣的解析/數值方法，可以獲得對於非費米液體的準確認識。此處情況就開始變得複雜了，大概是從高温超導體的正常態是非費米液體 (即電阻隨着温度線性而不是平方地變化) 以來，30 多年過去了，其實人們還沒有能夠在空間維度D>1 的系統中(大多數的實際材料都是二維D=2，或者三維D=3的)，嚴格推導出任何一種非費米液體格林函數和自能的解析表達式。當然從量子場論的框架到各種唯象理論的發展，對於非費米液體的理論構造已經取得了長足的進展。比如，現在人們普遍認為，非費米液體做為一種量子多體物質狀態，往往出現在不同的金屬之間，以及金屬和絕緣體發生量子相變的量子臨界區域中，甚至可以認為量子臨界區裏的物態就是非費米液體。在量子臨界區域中，漲落扮演了十分重要的角色，對於不同的物理系統，漲落的形式有區別。包括高温超導體中的反鐵磁漲落、向列相漲落、電荷密度波漲落，上文提到的重費米子材料中的鐵磁漲落，還有目前在理論研究中十分關注的和拓撲序有關的演生規範場漲落等等。這些漲落(大多數時候屬於玻色型的)，在量子臨界區中傳遞費米子之間的相互作用，而且費米子又可以反過來反饋給玻色子，改變了漲落的內涵。所以問題的實質變成了如何準確處理相互關聯的費米子和玻色子發生臨界耦合的問題，以至於耦合的結果——就是量子多體相互作用的結果—— 能夠產生出非費米液體，進而可以解釋上文中提到的高温超導、贗能隙、莫特絕緣體、重費米子等等實驗現象。

這樣的量子臨界問題，其實在模型層次上是可以構造的，比如圖４中的模型，就是一個費米子與反鐵磁量子Ising 自旋耦合的系統[5]。通過調控量子Ising 自旋模型中的橫向磁場大小，也就是控制玻色子量子漲落的強度，可以讓費米子系統處於順磁費米液體(Fermi liquid)、反鐵磁電荷密度波金屬 (spin-density-wave(SDW) metal) 以及我們最關心的量子臨界區 (quantum critical region，QCR) 。在QCR 中，系統處在強關聯的參數範圍，傳統的微擾論解析手段無法嚴格處理，研究人員們便開始使用以量子蒙特卡洛為代表的大規模數值計算方法，結合量子場論的分析，研究非費米液體的性質。目前通過大規模的數值計算與和解析理論的良性互動，在如圖４這樣的問題中，物理學家正在獲得非費米液體的準確描述。

圖４ (a)費米子與反鐵磁量子Ising 自旋耦合模型。λ=1，2 表示正方晶格的兩層自由費米子，中間一層為量子Ising 自旋，自旋之間具有反鐵磁相互作用J，橫向的磁場h 引入Ising 自旋的量子漲落。費米子和Ising 自旋之間通過ξ 耦合起來。(b)模型的示意相圖。橫場h 大於臨界值時，Ising 自旋量子無序，耦合不發生作用，費米子處於順磁費米液體(Fermi liquid)；橫場h 小於臨界值時，Ising 自旋反鐵磁有序，耦合的結果是費米麪發生摺疊變成了圖中藍色的pocket，費米子處於反鐵磁電荷密度波金屬狀態(spin-density-wave (SDW) metal)，但是由於此處玻色子漲落很弱，電荷密度波金屬仍然是費米液體。只有在橫場h 處在臨界值時，玻色子量子漲落最強，費米子之間通過玻色漲落生髮出強烈地相互作用，系統進入量子臨界區(quantum critical region，QCR)，變成了非費米液體。(c)如上的示意過程，可以在晶格模型中通過量子蒙特卡洛數值方法嚴格計算。此處就是計算出的費米麪在順磁費米液體和反鐵磁電荷密度波金屬狀態中的形狀。

至於具體看到了什麼非費米液體的性質，考慮到大家的life time已經快耗盡了。筆者還是就此停筆吧。在下一篇“非費米液體—非—費米液體”的文章中，筆者將會介紹理論上對於量子臨界點上非費米液體性質的基本預期 (其中很多還是朗道學派的當代後人們給出的) ，以及人們在近幾年來，通過以量子蒙特卡洛計算為代表的數值方法與場論計算為代表的解析方法的互動，已經得到了哪些確定性的結果，有哪些問題可以期望得到解決。當然，目前的現狀還是有很多非費米液體的性質仍然不能從理論上給出解答，不過這不正是需要我們這些公孫龍子和朗道的後人們繼續努力的方向嗎？

參考文獻

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