一生能有多少愛 | 量子多體中的吶喊與彷徨之三_風聞

撰文 | 孟子楊 (中國科學院物理研究所)

來源：中國物理學會期刊網

我承認，這是一個俗氣的題目。

很多年前，大概是還覺得《讀者》之類的雞湯文字集合是文學的時候吧，不知在什麼地方見到過以此為題目的一本書。內容自然記不清楚了，大抵都是些content-free 的大實話：人生艱難，痛苦總是多於歡欣，沒有愛的扶持我們怎麼能夠堅持下去云云。時過境遷，已經練就了鐵石心腸雞湯不入，只有這個題目還映在腦海裏。

也是很多年前，大概是還有人看《一生能有多少愛》這樣的文字的時候，在凝聚態物理學量子多體研究領域中，物理學家們正在真真實實地為了非費米液體這樣的人生難題而痛苦。自從先師朗夫子和他門下的AGD諸賢人創立了朗道費米液體理論框架以來，後學們格物致知的人生從未顯得如此困難，從未遇到過用圈圖計算不能解決的問題，從未如此需要愛的扶持。“天不生列夫，萬古如長夜”，眼下我們又遇到了新的挑戰，而列夫已經走遠了。

那麼挑戰到底是什麼呢？

我們接着上一篇往下説[1]。朗道費米液體理論描述了金屬導體的基本性質，比如低温下，電阻滿足

是一個和温度無關但是和費米麪上態密度有關的常數；比熱滿足C~T的關係等等。這些現象的本質原因是費米麪附近無窮多的電子，儘管感受到了彼此之間的量子多體相互作用，但作用的結果不過是重整化了它們，將質量變成有效質量，磁矩變成了有效磁矩。這些具有有效質量、有效磁矩的準粒子，在能量接近費米能的過程中，愈發地接近無相互作用的自由費米子，可以用量子力學單體問題成熟的計算手段來處理，故其行為可以被準確計算並解釋相關實驗結果。套用最近剛剛去見朗夫子的凝聚態物理學亞聖Anderson的話，此處其實不是more is different，而是more is the same，問題變得簡單了。

然而， 量子多體世界一如人生，複雜才是它的本質，痛苦總是多於歡欣。當代以來許多關聯電子系統的實驗現象不能用費米液體理論描述。高温超導體相圖中的奇異金屬和贗能隙區域，重費米子量子臨界區中的非費米液體等等，拋開材料的千別萬化和現象的紛繁複雜，單説電阻隨温度的依賴關係這一條，就不是

並且a < 2 。這怎麼解釋？本篇我們就從這裏切入，談談巡遊電子量子臨界理論的構造。

後世的物理學家多年勤勤懇懇地整理非費米液體實驗上的結果，抽象出最簡單的模型，然後運用解析和數值工具，研究如是的模型中是否藴含着非費米液體的跡象，其中一大類是費米子和臨界玻色子耦合模型[2]，其微觀晶格模型的拉式量可以寫成如下的形式：

其中

此處的相變就是玻色子自己在(2+1)時空維度的Wilson—Fisher 普適類相變，但是耦合項的存在改變了玻色子和費米子的命運。λ 將玻色子的臨界動力學漲落傳遞給了費米子，當m調節到相變點時，費米子在時空的路徑積分框架下具有了有效相互作用，而這些相互作用的費米子還可以再反饋給玻色子，改變玻色子的臨界行為， 使得整個耦合系統L[ψ,ϕ] 處在了一個新的量子臨界點上。這個零温的量子臨界點和其上的量子臨界區域，就是孕育非費米液體的地方。如是的模型和基本的相圖都在圖1中展示。

圖1 (a)費米子與鐵磁量子Ising 自旋耦合模型[3]。λ = 1,2 表示正方晶格的兩層自由費米子，中間一層為量子Ising 自旋，自旋之間具有鐵磁相互作用J，橫向的磁場h 引入Ising 自旋的量子漲落，漲落通過耦合傳遞給費米子，引入費米子之間的有效相互作用。(b)模型的示意相圖[4]。橫場h 大於臨界值時，Ising 自旋量子無序，耦合不發生作用，費米子處於順磁費米液體，費米麪自旋上下簡併；橫場h 小於臨界值時，Ising自旋鐵磁有序，耦合的結果是費米麪自旋簡併劈裂，費米子處於Ising 鐵磁金屬狀態，但由於此處玻色子漲落很弱，Ising 鐵磁金屬仍然是費米液體。只有在橫場h 處在臨界值時，玻色子量子漲落最強，系統在零温時處於量子臨界點。費米子之間通過玻色漲落生髮出強烈地相互作用，系統進入量子臨界的非費米液體區，其基本的性質是費米子自能滿足頻率的分數冪次，對於鐵磁量子臨界金屬這個冪次是2/3。(c)和(d)的解釋見前文[1]，與(a)和(b)發生同樣的物理過程，只不過是反鐵磁量子臨界現象。在Ising 反鐵磁序形成的區域，費米麪摺疊，摺疊出的交點是hot spots。在量子臨界區中，hot spots 動量處的費米子進入非費米液體[5]，其自能的冪次為1/2

有了模型，下一步就是如何求解。此處人們又遇到了困難。從解析上可以進行一些微擾計算，仍然是運用圈圖計算的方法。在這個方面，還是俄國人支配着領域的進展，足以顯示朗道學派傳統餘威之所及。圈圖計算是一種級數展開的概念，計算結果的可靠性依賴於級數是否可以在一定階數收斂。遺憾的是，到目前為止，對於上述的耦合模型，普遍意義上的收斂形式還沒有找到。但是在不同的展開階數上，人們對於問題還是有一些基本的認識。比如在最低階的近似下，有所謂的Hertz—Millis—Moriya 結論，這是隨機相位近似(random phase approximation， RPA) 層次上的結果。在圖1 中所示的2 維晶格系統量子臨界點上，Hertz—Millis—Moriya對於鐵磁和反鐵磁量子臨界點給出了高斯不動點普適類的預言。這個結論顯然過於簡單，基本上就是説費米子和臨界玻色子耦合的結果是把量子臨界問題變成了比原來純玻色子的Wilson—Fisher 量子臨界行為還要簡單的問題，雖有其存在的意義， 但又是一個more is the same 精神的結論，和實驗觀測還是有差距。比RPA高級一些的理論是所謂的大N展開，此處N可以是費米子的內稟自由度數目 (比如自旋或者flavor數目)，或者系統中低能費米子自由度的數目 (比如反鐵磁量子臨界問題中，因為費米麪被玻色子漲落矢量所摺疊而造成的費米麪上hot spots的數目)。大N展開確實可以把系統帶到新的不動點和普適類，比如對於鐵磁和反鐵磁的量子臨界點，可以得到電子的自能出現頻率的分數冪次的行為，

在上一篇文章中，我們講到相互作用下的電子格林函數，

其中

是相互作用系統中的準粒子權重，

是重整化之後的準粒子色散關係，

描述重整化之後準粒子的壽命。其實我們之前反覆提到的，人們不知道非費米液體的理論描述，主要是在説非費米液體的自能應該滿足什麼樣的表達式，尤其是做為準粒子壽命的虛部的解析表達式。而我們上面提到的大N展開的結果，就是對於臨界點上費米子自能的頻

time的倒數 (也就是自能虛部) 來近似也很粗糙，考慮高階修正之後冪指數可能再發生變化，很有希望和實驗觀測結合起來。所以，眼下的問題就是，能否在模型的嚴格計算中，看到理論預言的自能虛部有偏離費米液體的行為。

説來慚愧，幾十年過去了，這一步我們才剛剛看到。理論上的近似計算當然很早就得到了上面的1/N展開結果，但是後期人們主要在討論更高階的修正會如何改變這些低階的結果，關於級數是否會最終收斂此事目前仍然沒有定論[8]，所以不同的階數結論不同。比如對於鐵磁量子臨界點，人們甚至在討論連續相變本身是否存在，抑或是其實系統變成了1 級相變[9]；而對於反鐵磁量子臨界點，高階圈圖的計算似乎在指出隨着費米速度向着玻色子低能波矢方向轉動，甚至連臨界指數本身也會發散[10]。總之，這些討論牽扯到進階的重整化羣語言，朗學後人和業內專家們討論起來自然是棋逢對手，口吐蓮花，十分過癮；但是在廣大讀者看來庶幾針尖上站幾個天使之類的玄學清談，我們還是就此打住，轉而介紹晶格模型數值計算的結果吧。畢竟大家都會看圖和數數。

圖1中的費米子與臨界玻色子耦合模型，可以通過量子蒙特卡洛模擬得到確定性的結果。圖2就是數值計算所得的Ising鐵磁和反鐵磁量子臨界點模型的相圖[3, 5]。相圖中的數字、符號和簡稱大家還是要看具體的文獻，但是基本的安排 (如有顏色陰影的區域為鐵磁和反鐵磁金屬，白色區域為順磁費米液體，零温的量子相變點之上的温度區域為量子臨界區) 和圖1中的示意是一致的。為了能夠進行這樣問題的計算，在算法的設計和優化方面也需要做相當的前期準備，比如為了克服費米子行列式蒙特卡洛的計算複雜度高和臨界慢化等問題，我們發展出了自學習蒙特卡洛方法[11]；為了增大在費米麪上hot spots附近的動量解析度，我們設計了鴯鶓算法[12] (鴯鶓英文名EMU，我們的算法英文名EMUS-QMC: Elective Momentum Ultra—Size Quantum Monte Carlo Method, 簡稱EMUS)。其實這些計算方面上的進步，很大程度上來自於從事數值計算與從事解析理論的物理學家的良性互動，這也是近年來量子多體研究的一個大趨勢。對於費米麪和臨界玻色子耦合的量子臨界問題，只要把所有的計算資源集中到低能的自由度上，增大這裏的能量—動量的解析度，就可以抓住問題的本質，有效地提高對於臨界行為的準確描述能力，而不用操心原本微觀晶格模型中的高能自由度。其實場論模型就是這樣設計的，現在的數值計算物理學家，在量子多體問題中已經開始直接模擬量子場論模型，通過模型設計和算法的進步，逐步克服以前微觀模型的侷限，明心見性，直指本心。

圖2 (a)費米子與鐵磁量子Ising 自旋耦合模型的量子蒙特卡洛計算相圖[3]；(b)費米子與反鐵磁Ising 自旋耦合模型的量子蒙特卡洛計算相圖[4]

大概花了3 年左右的時間，正是在和解析理論物理學家的互動中，我們才意識到問題所在[4]。原來之前所講的大N展開圈圖計算，其實都是在温度嚴格為0的量子臨界點上進行的，當年的朗學後人們也沒有想到有朝一日還真有一批實心眼的數值計算物理學家會真正設計出晶格模型，並費力優化算法，就是為了能夠檢驗場論模型的預言。所以如果現在認真看待量子蒙特卡洛晶格計算，會發現這樣的計算都是在有限的晶格大小，有限的温度下進行的，雖然我們想讓計算的結果儘量逼近零温的結果，但是有限温度漲落所引入的對於自能的修正是不能忽略的。這一點在當年的解析計算中沒有考慮，那個鐵磁量子臨界點上

是純粹的零温的結果。故而一般而言，如果考慮了有限温度的貢獻，可以預期自能應該分成熱漲落(thermal)和量子漲落(quantum)兩部分的貢獻，即

行文至此，在物理內容上可以打住了。基本信息就是現在後學們已經可以在費米子和鐵磁臨界玻色子耦合的模型中，通過量子蒙特卡洛計算，再扣除掉有限温度自能的貢獻，明確地揭示量子臨界漲落所造成的非費米液體行為，非費米液體的自能和其分數化冪律的漸進行為也可以被看到。有了這樣的認識，在其他的量子臨界漲落模型中，如反鐵磁、電荷密度波、規範場漲落等等，當然可以進行如是的理論與數值結合的分析，逐步建立起如費米液體一般的非費米液體理論框架——當然，我們這些後學們還得如先師一樣，給這個框架起一個不那麼生硬拗口的名字。

話題再回到一生能有多少愛，如果説非費米液體雞湯中的複雜現象，我們可以就着蒙特卡洛的猛火，可勁兒地攪拌翻騰理出頭緒，並把先賢的道路往前推進的話。世界的變化就真是實心眼的科學家們所不能理解的了。人生的底色是痛苦、疲憊和困厄，但目之所及，還是有人忍受着生死的考驗進行着體現着生命意義的創造，當然大多數人在中途放棄了。創造的內容有高下，深遠者如先師朗夫子和諸多亞聖賢人為後人構造科學的框架和指出道路，後學們在這道路上前進，總會發現新的風景，得到新的認識，再為後人推廣知識的邊界。我們普通人的創造大多數時候，無法如先賢般穿透歷史戰勝時間 (不過大家也看到，朗夫子的理論也不過半個世紀，已經不足以解釋新的現象了)，但就是在這樣勉力為之的過程中，一個一個的普通人找到了寄託，戰勝了困厄的人生，揚棄了時代和社會加諸於我們身上的枷鎖。創造性的活動讓我們操心勞神，忍受着生存、名利、人性中的愚蠢偏狹所造就的種種不合理，但也讓我們在創造中忘記了這些額外的痛苦，和人生達到了動態的和解，找到了人生中的愛。有一個朋友，平日裏寫詩，雖然水平不入流卻樂此不疲，最近又給我發來新作，記述他在眼下這個瘟疫橫行的世界上的一次際遇。雖然仍然水平有限但其勉力為之的意思庶幾近乎我這些磕磕絆絆的文字，抄在這裏做為本文的結尾吧。

底特律機場與爵士樂

瘟疫正在世界上橫行，動盪的時代更讓人時時追問生命本來的目的。陰差陽錯中穿行於大洋彼岸，在底特律機場碰到現場爵士樂鋼琴表演，黑人樂手自信忘我的神情和清脆激越的琴聲片刻間安撫了我焦灼的心，但這表演卻被大多行色匆匆的旅客忽略。遂想起生命旅途中的迷惑亦如此，美好常見於疲憊之中，匆匆的行旅又有多少是不自覺的盲從。站在琴聲中既悲傷又欣慰，記錄下來示不忘也。

在底特律機場裏聽爵士樂

冬日的陽光從雲層中灑出

抬頭見大廳鋼窗外的天

輕快如少年

琴聲珍珠般靈動

清脆激越

黑人樂手迷人的投入

被來往的旅人所忽略

美好總是飄渺的

又有誰會駐足？

瘟疫肆虐

只求不要再放大人們心中的惡

爭奪、欺詐

寧可毀了自己只為讓別人難受的撕裂

這幾年來，可曾少見？

生命的意義真如這琴聲

只有想聽的人才能獲得慰藉

機場裏的街頭音樂家

自遣自娛自徘徊

只有一個異國的旅客

片刻間被他熨平了滿心的焦渴

停下來，縱然只有一小會兒

激賞和忘情

真的只有一小會兒

又要開始下一段疲憊的旅程

少年的心事畢竟會遠去

只願人性的惡不要勝於瘟疫

真的只有一小會兒

在琴聲中看到了善良

想起來有誰説過

不知該原諒些什麼

誠覺世事儘可原諒

參考文獻

[1] 孟子楊. 白馬非馬，非費米液體—非—費米液體. 物理，2020，49(3)：186

[2] Abanov A，Chubukov A V，Schmalian J. Quantum- critical theory of the spin- fermion model and its application to cuprates: Normal state analysis. Advances in Physics, 2003，52：119

[3] Xu X Y，Sun K，Schattner Y et al. Non-Fermi-liquid at (2+1)d ferromagnetic quantum critical point. Phys. Rev. X，2017，7：031058

[4] Xu X Y，Klein A，Sun K et al. Extracting non-Fermi liquid fermionic self-energy at T=0 from quantum Monte Carlo data. 2003，arXiv：2003.11573

[5] Liu Z H，Pan G P，Xu X Y et al. Itinerant quantum critical point with fermion pockets and hot spots. PNAS，2019，116 (34): 16760

[6] Altshuler B L，Ioffe L B，Millis A J. Lowenergy properties of fermions with singular interactions. Phys. Rev. B，1994，50：14048[7] Chubukov A V. Self- generated locality near a ferromagnetic quantum critical point. Phys. Rev. B，2005，71:245123

[8] Lee S S. Low-energy effective theory of Fermi surface coupled with U(1) gauge field in 2 + 1 dimensions. Phys. Rev. B，2009，80：165102

[9] Metlitski M A，Sachdev S. Quantum phase transitions of metals in two spatial dimensions. I. Ising-nematic order. Phys. Rev. B，2010，82：075127

[10] Metlitski M A，Sachdev S. Quantum phase transitions of metals in two spatial dimensions. II. Spin density waveorder. Phys. Rev. B，2010，82：075128

[11] 孟子楊. 從德爾斐箴言到自學習蒙特卡羅. 物理，2017，46(4): 248[12] 孟子楊. 我們的壯遊. 物理，2019，48(10)：683