有趣的阿羅不可能定理_風聞

肯尼斯·約瑟夫·阿羅（Kenneth J．Arrow，1921年8月23日—2017年2月21日）是個有趣的老頭，作為一位最初研究社會科學方向的文學碩士，其數學功底相當深厚，最終被授予了數學博士，但是令其才華大放異彩的領域卻在經濟學領域。此公關於一般均衡理論的研究獲得了1972年諾貝爾經濟學獎。

可見，數學才是進軍經濟學的關鍵啊，一個優秀的數學家未必是一個出色的經濟學者，但是一個卓越的經濟學家必然是要在數學上頗有建樹。

這裏，回顧下他早期一些有趣的研究。阿羅早期着力在於福利經濟學。然而在其1949年的《社會選擇與個人價值》一書中，他提出了一個有趣的定理，即阿羅不可能定理，卻給當時的福利經濟學理論判了死刑，同時對當時政治哲學產生了極大的衝擊。

該定理有如下論斷：如果由兩個以上偏好不同的人來進行選擇，而被選擇的政策也是超過兩個，那麼就不可能做出大多數人都感到滿意的決定。因此，在每個社會成員對一切可能的社會經濟結構各有其特定的偏好“序列”的情況下，要找出一個在邏輯上不與個人偏好序列相矛盾的全社會的偏好序列是不可能的。

阿羅通過構建“序結構”為核心的數學模型來論證該定理。（簡單來説，就是通過將偏好轉化為比大小的數學語言。）

對於該領域的研究源自孔多塞（法國人，1743年9月17日－1794年3月28日）的投票悖論，但阿羅對該悖論進行了充分的數學論證，並發展出了自己的阿羅不可能定理。

​阿羅不可能定理説明，依靠簡單多數的投票原則，要在各種個人偏好中選擇出一個共同一致的順序，是不可能的。這樣，一個合理的公共產品決定只能來自於一個可以勝任的公共權利機關，要想藉助於投票過程來達到協調一致的集體選擇結果，一般是不可能的。

同時，阿羅將此定理引申到選舉系統中，有了如下精彩的論斷：

首先，考慮一個合理且充分民主的選舉體系，應滿足以下公理：

1，一致性：即如果所有投票者支持候選人X勝於候選人Y，那麼候選人Y不會是最後獲勝者。簡稱“P公理”；

2，確定性：即有且僅有一個獲勝者。簡稱“U公理”；

3，無第三者：即假定候選人X獲得勝利，那麼在另一個候選人Y退出而且其他條件不變的情況下，那麼X仍然應該獲得勝利，候選人Y為無關候選人。簡而言之，不存在攪局的第三者。簡稱“I定理”；

4，非獨裁：即任何投票者均不能左右選舉，即不存在獨裁者。簡稱“D定理”；

對於這麼一個滿足以上4個公理的“PUID”選舉系統，阿羅論證出瞭如下結論：當選民人數與候選人數均不小於3，則不存在任何“PUID”選舉系統。

基於此理論，又有如下推論：

1，根本不存在一種既能保證效率，又能尊重個人偏好的多數規則的選舉系統。任何條件下的民主選擇要麼是強加的，要麼是獨裁的結果。

2，一個社會不可能有完全的每個個人的自由——否則將導致獨裁；一個社會也不可能實現完全的自由經濟——否則將導致壟斷。

當時阿羅的論斷非常具有爆炸性，李特爾、塞繆爾森等人試圖駁倒該定理，但阿羅不可能定理是建立在紮實的數學地基上的，他們的掙扎非但不能撼動它，反而進一步鞏固了該定理的地位。

當然，在一片陰雲慘淡中，折中的辦法還是被發現了，阿馬弟亞·森（AmartyaKumar Sen，1933一）通過調整個體偏好順序，在一定程度上解決了在阿羅不可能定理提出的問題。但是這個“一定程度”是有個前提，即參與決策的人必須要一致認定某個方案不是最佳（當然實際上，這個被嫌棄的方案是不會為最後決策選中的）。雖然依舊不完美，但是勉強算是拯救了局面，當然陰影依舊存在。

作為一個由數學出發，導向經濟學，進而推論至社會學的定理，阿羅不可能定理展現了數學的獨特魅力。