從被忽視到大放異彩，這個理論經歷了什麼？！！_風聞

表示理論最初被人忽視。現在，它是許多數學研究的核心。

上圖將李羣直觀地展現了出來。通過這種化繁為簡的方式，數學家們得以理解複雜對象的方方面面。

19世紀晚期，表示理論出現時，許多數學家質疑它存在的價值。1897年，英國數學家威廉·伯恩賽德（William Burnside）説，他十分懷疑這些不正統的觀點能產出什麼新的結果。

悉尼大學的喬迪·威廉姆森（Geordie Williamson）在2015年的一次演講中説：“伯恩賽德的的大意是：表示理論毫無用處。”

在登場一個多世紀之後，在許多最重要的數學發現中表示理論都是關鍵。然而最初，人們很難看到它的用武之地。

德國凱澤斯勞滕技術大學的艾米莉·諾頓（Emily Norton）説：“它是一個合理的研究對象，這一點並不能馬上就能看清楚。”

表示理論是一種將複雜對象用簡單對象“表示”的方法。這裏的“複雜對象”通常指的是數學對象的集合（比如數字或對稱操作），並且他們之間的關係形成某種特定結構，這些集合稱為羣。而“簡單對象”是數字陣列，稱為矩陣，是線性代數的核心。羣比較抽象，常常難於處理，而矩陣和線性代數卻是十分基本的。

“數學家基本上對矩陣瞭如指掌，這是數學中為數不多被透徹理解的主題之一。”波士頓大學的賈裏德·韋恩斯坦（Jared Weinstein）説。

為了理解矩陣如何表示羣，我們有必要逐個看看它們都是什麼。

首先，我們來介紹羣。

舉一個十分直白的例子，考慮等邊三角形的六個對稱性：

兩個旋轉對稱（轉120度或240度）；

三個鏡面反射對稱（沿等邊三角形的三條中線反射）；

一個恆等對稱性（不對三角形進行任何操作）。

兩個旋轉對稱

三個鏡面反射對稱

一個恆等對稱性

這六種對稱操作形成了元素的一個封閉集合：羣，學名是 S3。它們之所以形成羣，是因為具有這樣的性質：在其中選取任意多個操作，以任意順序施加在這個三角形上，其結果都可以等效成為只進行了一次對稱操作。

舉個簡單的例子：先對三角進行鏡面反射，再將其旋轉 120 度，這改變了三角形三個頂點的順序。若進行另一種鏡面反射，你會看到頂點順序發生了相同的變化。

“我先這樣操作，再那樣操作。重要的是，結果仍舊是這個三角形的對稱操作。”諾頓説。

數學家把兩個對稱操作的結合稱為一個組合：羣中的一個操作（反射）與另一個（旋轉）組合，產生第三個（另一個反射）。你可以像數學家一樣，將組合看作一種乘法運算。

“我們喜歡把操作看成是乘法，即使我不是在乘數字，我乘的是變換（transformations）。”諾頓説。

簡單起見，我們可以考慮非零實數，加上定義的各種運算，它們也形成了一個羣。任何實數“組合”或“乘以”  1  之後都保持不變。你也可以以任何順序乘以任何實數，得到的結果還是一個實數。數學家稱實數構成的羣在乘法下“封閉”的，意思就是，若只是將元素相乘，得到的結果永遠落在這個羣內。

自從 1830 年左右被發現，羣已經成為了數學中最重要的內容之一。他們將素數、幾何空間等數學界幾乎所有最關心的東西進行編碼，解決一個重要的問題往往取決於理解與之有關的那個羣。但對絕大多數羣來説，理解起來比等邊三角形可難多了。比如“李羣”，它含有的可不是簡簡單單的六個元素，而是無窮多個。

“羣有時真的特別複雜。”韋恩斯坦説。

這就説到了表示理論，它讓我們從神秘的羣的世界來到了可以很好地被約束的線性代數領域。

線性代數研究作用在向量（有向線段）上的簡單變換。它們是用座標來定義的，可以用矩陣（數字陣列）的形式表示出來。

一個矩陣作用在向量上，使之發生變換。比如，矩陣 ：

的作用是使向量長度伸展為原來的兩倍。這是一個“線性”變換的例子。

其他矩陣會對向量進行不同種類的線性變換，如反射，旋轉和剪切等。恆等矩陣不對向量產生任何改變（就像恆等對稱性作用在三角形上或者1作用在實數上一樣）： 

線性代數將這些變換背後的算數過程具體化了。矩陣可以相乘、相加、相減，就像我們對普通的數字進行操作一樣簡單。

根據某些規則，對羣裏的每個元素分配一個矩陣——表示理論以這樣的方式在羣論和線性代數之間架起了一道橋樑。舉例來説，羣的恆元必須分配單位矩陣。這種分配必須照顧到羣中元素之間的關係。如果一個反射操作乘一個旋轉相當於第二個反射，那麼他們所對應的矩陣也應滿足前兩者（第一個反射和旋轉對應的矩陣）相乘等於後者（第二個反射對應的矩陣）。符合這些要求的矩陣的集合就稱作羣的一個表示。

表示給出了羣的簡化圖像，就像黑白圖片是原始色彩圖片的低成本仿製一樣。換句話來説，它“記住”了羣的一些簡單卻本質的信息，但“忘掉”了其他的。數學家不想過分糾纏於羣的全部複雜性，而是將其轉換為線性變換這樣的簡約形式，然後通過觀察其行為來把握其性質。

諾頓説：“我們不需要立刻着手研究羣，看一看更小的表示就能理解一些關於羣的性質。”

幾乎所有羣都有多種表示。比如S3羣就有三個截然不同的實數矩陣表示：平凡表示、反射表示和符號表示。

數學家將羣的表示整理歸納在一個表格——特徵標表中。特徵標表總結了羣的信息，表格的各行對應着不同的表示，各列對應着表示中的重要矩陣：恆元和生成元（利用這兩種羣元可以構造出羣的全部元素）的表示矩陣。表格的內容是各矩陣的跡，即將矩陣左上角到右下角這條對角線上的元素取和。下方是 S3羣三個表示的特徵標表：

**特徵標表提供了羣的簡化圖像，**其中的每個表示都提供了略微不同的信息。數學家將表示提供的各個角度結合起來，形成對羣的整體印象。

“不同的表示’記憶’了不同的事情，當你把所有的信息放在一起時，某種程度上你就有了關於羣的萬花筒般的圖像。”

上面的特徵標表，數學家一看就知道是 S3羣的。但是有時同一個特徵標表可以表示多個羣——做簡化時無法避免一定程度的模糊或歧義。

對這些模糊的情形，數學家們有額外的工具可供使用，其中一種方法就是換一種數字系統來構造表示。上面 S3羣的表示用的是實數矩陣，但是你也可以用複數矩陣（矩陣的每個矩陣元都由實數部分和虛數部分組成）。事實上，大多數表示理論都是這樣做的。

有一些成果豐富的表示既不用實數也不用複數，它們的矩陣元是取自縮小後，或者説“取模”後的數字系統，我們稱為“模”。以鐘錶數學的結構為例，在這裏時針從  0 開始，繞過 7+6 小時後等於 1。兩個擁有相同實數特徵標表的羣可能有不同的模表示特徵標表，從而可以被區分開。

如今，表示理論是許多數學研究領域的核心工具：代數、拓撲、集合、數學物理和數論——包括影響深遠的的朗蘭茲綱領。

“在20世紀下半葉，表示理論的哲學在數學世界中瘋狂開疆拓土。”在一次採訪中，威廉姆森説。

表示理論——尤其是模表示——在1994年安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）對費馬大定理(方程 an+bn=cn 是否存在正整數解)的里程碑式證明中扮演了重要的角色。懷爾斯證明了當 n>2 時這樣的正整數解是不存在的。大體來説，他認為如果存在這樣的解，會導致一個羣（或橢圓曲線）具有非常不尋常的性質。這些性質太不尋常以至於可以作為羣不存在的證據。然而，直接證明是非常困難的。懷爾斯另闢蹊徑，着手於這個羣的一系列模表示。它證明了一系列的模表示無法存在，這就意味着這個羣（或者橢圓曲線）無法存在，進而表明這個整數解也是無法存在的。

百年之前，威廉·伯恩賽德將表示理論棄之如敝履；百年之後，表示理論對 20 世紀最著名的證明至關重要。

韋恩斯坦説：“如果****費馬大定理最後的證明沒有用表示理論，我不確定它是否還能被證明出來。”

作者：Kevin Hartnett

翻譯：xux

審校：Nuor

原文鏈接：

https://www.quantamagazine.org/the-useless-perspective-that-transformed-mathematics-20200609/