歷史的終結與最後的人 | 量子多體中的吶喊與彷徨之四_風聞

歷史看來應該是沒有終結的，每一代人都在自己的身上踐行着最後的人，都在做着與命運艱難的搏鬥。從科學的角度來看，也許真的不存在什麼終極的組織形式，也就是人們常説的只有相對的真理，沒有絕對的真理。當我們發現已經建立的規律出現漏洞的時候，其實往往是令人興奮的時刻，這就意味着我們摸到了之前一個相對真理的適用界限，開始探索新的相對真理了。

撰文 | 孟子楊 (中國科學院物理研究所)

來源：中國物理學會期刊網

稍微熟悉一些政治理論的朋友應該都知道弗朗西斯·福山 (Francis Fukuyama) 的這本書《歷史的終結與最後的人》(The End of History and the Last Man)，此書成於1990年代初，就着當時的時代背景 (東歐鉅變、蘇聯解體、冷戰結束) 預言了人類社會最終的組織形式將會是 liberal democracy。福山先生放眼人類歷史上下幾千年，剖析波瀾壯闊的20世紀，師承從康德、黑格爾到馬克思的德國古典哲學與人類社會發展階段理論，提出“歷史終結論”。他分析了君主制、法西斯制度、穆斯林國家的制度和東歐與前蘇聯所代表的政治體制，在學理的層面上指出這些制度的內在缺陷，並一一論證 liberal democracy 不存在這些天生的缺陷，然後再用當時的實例 (美國、歐洲、日本欣欣向榮；東歐翻盤、蘇聯解體、拉美國家陷於獨裁的泥潭……) 來佐證其理論的正確。此書和其基本的結論風靡一時，產生了世界範圍內的影響。自認為已經生活在歷史終結制度中的人們從此更是站上了道德和哲學的制高點，開始對他們認為還沒有成為最後的人的人們指指點點、耳提面命；而被批評慣了的人們也因此變得思維定勢，天生覺得自己所生活的制度低人一等，都不好意思為之辯護，自願成為了沉默的大多數和國際受氣包，受了欺負除了表示強烈抗議之外更無他法。可見福公此書製造輿論的成功和深入人心的力量。

然而，三十年過去了，出乎福公的預料，更出乎那些自以為是最後的人和想成為最後的人的人們的預料，歷史沒有終結。當年的成功實例就在我們的眼前一步一步陷入了困頓，“歷史終結論”漸漸 hold不住了。到底誰在踐行liberal democracy，到底如此的組織形式是否也有天生的缺陷，到底人類社會是否存在最終的組織形式……這樣的問題反而變成從被忽悠的狀態中漸漸回過神來的人們開始思考的問題。就連福公自己，面對慘淡的現實，也開始按捺不住，屢屢出來給“歷史終結論”打補丁，可也架不住他身在其中的政府和人類組織形式實在是爛泥扶不上牆，打臉的速度快過打補丁的速度，真讓人生出三十年河東的感嘆。

其實拋開“歷史終結論”的意識形態引申，那本書《歷史的終結與最後的人》是一部紮紮實實的學術著作。論證合理、文字流暢、引人入勝，用物理學家能夠聽懂的語言就好像是一篇有着 Nature 題目的長 Physical Review B 或 者 Physical Review X 文章，開卷有益，讓人喜歡讀，好的文章就應該是這個樣子。如果是有着 Nature 題目的 Nature 文章，那反而不用看了，因為雜誌社出於商業利益的考慮，往往引誘着物理學家們昧着良心説話，造成的結果就是這樣的文章會有各種各樣的問題；而長 Physical Review B 文章，或者長 Physical Review X 文章，因為出版機構是非商業性的，變成了物理學家們盡情發揮的場所，同行和後學們可以真正從中學習到有用的知識。好的，既然已經提到了物理學，那我們就藉着歷史的終結往下説，看看物理學，或者凝聚態物理學量子多體問題中有沒有類似“歷史終結論”hold 不住了這樣的故事。

筆者在之前的文章中，講到過一個例子就有着類似的精神[1]，故事涉及量子多體中眼下經常討論的“湧現連續對稱性” (emergent continuous symmetry) 。目前我們講到超越朗道—金茲伯格—威爾遜相變和臨界現象理論框架的物理現象，經常會遇到這個概念。其大意是，物理系統的哈密頓量決定了系統所能具有的對稱性，而體系在哈密頓量參數空間中所呈現出的相，其對稱性往往要低於哈密頓量的對稱性，即對稱性自發破缺現象。但是在量子多體行為中，目前人們從量子漲落、分數化原激發和湧現規範場這樣的角度，發現了相變點上的量子物態可以具有高於哈密頓量的對稱性，即湧現連續對稱性。這樣的現象在阻挫磁體、去禁閉量子臨界點、強關聯拓撲序等等系統中都有體現，並且有着逐漸被接受成為新型量子相變的規律的趨勢。但是，問題就在於如此的理論框架還在建立中，其實並沒有如朗道—金茲伯格—威爾遜框架那樣完善，所以也就有不符合的時候。此時需要注意的就是不能無限拔高，錯把emergent continuous symmetry 這樣的 good wish 當成了絕對真理，筆者之前的那篇文章，就是講了阻挫三角晶格的量子伊辛模型中，人們預期在相變點上產生 emergent O(2)對稱性，並且也被後來的蒙特卡洛嚴格計算證實。基於此，便有人就拔高到阻挫六角晶格量子伊辛模型的相變點也應該具有 emergent O(3)對稱性，但是我們自己的蒙特卡洛嚴格計算卻發現此處其實是一個遵從朗道—金茲伯格—威爾遜框架的一級相變[2]。這個故事背後的研究論文的題目就是：Caution on emergent continuous symmetry (小心預言湧現連續對稱性)，而那篇講故事的文章的題目是：學好蒙特卡洛，不會被忽悠。其實説的都是一個意思。

接下來我們就進入本文的主題，看看另外一個更加重要的“歷史終結論”在量子多體問題中 hold 不住的情況。一如以往，我們還是從朗道—費米液體理論説起。之前的兩篇文章[3，4]中主要關注準粒子、自能以及非費米液體自能分數化頻率冪指數關係等等。這裏我們來講講費米麪的大小。其實費米麪中所包含的面積 (對於二維的布里淵區來説) 或者體積 (對於三維的布里淵區來説) ，與布里淵區本身的面積或者體積的比例，就是系統中電子的填充數或者佔據數，這個規律現在被人們稱為 Luttinger sum rule 或者Luttinger theorem(Luttinger 定理)。此事源於1960 年 代 Joaquin Luttinger 對於費米麪所包含的面積的討論[5]，後來被 Oshikawa 用拓撲的語言以非微擾的方式證明了[6]。他們説只要是費米液體，就算是有量子多體相互作用，其費米麪的面積就等於系統的電子佔據數。我們以二維正方晶格系統為例，寫成公式就是

此處 ν = N/L^2是系統中的電子佔據數，就是二維 L×L晶格上放 N 個電子，平均每個格點上的電子數，注意 ν 可以不是整數。而等式右邊的

是費米麪的面積，再除以(2π)^2就是其佔正方晶格布里淵區的比例。最後一個n 是一個整數，也就是説如果我們考慮多帶的系統，那麼那些填滿的能帶就在每個格點上貢獻一個電子， n 個佔據的能帶就貢獻 n個電子，如果只考慮單帶問題時這個 n=0。所以 Luttinger 定理指出了費米液體 (即使是具有相互作用的) 其電子的佔據數和費米麪佔布里淵區的比例精確對應。這是一個很有用處的結論。我們來看一個具體的例子。如圖 1所示，圖 1(a)是一個自由電子系統的布里淵區和費米麪，藍色的費米麪之內為電子佔據態，按照 Luttinger 定理，其面積和整個布里淵區面積的比例就是系統的電子佔據數 ν (就是每個格點上平均有多少個電子，再次注意，可以不是整數)。然後若要考慮相互作用的效果，我們可以讓系統感受到一個反鐵磁的不穩定性，即圖中綠色的矢量 Q =(±π, ±π) 所示。當反鐵磁長程序最終形成時，系統會進入電荷密度波的金屬態，其費米麪會如圖 1(b)所示，原本的大費米麪變成了四個小的口袋 (pocket)。乍一看，左右兩邊的費米麪明顯不相等，但是整個過程中我們沒有改變電子的佔據數，所以按照 Luttinger 定理，費米麪和布里淵區的比例不應該變化。但是小 pocket 佔的比例顯然比大費米麪要小，這是怎麼回事呢？其實Luttinger 定理總是對的：從圖 1(a)到圖 1(b)，系統發生了對稱性破缺，圖 1(b)中的反鐵磁序電荷密度波與圖 1(a)中無相互作用費米子具有不同的平移對稱性，即圖 1(b)中 的系統實空間原胞基矢比左邊長了一倍，x 方向長一倍，y 方向長一倍，實空間的原胞面積就大了4倍，倒空間的布里淵區就小了4倍。在小了4倍的布里淵區中，pocket 所佔的比例其實和原來的大費米麪在原本的布里淵區中佔的比例是相同的，也就是説，Luttinger 定理對於費米液體，不論其費米麪的形狀在相互作用下如何變化，總是把電子佔據數和費米麪的面積緊緊聯繫起來。

圖1 Luttinger 定理和費米麪的面積 (a)二維正方晶格無相互作用費米子具有一個大費米麪。當其感受到反鐵磁相互作用時(如在 Hubbard 模型中)，反鐵磁的波矢可以將費米麪摺疊成(b)中的小費米麪，或者叫口袋(pocket)。不論是大費米麪還是小費米麪，其面積和布里淵區的比例就是系統中的電子佔據數，即Luttinger定理。在從(a)到(b)的過程中，電子佔據數沒有發生改變[7]

Luttinger 定理是如此的正確和好用，以至於在許多凝聚態物理學的前沿問題中，都可以看到它的影子。比如重費米子的 Kondo lattice問題，當重費米液體形成時，人們發現此時費米麪的面積變大了，大於了系統中巡遊電子的費米麪，如果按照 Luttinger 定理，就意味着系統中構成費米麪的電子數變多了。此時，只要把局域磁矩也計入到電子的佔據數中，電子的佔據數就和變大後的費米麪在布里淵區中的比例相等了[8]。其實 Oshikawa 當初對於 Luttinger 定理的證明，就是用的這個例子，告訴人們在重費米液體中，大費米麪既有巡遊電子的貢獻，也應該有局域磁矩的貢獻。Luttinger 定理看來如此強大，連重費米子都可以搞定，其他的關聯的金屬自然也不在話下。那麼是不是所有金屬的電子佔據數都是和費米麪的面積一一對應呢，這是不是又一個“歷史終結論”式的結論呢？隨着時間的前進，是不是還是會有漸漸 hold 不住的情況呢？

還真是，在凝聚態物理實驗中，Luttinger 定理無法解釋的情況是有的，其中最著名的要數高温超導體中的 Fermi arc 態。就是指人們在銅基超導體的欠摻雜區域通過角分辨光電子能譜觀察到此處系統的費米麪不再是閉合的圓圈或者口袋，而是變成了斷裂的費米弧 (Fermi arc) [9-12] (順便説一句，在高温超導贗能隙和費米弧的實驗發現過程中，幾位華人實驗物理學家都做出了重要的貢獻，[9-12]這幾篇文獻就是現在中國科學院物理研究所丁洪研究員和斯坦福大學的沈志勳教授早年的工作，對於關聯電子領域的發展影響深遠)。圖2(a)為銅基超導空穴型摻雜的示意相圖。如圖 2(b)所示，在欠摻雜區域 ( p = 0.1摻 雜，電子佔據數 ν = 0.9)，角分辨光電子譜看到的不是紅色的閉合口袋，而是斷裂的弧線；而如圖 2(c)所示，當系統到了過摻雜區域 (p = 0.25摻雜，電子佔據數 ν = 0.75) ，此時的費米麪恢復成一個完整的圓圈，系統回到費米液體。在Fermi arc 區域，系統已經沒有閉合的費米麪，還讓人怎麼計算其面積？所以 Luttinger 定理在此處 hold不住，失效是無疑的了。至於有沒有理論解釋，這個就麻煩了，高温超導領域的物理學家們已經爭論了20多年，還是沒有定論，茲事體大，牽扯到人們對於圖2(a)中TN之上T *之下的贗能隙區域的理解。我們在這篇文章中也不能給出答案。大家可以參看中國科學院物理研究所羅會仟在《物理》的系列文章《超導“小時代”》，一窺其豐富的內涵。我們還是説説在理論上如何嚴格地製造出讓Luttinger定理 hold 不住的關聯電子態吧。

圖2 (a)銅基超導空穴型摻雜的示意相圖；(b)角分辨光電子能譜觀察到欠摻雜區的費米弧(Fermi arc)，是沒有閉合的費米麪，不滿足Luttinger定理，紅色圓圈為量子振盪實驗觀察到的費米口袋(Fermi pocket)；(c)角分辨光電子能譜觀察到過摻雜區完整的費米麪，其面積和電子佔據數吻合，滿足Luttinger定理[13]

我們問一個相對簡單的問題，就是在量子多體模型層次上，能否設計出可以嚴格求解的關聯電子模型，不用平均場和微擾論近似，計算出系統從滿足Luttinger定理的費米液體金屬到不滿足 Luttinger 定理的金屬的變化。答案是可以的，此處需要用到拓撲序規範場和物質場耦合的構造，也是剛剛才被蒙特卡洛計算證實的結果[14]。研究人員基於前人提出的“正交金屬”的理論設想，設計出了一個可以進行量子蒙特卡洛計算的微觀晶格模型，模擬費米子物質場和Z2規範場耦合這樣的物理圖像。通過調節系統中量子漲落的強度，蒙特卡洛模擬展示了從普通金屬到具有拓撲序和沒有準粒子與費米麪的“正交金屬”的連續相變。圖

規範場分別與伊辛物質場和正交費米場通過最小耦合的方式聯繫起來。伊辛物質場和Z2規範場的量子漲落是整個系統相互作用的來源。通過調節伊辛物質場的量子漲落強度，可以在這個模型上實現費米液體金屬 (圖3(b)) 與正交金屬 (圖3(c))，並研究它們之間的相變。圖4上面三個圖就是複合費米子的費米麪從滿足 Luttinger 定理的費米液體 (圖 4(a))， 經過相變 (圖 4(b))，到達不滿足 Luttinger 定理的正交金屬 (圖4(c)) 的全過程。而圖4的下面三個圖就是在相應的過程中，系統自旋動力學磁化率的行為。在費米液體相，系統的電子佔據數與費米麪的面積相等；而在正交金屬相，系統已經沒有了費米麪，但計算卻發現正交金屬態仍然是一個電荷可以自由流動的金屬。比如，自旋磁化率的結果表示不論是費米液體還是正交金屬，其低能自旋漲落沒有發生變化，就是費米液體的行為。這些現象都説明正交費米子仍然處於金屬狀態，有一個隱藏的費米麪。

圖4 從費米液體金屬到正交金屬的相變過程。圖(a)、(b)和(c)為複合費米子的費米麪的變化：圖(a)處於費米液體金屬，有費米麪；圖(b)為臨界區域，費米麪正在消失；圖(c)處於正交金屬相，沒有費米麪。圖(d)、(e)和(f)為相變過程中的自旋磁化率。不論是在費米液體金屬還是正交金屬相，近似鑽石型的費米麪導致自旋磁化率圖的中心出現4個小峯，説明費米液體金屬與正交金屬具有相同的磁學響應

正交金屬態可以説是超越 Luttinger 定理的了，因為它雖然是導體，也具有電子填充，但是連費米麪都沒有，那麼還怎麼聯繫電子佔據數和費米麪的面積？但是，此處人們還可以像福山給“歷史終結論”一樣打補丁，可以説雖然正交金屬沒有費米麪，但是如果去測量這裏

還是可以找到一個符合Luttinger 定理的隱藏費米麪，隱藏費米麪的面積與正交費米子的佔據數是一一對應的。如果把 Luttinger定理推廣到可以包括隨着規範變化的隱藏費米麪，也就是打上這樣一個補丁，那麼還可以講 Luttinger定理對於正交金屬態還是適用的。

好吧，姑且聽之。那麼我們可以繼續追問，在理論上到底存不存在就算打了補丁也補不上，讓 Luttinger定理無論怎樣都hold不住，徹底失效的情況呢？比如在實驗中觀測到的銅基超導中的 Fermi arc 狀態。其實也是有的，而且可以預期會越來越多，但是考慮到大家能讀到這裏應該已經筋疲力盡，進入了“每個字都認識，但是連在一起就是不明白是什麼意思”的混沌狀態。我們還是就此打住先，待筆者使一個拖刀之計，下一篇文字中再揭示謎底吧。

總之，歷史看來應該是沒有終結的，每一代人都在自己的身上踐行着最後的人，都在做着與命運艱難的搏鬥。從科學的角度來看，也許真的不存在什麼終極的組織形式，也就是人們常説的只有相對的真理，沒有絕對的真理。當我們發現已經建立的規律出現漏洞的時候，其實往往是令人興奮的時刻，這就意味着我們摸到了之前一個相對真理的適用界限，開始探索新的相對真理了。非費米液體對於費米液 體 的 超 越 應 做 如 是 觀 ；Fermi arc、正交金屬對於Luttinger定理的超越亦應做如是觀。“自其變者而觀之，則天地曾不能以一瞬；自其不變者而觀之，則物與我皆無盡也。”這樣辯證的觀點，遙想福公深諳從康德到黑格爾再到馬克思的德國古典主義哲學，也一定懂的，實在 hold 不住就算了，不要再勉為其難地為“歷史終結論”打補丁了吧。

參考文獻

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本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”。