高射炮也能打蚊子！數學大神克萊因：那個巔峯之上肯俯視的人_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2020-07-22 17:06
克萊因是數學物理學家，做數學似乎不分專業，在幾何、拓撲、複分析和羣論方面都是高手。他1872年的愛爾蘭恩綱領乃是對時代數學之集大成，是歷史上不多的大手筆，深刻地影響了此後數學的演化，被譽為是一項無法評價其創新性的成就。克萊因是學物理的出身，他對物理的理解和表達能做到系統完備，可見何謂數學乃學物理、做物理之必備。我衷心希望，我們的中華少年在解一元二次方程的時候，手邊的參考書是拉格朗日的《關於代數方程解的思考》和克萊因的《二十面體與五次方程解教程》。
撰文 | 曹則賢 (中國科學院物理研究所研究員)
欣賞數學之美需要物理的眼光
法國百科全書派的天才哲學家狄德羅老師 (Denis Diderot，1713-1784) 曾這樣描寫數學家：“ (他們) 就像那些站在高聳入雲的峯頂上出神凝望的人，下面平地上的物體已從視野中消失；他們觀察到的景象只是他們自己的思想，他們意識到的對象只是他們所攀登的高度。在那個高度上，恐怕一般人都無法適應，也無法呼吸 [那麼稀薄的空氣] 。” 這段話的法文原文我沒找到，是基於如下這段英文翻譯的: “ (they) resemble those who gaze out from the tops of high mountains whose summits are lost in the clouds. Objects on the plain below have disappeared from view; they are left with only the spectacle of their own thoughts and the consciousness of the height to which they have risen and where perhaps it is not possible for everyone to follow and breathe [the thin air].” 好吧，他們看不到我們，我們估計也看不到他們。就讓我們從他們留下的偉大成就以及相應的文字構想他們的風采之萬一吧！
然而，我想説然而，大數學家也不都是這麼傲慢得不食人間煙火的。他們中也有好人，不，是有有悲憫心的人。有一個人，他在巔峯之上也不曾忘卻地面上還有稀裏糊塗的芸芸眾生，還肯抽時間為我們撰寫Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (高觀點下的基礎數學)，他就是數理大神克萊因 (圖1)。
克萊因 (Felix Klein，1849-1925. Felix，拉丁語詞，幸福的；Klein，德語詞，小的) 是數學家，也是個好為人師的數學教育家。克萊因於1849年出生於德國的杜塞爾多夫，1865-1866年間在波恩大學學數學和物理，那時他是想當物理學家來着，他的導師普呂克 (Julius Plücker，1801-1868) 就是波恩大學的數學和實驗物理教授 (不熟？普呂克矩陣和陰極射線瞭解一下)。1866年，年紀不過17歲的克萊因成了普呂克的助手 (德國大學名教授的助手是什麼意思，請參考泡利、海森堡、約當都是玻恩的助手和勞厄是普朗克的助手加以理解。這些人可都是博士畢業以後才當上助手的) ，這就算是參加工作了，然後於1868年獲得博士學位。嗯，對，你沒看錯，人家是在19歲上大學三年級時獲得博士學位的 (後來的泡利也是大學唸了三年獲得物理博士學位，不過他已經虛歲22了)！克萊因在21歲上成為哥廷恩大學數學系的講師，1872年23歲時被Erlangen大學聘為教授。
説到Erlangen 大學，有必要多囉嗦幾句。Erlangen 大學聘請23歲的克萊因為其教授，這非常有眼光，克萊因的入職演説後來演變成了“愛爾蘭恩綱領”回饋了這所大學。愛爾蘭恩綱領是數學史上的獨特風景，後來可與其相提並論的有希爾伯特1900年的巴黎演説以及朗蘭茲綱領。愛爾蘭恩綱領，德語寫法為Erlanger Programm, 英文寫法為Erlangen program，有漢譯愛爾朗根綱領。我再説一遍，這裏，以及哥廷恩 (Göttingen) 那裏，從來沒有‘根’這個音 (讀書先識字。我懷疑連字都不肯認真地認的人會認真地理解數學公式裏那些不可見的內容。在國人中有少年能熟讀法文、德文、俄文數學著作之前，不要指望出現大數學家。不信，問問我們的鄰居日本人！)。這所大學自1888年起還聘用了一位Max Noether (1844-1921) 教授，Max Noether 教授的女兒艾米 (Emmy Noether, 1888-1935) 在21歲上決定開始學數學，後來成了近世代數之父！艾米還成了克萊因晚年的合作者，這是後話。一所好的研究機構與其聘用的學者是互相成就的。好研究機構的特徵是評價學者時眼不瞎、心不歪！
以一個毛頭小夥子的身份開始做數學教授，克萊因其後的人生一路開掛，充滿傳奇。1875年，克萊因結婚，妻子是哲學家黑格爾 (Georg Hegel，1770-1831. 不熟？辯證法瞭解一下) 的孫女Anne Hegel。同年，克萊因挪到慕尼黑工業學校(Munich’s Technische Hochschule) 任教，在那裏上他的課的學生中後來成為大學問創造者的有Adolf Hurwitz(可除代數)，Carl Runge (計算方法)，Max Planck (量子力學) ，意大利人Luigi Bianchi和 Gregorio Ricci-Curbastro (見於微分幾何中的比安奇恆等式和裏奇張量。這是廣義相對論的關鍵概念)。1880-1886年間克萊因任教於萊比錫大學，其同事包括無產階級的偉大導師恩格斯(Friedrich Engels，1820-1895。不熟? 共產黨宣言瞭解一下)。從1886年起一直到1913年退休，克萊因都在哥廷恩大學數學系工作，重新把哥廷恩打造成了世界數學中心。在哥廷恩期間，他教的都是橫跨數學和物理的課，比如力學和勢理論 (potential theory，學過力學和電磁學的回顧一下。想不起來？補課吧)。克萊因在哥廷恩期間乾的一件漂亮事兒，是他1895年把希爾伯特 (David Hilbert, 1862-1943) 從國王堡大學挖了過去，使得哥廷恩大學到希爾伯特去世的1943年都一直是世界數學中心。
説到國王堡，Königsberg, 我又得囉嗦一句。Königsberg, 漢譯柯尼斯堡，是很糟糕的翻譯。König，柯尼希，國王；Berg, 山。那個s只具有語法功能，相當於漢語的助詞“的”。漢譯柯尼斯堡算怎麼回事兒？國王堡，如今屬於俄羅斯，叫加里寧格勒，是一個學數學、物理的人應該知道的一個小地方 (面積約223平方公里，恰好是北京市海淀區的一半) 。我們熟悉的康德、希爾伯特、閔可夫斯基、基爾霍夫、索末菲、哥德巴赫、雅可比、克萊布什等數學物理大神，家都是國王堡的或者是那兒畢業的。康德葬在那裏，墓碑上刻着那段有“頭頂的星空和內心的道德律令”的名句，至今國王堡，應該叫加里寧格勒，的青年結婚時還要到康德墓上獻花。
克萊因是數學物理學家，做數學似乎不分專業，在幾何、拓撲、複分析和羣論方面都是高手 (圖2)。克萊因是從李 (Sophus Lie, 1842-1899) 和約當 (Camille Jordan, 1838-1922) 那兒學到的羣論。作為一個學物理的人，他肯定一眼就能看出羣論的物理意義，而羣論也成了他後期工作的主題。克萊因用對稱羣來劃分幾何，他1872年的愛爾蘭恩綱領乃是對時代數學之集大成，是歷史上不多的大手筆。愛爾蘭恩綱領把幾何學綜合到一起成為關於空間之在變換羣下不變性的研究，即幾何的根本性質是由保其度規的變換羣所表示的。一個人若不是把學問做到了泰山頂上的高度，是不可能有這種眾山都小的眼界的。愛爾蘭恩綱領，其原文為Vergleichende Betrachtungen ber neuere geometriesche Forschungen, Math. Ann.43, 63-100 (1893) ，可譯為“關於新幾何之研究的比較考察”，讀者有空的時候可以掃一眼。愛爾蘭恩綱領深刻地影響了此後數學的演化，被譽為是一項無法評價其創新性的成就 (It is difficult to appreciate the novelty。啥事兒也得論層次、分量。新未必有什麼價值)。就入職報告成為劃時代科學文獻的角度來説，先前黎曼(Bernhardt Riemann, 1826-1866) 當講師時的入職演説應該説遠高於克萊因的，而薛定諤 (Erwin Schrödinger，1887-1961) 當教授的入職報告就差多了。一個國家，如果有教授入職報告制度，那估計是拿做學問當真的。
對稱性，羣論，作為綱領性的存在，對物理學的意義更重要。克萊因1918年在哥廷恩大學學報上有論文 Über die Integralform der Erhaltungssätze und die Theorie der räumlich-geschlosssenen Welt (論守恆律的積分形式和閉合世界理論) 和 Über die Differentialgesetze für die Erhaltung von Impuls und Energie in der Einsteinschen Gravitationstheorie (愛因斯坦引力理論中動量和能量守恆的微分形式)，這兩篇同諾特的不變變分問題一文一起，是守恆律同對稱性聯繫的奠基性論文，不可不知。特別值得強調的是，克萊因1910年的Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe (論洛倫茲羣的幾何基礎) 一文，是學相對論者必學的一篇論文。客觀地説，愛因斯坦可能不清楚這篇論文的存在，否則他不會不知道時空平移對相對論的意義。愛因斯坦的著作從未討論時空平移，但是沒有時空平移對稱性，相對論是不完整的 (見拙作《相對論~少年版》)。
筆者多年前在研究球面上的鋪排問題 (tessellation on spherical surface) 時就注意到了克萊因1884年撰寫的Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade (二十面體與五次方程解教程) 一書。克萊因研究高於四階的代數方程，嘗試用超越方法去解五次方程，就注意到了二十面體具有五次轉動對稱性。他用二十面體羣解決了五次方程的非根式解問題，相關研究讓他發表了一系列關於橢圓模函數的論文。克萊因在這本書中講述了自同構函數理論，以及如何將代數同幾何聯繫起來。我把這本書的章節安排照錄下來，供讀者朋友找找感覺，看看人家看問題的多層次與多角度。《二十面體與五次方程解教程》一書章節安排如下：
第一部分
第一章 規則多面體與羣論
第二章 x+iy簡介
第三章 基於函數論對基本問題的討論
第四章 基本問題的代數特徵
第五章 一般性定理和對主題的探討
第二部分
第一章 五次方程發展史
第二章 幾何內容簡介
第三章 五次方程的主方程
第四章 不變形式以及六次雅可比方程
第五章 一般五次方程
好像跟我能想象到的正二十面體和五次方程的可能內容出入很大哈。克萊因關於自同構函數和橢圓模函數的研究成果見於他同Fricke 一起撰寫的《橢圓模函數理論教程》和《自同構函數理論教程》各兩卷，前後耗時20年。
克萊因是學物理的出身，他對物理的理解和表達能做到系統完備，這是我們普通人做不到的 (讀者請隨便挑個小概念，看看能不能系統地表述一番)。克萊因和他的學生索末菲(Arnold Sommerfeld, 1868-1951) 曾撰寫過四卷本的Theorie des Kreisels (陀螺理論) ，這簡直是對人類智商的挑戰。誰要是號稱自己學會了經典力學裏的剛體轉動這個知識點，不妨讀讀這四本書找找感覺。當然了，這還是個具有重大應用價值的學問。哪國要是想造飛機和造衞星，就能認識到這本書的重要性。陀螺運動的描述，太難了(圖3)。筆者當年學經典力學和數學時總學不懂，現在想來可能的一個原因是課本里的學問只是摘取了只鱗片爪，沒有深度也沒有全貌也沒有關聯。
克萊因想系統表述物理學的高漲熱情，還體現在他於1894年發起了數學科學百科全書編纂工程，這套數學科學百科後來成了數理著作——尤其是從綜述的角度來看——的典範。這套叢書的第五卷，我們學物理的一般都記得，是泡利撰寫的《相對論》！泡利的《相對論》，是廣義相對論出現後的第一本綜述，出版那年，泡利21歲。
克萊因從23歲起做數學教授，帶出來一大堆數學家來不提，他也殷切希望我們一般智商的人也能多少學點兒一般層次的數學。從1908年起，他為我們普通人編著了三卷本的Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus，漢譯本為《高觀點下的初等數學》。筆者多年前見到這套書時 (圖4) ，確實有些感動~數學家裏竟然也有不拿鬼畫符和循環定義嚇唬人的。我覺得這套書還是譯為《高觀點下的基礎數學》合適些，“初等”這個詞用得有點猛。這套書共三卷：第一卷：算術、代數與分析；第二卷：幾何；第三卷：精確與近似數學。克萊因這個水平的數學家，在他那個高觀點上隨便漏一點的知識也不會太初等。舉例來説，第二卷第二章的題目為“Das Grassmannsche Determinantenprinzip für die Ebene”, Grassmann的Determinantprinzip (determinant principle)，估計一般大學的數學老師裏知道這個概念的也不多, 何況把determinant漢譯為“行列式”本身就不着調。咱們要看得起自己沒問題，也得看得起人家的學問，對吧？看得起真正的學問才是看得起學習中的我們自己。
克萊因、阿諾德這些人用高級數學解決了一些我們也聽説過的低層次問題，為我們演示了高射炮打蚊子的有效性，也藉此告訴我們慣於用高射炮打蚊子的人為什麼還會有升級到用導彈打蚊子玩法的渴望。希望未來的中華少年，有人能早一點在頭腦中勾勒出自己用導彈打蚊子的奢侈，會心一笑然後趕緊把心思轉回他的數學題。我希望，在他解一元二次方程的時候，手邊的參考書是拉格朗日的《關於代數方程解的思考》和克萊因的《二十面體與五次方程解教程》。
克萊因著作目錄
1882: Ueber Riemann’s Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale, McGraw-Hill.
1884: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade, Teubner.
1894: Über die hypergeometrische Funktion, Springer.
1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung, VS Verlag.
1897: (with Arnold Sommerfeld) Theorie des Kreisels (later volumes: 1898, 1903, 1910), Birkhäuser.
1890 and 1892: (with Robert Fricke) Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen (2 Bände), Bull.Amer.Math.Soc.
1897, 1912：(with Robert Fricke) Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen, (2 Bände), Teubner.
1895: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie, Bull.Amer.Math.Soc.
1897: (with Arnold Sommerfeld) Theorie des Kreisels (later volumes: 1898, 1903,
1910), Teubner.
1908: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus，(3 Bände), Springer.
1926& 1927: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (2 Bände), Springer.
1928: Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie, Springer
1933: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer.
參考文獻
1. I. M.Yaglom, Felix Klein and Sophus Lie, Birkhäuser (1988).
2. MacTutor history of mathematics archive, Felix Klein 條目。