為什麼會有三個宇宙速度？慢慢飛難道飛不出地球嗎？ | 袁嵐峯_風聞

​　　導讀

　　飛出地球為什麼一定要超過某個速度呢？如果你保持一個比較低的速度慢慢飛，比如説1公里/秒，難道你飛不出地球嗎？

　　大家在上高中的時候，都學到過三個宇宙速度：第一宇宙速度等於7.9公里/秒，第二宇宙速度等於11.2公里/秒，第三宇宙速度等於16.7公里/秒。

　　三個宇宙速度

　　最近中國發射火星探測器“天問一號” （天問：火星與人類的未來 | 袁嵐峯），又讓很多人重温了這些概念。

　　天問一號藝術示意圖。這次任務將綜合使用軌道器和着陸器/巡視器來研究這顆紅色星球

　　（中國首次火星探測任務即將展開，先來聽聽首席科學家的“劇透”）

　　不過我驚訝地發現，許多人對這些概念感到很困惑。典型的問題是：飛出地球為什麼一定要超過某個速度呢？如果你保持一個比較低的速度慢慢飛，比如説1公里/秒，難道你飛不出地球嗎？難道你會一開始正常上升，然後在某個高度突然被拽下來？

　　這種場景當然是荒謬的。如果你能一直保持某個大於零的速度，那麼你當然可以飛出地球，飛得任意遠。速度等於位移除以時間，所以如果速度為常量，那麼時間趨於無窮的時候位移也趨於無窮，這本來就是速度的定義嘛。

　　但是真正的問題在於，你如何保持速度？地球一直在對你施加引力，所以如果你想保持一個恆定的速度，你就一定要有一個相反的力來跟引力抵消。這就需要消耗能量，對火箭來説就是要消耗燃料。

　　現在要點來了：在航天當中，燃料是極其寶貴的東西，比在地面上開汽車的燃料寶貴得多。在地面上開車，沒油了你大不了停下來，找個地方加油再繼續開。但在太空中你沒法補充燃料，如果在燃料耗盡之前你達不到目標，就會被地球或者其他星球拽回來，前功盡棄。

　　你可能會問：何不多帶些燃料呢？

　　得，這又是航天跟地面行駛的一個本質區別。汽車前進的動力是輪胎反推地面的摩擦力，但在太空中你無處借力，只能通過向後噴射物質來讓火箭箭身前進。

　　這就導致一個問題：你要達到的速度越高，需要帶的燃料就越多，但這些增加的燃料本身又需要更多的燃料來推動，導致一個惡性循環。結果是，單位質量燃料的效果大大下降。

　　對此定量的描述，叫做齊奧爾科夫斯基公式：

　　齊奧爾科夫斯基公式

　　這個公式的意思是，火箭能夠達到的最大速度vm，等於向後噴射物質的速度vr乘以質量比的自然對數。這個質量比，指的是火箭裝滿燃料時的最大質量mmax與耗盡燃料時的最小質量mmin之間的比值。公式之所以有個負號，是因為向後噴射的速度與火箭前進的速度是反向的，別忘了速度是個矢量。實際用的時候，把所有的數值都當作絕對值代進去就行。

　　舉個例子，假如一種火箭的噴射速度是4公里/秒，質量比是e，也就是自然對數的底，約等於2.718，那麼它能達到的最高速度就是4公里/秒。而如果噴射速度不變，把質量比提高到e的平方即7.39，那麼最高速度就是8公里/秒。

　　這個公式是航天科學之父、俄羅斯科學家齊奧爾科夫斯基（Konstantin Eduardovich Tsiolkovski，1857 - 1935）在1903年提出的，所以叫做齊奧爾科夫斯基公式。它是現代所有的導彈、衞星、太空探索等航天科技的基礎。如果你想了解這個公式的推導，可以參見我以前的文章（我們應該如何紀念登月（二）航天的基本原理| 袁嵐峯）。

　　齊奧爾科夫斯基

　　這個公式帶來一個好消息和一個壞消息。好消息是：航天是可能的。壞消息是：增加燃料帶來的邊際收益是越來越低的，因為對數函數的增長很緩慢。即使你把整個地球的燃料都燒掉，速度也提升不了太多。

　　自然對數函數

　　因此，航天不能指望通過多帶燃料來解決問題。在航天任務中，燃料總是處於緊巴巴的狀態，總是剛好滿足需要或者稍微留一點備用。

　　知道了這些背景，我們就能理解，航天考慮的基本問題是：當你的燃料耗盡時，你要處於什麼樣的狀態，才能達到目標？由此才能決定，出發時要帶多少燃料。

　　因此，三個宇宙速度的意思，都是在無燃料的情況下，達到這些速度你才能實現某些目標。第一宇宙速度的目標是環繞地球，不落到地面。第二宇宙速度的目標是飛出地球，達到跟地球任意遠的距離。第三宇宙速度的目標是飛出太陽系。

　　還有一點值得解釋的是，經常有人問：氣球和飛機不是可以一直不落到地面嗎？它們的速度都低於第一宇宙速度啊？

　　熱氣球

　　這是因為，氣球和飛機都屬於航空，而不是航天。當談論宇宙速度時，我們關心的是航天。

　　在大氣層中，你會受到空氣的浮力和阻力，以及通過機翼和旋翼等空氣動力學的方法可以得到升力。但這些都屬於航空的範疇，離開空氣就沒咒唸了。氣球確實可以環繞地球不掉落，但它能到大氣層外面去嗎？

　　航天關心的是，你在真空中會怎麼樣。所以計算宇宙速度時，我們是把這些與空氣有關的力全都忽略掉的，只考慮萬有引力。

　　以上我們解釋了三個宇宙速度“不是什麼”，希望這解決了大多數人的困擾。下面，我們來定量地推導它們“是什麼”。推導的方法有多種，這裏對每一個宇宙速度都給出最簡單的一種。

　　讓我們把第一、第二、第三宇宙速度分別寫成v1、v2、v3。需要事先説明的是，這三個宇宙速度都是以地球為參照系的。前兩個也許你還不會注意到，到推導第三宇宙速度時這個參照系就很重要了。

　　第一宇宙速度又叫做環繞速度。它問的是：在地球表面附近，一個物體要達到怎樣的速度，才能繞地球做圓周運動，而不落地？

　　回答是：此時物體受到的地球引力，剛好等於圓周運動的向心力。前者等於GMEm/R2，後者等於mv12/R，所以

　　其中G是萬有引力常數，約等於6.67 × 10-11 N·m2/kg2；ME是地球質量，約等於5.96 × 1024 kg；R是地球半徑，約等於6.37 × 108 m。順便説一句，萬有引力常數目前最精確的測量值，是由中國科學院院士羅俊的團隊在2018年得到的。

　　中山大學網站對羅俊院士的介紹

　　（http://www.sysu.edu.cn/cn/zdgk/zdgk03/19924.htm）

　　把上面的等式化簡，就等到

　　把數值代進去，就得到v1 = 7.9公里/秒。

　　第二宇宙速度又叫做逃逸速度。它問的是：在地球表面附近，一個物體要達到怎樣的速度，才能飛到離地球無限遠處？

　　對此的回答是：從能量轉換的角度看來，飛離一個星球是動能轉化為勢能的過程。如果初始動能不夠，就會在某個距離處速度降為零。如果初始動能足夠，就可以在距離無窮遠時仍然保持大於零的速度。

　　兩種情況的臨界狀態，就是剛好在飛到無窮遠處時，動能和勢能都為零，這時總的機械能為零。由於機械能守恆，所以在地面附近時動能加勢能也等於零，也就是説動能等於勢能的負值。前者等於mv22/2，後者等於GMEm/R，所以

　　化簡以後，就得到

　　可以注意到，第二宇宙速度剛好是第一宇宙速度的根號2倍。把數值代進去，就得到v2 = 11.2公里/秒。

　　你也許想問，為什麼是根號2倍？回答是：這個2來自萬有引力對距離的依賴關係即1/R2中的那個指數，2。不過這需要比較高深的理論知識，在這裏就不介紹了。

　　值得注意的是，第一宇宙速度和第二宇宙速度的方向性是不同的。第一宇宙速度的方向必然是圓周運動的切線方向，而第二宇宙速度並沒有特定的方向，因為在它的推導中重要的是速度的平方，與速度的方向無關。如果你具有第二宇宙速度，只要你不是特意一頭向地球撞去，那麼你必然會飛得離地球無限遠。

　　前兩個宇宙速度的推導都很簡單，第三宇宙速度就稍微複雜一點，超出了高中知識的範圍。它問的是：在地球表面，一個物體要達到怎樣的速度，才能飛到離太陽無限遠處？ 

　　第三宇宙速度之所以複雜，是因為前面的引力源只有一個地球，而這裏涉及太陽和地球兩個引力源。所以，一種簡單而清晰的推導方式，是先假設地球不存在，看需要多大的速度飛出太陽系。

　　對此的回答，其實我們剛才已經給出來了，就是第二宇宙速度。只不過這時要把引力源從地球換成太陽，距離從地球的半徑換成太陽到地球的距離。太陽的質量MS約等於1.99 × 1030 kg，日地距離RSE約等於1.5 × 1011 m。

　　把這些數值代入第二宇宙速度的公式，就得到42.1公里/秒，讓我們把它記作v2S。這個速度的意思是，如果地球不存在，而在地球的位置有一個速度相對太陽達到42.1公里/秒的物體，那麼它可以飛出太陽系。

　　下面我們來問，地球的存在會帶來什麼修正？

　　首先，地球是在圍繞太陽公轉的，公轉的速度約等於29.8公里/秒。實際上，這個公轉速度就是地球環繞太陽的第一宇宙速度，我們可以把它記作v1S。所以，v2S必然等於根號2倍的v1S。

　　地球的公轉可以給我們提供一個便利：如果火箭發射的方向跟地球的公轉速度方向一致，那麼在太陽的參照系中，火箭一上來就從地球借到了29.8公里/秒的速度。這是一個巨大的收益。所以，火箭真正需要依靠自己的燃料達到的相對於地球的速度，是

　　v2S - v1S = 12.3公里/秒。

　　我們可以把這個速度記為Δv。

　　實際上，對於第一宇宙速度和第二宇宙速度，同樣可以從地球的自轉中借到速度。不過地球最大的自轉速度只是0.465公里/秒而已，出現在赤道上，遠小於第一和第二宇宙速度，所以借力的效果不是很大。

　　即使如此，我們還是儘可能地希望在靠近赤道的地方發射火箭，借一點算一點。中國的文昌發射基地，比以前的太原、酒泉、西昌發射基地都更加靠近赤道，這就是一個進步。所以長征五號這樣的重型火箭，都在文昌發射。

　　圖解中國的航天發射中心

　　回頭來考慮第三宇宙速度。剛才得到的Δv = 12.3公里/秒就是第三宇宙速度嗎？不是。因為它説的是，假如地球沒有引力，僅僅提供一個公轉的速度，那麼你只需要相對地球達到12.3公里/秒就能飛出太陽系。

　　但實際上，地球是有引力的。為了克服地球的引力，火箭還需要付出巨大的能量。多大的能量呢？其實就是前面推導的第二宇宙速度v2對應的動能。

　　由此可見，火箭要飛出太陽系，需要的能量等於兩部分之和：一部分是Δv = 12.3公里/秒對應的動能，另一部分是v2 = 11.2公里/秒對應的動能。動能正比於速度的平方，所以第三宇宙速度是

　　把數值代進去，就得到v3 = 16.7公里/秒。

　　現在我們明白，第三宇宙速度的推導為什麼不是高中內容了。確實繞了不少彎子，不過只要你的頭腦清晰，全都是可以理解的。

　　讓我們總結一下，如果你的初始速度處於某個區間，結果會是什麼？

　　三個宇宙速度

　　如果不到第一宇宙速度，那麼你會落回地面。

　　如果達到第一宇宙速度，那麼你會環繞地球做圓周運動。

　　如果超過第一宇宙速度，但低於第二宇宙速度，那麼你會以橢圓軌道繞地球運動，速度越大橢圓越扁，遠地點越遠。

　　如果達到第二宇宙速度，但低於第三宇宙速度，那麼你會擺脱地球引力，卻被太陽捕獲，繞太陽做橢圓運動。中國探測火星的天問一號，目前就處於這種狀態。

　　從地球到火星的霍曼轉移軌道

　　（天問：火星與人類的未來 | 袁嵐峯）

　　如果達到第三宇宙速度，那麼你最終會飛出太陽系。

　　有趣的是，還有人提出了所謂“第四宇宙速度”，即飛出銀河系所需的速度。它大約在110至120公里/秒之間。不過這個速度已經超出了人類現在能夠達到的水平，飛出銀河系更是遠遠超出我們現有的能力，所以這個概念還沒有實用價值。

　　2020年4月，中美科學家繪出迄今最精確銀河系結構圖（https://tech.sina.com.cn/d/s/2020-05-29/doc-iirczymk4131458.shtml）

　　還有人提出第五、第六以至第七宇宙速度，表示飛出“本星系羣”、飛出“本超星系團”以及飛出已知宇宙所需的速度。這些速度就更大，更加遠遠超出人類的能力，所以更是隻有玄想的意義了。

　　最後，我們可以回到問題的出發點，重新想一想。火箭的燃料一定是有限的嗎？我們能不能一邊飛行，一邊收集星際物質作為燃料呢？如果這條路走通，就不受無論第幾宇宙速度的限制了。我們就回到了最初的圖景：如果你能持續地保持某個速度，那麼你可以走到任意遠。

　　這樣的設想真的是存在的。例如星際衝壓發動機，它是美國物理學家巴薩德（Robert W. Bussard）在1960年提出的。它的基本思想是，在前方收集星際物質中的氫原子，在火箭內部發生核聚變，然後從後端高速噴出去。

　　星際衝壓發動機

　　雖然星際物質很稀薄，但如果你收集得夠快，噴射得夠快，在理論上就是有可能實現的。這種發動機當然離我們現在的能力還很遙遠，因為我們連基礎的可控核聚變這個科技還沒點開呢，不過它至少給我們提供了一種思路。它使得星際航行不再是耗盡燃料的一錘子買賣了，變成了細水長流。

　　回顧我們的整個討論，經歷了一場“否定之否定”。許多人困惑是因為他們處於第一層，分不清航空與航天，理解不了宇宙速度面對的是什麼問題。當你明白了這一點，你就進入了第二層，可以定量地推導出三個宇宙速度。

　　然後，你可以再次超越已有的思維，回頭去設計在太空中補充燃料的方法。看似回到了第一層，其實至少是第五層，這是真正的高手。科學就是在這種否定之否定中前進的，關鍵在於你要理解清楚面對的問題，然後才可能找到超越之道。

　　科技是人類發展的正道，我們要走正道。歡迎大家關注科技袁人，我們下期再見！