物理世界的數學奇蹟：全新的數學之路_風聞

一些數學家同事覺得我交了狐朋狗友，這些狐朋狗友不僅讓我的理論推導變得馬虎起來，還玷污了數學的純潔性。

—— 邁克爾·阿蒂亞，在80歲生日慶祝會上的講話，2009

撰文 | 格雷厄姆·法梅洛

來源：和樂數學

阿蒂亞

1976年春天，我平生第一次見到一位純數學家給一羣物理學家做講座。當主持人像介紹外星人一樣介紹他時，我不禁覺得有些好笑。這次講座的主講人就是現代幾何學宗師邁克爾·阿蒂亞，他因對柏拉圖世界天馬行空式的探索為人們所熟知。他的講座主題是關於規範理論方面的內容，但我對那次講座已經沒什麼印象了，只記得阿蒂亞興高采烈的樣子以及那些難得像天書一樣的數學方法。雖然他當時演講的主題都是在座聽眾熟悉的理論，但幾乎沒有人明白他在講什麼。

不過，我倒是抓住了一個重要信息，那就是：一位當世頂尖的數學家正把自己的主要精力投入到許多物理學家覺得自己已經研究透徹了的理論中。幾個月後，我才突然察覺，阿蒂亞和他的合作者們正在開闢一條全新的數學之路。不僅數學家對這條路產生了濃厚的興趣，物理學家也同樣如此。

雖然現在想來真的頗為羞愧，但我還是得承認，我當時認為——甚至是希望——數學和物理學之間的這種交叉只是出於學術興趣，只能成為這兩門學科歷史中的註腳。然而，不到兩年，我就意識到自己是多麼愚蠢。事實證明，規範理論和純數學之間的共同土壤不但比大多數人預想的更加肥沃，而且還在迅速擴張。在這片土地上耕耘的不僅有數十位頂尖數學家，還有幾位首屈一指的理論物理學家，其中還包括一位即將引領這個領域數十年的大師。我們將在本章中看到，當時參與這項跨學科研究的專家雖然不多，但他們對數學和物理學這兩門學科都做出了巨大貢獻。也正是他們，終結了數學和物理之間的漫長離異狀態。

2014年，在我第一次與邁克爾·阿蒂亞面對面交流的前幾分鐘，我就明白了為什麼他能讓這麼多數學家把研究重心轉向物理學理論。要想給一門學科帶來如此劇烈的改變，領導者的智慧必須得到所有同僚的認可。阿蒂亞顯然做到了這點，他在諸多數學領域都做出了突破性的貢獻。不過，成為傑出開拓者所需的品質遠遠不止這些，尤其還需要高度的積極性和高超的口才，這兩點阿蒂亞也都具備。阿蒂亞一點兒也不像是人們刻板印象中的數學研究者。他總是衣着時髦，樂觀積極（甚至還很會開玩笑），時常發表針對自己研究領域的大膽觀點——在部分同行看來，他的這些觀點不太成熟、不合時宜，根本不應該説出口。“朋友對我説，我太想激發人們對狂野想法的熱情了。”阿蒂亞一邊開懷大笑一邊這樣對我説。

阿蒂亞很喜歡談論數學史以及他自己走向數學前沿的心路歷程。在我們2014年的那場對話中，阿蒂亞慷慨激昂地表示，他永遠不會在數學之路上停歇，哪怕到生命的最後一刻。他説這番話時的樣子，就像一位友好但異常健談的軍事訓練官。我想，這種人格特質或許起源於他早年的部隊生活。阿蒂亞在第二次世界大戰結束後不久參軍服役，他後來稱這段時間為“平凡的軍旅生涯”。1949年，阿蒂亞在服完兵役後，前往劍橋大學三一學院求學，開啓了他的數學生涯。他的母親出生於蘇格蘭，父親則是黎巴嫩人，他們一直覺得，阿蒂亞就是為數學而生的。

阿蒂亞在本科時上了狄拉克主講的量子力學課，還選修了一些其他物理學課程，但他最喜歡做的還是數學研究。數學對他來説，就像呼吸一樣自然。阿蒂亞還意識到，他對幾何的興趣要比代數大得多——處理以可視化現實為基礎且與空間相關的概念時，他得心應手；處理抽象的x和y時，就沒有那麼輕鬆愉快了。那個時候，越來越多的現代物理學理論以幾何數學為框架，因此，阿蒂亞的基礎很適合他為現代物理學做貢獻。

在阿蒂亞成為他自稱的“準物理學家”將近40年後，他仍舊記得（帶着些許困惑）“二戰”後純數學家和理論物理學家之間長達數十年的隔閡。他把這兩個領域的學者比作在隧道兩頭工作的工人，誰都不知道隧道另一頭在幹什麼。“隧道挖通的那一天，雙方都驚奇不已，”阿蒂亞如是説，“兩段隧道之間的銜接是那樣優美，就好像是天才的土木工程師設計的一樣。”

阿蒂亞説的並不是20世紀70年代初的所有數學家和理論物理學家，而只是幾何學家和規範理論物理學家。雖然研究角度不同，但他們發現雙方的確是在同一領域內工作。當時，理論物理學家正在研究支配原子世界的基本力，而數學家的興趣則在高等的拓撲學形式。拓撲學這門學科很適合研究描述原子內部四處湧現的各類量子粒子的場的各種可能的形狀和結構。規範理論和現代幾何學不僅彼此相容，還可以互相促進。規範理論方面的研究得出了深刻的幾何學新洞見，而幾何學領域的一些最新發現也提供了研究規範理論的新視角——再多的實驗數據都提供不了這樣的視角。

赫爾曼·外爾

近當代所有促進了物理和數學間聯繫的思想家中，最有創造力的當屬規範理論的先驅赫爾曼·外爾。他也是阿蒂亞最欣賞的20世紀數學家，哪怕兩人從未謀面。阿蒂亞和外爾兩人對數學的看法有諸多相似之處，尤其是，他們都認為數學應該努力成為一個整體，而不是一門在各自領域獨立為戰的學科；數學家則應該注重提出富有創造力的想法，而不是為了嚴謹而止步不前。同外爾一樣，阿蒂亞也認為做數學研究的最好方法不止一種：“數學家的類型有很多，他們都是不可或缺的。” 他們兩人也都認為，數學家應當同其他領域的專家多交流觀點，尤其是物理學家。

阿蒂亞在20歲的時候曾前往法國南部，出席了布爾巴基學派的一次會議。會上，他親眼見證了有關會議日程細節的數次爭論。不過，這種分歧從未失控，阿蒂亞回憶説：夏日的陽光和友好的氛圍“在預防口頭分歧演變成武裝械鬥方面起到了很好的作用”。雖然阿蒂亞看到了布爾巴基學派成果的價值，但他不想被這個團體的條條框框束縛。相反，他像外爾一樣張開了雙翼，在數學的許多領域都頗有建樹，並且成為其中一門學科最有影響力的天才。

外爾對理論物理學所做的貢獻主要產生於職業生涯初期，而阿蒂亞在對現實世界產生興趣的20年之前就已經是頗有名望的數學家了。“並不是我改變了研究領域，轉行去研究物理學，”他説，“而是，物理學在20世紀70年代中期進入了我的研究方向。” 當時的數學界興起了一場運動：一些頂尖數學才俊大膽地走出舒適區，將自己的專長應用於科學領域，並且鼓勵學生以更開闊的思路做自己的學問。阿蒂亞正是這場運動的一分子。這些勇於冒險的頂尖思想者中，還有美國數學家凱倫·烏倫貝克（Karen Uhlenbeck）。她到現在還記得當時迫不及待想用純數學家的“開闊新思路”大幹一番的心情。這種潮流開始於20世紀60年代末。“我們是這股新潮流的一部分，喜歡觀察數學之外的世界，並且很樂意與物理學家、天文學家，甚至經濟學家合作研究。”

凱倫·烏倫貝克

“當時，布爾巴基學派的影響力正在迅速減弱。”烏倫貝克説。那些反對這個學派的知名人士的聲音越來越大——既然布爾巴基對那些顯然重要的數學分支，如幾何學、概率論、邏輯學，都沒有什麼傑出貢獻，那為什麼還要如此看重他們呢？如布爾巴基學派最知名的前成員亞歷山大·格羅滕迪克所説，當時，這位拿破崙時代將軍的名字不僅成了精英主義和教條主義的同義詞，還意味着這個組織正在“閹割反自發性”（格羅滕迪克語）。雖然布爾巴基學派還沒有嚥下最後一口氣，但它的半隻腳已經踏進了墳墓。

布爾巴基學派

新一代數學家對布爾巴基的緊身衣毫無興趣，他們發展了大量新的數學理論，並且熱衷於探索它們在現實世界中的應用。其中一個例子是“混沌理論”的快速發展。這個理論研究那些後期發展結果對初始狀態十分敏感的系統。如今，最為人們熟知的數學混沌就是所謂的“蝴蝶效應”——蝴蝶扇動幾下翅膀就能影響幾天後千里之外某處的天氣。這個例子背後的數學概念為我們看待現實世界提供了新洞見：從動物種羣的演化，到土星衞星的穩定性；從計算機代碼加密，到股票市場波動。

烏倫貝克説，數位無可爭議的世界頂級數學家欣然與其他學科的專家合作，這讓“滿懷壯志的年輕數學家大膽進入粒子物理學領域成了一種頗受尊崇，甚至有些時髦的行為”。烏倫貝克回憶説，在20世紀70年代初的加州大學伯克利分校，純數學和理論物理學之間的漫長“離異”狀態即將終結。她看到，雖然許多傳統數學家仍對這種跨學科合作嗤之以鼻，但後來，物理與數學的成功合作證明持懷疑態度者“徹底錯了”。烏倫貝克牢牢記着從這段經歷中學到的深刻教訓：“數學研究者需要物理學家的想法。你甚至可以説，沒了他們，我們沒法開展工作。”

阿蒂亞在20世紀70年代中期把目光投向了物理學。當時他46歲，在牛津大學安頓了下來，已然是一位頂尖數學家，並且正朝着英國頂級學術人物的圈子穩步邁進。阿蒂亞為數學做出了許多頗有影響力的貢獻。寬泛地説，這些貢獻主要集中於幾何學領域。他還常常和那個時代的頂尖數學家合作。按照弗里曼·戴森對物理學家和數學家的“鳥與青蛙”分類法，阿蒂亞就是一隻典型的鳥兒，在各個數學領域中疾馳，不斷尋找各分支間的聯繫。

大約就在此時，亞原子物理學規範理論的成功抓住了阿蒂亞的眼球。標準模型能完美地解釋高能粒子加速器得出的幾乎所有實驗數據，但阿蒂亞對此並沒有太多興趣。令他着迷的是構成標準模型基礎的規範理論的數學結構。他清楚地看到，物理學家只是初步掌握了這些數學框架，而數學家可以幫助他們深耕下去。30年前，戴森捕捉到了一個數學家幫助物理學家解決量子電動力學難題的機會。30年後，阿蒂亞自信地認為如果他進入規範理論領域，一定能和戴森一樣大獲成功。

阿蒂亞至今仍清晰地記得第一次對規範理論“傾心”的時刻，那是1976年的秋天，他在馬薩諸塞州劍橋市造訪數學家同行期間，意外地接到了麻省理工學院理論物理學家羅曼·賈基夫（Roman Jackiw）的求助電話。當時有幾個嚴峻的問題不斷困擾着規範理論，其中一個問題是：物理學家無法預測某些發生強相互作用的粒子的壽命，包括質子的親戚、物理學家熟知的不帶電介子。賈基夫就是研究這個問題的權威。人們在1948年首次發現了這些不帶電介子，它們的壽命不長——每個不帶電介子誕生後，通常只能“存活”一億分之一秒，之後就會衰變成兩個光子。

長期以來，理論物理學家一直在研究介子的這類性質，而規範理論並沒有給出這個問題的答案。賈基夫和其他理論物理學家——包括著名的約翰·貝爾（John Bell）和史蒂夫·阿德勒（Steve Adler）——之前就已經意識到，這個問題的根源在於經典力學和量子力學之間的根本差異。舉例來説，描述網球運動的方程的一些對稱性並不適用於描述亞原子粒子方程。如果規範理論真像理論物理學家説的那麼好，那麼它就必須能解釋這些“量子反常現象”，即令人大惑不解的不帶電介子衰變行為。賈基夫在深思熟慮後認為，要想徹底弄清楚這個問題，就需要數學家的協助。於是，有一天，他突然造訪了麻省理工學院數學系——它與物理系只隔着一扇上了鎖的門。

賈基夫在數學系走廊裏待了幾個小時，希望能勾起數學家對這個問題的興趣，但所有人都只是出於禮貌而表達了些許“興趣”。不過，賈基夫馬上就轉運了。數學物理學家傑弗裏·戈德斯通（Jeffrey Goldstone）告訴他，“偉大的阿蒂亞”就在劍橋市，或許可以幫上忙。一聽這個消息，賈基夫立刻為之一振，他早就覺得阿蒂亞和伊薩多·辛格（Isadore Singer）在1963年（大約就在披頭士樂隊發佈第一張密紋唱片前後）發表的理論或許可以解決這類量子反常現象。這個理論在此前似乎毫無關聯的兩個數學分支（拓撲學和微積分）之間建立起了一種完全意想不到的聯繫。因此，賈基夫邀請阿蒂亞向一些具備數學思維的理論物理學家（包括他自己）做個報告，講講這個理論及其在亞核粒子領域可能的應用。

幾天後，滿面春風的阿蒂亞走進了賈基夫寬敞的辦公室。辦公室內座無虛席，坐滿了渴望聆聽“神諭”的年輕理論物理學家，書架上則擺滿了書、紙和中美洲手工藝術品。在禮節性的介紹之後，阿蒂亞開始了大約2小時的講課，時而停下來在黑板上寫寫畫畫，時而回答聽眾的問題。“這正是我們渴望的那種清晰的講述。”賈基夫回憶説，講課後來很快發展成了一場氣氛活躍的對話。現場的物理學家們偶爾會插話，詢問阿蒂亞–辛格定理能與原子核中的量子場形成何種聯繫，而阿蒂亞則以他一貫堅定的態度予以回答，顯然，他已經對這個物理學問題產生了興趣。很明顯，這個理論適合處理量子反常問題，並且很可能能夠產生實驗學家可以驗證的預測。果然，幾個月後，幾位理論物理學家就證明，運用阿蒂亞–辛格定理分析電中性介子量子場的方程就能理解“量子反常問題”。很快，粒子物理學家都獲知：自己研究領域內的一大棘手問題——“量子反常現象”，可以用他們中的大多數人從沒聽説過的現代數學方法解決。而阿蒂亞本人也很高興自己和辛格發現的這個定理在亞原子粒子研究領域如此有用。許多物理學家則驚歎，自己研究領域內如此艱深的一大難題竟然可以被聯繫了拓撲學和微積分的數學定理如此輕易地解決。

阿蒂亞後來告訴我，他在和辛格發展這個定理的時候，“從沒想過我們的數學成果會和現實世界產生聯繫”。他還遺憾地補充説，他倆在研究這個定理時，發生了一些奇怪的事：在整個抽象幾何推演過程中——這個過程和現實世界毫無干係——突然跳出了狄拉克方程中描述電子狀態的數學算子。“我們當時只覺得這是巧合，”阿蒂亞説，“結果卻失去了一個做出重大物理學發現的良機。”

愛德華·威滕

事實證明，賈基夫辦公室內的這場聚會對那個時代的數學和物理學都意義重大。在聆聽阿蒂亞講課的理論物理學家中，就包括年輕的愛德華·威滕（Edward Witten）。當時的他雖然年紀只有阿蒂亞的一半左右，卻註定要成為一代數學物理學宗師。阿蒂亞還記得威滕不凡的儀態：6英尺（約1.83米）高，背挺得直直的，自信但説話柔聲細語，聲音音調則要比他這個體格應有的高近一個八度。40年後，阿蒂亞跟我説起威滕在這次聚會上給他留下的第一印象：“顯然，他比在座的其他所有物理學家都更清楚當時的狀況。他的思維快得驚人，對現代數學思想的掌握也非常牢固，並且還一直在尋找將這些思想運用於物理學的方法。”

和50年前的狄拉克一樣，威滕走向理論物理學生涯的道路也與眾不同——他也是直到研究生才轉行進入物理學領域。受到父親（引力理論方面的權威）的影響與鼓勵，威滕從小就喜歡天文、物理和數學。起初，年輕的威滕並不想沿着父親的足跡進入理論物理學領域。相反，他在本科生階段學起了歷史和現代語言，並且為喬治·麥戈文並不走運的總統競選工作了一年，隨後又開始了經濟學研究生課程，但只過了一個學期就放棄了。直到那時，25歲左右的威滕才開始在大學裏學習科學。

一開始，他並不確定究竟要學物理還是數學，但他對亞原子粒子的奇特性質很感興趣，這讓他決定專攻理論物理學領域。儘管當時的威滕連本科生的科學水平都沒達到，普林斯頓大學還是把他招進了競爭異常激烈的研究生課程。事實證明，這些課程對威滕來説是小菜一碟，他在1976年順利畢業。之後，威滕前往哈佛大學擔任初級研究員，與兩位傑出的理論粒子物理學家史蒂文·温伯格和謝爾登·格拉肖共事。這兩位專家總結亞原子粒子實驗新數據並得出新想法的專業水平令威滕印象深刻。此外，威滕還和理論物理學家悉尼·科爾曼（Sydney Coleman）走得很近，而後者對如何將現代數學應用於基礎物理學很感興趣。威滕顯然受到了這種興趣的感染，不到一年，有關他非凡才能的故事就在全球理論物理學界傳得沸沸揚揚了。阿蒂亞評論説：“威滕這類思想家不只能影響一門學科的天氣。他能改變整個學科的氣候。”

楊振寧

到了20世紀70年代中葉，全世界的物理學家和數學家都注意到了規範理論和幾何學之間的聯繫。第一個看到這種聯繫的就是現代規範理論的發現者之一——楊振寧。他已於1966年離開了普林斯頓高等研究院。當時43歲的楊振寧作為一名華人物理學家，在長島北岸的紐約州立大學石溪分校任教。邀請他的是該校數學系雄心勃勃的新領導、青年拓撲學家吉姆·西蒙斯（Jim Simons）。他倆很快就熟絡了起來，並且相處愉快，還為反對美國參與越南戰爭在校園裏籌集了破紀錄的資金。他們的下一次合作更加成功。這次合作的起點是，西蒙斯告訴楊振寧，規範理論方程組的形式和愛因斯坦的引力理論似乎都表明，它們與拓撲學的一個名叫“纖維叢”的分支有關——當時的楊振寧對這個術語一無所知。西蒙斯推薦楊振寧閲讀這個領域的標準入門著作——普林斯頓數學家諾曼·斯廷羅德（Norman Steenrod）撰寫的《纖維叢拓撲學》。楊振寧發現這本書他根本讀不懂，但他也沒有放棄，轉而請求西蒙斯花上幾天的午飯時間在物理系從基本原理開始給他好好上上這門拓撲學課。經過這次突擊培訓，楊振寧終於掌握了這個數學思想，並且在20世紀70年代中葉得出結論：規範理論的最佳表述語言是拓撲學。

幾個月後，楊振寧和他的朋友、哈佛大學理論物理學家吳大峻做出了一個具有開創意義的發現。他們找出了規範理論中數個核心概念與現代拓撲學對應概念之間的聯繫。這個發現後來形成了著名的“吳–楊字典”。有了這個字典，物理學家和拓撲學家就能互相交流各自在這個領域的工作成果，並朝着對規範理論物理和數學的統一理解不斷邁進。雖然只有專家才能讀懂這本字典中的條目，但這兩門學科的核心概念間存在一一對應關係這一事實本身就對所有物理學家和數學家頗有助益。數學家可以運用他們的數學直覺研究規範理論，而物理學家也可以運用他們的物理直覺研究拓撲學。

這個發現是純數學家和理論物理學家的研究領域之間的聯繫日益緊密的又一大例證。楊振寧本來是位完完全全的物理學家，一直堅持明確區分數學和物理學：數學處理的是柏拉圖世界中的抽象概念，而物理學研究的則是對現實世界的定量測量結果，如儀表盤、計時器等實驗儀器上的讀數。不過，隨着楊振寧對數學和理論物理學關係的認識逐漸加深，他對數學的興趣也越來越大。楊振寧知道，第一個建立數學場論的詹姆斯·克拉克·麥克斯韋早在一個世紀前就已經預見，要想對場論有更深刻的認識，除了對運動的描述之外，還必須運用“幾何學思想”。楊振寧還知道，狄拉克在1931年建立磁單極子理論的時候就率先在量子力學中運用了這種對物理學家來説全新的幾何學思想。然而，吉姆·西蒙斯的一番評論讓楊振寧大吃一驚：狄拉克在提出這些想法的時候，其實也發現了拓撲學的一大關鍵定理。實際上，狄拉克使用的這個基礎拓撲學定理，在整整20年後，才被國際頂尖數學家陳省身正式發現。陳省身之前在中國給學生時代的楊振寧上過課，後來移民去了美國，在加州大學伯克利分校安頓了下來，並且成了一位數學“大人物”（阿蒂亞對他的評價）。雖然陳省身的學術論文不算簡單易懂，但許多數學家都很欣賞他的博學、權威與幽默。

陳省身

自20世紀50年代開始，楊振寧和陳省身就會不定期地碰面，但他們從來沒有深入交流。1975年，楊振寧覺得是時候糾正錯誤了，就驅車前往位於舊金山灣東岸的陳省身家中，暢聊了幾個小時。談話開始後沒多久，話題就轉向了數學與物理學之間的關係。楊振寧評論説，他驚奇地發現，有關亞原子力的規範理論竟然可以用陳省身等人“憑空”想象出來的數學語言書寫出來。然而，陳省身斷然否定了這種説法。“不，不是這樣。這些概念並不是憑空想象出來的，”他抗議道，“它們是本就存在於自然世界的真實之物。”

話畢，楊振寧呆若木雞。對於他這樣的物理學家來説，現實這兩個字在本質上代表着物質世界——經驗是真理的唯一來源。然而，陳省身現在卻宣稱，抽象的數學也同樣真實。

在阿蒂亞給賈基夫辦公室的麻省理工學院物理學家講完課後不久，賈基夫就問他：“你覺得數學和物理之間的這段新戀情會是一晌貪歡，還是長長久久？” 阿蒂亞當時的回答模稜兩可。不過，等到他於1977年年初回到位於牛津數學研究所的家中時，阿蒂亞已經滿懷樂觀，並且決心開始鑽研規範理論涉及的數學。幾個月後，愛德華·威滕開始了他對牛津數學研究所的長期訪問，還有其他理論物理學家也加入了同數學家的對話。數學家和理論物理學家終於挖通了這條隧道。

當時，阿蒂亞剛接受了現代引力理論先驅、扭量理論提出者羅傑·彭羅斯的邀請，成了牛津大學數學系的一員。大約就在此時，阿蒂亞的密友和合作者伊薩多·辛格也在牛津大學數學系開始了學術休假，並從紐約州立大學石溪分校帶來了楊振寧將規範理論和拓撲學聯繫起來的新發現。辛格就這個問題在牛津大學做了一系列講座，吸引了許多聽眾。講座的主題從“吳–楊字典”開始，阿蒂亞後來稱這場講座為“一個重要時刻”。此後的數週，整個數學系都在討論瞬子，也就是現代規範理論預言的亞核事件。阿蒂亞和其他幾位數學家拿出了幾何學方面的看家本領，甚至還運用了一些新方法，只為研究物理學家赫拉德·特霍夫特和薩沙·波利亞科夫提出的理論。很快，他們就明白了瞬子有不同種類，並且可以用拓撲工具分類，而阿蒂亞–辛格定理則在其中發揮了至關重要的作用。

阿蒂亞把研究重心轉移到規範理論上後不久，就感受到了文化改變帶來的衝擊。在此前的幾十年中，阿蒂亞已逐漸習慣了數學界莊重嚴謹、深思熟慮的生活節奏，但物理學研究令人窒息的節奏令他第一次感受到了緊張和焦慮。在物理學研究中，一篇以不成熟想法為主題的亮眼文章也會激起一連幾個月的熱烈討論，並帶來許多看似前途光明但最終不了了之的推論。阿蒂亞在和合作者完成了第一個項目後不久，就發現其他地方的理論物理學家也得出了幾乎一模一樣的結論，只不過後者運用的數學手段比較少。在物理研究圈內，這樣的事情多如牛毛。

1977年春天，純數學和理論物理學之間的這段新戀情已經全面開花。在當年於華盛頓特區舉辦的美國物理學會的一次會議上，羅曼·賈基夫以規範理論涉及的數學內容為主題做了一個報告，並在結尾處邀請伊薩多·辛格上台，為大家介紹數學家的觀點。由於時間有限，辛格決定不再多談具體的技術細節，而是念了自己最近作的一首詩：今歲今日物理聖哲

筆耕不輟

時下

規範理論如日中天。

短視的數學家

亦步亦趨

雖頭腦聰慧

但定理

已刻上他人的痕跡

然規範理論生有缺陷

上帝踟躕着

給他的物理學定律

拉上了帷幕

這或許註定是一場失敗之旅。

這首詩反映了部分數學家的擔憂：規範理論或許不是一個完全可靠的思想來源。不過，就當時而言，這個理論對數學家有百利而無一害。可以想見，阿蒂亞很快就成了這個新合作領域的“魔笛手”，鼓勵所有來訪者都試一試，加入這個數學和物理學交叉領域的創新者行列。第二年，也就是1978年，阿蒂亞在哈佛大學做了一系列講座，重點介紹他和合作者發現的發展磁單極子理論的新方法。“舉辦講座的屋子裏擠滿了人。”戴維·莫里森（David Morrison）回憶説，他當時還只是個純數學領域的研究生，對規範理論沒有任何興趣。不過，他覺得“不應該放過聆聽阿蒂亞講座的機會”。聽眾中，數學家和物理學家大概各佔一半，莫里森回憶道：“我之前從未聽説過有什麼場合能把這麼多數學家和物理學家聚到一起。”而主講人阿蒂亞也沒有令到場的觀眾失望：“他的講座引人入勝，讓在場的許多物理學家確信，這是一個非常值得進入的學術領域。”

不過，也有許多理論物理學家心存疑問。例如，愛德華·威滕後來就説，他不相信數學家能研究清楚他感興趣的物理學問題。然而，在數學家取得了一系列令人眼花繚亂的有關空間性質的理論成就（阿蒂亞説，“這些成就震撼了整個數學世界”）後，理論物理學界也改變了看法。發現這些理論的正是師從阿蒂亞的一名靦腆的二年級研究生——西蒙·唐納森（Simon Donaldson）。他當時正默默研究規範理論除了能給物理學提供靈感以外，是否也能成為數學的思想源泉。1982年，他證明了這個問題的答案是肯定的，並且發掘了大量能對部分數學分支產生革命性影響的新思想。“我之前就知道唐納森聰慧過人，”阿蒂亞對我説，“但他的成就還是令我難以置信。”

連唐納森本人都被自己的成功嚇了一跳，看着令人驚喜的發現不斷湧現，他幾乎無法相信自己的眼睛。“我猜想，這樣的研究可謂千載難逢。”作為數學家，唐納森運用規範理論方程組的方式與大多數物理學家預想的大相徑庭。他解這個方程組的目的並不是研究場論，而是研究場在四維空間中的性質。唐納森對我説，他一開始並沒有想這麼做，只是在研究的過程中才突然冒出了這個想法：“在和同事討論之後，我才意識到這個方法原來如此有用。” 經過大約一年艱辛但令人振奮的工作，唐納森終於把自己的預感變成了牢不可破的定理。

唐納森發現，描述瞬子的規範理論方程組解表明，四維時空擁有一些特殊性質，也就是我們現在熟知的不變性。這些性質相當有用，因為它們能以數學家此前從沒見過（乃至從未想過）的方式區分各類四維空間。這個技巧還讓唐納森發現了一種只在四維存在的新空間。按照阿蒂亞的説法，唐納森提交他的第一批成果時，這些想法“對幾何學家和拓撲學家來説實在太過新鮮和陌生，他們只能以帶着欽佩而困惑的表情呆呆地望着唐納森”。唐納森在描述物理學家認為發生在原子核內部深處的瞬子事件的過程中，也打開了柏拉圖式數學思想世界的新視野，並且對數學產生了巨大影響，雖然物理學家們很少注意到這點。

楊–米爾斯理論起初是作為麥克斯韋電磁理論的一般化理論而發展起來的，而唐納森運用這個理論成功地研究了空間的本質。電磁方程組的數學形式看上去與時空本身具有四維這個觀測事實有關。唐納森認為，這種聯繫表明“其中存在一些我們尚不瞭解但更為基礎的性質”。

幾十年前，狄拉克就已經預見到了這類概念上的聯繫。他一直督促數學家要特別關注四維空間，因為我們所處的時空就是四維的：從某種意義上説，這是大自然在提示數學家，這類空間很重要。狄拉克還在1933年題為“數學與物理學的關係”的斯科特講座中提到了這點：“未來的發展很有可能表明……四維空間要比其他任何空間都重要得多。”不過，狄拉克第一次提出這個想法是在亨利·貝克的一次茶話會上，當時他還只是個研究生。我在採訪唐納森時——距他開始在這個領域耕耘的那天已經過去了35年——遞給他一本記載狄拉克當年談話內容的影印本。唐納森表示自己此前從不知道此事，搖着頭評論説：“不可思議。”

數學與物理學的關係在20世紀70年代發生的轉變令幾乎所有專家都感到驚訝，包括弗里曼·戴森。前文提到，他在1972年的那次講座中表達了對數學與物理的離異感到遺憾，也為這兩門學科因此而錯過的互相促進的機遇感到可惜。7年後，他的態度轉變了。在1979年7月普林斯頓高等研究院為慶祝愛因斯坦100週年誕辰而舉辦的一次會議上，戴森試着猜想了數學與物理學的未來。這次會議雲集了許多數學及物理學大師，如邁克爾·阿蒂亞、陳省身、史蒂芬·霍金、羅傑·彭羅斯、史蒂文·温伯格和楊振寧。他們一同出現在了會議的閉幕式上，而研究院院長則宣讀了當時美國總統吉米·卡特的賀信。

弗里曼·戴森

與會者對宣讀總統賀信之前的環節記憶猶新，這是一場對物理學未來的熱烈討論。發言者之一就是持樂觀態度的戴森，他預言“（高等）數學與物理學之間的關聯會日益緊密且堅實”。他還更進一步，再次提出了一個大膽的預言：“我預測，在未來25年內，我們就能看到物理學統一理論——廣義相對論、羣論（有關對稱性）以及場論以純數學為紐帶緊密結合在一起。”

戴森還小心翼翼地給這個大膽預言加上了一個附加條件。“用過去的經驗推斷未來永遠不是明智之舉”，他補充説，提這點只是想“為後續討論做鋪墊”。戴森的這次預測是準確的——不到5年，物理學家就找到了與他描述的新物理學框架很相似的理論。我們馬上就會看到，這些新理論為理論物理學家和純數學家提供了更多機會，讓他們互相促進、共同茁壯成長。

作者簡介：格雷厄姆·法梅洛，英國理論物理學家、知名傳記作家和科普作家，倫敦自然博物館資深研究員，劍橋大學丘吉爾學院院士，美國東北大學兼職物理教授。作品《量子怪傑：保羅·狄拉克傳》獲2009年科斯塔傳記獎、《洛杉磯時報》科技圖書獎、《理論物理》年度圖書獎，以及《自然》年度圖書獎。

本文經授權轉載自微信公眾號“和樂數學”。本文選自《物理世界的數學奇蹟》第7章“全新的數學之路”。