丘成桐：數學史大綱_風聞

原創 丘成桐 數理人文 3天前

**作者簡介：**丘成桐，北京雁棲湖應用數學研究院院長，哈佛大學教授，清華大學教授，美國科學院院士，中國科學院外籍院士；菲爾茲獎、克拉福德獎、沃爾夫獎、馬塞爾·格羅斯曼獎得主

引言

五十一年前我離開香港到加州大學柏克萊分校跟隨陳省身先生，在柏克萊見到一大批有學問的學者，眼界大開，就如青蛙從井中出來見到陽光和大地一樣，很快就發覺我從前在香港學習到的學問極不全面，雖然香港有某些學者自稱是世界十大學者之一，事實上知識淺薄。當時香港學者能夠教導學生的內容也只是數學的很小部分，因此我花了很多的努力，每天早上八點鐘到下午五點鐘不停的聽課，從基礎數學，到應用數學，到物理學，到工程科學我都想辦法去涉獵，我在圖書館閲讀了很多刊物和書籍。當我見到偉大數學家的著作，尤其是看到歐拉（Euler）的工作時，我嚇了一跳！一個數學家能夠有這麼偉大而又豐富的工作，真是高山仰止，景行行止。中國二千年來的數學加起來恐怕都比不上歐拉一輩子的工作。我看到的就如莊子説的河伯見到北海若的光景。這個眼界使我胸懷大開，興奮異常。在圖書館的期刊中找到一篇很有意思的文章，花了一個聖誕節的假期，完成了我的第一篇數學論文。這篇論文不算得很傑出，但是發表在當時最好的數學雜誌，五十年後讀這篇文章，還是覺得有點意思。

我在一九七九年受到華羅庚教授的邀請到中國科學院訪問，文革剛結束，中國學術界正處於青黃不接的時候。經過文革這一段，很多學者已經洩了氣，而年輕的學者覺得前途渺茫，國內經濟困難，唯一的出路是出國。由於蔽塞已久，對於當代數學的發展並不清楚。一般學生只聽過華羅庚、陳省身、陳景潤、楊樂和張廣厚的工作，數學家則知道多一些，但是和當時國際水平相差甚遠。在一九九六年時，科學院路院長邀請了我來幫忙成立了晨興數學中心，主要目標在引進當代最重要的數學學者到中心來講學，聚集了中國各地的年輕學者一起學習，這些學者很多成為今天中國數學的領導人與骨幹。

在八零年代和九零年代，中國的大學生大量出國，接觸到最前線的數學發展。有不少留學生回國後，也確實大量的提高了中國的數學水平。但是即使如此，我們還是沒有看到具有深刻而有創意的數學工作，我是説陳省身先生那樣的足以留芳百世的工作！經過深思熟慮之後，我認為中國的數學發展依舊沒有脱離傳統的急功近利的做法，一般學者沒有宏觀的數學思想，不知道數學有一個多姿多采的歷史，只看到數學的部分面積。所以我希望通過描述數學歷史來打開我們數學學者的胸懷，做出傳世的工作。

我將我所知道的數學重要里程碑約略分成八十個不同方向，我分別在幾個大學為本文做過演講，但是因為時間不足的原故，我只討論了四十個方向，基本上只包括西方文藝復興以後的工作，這些工作使我歎為觀止。想起某些中國學者的説法：“西方用了四百年完成的科學成就，現代中國人只用了幾十年！”真使人啼笑皆非。中國數學家要走的路還是“既阻且長”，恐怕我們需要做到如屈原説的“路曼曼其修遠兮，吾將上下而求索！”

我希望中國的官員願意找到時間閲讀這些古代學者的偉大成就，知道中國數學學者的能力其實不隸他們遠甚，對於數學知識還是相當貧乏，尤其是年紀比較大的中國數學家，他們的知識還不足夠來評估近代數學的成就，尤其是對近代數學有成就的年輕人的數學並不見得了解。官方給予學者“帽子”，本來是好意，但是由於評估不再以學問為主要標準，結果卻是揠苗助長。

韓愈説：“將蘄至於古之立言者，則無望其速成。無誘於勢利，養其根而俟其實，加其膏而希其光。”讓我們將我們數學的根養好吧！

在討論歷史上數學重要里程碑以前，我想指出，中國學者創意不足的一個原因，乃是中國學生習慣於考試，喜歡做別人給予的題目，而不喜歡問自己覺得有意義的問題。其實問一個好問題，有時比解決問題更重要！黎曼猜測和韋伊（Weil）猜想就是一個重要例子。

戰國時，屈原寫了一篇文章叫《天問》，大家都很驚訝，因為中國學者對於問問題興趣不大。希臘數學家問的幾個問題就影響數學兩千年，平行公理就是其中一個重要的問題。

四十年前，我在普林斯頓高等研究所組織並且主持了一個幾何分析年，全球不少重要的幾何學家，分析學家和有關的理論物理學家在普林斯頓這個優美的地方日夕討論，互相交流，總結了幾何分析學家十年來的研究結果和經驗，在該年年底，我花了兩週時間，向大家提出了一百二十個幾何上比較重要的問題。

這個幾何年結束以後，我將當年參加討論班的研究成果和這些問題編輯起來，在一九八二年普林斯頓大學出版社發表，這本書叫做《Seminar in Differential Geometry》。這些問題影響了四十年來微分幾何的走向，大概三分之一已經得到解決，大部分解決的答案都是正面的。

我在一九八零年北京雙微會議討論這些問題，希望引起國內幾何學家注意，確有不少年輕的學者開始注意幾何分析，比較國外的發展，畢竟還是比較緩慢，不過四十年的努力，到了今天，也可以説是成果蔚然！

但是縱觀今日中國幾何學家的成就，和當年與我攜手的夥伴們如孫理察（R. Schoen），西蒙（L. Simon），烏倫貝克（K. Uhlenbeck），漢密爾頓（R. Hamilton）等人相比，原創性終究還是有一段距離。

除了這個問題集以外，我以後在不同場合提出新的問題，例如在一九八零年 UCLA 微分幾何大會的一百個問題，影響還是不少。這幾十年來，我希望中國學者能夠自己找尋數學的主要方向和提供數學中重要的問題，但是中國學者的走向，始終以解題為主，沒有脱離高考或是奧數的形式！我猜想其中原因是中國學者的宏觀思考不足，對於數學的淵源不夠清楚是一個重要的缺陷。

中國數學學者對於數學歷史大都厥如，數學歷史學家的重點在於考古，研究的是中國古代數學的斷紙殘章，對於古代文獻的處理，不如一般歷史學家考證嚴謹，對於世界數學發展的潮流並不清楚，往往誇大了中國古代的貢獻，有如當年義和拳認為中國武術勝過西方的船堅炮利，在這種自欺欺人的背景下，一般學者不知道世界數學的歷史背景，結果是宏觀意識不夠，開創性的思想不足！所以我今年發起心願，希望大家努力瞭解世界數學歷史，尤其是十八世紀以後的數學發展，這些大數學家的思維影響至今。以下我選擇了少數幾點來討論： 

下文只論及二零零零年以前的進展。

1. 在芸芸古希臘學者中，泰勒斯是首個系統地探究數學的人。由畢達哥拉斯奠定的畢達哥拉斯學派發現了畢氏定理，這是幾何學的根本。同時，利用反證法，他們也證明了無理數的存在。

2. 泰阿泰德或柏拉圖證明了只有五種正則多面體。歐幾里德廓清了何謂數學上的“證明”。他利用五條公理，把當時知道的幾何定理嚴格地推導出來，而這五條公理卻是自明的。這種公理化的處理手法對後世科學的發展影響深遠，受影響的包括牛頓的力學體系和現代物理學中統一場論中的種種嘗試。歐幾里德也證明了素數是無限的。古希臘數學家對於歐幾里得的第五條平行公理，始終不認為是顯而易見，希望由其他四條公理來證明它。這個想法影響了數學的發展，它等價於平面三角形的內角和等於180 度，這個命題是高斯–博內公式的雛形。平行的觀念成為數學中最基本的觀念，影響了近代物理。古希臘人提出了兩個尺規作圖問題：三等分角和化圓為方，分別與伽羅瓦羣和圓周率的超越性有關。

3. 阿基米德引進了極小元，它可説是微積分的濫觴。他運用“窮盡法”來計算某些重要幾何物體的表面積和體積，其中包括了球的表面積和體積，以及拋物體的截面積。他也得到很多重要物理問題的精確數學解。阿基米德又用內接和外切正 96 邊形去逼近單位圓，證明了不等式圓周率。幾百年後，劉徽和祖沖之以 192 邊形逼近得到圓周率為 3.1416。

4. 埃拉托色尼在數論中引進了篩法。差不多過了二千年，勒讓德重新用到它。到了二十世紀，大篩法在布倫、塞爾伯格、圖蘭、哈代、利特伍德等人的努力下發展成熟。哈代和利特伍德利用“圓法”證明了哥德巴赫猜想的一個較弱的版本，即在黎曼假設之下，任何一個足夠大的奇數可以表示為三個素數之和。維諾格拉陀夫稍後去掉了這個假設。接着陳景潤證明了，任何一個足夠大的偶數，都可以寫成為一個素數和另一個數之和，而後者是兩個素數（其中一個可以是 1）之乘積。

5. 到了八世紀，阿拉伯數學家海利勒有了編碼理論的著作，而肯迪則把統計學用到密碼分析和頻率分析上去。到了十七世紀，費馬、帕斯卡、惠更斯共同創立了概率論，這學科為伯努利和德莫夫進一步發展。十八世紀，拉普勒斯指出誤差的頻率是誤差平方的指數函數。到了十九世紀，馬爾可夫引進了隨機過程中的馬爾可夫鏈。

6. 多個世紀以來，人們在數值計算方面找到了幾個重要的方法。宋代數學家秦九韶找到了一個求解多項式方程的有效方法。他也把孫子定理應用到數值計算上，孫子定理首見於四世紀的《孫子算經》一書中。到了現代，馮·諾伊曼、柯朗–弗理德里赫斯–路維研究了有限差分法。柯朗研究了有限元，而奧舍爾則發展了水平集方法。一個重要的數值方法是快速傅立葉變換，此法可追溯到 1805 年的高斯。1965 年，庫利和圖基考慮了更一般的情況，並作出詳盡的分析。從此，快速傅立葉變換成為數值計算尤其是數字訊息處理中最重要的方法。

7. 十六世紀，卡爾丹諾發表三次方程和四次方程根的公式，並指出它們分別歸功於德爾費羅和法拉利。他提倡使用負數和虛數，並且證明了二項式定理。十九世記初，高斯證明了代數基本定理，即任何  階的多項式在複平面上具有  個復根。

8. 十七世紀，笛卡兒發明了解析幾何學，利用笛卡兒座標系作為溝通幾何和代數的橋樑。這個重要的概念擴闊了幾何的堂廡。他也是符號邏輯的先驅。

9. 費馬找到了變分原理的雛型，從而推廣了古希臘亞歷山大希羅的工作。他和帕斯卡一起奠定了概率論的基礎。他也是現代數論的開山祖師。

10. 十七世紀，牛頓在尋找力學的基本定律時，系統地建立了微積分。他寫下了萬有引力的公式，又利用剛剛發明的微分積來推導出開普勒的行星運動三定律。此外，他也找到了以二階收斂的方程求根法。

11. 歐拉是變分法、圖論和數論的奠基人。他引入了歐拉示性類，又開啓了橢圓函數、zeta 函數及其函數方程的研究。他也是現代流體力學、解析力學的創始者。他有關複數的表示式  對後世尤其是傅立葉分析有很大的影響。

12. 十九世紀初，傅立葉引進了傅立葉級數和傅立葉變換，兩者都是求解線性微分方程的主要工具。傅立葉級數中一個基本問題是魯津猜想，直至上世紀六十年代它才由卡爾森解決。猜想斷言每個平方可積函數的傅立葉級數幾乎處處收斂。傅立葉的原創思想對波動和量子力學都有深遠的影響。

13. Mikio Sato [1928–] introduced hyper-functions. Lars Hörmander [1931–2012] studied Fourier integral operators. Masaki Kashiwara [1947–] and Joseph Bernstein [1945–] studied -modules. The theory of -modules has important applications in analysis, algebra, and group representation theory.

13. 到了現代，佐藤幹夫引入了超函數，霍孟德研究了傅立葉積分算子，柏原正樹和伯恩斯坦研究了-模。-模理論在分析、代數和羣表示論中都有重要的應用。

14. 十九世紀初，高斯證明了代數基本定理，發現了素數定理和二次互反律，他是現代數論之父。他也研究了曲面的幾何，發現了高斯曲率是內藴的。高斯、洛巴切夫斯基、鮑耶分別獨立地發明了非歐幾何學。

15. 柯西和黎曼開拓了單複變函數論的研究，繼起的研究者包括魏爾斯特拉斯、皮卡德、博雷爾、奈望林納、阿爾福斯、希弗等。在同一區域上的有界全純函數形成一巴拿赫代數，其抽象邊界需要等同起來。卡爾森解決了平面圓盤上的日冕問題。這問題在高維仍未解決。德布蘭奇解決了有關單值全純函數係數的比伯巴赫猜想。

16. 格拉斯曼、龐加萊、嘉當、德拉姆研究了微分形式。魏爾定義了流形，並且利用投影法證明了黎曼曲面上的德拉姆分解。德拉姆證明了德拉姆定理。霍奇把魏爾的理論推廣到高維流形上去。他引進了星算子。當流形是凱勒時，他對流形上面的微分形式作了更精細的分解。他也把萊夫謝茨的拓撲定理表達成在霍奇形式所組成的空間上的一個  表示。利用奎倫和陳國才關於迭代積分的工作，沙利文看到德拉姆復形包含着流形有理同倫的信息。沙利文和維格波里爾利用了格羅莫爾和邁耶的工作，證明了當一個單連通流形的有理上同調環並非由一個單元生成時，它上面存在着無限條不同的測地線。

17.  阿貝爾利用置換羣證明了當多項式方程的次數大於四時，一般的求根公式並不存在。之後，伽羅瓦發明了羣論給出了一個多項式方程是否可根式求解的判定準則。索菲斯·李研究了對稱性，並引入了對稱變換的連續羣，後世稱為李羣。基林繼續李羣和李代數的研究。伽羅瓦理論在數論有深遠的影響。阿廷和泰特研究了伽羅華模的一般理論, 比如用伽羅華上同調建立類域論。巖澤健吉研究了伽羅瓦羣為進李羣時伽羅瓦模的結構, 並定義了算術的進-函數。他提出了這個算術的進-函數與久保田富雄和利奧波德利用在伯努利數上插值所定義的進-函數是否本質相同這個問題。裏貝特、科茨、馬祖爾和懷爾斯等人對巖澤理論作出了重大貢獻。

18. 1843 年，漢密爾頓引入了四元數，四元數對數學和物理都有深遠的影響，後者見於狄拉克有關狄拉克算子的工作。同時，凱利和格雷夫斯獨立地引入了八元數。1958 年，卡維爾和米爾諾獨立地利用博特的週期性定理和理論證明了實域上有限維可除代數的維數只能是 1，2，4 和 8。

19. 丟番圖逼近論研究的乃是如何用有理數逼近無理數。1844 年，劉維爾首次找出了具體的超越數。圖厄、西格爾和羅斯從此發展出一個求解不定方程的重要領域。閔可夫斯基利用凸幾何來求解。繼後者包括莫德爾、達文波特、西格爾和施密特等人。

20. 黎曼引進了黎曼曲面，並開創了高維流形拓撲的研究。他對複分析上的單值化定理首先給出一個差不多嚴格的證明。龐加萊和科布把他的理論推廣至一般的黎曼面。黎曼推廣了雅可比 theta 函數並引進了定義在阿貝爾簇上的黎曼 theta 函數。透過對黎曼 theta 函數零點的研究，給出了雅可比反演問題的重要解釋。他又定義了黎曼 zeta 函數，並研究其解析延拓。沿着 zeta 函數的想法，狄利克雷引進了函數作為推廣，並用來證明了好些數論的定理。黎曼 zeta 函數為哈達瑪和瓦利普桑用來證明高斯的素數定理（初等證明後由埃爾德什和塞爾伯格給出）。算子譜的 zeta 函數也用來定義算子的不變量。雷和辛格利用這種正則化引進了流形上的不變量。

21. 十九世紀，黎曼引進的黎曼幾何學，其後為克里斯托弗爾、裏奇、列維奇維塔等人所發展。閔可夫斯基首先利用四維時空，完整地從幾何的角度闡明狹義相對論。所有這些工作給愛因斯坦的廣義相對論提供了關鍵的數學工具。廣義相對論把引力看成時空幾何中的某種作用。格羅斯曼和希爾伯特對此皆有重大貢獻。

22. 黎曼開始了衝擊波的研究，繼之者包括馮·諾伊曼、弗理德里赫斯、拉克斯、格里姆、邁達等。目前我們對高維衝擊波所知甚少。

23. 十九世紀，康託創立了集合論。他定義了基數和序數，並且開始了對無限的研究。1931 年，哥德爾證明了不完備定理。塔斯基發展了模型論。科恩發展了迫力理論，並且證明了在集合論中的 ZF 公理下，連續統假設和選擇公理是獨立的。

24. 克萊因開創了克萊因羣的研究，他在愛朗根綱領中提出利用幾何的對稱羣來為幾何學分類。嶄新的幾何如仿射幾何、射影幾何和共形幾何都可以用這觀點來研究。諾特闡明瞭如何從物理系統的連續對稱羣來得到守恆量。1926 年，嘉當在幾何中引進了和樂羣。和樂羣為正交羣的真子羣的黎曼幾何尤其特殊。1953 年，貝格根據安保斯和辛格的工作，把能作為黎曼幾何和樂羣的李羣都分了類。當羣是酉羣時，所得到的便是 1933 年由凱勒引進的凱勒幾何。當它是特殊酉羣時，所得到的便是卡拉比–丘幾何。當它是其他例外李羣時，所得到的流形有好些由喬伊斯構造出來。和樂羣的概念為現代物理提供了內部對稱。

25. 1852 年，林德曼證明了代數整數的指數乃是超越數，他也建立了圓周率的超越性。他的定理稍後由魏爾斯特拉斯所推廣。在 1934 年和 1935 年之間，蓋爾範德和施耐德解決了希爾伯特第七問題，因此推廣了林德曼–魏爾斯特拉斯定理。1966 年，貝克給出了蓋爾範德–施耐德定理的有效估計。1960 年代，史安努爾提出了一個更廣泛的猜想，其後格羅騰迪克又把史安努爾猜想推廣，成為代數幾何學上有關積分週期的某些猜想。

26. 龐加萊、諾特、亞力山大、霍普夫、惠特尼、切赫等人為代數拓撲學奠下了基石。他們引進了如鏈復形、切赫上同調、同調、上同調和同倫羣等重要概念。一個非常重要的概念是龐加萊提出的對偶性。

27. 希爾伯特研究了積分方程，並引進了希爾伯特空間。他又探究在希爾伯特空間上自共軛算子的譜分解。希爾伯特空間上算子形成的代數是瞭解量子力學的基本工具。它們先由馮·諾伊曼、繼而由孔涅和瓊斯等人研究。

28. 希爾伯特打下了一般不變量理論的基礎，繼之者有蒙福特等人。它成了探求各種代數結構模空間的重要工具。如把退化的代數結構也算進去，在很多情況下，代數幾何結構的模空間也是代數簇。周煒良利用周氏座標，把固定次數的代數簇在投影空間中參數化。德利涅–蒙福德把代數曲線的模空間緊化，而吉塞克和維赫威格則把一般型流形的模空間緊化了。吉塞克和丸山正樹研究了向量叢的模空間。對阿貝爾簇的模空間而言，西格爾空間的商的緊化是經典的結果，這是基於閔可夫斯基的歸結理論。對具有有限體積的局部對稱空間而言，博雷爾、貝利、佐武一郎、塞爾等人作出了不同的緊化。另一方面，一個非常重要的解析方法是蒂希米勒利用擬共形映照，給出黎曼面的模空間。阿爾福斯、伯斯、羅伊登等人是這做法的後繼者。

29. 基於高斯互反律，庫默爾擴張，克羅內克爾以及亨塞爾關於理想與完備化的工作，希爾伯特引入了類域論。受高木貞治早期關於存在性定理工作的啓發，阿廷證明了阿廷互反律。阿廷和泰特利用羣的上同調重建了局部和整體類域論。後來工作由志村五郎、塞爾、朗蘭茲和懷爾斯通過一系列緊密地結合數論與羣表示論的研究完成。除了朗蘭茲綱領外，高維類域論也出現在代數理論中。

30. 二十世紀初，嘉當和魏爾對緊李羣丶李代數及其表示論都作出了傑出的貢獻。魏爾把緊羣的表示用於量子力學。德利涅、盧斯提格等人為李類型的有限羣表示論奠下基石。數學物理學家如維格納、巴格曼、麥基等開始把某類特殊的非緊羣的表示論應用於量子力學。繼基裏洛夫和蓋爾範德學派關於冪零羣和半單羣表示論的重要工作後，哈里斯錢德拉為非緊李羣的表示論打下基礎。他的工作影響了朗蘭茲有關愛森斯坦級數的工作。皮亞捷斯基夏皮羅、蓋爾範德、朗蘭茲、雅克、亞瑟、博雷爾等人發展了自守表示理論，其中的基於進位羣的表示和赫克運算的 adelic 方法十分有用。布雷爾–博特–韋伊型定理給出李羣的表示論幾何方面深刻的看法。

31. 布勞威爾、霍普夫、萊夫謝茨等開始研究拓撲中的不動點理論。稍後阿蒂雅和博特將之推廣至一般的橢圓微分復形。西格爾與阿蒂雅研究了等變理論。1982 年，杜斯特馬特與赫克曼發現辛局部化公式，隨後柏林和韋爾涅、阿蒂雅和博特分別獨立地在等變上同調下得出了局部化公式。阿蒂雅和博特為環面作用的不動點引入了有效的等變上同調局部化方法。它們已成為代數幾何中有力的計算工具。

32. 伯克霍夫和龐加萊是現代動力系統和遍歷理論的諦造者。馮·諾伊曼和伯克霍夫證明了遍歷定理。科爾莫戈羅夫、阿諾德、摩瑟證明了在可積系統中的不變環在小擾動下不會消失，因此遍歷性並非漢米爾頓系統的典型性質。奧恩斯坦證明了伯努利移動由其熵決定。

33. 1928年，魏爾引進了他的規範原理。在 1926 年到 1946 年期間，主纖維叢的研究（非阿貝爾規範場論）由嘉當、埃雷斯曼和其他人發展了。差不多同一時期，惠特尼開始了示性類和向量叢理論（斯蒂費爾給出其中一個特殊情況）的研究。龐特利雅金對實向量叢引入了示性類。1945 年，陳省身根據託德和艾德格的工作創造了陳類。陳省身和西蒙斯引入了陳–西蒙斯不變量。透過拓撲量子場論，這些不變量對紐結不變量以及凝聚態物理學都很重要。1954 年，泡利、楊振寧–米爾斯把魏爾的規範原理和嘉當、埃雷斯曼、陳省身等創造的非阿貝爾規範場論用到粒子物理學上去。然而，這些理論沒能解釋物質質量的存在，一直到對稱破壞理論，以及提霍夫特和法德耶夫等人的基礎性工作的出現，問題才有進展。

34. 魏爾有關微分算子譜的基礎工作影響了量子力學、微分幾何和圖論的發展。魏爾定律給出特徵值的漸近性質。橢圓算子的譜和譜函數的特性成為調和分析最重要的分支。閔那克史孫達朗和普萊耶爾研究了特徵值的 zeta 函數的基本性質。雷和辛格定義了拉普拉斯算子的行列式，並且引進了雷–辛格不變量。對狄拉克算子而言，阿蒂雅–辛格–帕度提研究了 eta 函數，對奇數維的流形得到其 eta 不變量。

35. 薛定諤發明了薛定諤方程，用以描述量子或波動力學中波函數的動態。魏爾和薛定諤用它來找到氫原子的能量層。海森堡和魏爾發現波函數滿足測不準原理，即函數與其傅立葉變換不能同時局部化。費曼在量子力學中引入了路徑積分，它是研究物理系統量子化最重要的工具。

36. 莫德爾提出了以他命名的猜想。他也證明了有理橢圓曲線上點羣的秩是有限的。韋伊研究莫德爾–韋伊羣，把莫德爾的工作推廣以包含數域。西格爾研究了算術簇上的整點。包括莫德爾猜想在內的許多重要的猜想最後是被法爾廷斯憑藉阿拉克洛夫幾何解決的，他亦破解了阿貝爾簇上的沙法列維奇猜想。

37. 特徵函數的零點曾為眾多人研究。柯朗發現了節區域定理。丘成桐指出節點集的體積是一個在形變下穩定的量，並且對這個量的上下界作出精確的猜想。這猜想變成了譜研究的重要方向。唐納利和費弗曼在實解析的條件下證明了丘成桐猜想。對光滑流形而言，幾個不同的做法得到有用的結果，但距完滿尚遠。

38. 二十世紀三十年代，巴拿赫引進了巴拿赫空間用以描述無限維的函數空間。漢恩–巴拿赫定理是研究這空間重要的工具。林克森斯特拉斯、恩福、布爾甘和其他人對巴拿赫空間的重要問題（包括不變子空間）皆有巨大貢獻。肖德在巴拿赫空間上證明了不動點定理，用以求解偏微分方程。

39. 摩爾斯首創以拓撲研究臨界點理論，同時以臨界點理論研究拓撲。透過博特、米爾諾、史梅爾等人的努力，摩爾斯理論已成為微分拓撲中的重要工具。博特找到了典型羣的穩定同倫羣的週期性，這是重要的發現。米爾諾引進了割補理論，而史梅爾則證明了配邊定理，從而解決了維數大於四的龐加萊猜想。

40. 格林函數、熱核和波核等再生核在霍氏積分方程理論中扮演着重要的角色。哈達瑪 找到了這些核的近似，稱為擬基本解。塞戈、伯格曼、波克拿等人研究了在多複變函數論中重要的不同函數空間上的再生核。華羅庚計算了 Siegel 域上核函數。伯格曼利用他的核函數來定義伯格曼度量。費弗曼對有界光滑嚴格擬凸域上的伯格曼度量作出了詳細的分析。從他的分析中，可以知道雙全純變換直到邊界都是光滑的。卡茲丹研究了在流形覆蓋下伯格曼度量的結構。他證明了志村簇的伽羅瓦共軛仍然是志村簇。

41. 波克拿引入方法證明了把拓撲和曲率聯繫起來的消滅定理。這種方法後來被小平邦彥應用到算子上，也給裏赫那洛維奇用到狄拉克算子上。小平用他的消滅定理證明了具整凱勒類的緊凱勒流形必是代數的。莫雷把它推廣到紐曼問題上，從而解決了其中的李維問題，以及證明了實解析流形上存在着實解析度量。科恩改進了莫雷的工作，重新證明了紐蘭德–尼倫伯格有關近復結構可積性的定理。岡潔和格勞特也解決了李維問題。小平、斯賓塞和倉西正武研究了復結構的形變。

42. 布勞爾、湯姆森、費特、戈倫斯坦恩、鈴木通夫、泰茲、康威、格里斯、阿施巴赫等人共同完成了有限單羣的分類。月光猜想把魔羣的表示和自守形聯繫起來，它是由博切德斯首先證明的。

43. 維格納在重原子核譜的研究中引進了隨機矩陣。戴森猜測這些譜滿足隨機酉矩陣和正交矩陣中的半圓法則。BGS 猜想指出其古典對應顯示紛亂狀態的譜統計可以用隨機矩陣理論來刻畫。沃庫樂斯古引入了自由概率來描述隨機矩陣的漸近行為。

44. 1928 年，拉姆齊發明瞭拉姆齊理論，用以在無序中尋找規律。1959 年，埃爾德什和仁易提出了隨機圖的理論。1976 年，阿佩爾和哈肯利用計算機證明了四色問題。

45. 霍奇提出了一個重要的問題，即一個型的霍奇類能否在相差一個撓動下由代數閉鏈所表示。差不多同時，周煒良引進了代數閉鏈簇。代數積分的週期在理解代數閉鏈中起着重要的作用。這些積分的計算要用到全純微分方程，如皮卡德–福克斯方程便用於計算橢圓曲線的週期。1963 年，泰特提出霍奇猜想在算術上的對應猜想，用在 Étale 上同調上的伽羅瓦表示來描述在算術簇上的代數閉鏈。法爾廷斯對數域上的阿貝爾簇證明了泰特猜想。

46. 科爾莫戈洛夫、辛欽、列維奠定了現代概率論的基礎。馬爾可夫鏈是馬爾可夫引入的，而伊藤清開始了隨機微分方程的研究。維納定義了布朗運動，將它視為在函數空間上的高斯過程。他亦開始了維納過程的研究。戴森利用量子力學來解釋物質的穩定性，利布及其合作者作進一步研究。克萊默引入了大偏差理論。布羅德本特和哈默斯利則引入了滲流理論。

47. 馮·諾伊曼首先利用算子代數來研究量子場論。接着的是富田稔和竹崎正道的工作。孔涅引進了非交換幾何。瓊斯引進了瓊斯多項式作為第一個量子連結不變量。威滕利用陳–西蒙斯的拓撲量子場論來解釋紐結上的瓊斯多項式；後來科瓦諾夫用他的同調來解釋瓊斯多項式。

48. 1932 年，馮·諾伊曼和朗道在量子力學中引進了密度矩陣的概念。馮·諾伊曼把經典吉布斯熵推廣到量子力學上來。維納和香農分別對信息論作出了重要的貢獻，他們各自引進了熵的概念。維納發展了控制論、認知科學、機器人學和自動化。羅賓遜和魯爾提出有關量子熵的強次可加性的猜想，猜想其後為利布和魯斯凱所證明。

49. 勒雷引進了層論和譜序列，它們是代數幾何和拓撲的重要工具。塞爾發展了可以計算球面同倫羣無撓性部分的譜序列。亞當斯也引入他的譜序列來研究球面的同倫羣。

50. 韋伊建構起代數幾何和數論之間深刻的聯繫。他運用高度和伽羅瓦上同調羣來研究無限下降法。對有限域上的代數簇，他提出了對應的黎曼假設。他也提議研究一般域上的代數幾何，從而對數論獲得重要的洞識。德沃克、阿廷、格羅騰迪克、德利涅一起完成韋伊的規劃。德利涅證明了韋伊猜想，奠定了算術幾何學的基礎。格羅騰迪克、塞爾、德沃克和阿廷對代數幾何和算術幾何的發展皆有基本的貢獻。塞爾在其奠基性工作 FAC 中將勒雷提出的層論應用到代數幾何中去。格羅騰迪克受此啓發引入概型，拓撲斯等概念把代數幾何用範疇與函子的語言重新建立起來。此後格羅騰迪克及其學生發展出了-進上同調，Étale-上同調，晶體上同調並提出終極上同調理論 --- motive 理論。這些理論搭建了現代代數幾何的基本框架。

51. 凱勒流形上的中間雅可比概念首先由韋伊引進，稍後又被格里菲斯以不同的形式找到。在許多情形下，托里裏型定理（它對代數曲線是成立的）被提出和證明，一個重要的情形和K3曲面有關。代數流形退化時其上霍奇結構的變化曾被德利涅、施密德、齋藤恭司等人研究。戈列斯基和麥弗森引進了相交上同調來研究代數結構的奇異行為。扎克猜測對志村簇來説，相交上同調和上同調是同構的。其後這猜想被路安加和薩珀–斯特恩獨立證明了。

52. 莫雷證明了帶粗糙係數的經典單值化定理，他也解決了一般黎曼流形上的普拉託問題，從而推廣了道格拉斯和拉多的工作。魏爾提出了有關正曲率曲面的嵌入問題；閔科斯基提出了閔科斯基問題。對實解析曲面而言，這兩個問題都被路維解決了，而光滑曲面的情況則由波哥列洛夫和尼倫伯格獨立地解決。高維的閔科斯基問題則由波哥列洛夫和鄭紹遠–丘成桐獨立地解決。實蒙日–安培方程曾由坎託羅維奇應用到最優化傳輸的研究中。

53. 龐特利雅金在拓撲學中引進了配邊理論。託姆計算了定向流形的配邊羣，希策布魯赫利用它證明了可微流形上聯繫龐加萊對的符號差和龐特利雅金數的符號差公式。米爾諾利用它證明了七維怪球的存在，從而開啓了流形上光滑結構的研究。凱爾維和米爾諾為怪球作出分類，並同時和諾維科夫開展了割補理論。割補理論對單連通光滑流形的分類提供了十分重要的工具。華爾利用基本羣進行割補手術。割補理論為研究同倫結構、拓撲結構、PL 結構、光滑結構以及特殊結構的配邊理論等重要問題提供了強有力的工具。其中包括了柯比–西爾伯曼、布魯菲爾–馬德森–米格里姆和布朗–彼德森的工作。

**54.**圖靈引進了圖靈機的概念，並開展了計算性理論。庫克把定理證明的複雜性這概念精確化，並提出著名的問題（列文也獨立地提出過）。瓦理安特引進了完備性的概念，並應用它來解釋枚舉的複雜性。

55. 艾倫伯格和麥克萊恩最先利用公理化的方法來建構同調論，同時也引進了艾倫伯格–麥克萊恩空間來研究羣的上同調。其後上同調理論由霍奇希爾德等人引進到代數及李氏理論中。作為上同調理論的推廣，格羅騰迪克、阿蒂雅、希策布魯赫等人引進了理論。在標準上同調理論中自然存在的運算如上下積和平方運算，在理論中皆有對應。

56. 塞爾伯格、馬古利斯、拉特納、博雷爾等人利用遍歷理論、分析和幾何來研究李羣的離散子羣。塞爾伯格找到了跡公式，把半單李羣除去離散子羣的商空間的拉普勒斯算子譜和這個離散子羣的共軛類聯繫起來。莫斯托使用擬共形方法證明了作用在雙曲空間形式上格的剛性。他也證明了高秩羣上格的超剛性。塞爾伯格曾猜想後者是算術的，這是由馬古利斯證明的。拉特納和馬古利斯一起證明了有關離散羣的拉古納坦和奧本海姆猜想。布魯哈特–泰茲建築是由泰茲引進的，目的是瞭解例外李型羣的結構。它也可以用來研究p進李型的齊性空間。

57. 費德勒、費萊明、阿爾姆格倫和阿拉德等人發展了幾何測度論。邦比裏、德-喬治、朱斯蒂合作解決了伯恩斯坦問題。和西蒙斯的工作結合起來，他們證明了面積極小超曲面最壞有餘 7 維數的奇點。阿爾姆格倫證明了面積極小流在一個餘 2 維的閉集外是光滑的。薩克斯–烏倫貝克利用變分原理和冒泡過程發展了流形中極小球面的存在性。蕭蔭堂–丘成桐利用這成果證明了弗倫克爾猜想；格羅莫夫又用它探究了辛幾何上的不變量。

58. 卡爾德隆和齊格蒙德研究了卷積型的奇異積分算子，從而推廣了希爾伯特變換丶貝林變換和裏茨變換。他們借用了哈代–利特伍德、裏茨、馬辛基維奇等前人的工作，研究了函數的分解定理。

59. 希策布魯赫利用他自己的可乘序列理論和塞爾對代數曲面的一個觀察，找到了高維的黎曼–洛赫公式。他的公式對代數流形成立。阿蒂雅和辛格把它拓展到更一般的橢圓微分算子上，並且證明指標定理。希策布魯赫–黎曼–洛赫公式從而在一般情況下是對的。小平邦彥利用這個一般定理，把意大利學派有關代數曲面的分類推廣到一般的復曲面上去。線性微分算子開始進入到微分拓撲中，其中最重要的如狄拉克算子和算子。希策布魯赫、格羅騰迪克、阿蒂雅和希策布魯赫、博特等人發展了理論，並利用它解決了不少代數和拓撲上的重要問題。代數理論是由米爾諾、巴斯、舒奈爾、斯坦伯格、斯旺、格斯騰、奎倫等人發展出來的，從此深刻的代數方法，成為理解拓撲中問題的強力工具。

60. 斯温訥通-戴爾和伯赫提出了他們有關橢圓曲線的著名猜想，這猜想猜測哈塞–韋伊zeta函數在中心點處的首項次數等於莫德爾–韋伊羣的秩。科茨–懷爾斯，格羅斯–扎吉爾與括裏瓦根等人對這猜想都作出了重要的貢獻。在海爾布隆、海格納、斯塔克的工作之後，哥德菲爾德借用了格羅斯和扎吉爾的工作來給出二次虛域的類數的一個有效界，從而解答了高斯的一個老問題。貝林森、布洛赫、加藤和也等人又把這猜想推廣到高維的算術簇上。

61. 惠特尼開啓了將流形浸入和嵌入到歐幾里得空間的研究。浸入的高斯映射給出了流形到格拉斯曼流形的分類映射，從而將流形上的向量叢進行分類。惠特尼開始了合痕意義下的浸入分類工作，最後由史梅爾和希雷奇完成。浸入猜想最終由科恩於 1985 年證明。該猜想指出維流形可以浸入到維數為的歐幾里得空間，其中是的二進制表示中1的個數。納什證明了任何流形都可以基於他的隱函數定理等距地嵌入到歐幾里得空間中。但是嵌入維數不是最佳的。格羅莫夫極大地擴展了史梅爾和希雷奇的浸入理論，以處理微分關係。由於曲率退化，曲面局部嵌入到三維空間仍未解決。林長壽解決了非負曲率情形。

62. 德-喬治、納什、摩瑟和克雷洛夫發展了關於標量函數的一致橢圓偏微分方程的正則性理論。卡法雷利、斯普魯克和尼倫伯格對完全非線性橢圓方程作了類似的工作。孫理察等人研究了含臨界指標的半線性和擬線性方程。

63. 彭羅斯和霍金在廣義相對論中引入了奇點理論，從而為黑洞理論奠定了嚴格的數學基礎。克爾發現了帶有角動量的黑洞方程的解，成為了所有黑洞理論的基礎。卡特、伊斯雷爾和霍金在事件視界的正則性假設下證明了黑洞的唯一性。孫理察和丘成桐首次證明了因物質凝聚而形成的黑洞的存在性。克里斯托杜洛和克萊因曼證明了閔科斯基時空是動態穩定的。

64. 廣中平祐證明了特徵零上的代數簇的奇點可以通過逐次脹開來消解。馬瑟和丘成棟指出孤立奇點的分類可以轉化成為對有限維可交換代數的研究。森重文提出了極小模型理論來研究高維代數簇的雙有理幾何。之後這一理論被川又雄二郎、宮岡陽一、舒庫羅夫、科爾拉等人所發展壯大。

65. 1938 年，史密斯最早使用上同調理論研究作用於流形上的有限羣。博雷爾於1960年擴展了史密斯理論，引入了等變上同調。史密斯猜想斷言作用在三維球面上的循環羣的不動點集是一個平凡紐結。通過米克斯–丘成桐的極小曲面方法、瑟斯頓的幾何化綱領以及戈登關於羣論的工作，史密斯猜想最終被解決。米克斯–西蒙–丘成桐還把結果擴充至包含怪球的情形，通過證明三維流形中嵌入的球面可以合痕於由曲線連結起來的不相交的嵌入極小球面。

66. 1947 年，丹齊格發明了線性規劃中的單純形法。1984年，卡馬爾卡引入內點法，其複雜度是多項式有界的。梅耶和馬拉特發展了小波分析，緊隨其隨後有多貝西和科夫曼。

67. 1967 年，加德、格林和克魯斯卡爾提出了用逆散射法來求解KDV方程，他們找到了孤立子解。後來，該方法擴展到許多著名的非線性偏微分方程。這方法可以看成在黎曼–希爾伯特對應中的因子分解問題。拉克斯對的引入有助於從概念上理解該方法，而蓋爾範德–列維坦方法也被涉及。

68. 朗蘭茲綱領是現代數論很多方面的推手，它將數論、算術幾何和基於自守形式一般理論的調和分析統一起來。雅克和亞瑟為這一綱領做出了重要貢獻。懷爾斯解決谷山–志村–韋伊猜想是該綱領的巨大成功。利用這個猜想，懷爾斯在泰勒的協助下，根據弗萊、塞爾和裏貝特在橢圓曲線上的早期觀察，證明了費馬大定理。

69. 厄爾斯和桑普森證明了映到非正曲率流形上中的調和映射的熱流總是存在的，並且收斂到一個調和映射。漢密爾頓在由黎曼度量構成的空間中引入了裏奇流。他在這一領域中的大量工作還包括對一般拋物方程中重要的李偉光–丘成桐不等式的推廣。漢密爾頓、休斯肯、辛斯特拉里等人對平均曲率流發展了一套平行理論。

70. 通過與孫理察、西蒙、烏倫貝克、漢密爾頓、陶布斯、唐納森等人的合作，丘成桐為現代幾何分析奠定了基礎。他們通過使用非線性微分方程解決了一系列幾何問題。其中最具代表性工作是卡拉比猜想的證明，丘成桐確定了哪些凱勒流形上可以容納凱勒–裏奇平坦度量。奧賓和丘成桐確定了數量曲率為負的凱勒–愛因斯坦度量的存在性。丘成桐以此證明了陳數不等式，從而意味着關於射影空間上代數結構唯一性的塞韋裏猜想成立。丘成桐提出範諾流形上凱勒–愛因斯坦度量存在性的猜想，其中牽涉及某種穩定性。

71. 1979 年，孫理察和丘成桐解決了正質量猜想，這證明了孤立物理時空在能量上是穩定的。最初證明只適用於一至七維。威滕隨後在自旋流形上利用旋量給出另一個證明。彭羅斯、巴特尼克、霍金、吉本斯、霍洛維茨、布朗、約克等許多學者研究了擬局部質量的概念。

72. 瑟斯頓根據八種典型幾何結構提出了對三維流形進行了分類的大綱。基於莫斯托的強剛性定理，他證明了非環狀的和足夠大的三維流形可以具有唯一的雙曲度量。在證明過程中，他研究了黎曼曲面上的動力系統以及全純二次微分定義的奇異葉狀結構。他還證明了流形上餘維數為1的葉狀結構存在當且僅當流形的歐拉數為零。

73. 弗裏德曼運用卡斯森把手和賓格拓撲理論，證明了四維龐加萊猜想，並且對所有單連通流形作了拓撲分類。

74. 1982 年，威滕運用量子場論和超對稱性的觀念推導出摩爾斯理論，為連接幾何與物理提供了一個強有力的工具。1988 年，他引入了拓撲量子場理論，隨後的阿蒂雅使用了西格爾關於共形場理論公理化的部分思想。從這一觀點出發，人們找到了許多拓撲不變量，它們在凝聚態理論中有着重要的意義。

75. 唐納森根據烏倫貝克和陶布斯在四維流形上規範理論的模空間的工作，發現了光滑四維流形的二階上同調羣的相交對的新約束，這與弗裏德曼的上述工作有着鮮明的對比。唐納森還定義了四維流形的多項式不變量。在賽伯格和威滕引入他們的不變量後，該理論得到了簡化。賽伯格–威滕不變量可用於解決有關代數曲面拓撲的幾個重要問題。

76. 在特魯丁格和奧賓的一些工作之後，孫理察完成了關於共形幾何的山辺猜想的證明，架起了廣義相對論數學與共形幾何學之間的橋樑。孫理察和丘成桐以此對正數量曲率的完備共形平坦流形的結構進行了分類。孫理察和丘成桐在正數量曲率流形中引入度量割補。格羅莫夫和勞森跟進了這項工作並發現它與自旋配邊有着密切相關。結果斯托爾茨找到了緊單連通流形在維度不為 3 和 4 時具有正數量曲率度量的充分必要條件。對於非單連通流形，還有其他基於孫理察–丘成桐的極小超曲面的判別標準。

77. 1986 年，烏倫貝克和丘成桐求解了穩定叢的埃爾米特–楊–米爾斯方程，而唐納森使用不同的方法在代數曲面上進行了相同的求解。唐納森–烏倫貝克–丘成桐定理成為雜弦理論的重要組成部分。其後，辛普森使用它的分析來給出帶希格斯場的全純向量叢，這是希欽提出的概念。吳寶珠使用希格斯叢證明了朗蘭茲綱領中的基本引理。

78. 受到威滕在摩爾斯理論上的工作的啓發，弗洛爾定義了辛幾何中的弗洛爾理論。陶布斯證明了賽伯格–威滕不變量等同於他定義的辛不變量，他稱之為格羅莫夫–威滕不變量。由此他證明了射影平面上辛結構的剛性。

79. 格林和普萊莎與坎德拉等引入了卡拉比–丘空間的鏡像對稱性。坎德拉等人利用鏡像對稱性來得出了枚舉幾何學的五次三維形計算公式。紀梵特與連文豪–劉克峯–丘成桐分別獨立嚴格地證明了該公式，從而解決了枚舉幾何學中的一個古老問題，同時也顯示了弦論為幾何學提供了有力的數學預測工具。作為鏡像對稱性的範疇化陳述，康切維奇提出了同調鏡像對稱。史聰閔格–丘–扎斯洛使用特殊拉格朗日閉鏈，對鏡像對稱性作出幾何解釋。這兩種做法使得代數幾何與弦論的互動活躍起來。

80. 舒爾首次提出因子分解的量子算法，比經典算法快指數倍。它推動了量子計算的發展。■