神州帽子何其多｜量子多體中的吶喊與彷徨之五_風聞

在一段悠然慵懶的歲月裏，作者一邊進行量子蒙特卡洛計算，一邊讀着二十四史。在量子多體中的吶喊與彷徨中看到了一絲曙光，也在歷史的回味與反思中看到當今科研體制下的無奈與堅忍。“學者的貢獻在於發揚真理，脱心志於俗諦之桎梏，在於鑄造後起的頭腦，不在於自己頭上有多少帽子。

林風眠《火燒赤壁》

撰文 | 孟子楊

南 方

有兩年時間吧，我在美國南方密西西比河畔的一個大學城工作，每天看着河邊水溝中的曬太陽的小鱷魚，看着種植園般的小區邊、學校裏爬滿藤蔓的大橡樹。日子慢悠悠地過去，就連作為美國主要水路的密西西比河，到了就要進入墨西哥灣的下游，白天裏也只是零零星星開過幾艘貨船。這裏夏天悶熱潮濕，冬天暖風和煦，此處的 African American 兄弟們，雖然也人高馬大、身材健碩，卻慢悠悠地待人和善，説話帶着温和的南方口音，不像他們在北方大城市的同胞那種 hood 裏帶出來的強橫。這裏的風物完全滿足了我之前從書本中看到的美國南方那種已經逝去的生活方式，那種鄉愁的想象，就是福克納、田納西·威廉姆斯所營造的世界，種植園、沼澤地、爵士樂、潮濕、神秘、善良卻多少有些神經質的人們。

就是在這樣的地方，美則美矣，慢則慢矣，但是卻時時感到孤獨。我一邊思考着如何把團簇動力學平均場 Hubbard model 計算從正方晶格擴展到三角晶格，用大規模計算的方法研究純粹的金屬-絕緣體臨界莫特相變；一邊品味着遠離自己文化的孤獨，畢竟連中文書都很少見到，在完全陌生的環境中看着生命一天天平靜地過去。真好像詩中説的：

看樣子是就這樣下去了

平日裏什麼樂子也沒有

除非在街上吃碗餛飩

有時，人生真不如一行波德萊爾

有時，波德萊爾真不如一碗餛飩

——木心《小鎮上的藝術家》

這裏是連餛飩都沒得吃的。有一天實在窮極無聊，我在等待蒙特卡洛計算結果的間隙跑到大學圖書館裏盤桓，竟然在某個無人問津落滿塵土的書架上看到了中華書局上世紀70年代出版的豎排二十四史中的《宋書》《南齊書》《梁書》和《陳書》。誰能想到，在這樣偏遠的美國南方，一個和中國文化沒有任何交集的地方，竟然有人大發善心地為圖書館買來了如此硬核的中國文化。不是什麼《史記》《漢書》這樣通行的經典，而是頗為小眾的宋齊梁陳，南朝煙雨。這讓已經被美國南方的暖風燻到精神遲鈍的我足足傻站在書架前有一分多鐘，大腦中的邏輯程序怎麼都調不通，不能理解這些鐵幕之下紅色中國的硬核出版物是怎麼遠涉重洋來到世界的這個角落的。一分鐘後回過神來，先定睛看看落地窗外的大橡樹，它還在那裏，遂確定沒有發生時空錯亂，然後也不管這些綠皮、硬殼、豎排的史書是怎麼流落到此地的，一把抱起它們借出來帶回家據為己有，生怕有人和我搶似的。其實我可能是幾十年來第一次借這些書的人。

從此之後好一段時間，我的思維就被分散在三角晶格 Hubbard model 的金屬-絕緣體相變和宋齊梁陳的生死倏忽與朝代更迭之中。隨着工作和閲讀的深入，我發現雖然結果都在向着好的方向前進，但不斷地思考和體會的同時，我的心情從最初的欣喜慢慢變得沉重起來，影響直到今天。

近 似

先説三角晶格中的莫特轉變吧，這個是強關聯繫統中一個公認的難題。三角晶格 Hubbard model 在相互作用弱的時候有一個接近圓形的費米麪，沒有如正方晶格中半滿的時候反鐵磁 （pi,pi）nesting 波矢的不穩定性，是一個理想的費米液體；而在相互作用十分強的時候，因為電子電荷自由度被凍結，Hubbard model 退化為三角晶格上的反鐵磁 Heisenberg model，而這個模型的基態為非共線的 120度長程序反鐵磁絕緣體。那麼一個顯而易見的問題就是，隨着Hubbard U的增加，費米液體金屬是怎麼過渡到反鐵磁長程序絕緣體的？

這個看似簡單的問題其實到現在還沒有公認的結果。解析計算對於這樣的量子多體問題，目前看起來只能理解弱相互作用時的費米液體金屬和強相互作用的反鐵磁絕緣體。數值計算的量子蒙特卡洛面臨符號問題，無法得到熱力學極限的結果。在當時市面上的數值計算方法中，還有一種叫團簇動力學平均場，是運用量子蒙特卡洛求解器首先嚴格求解一個小的團簇，比如4、8、16這樣的格點數，然後再將如此求得的自能和格林函數用自洽方程的方式，與熱力學極限下的環境做迭代計算——將團簇上電子多體相互作用的效果傳遞給環境，將環境無窮大的晶格信息反饋給團簇。如此迭代以至於收斂，在自能和格林函數的戴森方程的層次上可以得到系統的一個近似的解，並且在形式上克服蒙特卡洛晶格計算的指數牆問題。這個方法，在當時看來是一個比較可行的辦法。事實上，我之所以來到這所南方的大學，就是想掌握這樣一種研究量子多體系統的計算方法，並用它到求解三角晶格 Hubbard model 金屬-絕緣體莫特相變。

我們的計算結果如圖1 所示，其實已經可以相當清楚地看到相互作用是如何改變系統的能帶結構。在圖1（下）中畫出了布里淵中高對稱線上的單粒子能譜，也許是那個時候看古書的緣故，我們特意把結果畫成中國畫立軸的樣子。隨着 U 的增大，可以看到無相互的能帶，是如何一步步展寬，譜權重是如何從緊貼着色散關係（就是我們在之前的文章中講到的準粒子壽命無窮長）到彌散到很大的頻率範圍的。同時，就在 U≈9t 的地方，也是相互作用和費米子的帶寬相似的地方，原本的一條能帶被撕裂成兩片分開的譜。金屬到絕緣體的相變就發生在此處，費米麪上再無準粒子，系統進入絕緣相。這樣的結果也呼應我們在之前的文章中提到的（參見《歷史的終結與最後的人 | 量子多體中的吶喊與彷徨之四》），相互作用的電子系統，費米麪的變化可以不再遵循 Luttinger 定理，在圖1（下）的整個變化過程中，系統的電子填充數並沒有發生改變，而費米麪卻硬生生地消失了。

圖1:（上）二維正方晶格和三角晶格上的 Hubbard 模型。t 為電子動能，U 為電子庫倫排斥。（中）二維三角晶格布里淵區和不同填充數下的費米麪，只有在填充數接近 n=1.5 時才有明顯的 van Hove 極點和 nesting，其他填充數時（如半滿 n=1），系統具有接近理想圓形的費米麪。（下）團簇格點數為6的動力學平均場單例子譜函數計算結果，可以看到隨着 U 的增大，能帶逐漸變得模糊，譜權重逐漸從無相互作用的能帶附近彌散開來。在 U ≈ 8,9t 的時候，原本的一條能帶斷裂成兩條，系統經過莫特轉變從金屬相進入絕緣相（數據來自文獻[1]）。

但是團簇動力學平均場計算本身有一個很大的問題，那就是説到底，嚴格的計算只是在一個量子少體的團簇上進行，而與環境迭代的效果，使得整個計算，也就是最後收斂的自能和格林函數，實質上傾向平均場結果。如果是研究相變左右兩個相各自的性質，比如費米麪上準粒子權重或者對稱性破缺相中序參量的局部結構，也許還是可以給出定性正確的結果；但是如果想要研究相變本身的性質，比如臨界行為、湧現分數化激發和拓撲序規範場等等真正抓住問題物理實質的現象，由於計算方法本身並沒有嚴格處理量子多體系統的配分函數，即不尊重相變點標度不變性也不尊重其共型不變性，團簇動力學平均場其實無能為力的。

也正是在通過切身的研究意識到這些本質性缺陷之後，我才開始轉而投入到發展能夠通過量子蒙特卡洛嚴格的求解晶格模型和算法設計的大潮之中，擯棄通過近似方法研究量子多體相變物理實質的念頭，路越走越寬，此處先按下不表。

當然，將近10年過去了，三角晶格 Hubbard model 的莫特轉變仍然是一個未解問題。最近有 DMRG 計算指出其實在費米液體金屬和反鐵磁莫特絕緣體之間還存在一個手徵量子自旋液體（chiral quantum spin liquid）[2]，事實上如此的中間相一直是一種可能性，只是 DMRG 的計算其實也是變分計算，且只關注基態，不能回答費米麪是如何變化的，這方面還是有待方法上的突破。另外，我的朋友，北京航空航天大學的李偉及其小組，一直在開發熱張量網絡的計算方法，可以計算量子多體系統的比熱和磁化率等重要物理性質隨着温度的變化，目前已經在三角晶格反鐵磁 Heisenberg 模型的比熱計算中得到結果[3]，而費米子 Hubbard model 在正方晶格上也進行了初步的嘗試[4]，從這個方面研究三角晶格 Hubbard model 的相圖，尤其是通過不同的熱力學性質分析是否存在不同的基態，將會是一個有意義的方向。

古 代

好的，三角晶格的莫特轉變的問題讓我一步步看到了看似強大的團簇動力學平均場方法其實也有着很大的侷限性，從而轉求其他更加本質的研究方法。而那些在圖書館中偶遇的《宋書》《南齊書》《梁書》和《陳書》，卻更把我帶到了深深的憂慮之中，以至於直到今天，儘管我在通過模型設計求解量子多體問題的道路上越來越有信心，但從古書中看到我們的歷史和文化的本徵缺陷，伴隨着身邊時時見到的它們的現代表現形式，更加困擾着我，悲觀的情緒不斷襲來。

事情是這樣的，中國古代正史中帝王的本紀實在沒什麼意思，都是好話，批評都是委婉的。南朝中殘忍乖戾，殺人如麻，甚至心理變態的昏君一大把。如果不瞭解當時的背景，光看這樣的官樣文章，實在讀不出所以然。還是看看列傳吧，看看魏晉風度六朝人物。但這一看就更明白了在亂世之中，人的生命是如此的倏忽短暫，不在自己的掌握中。比如幫助劉裕晉宋禪讓的傅亮，博學而有文采，後來卻被由他扶正但是生性多疑的宋文帝誅殺；被李白稱讚為“蓬萊文章建安骨，中間小謝又清發”，上承建安風骨，下啓盛唐氣象的詩人謝脁，最後也在權利的鬥爭中成為犧牲品；意識到漢語詩聲律要求，為後來唐代格律詩的發展與成熟奠定基礎的沈約，也在齊梁的交替中扮演過篡位幫兇的角色，晚年更因為失寵於梁武帝，戰慄憂懼而死。這些人物或自願或被迫，為體制貢獻了自己的力量，最後卻都被體制所無情地吞噬。

這樣的閲讀更讓我從這些官修史書的人物傳記中，看到了中國人自古以來對於頭銜的偏執。即使偏安一隅的孱弱南方小朝廷，在介紹某人時，也經常看到如下重複性的表達：

“某某，…, 出為使持節、散騎常侍、驃騎將軍、開府儀同三司、都督江州諸軍事、江州刺史 …”，“某某，…， 使持節，轉護軍將軍，加散騎常侍，領石頭戍事，封某某縣公，食邑二千户 …”,“某某，…，詔加班劍二十人，開府儀同三司，徵北將軍，並加督青州及徐州五郡軍事 …”。

這些官名都很長，乍一看看好像都很重要，但要説具體是幹什麼的，又都説不清楚。稍微查了其中的比較抽象的幾個，“使持節”“散騎常侍”“開府儀同三司”，翻譯出來給大家看看：

使持節，是魏晉南北朝時期直接代表皇帝行使地方軍政權力的官職。

散騎常侍，為皇帝侍從，入則規諫過失備皇帝顧問，出則騎馬散從。魏、晉多為顯職。

開府儀同三司，魏晉南北朝時期的一種高級官位。開府儀同三司的意思是設置的府邸和進出儀式都跟三司一樣。三司，就是三公三師。太尉、司徒、司空，是為三公。太師、太傅、太保，是為三師。

大概看明白了吧，種種讓人眼花繚亂的頭銜，其實就是彼時的國家制度給對於體制有用的人恩惠，是地位、權利和資源的象徵。前面提到的諸多在亂世中橫死的六朝人物，其實都是在這些頭銜的引誘之下，一步步地走入體制，為體制服務，又一步步地被體制所碾碎的。用物理學家，尤其是中國物理學家能夠聽懂的語言説，這些自古以來的種種讓人眼花繚亂的官名，其實就是今天一樣讓人眼花繚亂的種種“帽子”。追逐帽子的傳統古已有之，已經深入到我們民族的文化基因裏去了。

大家都知道，目前我們科研領域的人才選拔和資源分配製度，實際上就是由一個又一個的帽子構成的。30歲左右的人心裏想着四青五青，40歲左右的人心裏想着傑青長江，如果運氣好一路堅持到50多歲還爬得動，那麼還得開始運作院士和種種國家獎項。如是的體制和文化，使得科研資源的分配和各種獎項與人才計劃緊密相關，能否獲獎和獲得項目直接關係到科研人員及單位的切身利益。這些帽子就是當代的使持節、散騎常侍、開府儀同三司，而這些帽子逼得從業人員和單位為了能夠獲得更多的利益用盡方法去爭奪。所帶來的種種問題有目共睹。

在制度層面，我們的人情社會其實鼓勵了種種違規的現象，其中最簡單的就是“打招呼”。君不見每到評審的節點，評委和申請人以及申請人單位之間的互動，已經成為一種頗為壯觀的社會現象，甚至可以説和美國國會里的遊説團體異曲同工。我就親身經歷過，與合作者在科研題目進行到熱火朝天的關鍵時刻，合作者被單位裏的好心領導指點着去找各路評委打招呼，表面上看好像只是耽誤了幾天認真思考的時間，但是思路被打斷，需要很長的時間才能恢復。如果可以少一些名目繁多的人才計劃和獎勵，少一些量化排名和評估，讓科研環境多一些安寧，也許才能夠孕育更多真正有影響力的原創性成果。

在科研人員自身方面，這麼多的帽子其實極大地混淆了他們在工作本身上的注意力。筆者曾經十分天真地認為這是中國科研製度對於從業人員更高的要求，不光需要工作本身做得好，還得能夠搞定人情社會的種種規則。幾年下來越來越覺得這樣不可能。人的精力有限，科研工作往往又需要長時間專注地思考，但是每年從準備申請各種帽子的本子到開始參與競爭，到打招呼，到名利分配的種種糾葛，有太多太頻繁的干擾打斷思考，這本身是違背科學的內在規律的。更加可悲的是，一路被鞭打着去爭搶帽子的第一線科研人員，不論成功與否，最後都是遍體鱗傷。我就親眼見過有人在本身工作的領域已經走在世界前沿，但就是因為這樣爭奪的壓力而失眠、抑鬱以至於需要藥物維持，庶幾南朝時沈約“戰慄憂懼”的現代版本。有善良的朋友説還得堅持下去，等熬到了能夠改變遊戲規則的時候再去改變它。但是我越來越覺得如果真有那麼一天的話，經過十幾年、幾十年的持續外力，更大的可能是體制改變了個人，而不是反之。還是那句話，如果沒有這麼多帽子，或者起碼在評審的過程中不需要本人或者單位參與，讓本人根本不知道參與評審這樣的事情，那會減少多少不必要的煩惱啊。

總之，目前來看，對於帽子，對於使持節、散騎常侍、開府儀同三司的追逐，即是我們古已有之的文化基因，又是我們不得不面對的慘淡現實。希望這樣現實能夠儘快改觀，希望一個寬容、真正鼓勵深入思考的環境能夠儘早到來。

回到南方

行文至此，基本內容都講完。從科學上和情感上，還有兩件後續的小事需要交代一下。一是上文説到團簇動力學平均場仍然不是嚴格的辦法，因此三角晶格 Hubbard model 中超越 Luttinger 定理的莫特轉變，嚴格説起來我們還沒有看到。那麼到底有沒有超越 Luttinger 定理，即費米子的填充數和費米麪在布里淵區所佔比例不相等的嚴格結果呢？其實是有的，答案很簡單，就是把我們在上一篇文章中（參見《歷史的終結與最後的人 | 量子多體中的吶喊與彷徨之四》）講到的正交金屬相進行摻雜，然後調節摻雜後的正交金屬到費米液體的相變。通過設計晶格模型和進行嚴格的量子蒙特卡洛計算，我們看到如圖2（左上）所示，摻雜的正交金屬終於顯示出了與銅基超導體在贗能隙區域中類似的費米麪形狀，即不閉合的費米弧 (Fermi arc)，並且從圖2（左上）的費米弧到圖2（左下）的費米液體相變過程中，系統的電子填充數沒有發生改變。顯然，費米弧態超越了 Luttinger 定理，感興趣的讀者可以深入文獻[5]。也正是這樣的結果，使我覺得通過晶格模型設計和嚴格的數值計算，輔之以抓出問題物理實質的場論分析，這樣的道路會越走越寬。

圖2:（左上）摻雜正交金屬中實現了費米弧（Fermi arc）態。在 nodal （pi,pi） 方向上有準粒子權重，而在 antinodal (pi,0) 方向上沒有權重，費米麪斷裂，不滿足 Luttinger 定理。（左下）增大了複合費米子的動能，將 Fermi arc 態調節到了費米液體後的費米麪，費米麪完整，滿足 Luttinger 定理。（右）準粒子權重從 antinodal 方向向 nodal 方向，隨着角度變化行為。在費米弧（ Fermi arc） 態中，準粒子只生活在 nodal (pi,pi)方向；而在費米液體中，在閉合的費米麪上都有準粒子。（數據來自文獻 [5]）。

第二是讓我們再回到本文開頭的那個美國南方小城。雖説在文化上我在那裏體會到了孤獨的滋味，但是在實際的科研工作和日常生活上，還是受到了諸多師長和朋友真誠的照顧。儘管離開之後還沒有回去過，但是夜闌人靜時那種慢悠悠平靜而略帶憂鬱的南方風物總是從心裏冒出來，時時想起夏日裏從墨西哥灣上吹來的燥熱的風和冬日的暖陽，想起沼澤地、密西西比河、Jambalaya 和 Cajun food&music。

最近一段時間，那裏好幾位曾經對我有過幫助的師長都去世了，包括去年的 Mark Jarrell (動量空間團簇動力學平均場的發明人) 和今年的 Ward Plummer 老先生，後者中科院物理所的郭建東研究員剛剛寫了一篇至情的懷念文章[6]。Mark, Ward 還有張堅地等等師長構成了我對於那片迷人土地的記憶，受到的教導、扶持和關懷是不能忘懷的。郭建東老師的文字有幾句與本文也有契合之處，他提到：“Ward一直把他有的最好的資源都傾注給了身邊的年輕人，他最引以為自豪的就是他培養學生和學者的成就”，Ward 自己也講到：

My legacy will be the minds I molded; not the papers I wrote or the prizes I won.

——Ward Plummer

誠哉斯言，傷哉斯人。學者的貢獻在於發揚真理，脱心志於俗諦之桎梏，在於鑄造後起的頭腦，不在於自己頭上有多少帽子。這也許就是那片平靜而略帶憂鬱的土地，教給我的深沉的、困難的、但是仍要勉力追求下去的人生課題吧。

參考文獻

[1] Unconventional superconductivity on the triangular lattice Hubbard model Kuang Shing Chen, Zi Yang Meng, Unjong Yu, Shuxiang Yang, Mark Jarrell, and Juana Moreno Phys. Rev. B 88, 041103(R) (2013)

[2] Chiral Spin Liquid Phase of the Triangular Lattice Hubbard Model: A Density Matrix Renormalization Group Study Aaron Szasz, Johannes Motruk, Michael P. Zaletel, and Joel E. Moore Phys. Rev. X 10 (2020)

[3] Two-temperature scales in the triangular-lattice Heisenberg antiferromagnet Lei Chen, Dai-Wei Qu, Han Li, Bin-Bin Chen, Shou-Shu Gong, Jan von Delft, Andreas Weichselbaum, and Wei Li Phys. Rev. B 99, 140404(R) (2019)

[4] Quantum Many-Body Simulations of the 2D Fermi-Hubbard Model in Ultracold Optical Lattices Bin-Bin Chen, Chuang Chen, Ziyu Chen, Jian Cui, Yueyang Zhai, Andreas Weichselbaum, Jan von Delft, Zi Yang Meng, Wei Li arXiv:2008.02179

[5] Doped Orthogonal Metals Become Fermi Arcs Chuang Chen, Tian Yuan, Yang Qi, Zi Yang Meng arXiv:2007.05543

[6] 傳奇還將繼續——懷念一代宗師Ward Plummer,郭建東，https://mp.weixin.qq.com/s/Vwfyh1snSzqE5n-Uuk-4Fg