非費米液體的追尋_風聞

夫人之相與，俯仰一世，或取諸懷抱，悟言一室之內；或因寄所託，放浪形骸之外。雖趣舍萬殊，靜躁不同，當其欣於所遇，暫得於己，快然自足，不知老之將至。

——王羲之《蘭亭集序》

撰文 | 許霄琰、孟子楊

來源：量子材料QuantumMaterials 

01 引 子

人的一輩子，亂亂哄哄、熱熱鬧鬧，其實很快就過去了。浮名與虛譽、誘惑與利益，很多時候更是在加速這個過程。時間積分之後，煩惱總是大於歡欣的。這樣一個悖論，古今中外多少人都看得明白，比如大書法家王羲之，其所言如上所抄錄很是通透。

但看明白之後，又該怎麼求解脱呢？宗教總是一個選擇，更加起勁地追逐名利也是一個辦法。還有的人，其中藝術家、科學家居多，選擇給自己找一個足夠抽象的動機，然後認真地去思考和追尋一個科學上、藝術上的難題。很多時候，就算一輩子也解決不了這道難題，但這樣抽象地追尋的本身就變成了支撐自己、鼓勵同伴的理由。幸運的話，追尋的路上偶爾就能經歷“欣於所遇，暫得於己，快然自足，不知老之將至”的片刻。如此，該是多大的歡樂與滿足！

我們在量子多體晶格模型的蒙特卡洛計算中追尋非費米液體的努力，多少有這樣一些意思。這樣的系列研究，已經有數篇科研論文問世：從 2017 年的巡遊鐵磁量子臨界點[1]，到自學習量子蒙特卡洛方法[2]，再到 2019 年的鴯鶓量子蒙特卡洛方法[3]，及至巡遊反鐵磁量子臨界點[4]，如此等等。這一次，我們關於巡遊鐵磁量子臨界點上非費米液體自能行為的工作，有幸以“Identification of non - Fermi liquid fermionic self - energy from quantum Monte Carlo data”為題在《npj Quantum Materials》刊物上發表[5] (點擊文尾之閲讀原文處)。文章投稿過程順利，在刊物編輯認真負責的態度下，我們得以與審稿人同行進行了深入地交流，頗有所獲。及後，又承蒙主編 Ising 君的誠意邀請，得以寫一篇簡短的中文介紹，講講這個讓我們快然自足的故事。

02 費米液體理論的是非

關於非費米液體的基本知識，很遺憾無法三言兩語可以梳理清晰。非費米液體與朗道費米液體理論的聯繫，還有非費米液體在現代凝聚態物理學量子多體問題中的內涵與外延，筆者在之前的文章中有過通俗的鋪墊性介紹，見文獻[6, 7]，也可以分別點擊《白馬非馬》和《一生能有多少愛》間隔御覽。對細節感興趣的讀者諸君，則儘可以標記起來，即便是牀前廁上都可以無障礙地愉快閲讀^_^。

朗道費米液體理論認為，即便考慮費米子間相互作用，這種簡潔的物理圖像依然成立。也就是説，相互作用不會破壞準粒子的圖像，而只是修正準粒子的波函數、減小準粒子權重而已。的確，費米液體理論成功描述了大多數簡單金屬低温下的行為，例如有限的準粒子權重、電阻和温度平方成正比、比熱和温度成正比，等等。這些成功某種程度上印證了上述説法：費米液體理論很強大！

但是，近幾十年來，也的確發現了許許多多的反例。在重費米子、過渡金屬和非常規超導等研究中，的確出現了很多奇怪的金屬行為。例如，電阻不再和温度平方成正比，而是與温度的 α 次方成正比 (α < 2)。這些奇怪的金屬行為被稱為奇異金屬 (strange metal)，又通常稱為非費米液體行為。雖然説是奇異，但實際上很常見，説明費米液體理論並非四海而皆準的道理。

理論上，非費米液體可能出現在相互作用驅動的金屬-絕緣體相變邊界上，也可能就是低能玻色型漲落與費米子耦合所製造的量子臨界金屬態。前者有行家裏手多年浸染，而後者物理則更為豐富，可以作為量子相變中最富挑戰性的例子和量子物質科學超越朗道-金茲伯格的新範式的起點。正因為如此，我們對這一問題尤為關注。

但是，2009 年，加拿大 McMaster 大學的 Sung - Sik Lee 通過理論計算發現：存在一類“planar diagrams”，儘管仍然給出 2/3 冪律，但 large - N 卻並不收斂[8]。後來，哈佛大學的 Max Metlitski 和 Subir Sachdev 基於三圈圖計算和四圈圖的論證也發現，不僅僅 large - N 不收斂，2/3 冪律也存在對數修正項[9]。所以，對於非費米液體這樣的量子多體問題，解析的微擾論圈圖計算其實也有一些本徵缺陷。

既然微擾計算不收斂，那麼這類非費米液體的自能形式究竟是怎樣，目前並無定論，需要嚴格的晶格模型數值計算來提供答案。但遺憾的是，這方面的研究一直是空白。造成這種現象的原因很多，但從數值計算物理學家本身來看，理論修養的不足是一大原因。

圖1．(上) 費米子與鐵磁量子 Ising 自旋耦合模型 [1]。λ = 1, 2 表示正方晶格的兩層自由費米子，中間一層為量子 Ising 自旋。自旋之間具有鐵磁相互作用，橫向的磁場 h 引入 Ising 自旋的量子漲落。漲落通過耦合傳遞給費米子，引入費米子之間的有效相互作用。(下) 量子蒙特卡洛計算得到的費米子與鐵磁量子 Ising 自旋耦合模型相圖。

03 風華晨露

當然，計算物理學者的理論修養稍有欠缺當屬情理之中，否則純粹理論學者的地位就岌岌可危了。而近幾年來，鑑於凝聚態物理學量子多體問題研究的需要，這種修養不足正在得到部分彌補。現在的多體物理領域，正慢慢湧現出一個趨勢，那就是從事數值計算的學者與從事解析理論的學者通過良性互動、彼此提高，各自變成了懂得量子多體計算的理論學者和懂得量子多體理論前沿的計算學者。這些複合型人才和他們新的研究模式，正在變成主流，並孕育着洶湧澎湃。

隨着數值計算凝聚態學者自身理論修養的提高，近幾年來陸續提出了很多沒有負符號問題的晶格模型。通過量子蒙特卡洛方法，對費米子與玻色場耦合模型進行大規模模擬，從中尋找非費米液體行為，並研究它們的性質。圖 1 所示即為一例，這是我們設計的鐵磁量子臨界點模型和蒙特卡洛計算得到的相圖[1]。然而，令人有些窘迫的是：數值計算得到的費米子自能形式似乎與理論上可能的 2/3 冪律差之甚遠。具體來説，數值上得到的低頻下費米子自能趨於常數、甚至有發散的跡象。這與 2/3 冪律要求趨於零的結果截然不同。

對 Ising 鐵磁漲落與費米子耦合模型，我們計算了量子臨界點處的費米子自能，也發現偏離 2/3 冪律的緩慢發散跡象，如圖 2(b) 所示。這樣的行為在當時並不能夠理解。

圖2. Ising 鐵磁量子臨界點上的非費米液體行為。(a) Ising 鐵磁漲落與費米子耦合模型的相圖。(b) 相變點上的費米子自能。(c) 減去熱貢獻部分自能後，剩餘部分的自能可以很好的被單圈理論計算描述，並且在低頻逼近 2/3 冪律行為。

最近，正是通過與 Andrey Chubukov 等人討論，我們得知：有限温度漲落對低頻自能行為有很大修正。這種修正似乎為解釋數值計算中得到的奇怪自能行為提供了方向。在解析計算方面，以往都是直接在零温下進行計算，所以理論學者沒有想到有人可以設計出我們這樣的晶格模型，然後計算帶有温度效應的自能。也因為如此，理論學者也就沒有認真研究過熱漲落對量子臨界自能的貢獻。如此認識，正是解決問題的關鍵，也是前文提到的從事數值計算的學者與從事解析理論的學者通過良性互動、彼此提高的一個例子。

就是在這樣的共識下，我們與 Andrey Chubukov、他的博士後 Avraham Klein 和密歇根大學的孫鍇 (系列文章 [1-5] 的長期合作伙伴) 一起，決定從解析和數值兩個方面開始一項合作研究。我們提出了一種能夠分開自能中熱漲落貢獻和量子漲落貢獻的方法。這一方法的理論認識主要基於三個觀察：

(1) 費米子和玻色場耦合強度遠小於費米能，即體系處於弱耦合；

(2) 費米子自能遠小於松原頻率，此時費米子自能中熱漲落貢獻可以近似由 α(T )/ωn 來描述；

(3) 費米子自能中量子漲落貢獻具有非費米液體的形式，可由單圈計算近似給出，在扣除熱漲落之後便可看到。

如此的分析告訴人們，事實上在蒙特卡洛計算中，已經可以清楚地從量子臨界區看到非費米液體的自能，關鍵在於如何正確地設計模型和分析數據。這種分開自能中熱漲落貢獻和量子漲落貢獻的方法似乎是普適的。我們最近在一個完全不同的模型研究中，也發現了類似的自能行為，並進一步驗證了該方法的適用性。

04 並非結語

現在看來，對於鐵磁量子臨界點上的非費米液體自能，通過扣除掉有限温度自能的熱漲落貢獻，就可以明確地揭示出非費米液體的自能及其分數化冪律的漸進行為。這一結果還只是一個開始，接下來，對於其它的量子臨界漲落模型模型，如反鐵磁、電荷密度波、規範場漲落等，都可以進行類似設計和量子蒙特卡洛計算。由此，結合理論與數值分析，逐步建立起如費米液體一般的非費米液體理論框架。這一物理圖像，看起來更像一個量子物質科學的新範式。對於費米子量子臨界點、高温超導現象中的 strange metal 等凝聚態物理學中未解之謎，這一範式也許可以給出確定性答案。

行文至此，我們的體會是：這一過去一直不解的根源，其實並非那麼複雜和遙不可及。對於非費米液體這樣的難題，很多情況下，至少對於量子臨界點處，其自能的行為也有章可循。受此激勵，我們將一路追尋下去，並相信下一個快然自足的片刻可能明天就會到來。

參考文獻

[1] Xiao Yan Xu, Kai Sun, Yoni Schattner, Erez Berg, Zi Yang Meng, Non-Fermi - liquid at (2+1)d ferromagnetic quantum critical point, Phys. Rev. X 7, 031058 (2017).

[2] Xiao Yan Xu, Yang Qi, Junwei Liu, Liang Fu, Zi Yang Meng, Self - learning quantum Monte Carlo method in interacting fermion systems, Phys. Rev. B 96, 041119(R) (2017).

[3] Zi Hong Liu, Xiao Yan Xu, Yang Qi, Kai Sun, Zi Yang Meng, EMUS-QMC: Elective momentum ultra - size quantum Monte Carlo method, Phys. Rev. B 99, 085114 (2019).

[4] Zi Hong Liu, Gaopei Pan, Xiao Yan Xu, Kai Sun, Zi Yang Meng, Itinerant quantum critical point with Fermion pockets and hot spots, PNAS 116, 16760 - 16767 (2019).

[5] Xiao Yan Xu, Avraham Klein, Kai Sun, Andrey V. Chubukov, Zi Yang Meng, Identification of non-Fermi liquid fermionic self-energy from quantum Monte Carlo data, npj Quantum Materials 5, 65 (2020).

[6] 白馬非馬，非費米液體—非—費米液體 | 量子多體中的吶喊與彷徨之二，https://mp.weixin.qq.com/s/YbKUoBUd1nZY3vArHXtNag

[7] 一生能有多少愛 | 量子多體中的吶喊與彷徨之三，https://mp.weixin.qq.com/s/snExMJ9SsenJw1JToggezQ

[8] Sung-Sik Lee, Low - energy effective theory of Fermi surface coupled with U(1) gauge field in 2+1 dimensions, Phys. Rev. B 80, 165102 (2009).

[9] Max A. Metlitski and Subir Sachdev, Quantum phase transitions of metals in two spatial dimensions. I. Ising-nematic order, Phys. Rev. B 82, 075127 (2010).

備註

(1) 筆者許霄琰，目前為加州大學聖地亞哥分校博士後。(2) 筆者孟子楊，目前供職於香港大學/中科院物理所。(3) 封面圖片《蘭亭曲水圖》，來源 Wikipedia (https://zh.wikipedia.org/wiki/流觴曲水#)，寓意科學和藝術的創造性活動中快然自足的境界，雖不能至、心嚮往之。

本文經授權轉載自微信公眾號“量子材料QuantumMaterials”。