為什麼自由七藝中的音樂屬於“數學學科”？_風聞

撰文 | 西奧多·C·卡普（Theodore C. Karp）

譯者 | 張卜天

來源：哲學園

音樂構成了早期希臘教育的一個重要組成部分，被認為對品格的形成起了重要作用。雖然音樂表演從公元前4世紀的課程中就已經幾乎消失了，但音樂與精神氣質之間的聯繫從未被忘卻。拉丁百科全書家們在開始討論音樂時，一般會提醒大家注意它有撫慰精神的能力。正如下文所表明的，波埃修對天界音樂的討論似乎正是源於這種對精神氣質的關注，它對中世紀的音樂理論至關重要。

然而，自由技藝傳統中的方法主要是數學的。和其他技藝一樣，音樂被視為一個完整的系統。馬提亞努斯·卡佩拉對音樂的分析非常複雜；但他的討論——百科全書家們基本上都是如此——本質上僅限於和音學（harmonics）與節奏（rhythm）。和音與節奏都可以看作是技藝，兩者都是通過畢達哥拉斯主義的術語來解釋的。

馬提亞努斯·卡佩拉把和音學分為七個部分。第一部分討論了音（soni），這是這門技藝的本原，類似於（正如馬提亞努斯所指出的）幾何學中的點和算術中的單元。第二部分討論了高音與低音之間的音程。就像邏輯學中的命題和算術中的比率，音程表達了這門技藝兩個基本元素之間的關係。波埃修通過參照其他某個事物、而且只相對於那個事物而存在的“多少”（multitude）來定義音樂。因此，兩個音之間的音程似乎是音樂的本質。

馬提亞努斯和音學的第三和第四部分討論了跨越八度和四度的那些音列。第三部分分析了八度體系或調式（modes）。“完美的調式體系”——通過改變半音在構成八度的八個音中的位置來獲得——顯著地説明了希臘人渴望做出完整而系統的分析。在把八度作為基礎音程（也許是早期畢達哥拉斯學派的時代）之前，四音音列——跨度為四度的四個音——曾經充當過基本單位。和音學討論的第四部分確立了四音音列的種類。第五部分（託諾斯[tonoi]）、第六部分（旋律轉調）和第七部分（旋律組成）完成了這一分析。最後這幾個部分考察了八度體系、四音音列和五音音列——跨度為五度的五個音——之間的關係。

馬提亞努斯在討論節奏時也採用了類似的模式。從節奏的本原tempus（時間的基本單元）開始，他相當任意地把對節奏的討論分成了七個部分，從而與他的和音學分析相對應。

——戴維·L·瓦格納

自由技藝是古代和中世紀教育的基石，其典型特徵是通過某種進路來發現實在的世界。雖然認識到感官的有用性和可愉悦性，但古代和中世紀的人認為感官很容易受制於幻覺，無法為通達實在提供可靠的鑰匙。通達實在的可靠路徑是通過心靈的抽象過程來尋求的。這種看法在文藝復興時期逐漸改變了。現代人雖然認識到感官是可錯的，卻在很大程度上依賴於感官和發現過程。感官被視為發現和驗證的關鍵。這種看法改變類似於對構成自由技藝的各門學科性質的看法改變，後者最清晰地反映在音樂領域。中世紀的人所説的“musica”一詞的含義明顯不同於“音樂”一詞的現代含義。我將首先試圖澄清musica在早期的含義，然後試圖表明，由此產生的看法影響了對現代人所説的“音樂”的創造和感知。

作為古代自由技藝的音樂

顯然，音樂最直接訴諸的是感官。希臘人很清楚，某些種類的音樂能夠激發感情或鎮定情緒，這種能力經常被所謂的歷史典故和神話來説明。正是音樂加強或弱化品格的這種倫理力量，才促使柏拉圖在思考其理想城邦中的公民應當受什麼教育時對音樂做了突出而嚴肅的討論。但是當哲學家為了把握音樂的基本原理而試圖探索超越其感官吸引時，他們不得不考慮音樂的可測量的方面，特別是其聲學基礎。在這一點上，他們並不關心音樂創造力或者音樂表演，也主要不是關心音樂對聽者的影響。他們希望研究他們所認為的音樂本質，發現潛藏在聲音設計背後的物理定律。

音樂風格的變化增強了這種趨勢。到了公元前4世紀，令有教養的貴族感興趣的簡樸而程式化的音樂讓位於一種取悦觀眾的藝術。雖然表演者報酬不菲，但他們的社會階層低於語法學家和修辭學家，知識階層越來越退回到對聽不見的抽象之物的沉思。在古代晚期，有教養的人覺得柏拉圖不可能稱讚他們所熟悉的音樂，因此認為，柏拉圖主要關心的是一種與天文學相當的和音科學。“聽不見的音樂比聽見的音樂更好，”古代晚期的一則諺語如是説。

希臘思想傳到中世紀早期

抽象思辨在中世紀早期的音樂寫作中起着重要作用。在《音樂原理》（De institutione musica）中，波埃修説：

任何人看到三角形或正方形，都很容易認出他所看到的東西，但要想認識正方形或三角形的本性，他必須去問數學家。

其他涉及感官的事情也是如此，尤其是耳朵的判斷，它是如此能把握聲音，以至於不僅能夠判斷它們，而且知道它們的差異，當聲音甜美有序時往往感到愉悦，而當無序而不連貫的聲音侵擾感官時則會感到痛苦。

由此可知，在四種數學學科中，其他學科關心的是追求真理，而音樂卻不僅與思辨有關，而且與道德有關。對於人性來説，再沒有什麼東西能比被甜美的聲音所撫慰、被與之相反的聲音所攪擾更典型了……由此或許可以理解柏拉圖的一句並非漫不經心的話的真理性，即宇宙的靈魂被音樂的和諧所統一。正是通過我們自身之內恰當有序的東西，我們才理解了聲音中被恰當有序地組合在一起的東西，並且樂在其中，此時我們便認識到，我們自己正是被這種相似性統一在一起的。[1]

從這段話可以得出三個要點：1）波埃修似乎把實際的音樂當作他最終的出發點；2）他認為純粹的感知要比理論認識低得多；3）他發現音樂中的秩序和理性為整個宇宙中相似的秩序和理性提供了一面鏡子。

音樂調音的數學方面

波埃修的音樂“數學家”特別想理解為什麼某些音聽起來高，而另一些音聽起來低，不同音高的音之間存在着什麼關係。實際上，音與音之間的物理關係通常是通過單絃琴（monochord）來研究的，這種樂器有一個很長的共鳴腔，上面縛有一根琴絃。它還備有一個可移動的琴馬，後者是一個可與琴絃相接觸的薄薄的直立楔子。來回移動時，琴馬會加長或縮短琴絃的振動部分。產生一個音所需的振動弦長被測量出來，然後與產生另一個音所需的振動弦長相比較。由此便產生了各種不同的數學比率。據説這門學科起源於畢達哥拉斯。希臘人很快就發現，2:1的長度比產生了八度，較低的音所需弦長是較高的音所需弦長的兩倍。同樣，五度等價於3:2，四度等價於4:3。這些音程似乎在人類生理學方面有着特殊的意義，因此可以用1，2，3和4這四個數來表示，它們構成了一個聖四結構（tetractys），對於畢達哥拉斯學派有着神秘的意義。

研究音高譜中彼此更近的聲音的關係當然是有必要的。理論家們希望確定不同音階的各個音之間存在的關係。或者，由於這些事情的最終裁決者往往是心智而非聽覺，所以他們試圖確定恰當構造的音階中應當存在的關係。確定這些關係的方法不止一種，每一種方法所產生的結果略有不同。在每一種方法中，算術複雜性都會從前面提到的八度、五度和四度的非常基本的層次迅速增加。

為了説明複雜性的這種增加，我們可以考慮所謂的畢達哥拉斯轉調。在這種轉調中，基本的音是通過仿效一個五度循環（3/2）並把結果歸於一個八度空間而推導出來的。例如，如果我們從c音開始，並且給它指定相對的值1，那麼f音（低五度）的值將是2/3。高八度的f音（c音往上四度）的值將是4/3（2/3×2/1，其中2/1為八度的比率）。g音（c音往上五度）的值將是3/2，而dˊ音（g音往上五度）的值將是3/2×3/2。為了把dˊ音降一個八度，使之接近原來的c音，我們必須把乘積9/4除以2，得到比率9/8。如果把這一循環再進一步，我們會發現a音（d音往上五度，從而是3/2×9/8）的值是27/16。按照這種方式繼續下去，我們將得到這樣一組結果：

如果還想知道這些音與相鄰的音是什麼關係，那就需要另作計算。例如，如果c-d之間的關係表示為9/8，c-e之間的關係表示為81/64，那麼d-e之間的關係可以通過大數乘以小數的倒數而得到，即81/64×8/9 = 9/8，這表明d-e之間的關係與c-d之間的關係相同。事實上，音程c-d，d-e，f-g，g-a和a-b都是全音，在該轉調體系中，所有全音的比率都是9/8。而音程e-f和b-cˊ則是半音，在該轉調體系中的比率為256/243。

要想確定畢達哥拉斯體系中全音與半音的關係，還需要更為複雜的計算。當從全音中“減去”半音時，我們得到的並不是另一個相等的半音，而是比半音稍大。精確説來，9/8×243/256（半音比率的倒數）等於2187/2048。這個較大的音程被稱為“大半音”（semitonium majus或apotome），較小的的音程被稱為“小半音”（semitonium minus，diesis或limma）。最後，如果希望確定這兩個音程大小之間的差異，就必須把2187/2048乘以243/256，於是得到結果531441/524288，這個音程被稱為“畢達哥拉斯音差”（the Pythagorean comma）。如果用原來的五度循環繼續進行，直到配齊12個音，則我們會得到升b這個音，它幾乎與cˊ相等，但與cˊ的區別是一個畢達哥拉斯音差。所有“自然”調音體系的固有困難在於，它們都無法產生一個完全對稱的、比例均衡的體系；每一個體系都有自己的內在缺陷。

作為一門抽象學科的聲學計算

無論這一聲學學科是否源於渴望對音樂技藝進行研究，它很快就使希臘人超出這門技藝，開始對聲音中的比例進行抽象的思考。雖然耳朵辨別音高最小可能差異的靈敏性得到了測試，但對於具有思辨傾向的人來説，這顯然沒有給音高比率是否構成了一種富有藝術性的結構的一部分造成什麼差別。這些人對研究音程比率的着迷反映在那種常見的中世紀定義中——“音樂討論的是與聲音相關聯的數。”因此，波埃修才會把音樂當作四種“數學學科”中的一種。

不同哲學家從這些學科中看到的是不同的關係，並且根據被視為最重要的特徵將它們排成不同順序。[2]與波埃修近乎同時代的卡西奧多魯斯清楚地表達了一種常見的排序：

數學科學考慮抽象的量。所謂抽象的量是指我們以一種純粹思辨的方式，將它從其物質的偶性和偶、奇等其他偶性分開來處理的量。它有以下分支：音樂、算術、幾何學、天文學。算術是關於絕對可數的量的學科。音樂這門學科是聯繫可見於聲音中的那些東西來處理數。幾何學這門學科討論的是不動的大小和形式。天文學是關於天體軌跡的學科。[3]

這就是音樂在四藝中的位置。

很自然地，在這樣一個框架中幾乎沒有對自發的創造力或感官感受的關注。畢竟，像聖奧古斯丁那樣的人宣稱，甚至連唱歌的鳥兒都有音樂創造力。將人（更具體地説是智慧的人和受過良好教育的人）與較低的動物區分開來的是理性的力量。中世紀哲學家發展出了一種音樂美學，清晰地表達了關於音樂美的價值判斷，他們認為，這種美可以直接歸因於比例和數。以《所羅門智慧書》中的一段話為出發點——“你以度量、數和重量來安排萬物”，[4]從聖奧古斯丁到約翰·司各脱·愛留根納（John Scotus Erigena）、沙特爾的蒂埃裏、明谷的貝爾納（Bernard of Clairvaux）和聖·托馬斯·阿奎那的哲學家都斷言，瞭解比例和數對於理解上帝的宇宙和技藝是至關重要的，他們還把這種觀點納入了其神學和宇宙論體系。[5]音樂之所以在這些體系中有一個榮耀的位置，是因為通過類比，它有助於顯示所感知的事物、理性和思辨以及最終的神之間的關聯。

這種思維方式亦可見於波埃修最初的一段話。在那段話中，波埃修對協和音程或比率與其他協和音程之間做了比較，並把他的話追溯到柏拉圖。具體而言，我們可以説，如果2:1的振動比率產生了一個八度，3:2的振動比率產生了一個五度，那麼表現出這些比率的物體在某種意義上就是音樂的。這一概念的回聲即使在今天也能聽到，比如我們説，我們發現某些比例是“調和的”[“和諧的”]。古代和中世紀的哲學家對於作為消遣的音樂和音樂創作並不感興趣，他們感興趣的是，音樂是一個有着神聖秩序的整體宇宙的一部分。人類經驗和生存的各個方面所固有的數和比例可以進行類比，這一事實正是這種基本內在關聯的證明。

正是這種類比擴展決定了波埃修音樂宇宙的構成。它是由三部分所組成：宇宙的音樂（musica mundana）、人的音樂（musica humana）和器樂（musica instrumentalist）。宇宙的音樂包括諸如天體的運動，元素之間的順序和相互關係，以及季節變化之類的東西。許多中世紀哲學家的確認為，行星在自己的軌道上發出特定的聲音，有幾位哲學家甚至致力於推導出由此產生的實際聲音，也就是天球的音樂。人之所以聽不到這些聲音是因為感官的不完美以及人對任何持續存在的屬性缺乏敏感。人的音樂關注的是身體與靈魂結合在一起，就像在由兩個同時發聲的音所組成的音程中；它考慮像人體比例、體液、各種德行和長處的比例，等等。器樂原指樂器的音樂，也許是為了特指那些用於測量音程比率的樂器，特別是單絃琴。然而，任何關於音樂的中世紀劃分都不能忽視教會聖詠的重要性，因此，器樂概念很快就擴大到包含所有有聲音樂在內，既有聲樂也有器樂。

雖然波埃修對音樂構成的看法一再得到後來作者的呼應，但它絕非對中世紀音樂的唯一分類。[6]例如，普呂姆的雷吉諾（Regino of Prüm，活躍於9世紀末10世紀初）建議把音樂分成兩類：自然的和人工的。由於他的著作已知的最早版本非常簡要，所以每一類的具體細節比較模糊。一則最近的詳述做出了澄清：

自然的音樂是指既非由樂器，亦非通過手指觸摸，也不是通過人的任何接觸或鼓動而產生的音樂：實現其轉調的僅僅是教導甜美調式的神聖靈感支配下的自然，比如存在於天空的運動或人的嗓音中的音樂。[7] 在哲學家看來，聽不見的“聲音”要比那些能夠聽到的聲音更為甜美。在偽狄奧尼索斯（pseudo-Dionysius）的神秘主義著作中，物質世界反映了神的和諧與美，他的哲學進入了建造哥特式教堂所基於的觀念。有一個存在之鏈包含了天界的等級結構和教會的等級結構，音樂家所起的重要作用是，接收在天上唱的聖詩，並將它們傳遞給終有一死的人類，使之可以聽到。

當然，還有更為實用的音樂觀，比如巴黎理論家格羅肖的約翰（Johannes de Grocheo，活躍於1300年左右）所提出的觀點。他宣稱，與包括波埃修和13世紀中葉的理論家加蘭的約翰（Johannes de Garlandia）在內的早期作者的信念相反，天體在沿軌道運行時並不發出聲音。他略帶輕蔑地問，是否有人聽到過人體結構發出聲音。格羅肖認為，音樂可以分成三類：教會的音樂（格里高利聖詠）、可測量的音樂（復調音樂）和俗樂（民間音樂）。[8]但哲學觀點對更具實用傾向的理論家們產生了很大影響，以至於格羅肖的看法甚至在處理這一主題的後期作者中似乎也代表了少數人的觀點。

關於音樂宇宙的流行的哲學觀點自然會引出一些與音樂家概念有關的推論。在稍後的一段話中，波埃修宣稱：

有三類音樂家與音樂技藝有關。一類涉及樂器，另一類創作歌曲，第三類判斷器樂作品和歌曲。但專門研究樂器並把所有精力都消耗於其中的那類音樂家，比如西塔拉琴的彈奏者以及在風琴等樂器上展示技巧的人，與音樂科學的理智是分離的，因為正如所説的，他們都是僕人，而且也沒有任何理性的東西，完全缺乏思辨。第二類與音樂打交道的人是詩人，他們創作歌曲與其説是通過思辨和理性，不如説是通過某種自然本能。因此，這類音樂家與音樂也是分離的。第三類是有判斷技能的人，他們對節奏、旋律和整個歌曲做出權衡。看到整體基於理性和思辨，這類人被正確地認為是音樂的，他們認為音樂家要能根據適合於音樂的理性或思辨來判斷調式和節奏，判斷旋律的類別及其混合。[9]

於是，根據哲學家的説法，能夠演奏、歌唱或作曲並不足以成為音樂家！哲學家們促進了感官與心智之間的劃分，並把優先性給了心智。正是這種優先性使波埃修的宇宙的音樂和人的音樂概念成為可能。

顯然，迄今為止我們所描述的觀念和價值觀都屬於一個有限的羣體。需要指出的是，討論音樂的許多更著名的中世紀思辨作者主要並不是我們所謂的音樂家，而是更關心治國才能、神學或哲學的人。這種狀況絕非專屬於當時，而是與更近的時代有各種相似之處。例如，19世紀的一些重要的作家和哲學家，其中包括尼采，對於音樂都有鮮明的看法；雖然這些人並不必然精於音樂之道，但他們的觀點有助於影響當時的一般潮流。雖然自由技藝內部對於音樂的看法並未始終決定中世紀的音樂創造力，但更有學識的作曲家很難完全避免這些思維方式的影響。一般來説，各個學科並不像現代與之對應的學科那樣往往是孤立的。本書中聯繫其他自由技藝而提到的許多人物——馬提亞努斯·卡佩拉、波埃修、卡西奧多魯斯、聖奧古斯丁、塞維利亞的伊西多爾、阿爾昆、拉巴努斯·毛魯斯、歐塞爾的雷米吉烏斯、諾特克·拉貝奧（Notker Labeo）、赫爾曼（Hermannus Contractus）、加蘭的約翰、[10]里爾的阿蘭和穆里斯的約翰（Johannes de Muris）——都為音樂和他們的時代對於音樂的態度提供了重要信息。（赫爾曼還創作了兩首可愛的聖母頌歌，即《慈悲聖母》[Alma Redemptoris Mater]和《聖母經》[Salve Regina]，它們對於後來的音樂都有十分重要的意義。）

當然，更具實用性的理論家在對待音樂方面顯示出了不同範圍的關切。阿雷佐的圭多（Guido d’Arezzo，約990－1050）是其中最著名的之一，他在《關於不知名的歌曲的書信》（Epistola de ignotu cantu）中指出，他在某些方面已經遠離了波埃修，因為波埃修的論著“對於哲學家有用，對於歌手沒用”。[11]此外，很難完全理解中世紀早期存在於音樂與音樂理論之間的動力，因為第一部可觀的音樂集直到公元9世紀末、10世紀初才出現。甚至到那時，我們都沒有獲得一種均衡的音樂觀，因為只有那些能夠（無論直接或間接）接受教會教育的人才能掌握寫作技巧和音樂記譜法。中世紀早期的修士們對於保存或討論他們那個時代的世俗音樂不感興趣，這是完全可以理解的。事實上，第一部致力於世俗音樂的重要手稿直到13世紀中葉才出現，據目前所知，只有格羅肖的約翰對這種音樂做過理論討論。那種認為世俗音樂文化在1100年以前相對豐富的觀點主要基於文學作品中模糊的提及，因此在不同學者那裏有很大變化。

參考文獻

[1] Translation from Oliver Strunk, Source Readings in Music History (New York: W. W. Norton, 1950), p. 80.

[2] 關於對自由技藝的各種不同安排，參見Edward A. Lippman, “The Place of Music in the System of Liberal Arts,” Aspects of Medieval and Renaissance Music, ed. by Jan LaRue (New York: W. W. Norton, 1966), pp. 545-59。

[3] Translation from Strunk, Source Readings, p. 88.

[4] Liber Sapientiae, 11:21.

[5] Otto von Simson, The Gothic Cathedral (New York: Harper and Row, 1956), pp. 21-58的“Measure and Light”一章從音樂和建築這兩個角度對該主題做了出色介紹。

[6] 參見Gerhard Pietzsch, Die Klassifikation der Musik von Boethius bis Ugolino von Oruieto (1929; repr. Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1968)。

[7] Translation from Calvin M. Bower, “Natural and Artificial Music: the Origins and Development of an Aesthetic Concept,” Musica Disciplina, 25 (1971), p. 21.

[8] Ernst Rohloff, ed., Der Musiktraktat des Johannes de Grocheo (Leipzig: Gebrüder Reinecke, 1943), pp. 46-47; English translation by Albert Seay, Johannes de Grocheo: Concerning Music, 2nd ed. (Colorado Springs: Colorado College Music Press, 1974), pp. 10-12.

[9] Translation from Strunk, Source Readings, p. 86.

[10] 語法學家加蘭的約翰與音樂理論家加蘭的約翰是同一個人，這種觀點受到了一些學者的挑戰。

[11] Translation from Strunk, Source Readings, p. 125.

本文經授權轉載自微信公眾號“哲學園”。選自《中世紀的自由七藝》。