這些數學題做不出？不是你的錯！_風聞

許多問題本就無解，但數學家們仍在苦苦鑽研。

與其將這些經典問題當成引人墜入深淵的妖魔，

不如將其看作激發創造思維的繆斯女神。

不可能的問題

我們總説：“世上無難事”。在諾頓·賈斯特的小説《神奇的收費亭》中，國王因為“許多事情，只要你相信，它就能實現”而拒絕告訴米洛他的探索是不可能的事情。然而，現實中有些事確實辦不到，這一點是可以用數學證明的。

“不可能”的含義有很多：它可以描述“幾乎不可能發生的事情”，比如兩幅撲克被洗過牌後，順序仍完全一致；也可以描述“由於時間、空間或資源不足而幾乎不可能實現的任務”，比如把國家圖書館中的藏書全部謄寫一遍；還可以指“自然法則不允許存在的東西”，比如永動機，它的存在違背了物理原理。

**但數學上的“不可能”與這些都不同。**我們用明確的假設、數學的推理和嚴密的邏輯證明某些結果是不可能的。再多的運氣、毅力、時間或技能都無法改變這一事實。數學史中，關於不可能的證明數不勝數，許多還是最負盛名的數學成果。然而，情況並非總是如此。

不“萬能”的尺規作圖

畢達哥拉斯的追隨者希帕索斯可能是第一個證明“不可能”的人，他因此遭受了嚴厲的懲罰。歷史學家認為，公元前五世紀時希帕索斯發現，要想用同一條線段首尾相接地測量正五邊形邊長和對角線長度是辦不到的。邊長為1的正五邊形，對角線長度是φ=(1+√5)/2，今天我們將這種數稱之為“無理數”。希帕索斯的發現違背了畢達哥拉斯學派“一切都是數字”的信仰，因此，傳説他要麼在海上淹死了，要麼被驅逐出了畢達哥拉斯學派。

一個多世紀後，歐幾里得賦予了直線和圓“幾何學基本曲線”的地位。於是，一代又一代的幾何學家在解決諸如平分角、畫垂直平分線等等問題時，開始只使用圓規和直尺。某些看似簡單的問題，令希臘幾何學家一籌莫展，諸如將任意角三等分、將正方體體積變為原來的兩倍、構造任意正多邊形、構造一個與圓相同面積的正方形。這些問題最終到達了神話般的高度，困擾了數學家兩千多年。

圖1 古老的問題僅用尺規作圖，能夠畫出下列結構嗎？

左上：將任意大小的角三等分；右上：構造正方體的一條邊，使新正方體的體積等於給定正方體的兩倍；左下：構造正n邊形，n是大於2的任意整數；右下：畫出一個與給定圓面積相同的正方形

雖然這些本質上是幾何問題，但證明它們不可解卻需要新的數學理論。

17世紀，笛卡爾有了一個根本性的發現：給定一條長度為1的線段後，尺規作圖只能構造出能用整數和加、減、乘、除、平方根表示出來的長度，比如黃金分割數(1+√5)/2。

因此，只要證明某一長度寫不成上面的形式，也就證明了它沒法用尺規作圖畫出來。這要用到彼時方興未艾的領域——代數。

兩個世紀後的1837年，笛卡爾的同胞皮埃爾·萬策爾運用“多項式和多項式的根”的思路攻克了這一經典問題。萬策爾證明了能用尺規畫出的長度，必須是2n階多項式的根，也就是説，多項式中最高次項的次數必須是2的冪。例如，黃金比例是多項式x²−x−1的根，所以可以通過尺規作圖畫出；在立方倍增問題裏，將稜長為1的正方體體積增加一倍後得到的立方體稜長是3√2，它是多項式X3-2的根，僅僅利用尺規作圖是畫不出的。

利用類似的方法，他還證明了無法通過尺規作圖將任意角三等分，或者構造出任意正多邊形（比如正七邊形）。值得注意的是，這三個關於不可能的證明都出現在同一頁上。就像艾薩克·牛頓和阿爾伯特·愛因斯坦的“奇蹟年”一樣，我們也可以將其稱之為“奇蹟一頁”。

現在還剩一個“將圓變方”的問題沒有解決。這還需要一點新東西。1882年，林德曼得到了關鍵的結果。通過證明π是超越數——因而π不是任何多項式的根——林德曼證明了π是無法利用尺規作圖構造出來的。所以“將圓變方”的尺規作圖也是不可能實現的。

七橋問題

讓我們看看一個稍晚一些的“不可能”問題，它來自於簡單的過橋問題。在匹茨堡就有很多橋樑，這時有一個愛冒險的自行車手想出一個點子，他想知道自己能不能從家裏出發，然後在橫跨匹茨堡主要河流的22座橋樑上各自只通過一次，最後重新回到家呢？

時間來到1735年，普魯士的一位市長就向歐拉提出過同樣的問題：**哥尼斯堡有七座橋，連接三個河岸和一個島嶼，能不能不重複地走完全部的橋？**起初，歐拉回絕道：“這問題跟數學無甚聯繫，你為什麼指望數學家能給你解答呢？”

然而，歐拉很快就證明了這是不可能的，同時開闢了一個領域，稱之為“位置的幾何學”。現在我們叫它拓撲學。他認識到，確切的細節（比如橋的精確位置、陸地的形狀等等）並不重要，重要的是它們如何連接。後來的數學家用圖論精簡了歐拉的論證。這種“連通性”的概念是研究社交網絡、互聯網、流行病學、語言學、路線規劃等問題的核心。

圖2哥尼斯堡七橋問題歐拉擯除了不重要的細節，只留下最基本的元素，證明了無法不重複也不遺漏地走完這座城市的七座橋。後來這種方法表示成了更抽象的“圖”。

歐拉的證明出人意料的簡單。他推理説，每次我們進入和離開一片陸地都必須經過兩座橋，因此每塊陸地上橋的個數必須是偶數。哥尼斯堡的每塊大陸都有奇數座橋，所以這種路線是不存在的。類似的，我們的自行車手如果想在匹茨堡的阿勒格尼河上的3座橋上完成自行車環行，這在數學上也是不可能的。

不僅僅是數學

關於“不可能”的證明不但影響了抽象數學，也影響了現實生活，甚至政治領域。

最近，數學家們把注意力轉向了“格里蠑螈”（gerrymandering）。“格里蠑螈”指的是美國的一種政治現象：每次人口普查後，各州必須重新劃定自己的國會選區，執政黨為了最大限度地擴大自己的席位，實現政治權力最大化，有時會將一個州的領土劃分成十分怪異的形狀，比如像一隻張牙舞爪的火蜥蜴。

（圖源網絡）1812年，馬薩諸塞州議員為了政黨利益，在埃塞克斯縣邊緣，劃出了一個形狀奇怪的區域，格里蠑螈一詞由此而來。

許多州要求選區必須是“緊湊的”，這個術語起初並沒有固定的數學定義。1991年，丹尼爾·波爾斯比和羅伯特·波普爾提出，可以用4πA/P2將“緊湊”的程度量化，其中A是面積，P為周長。圓形的區域得分為1，扭曲畸形的區域得分為0。

2014年，尼古拉斯·斯特凡諾普洛斯和埃裏克·麥基提出了另一個衡量重新劃分選區的政治公平性的指標：“效率缺口”。一個政黨為了讓對手黨浪費的選票最大化，會有兩個劃分選區的策略：要麼讓對手黨的選票剛好低於50%，要麼使之儘量接近100%。任何一種策略都會迫使其他黨派把選票浪費在失去候選人或贏得不需要選票的候選人身上。。效率缺口描述了浪費選票的相對值。

以上兩種都是檢測格里蠑螈的有效手段。但在2018年，鮑里斯·阿列克謝耶夫和達斯汀·密克遜證明一個結論：“有時，只有形狀怪異的地區才有可能出現小的效率缺口。”也就是説，從數學上講，選區的形狀並不總是能同時滿足以上兩種檢測公平性的條件。

然而，格里蠑螈問題已經成為了一個活躍的學術領域，吸引着許多有才華的研究人員。就像尺規作圖和七橋問題一樣，這一問題一定也會激發創造力，推動數學的發展。

作者：David S.Richeson

翻譯：xux

審校：Dannis

原文鏈接：

https://medium.com/cantors-paradise/richard-feynman-on-artificial-general-intelligence-2c1b9d8aae31