42：宇宙的終極答案？_風聞

42究竟是宇宙的終極秘密，還是小説家隨手寫下的數字，又或者只是科學家練手的玩具？或許真實的情況是，42其實只是一個難解的數字，但並不是什麼終極答案。

撰文丨Jean-Paul Delahaye

翻譯丨張和持

編輯丨楊心舟

來源：環球科學

人們總是津津樂道於各種未解之謎。從1937年阿米莉亞·埃爾哈特（Amelia Earhart）在太平洋上空離奇失蹤，到1962年三名囚犯，弗蘭克·莫里斯（Frank Morris），約翰·安吉林（John Anglin）和克拉倫斯·安吉林（Clarence Anglin）傳奇般地從美國加州的惡魔島越獄，各種具有神秘色彩的故事充實了大眾枯燥的生活。

當然，這些故事也不僅只來自真實歷史。1979年，道格拉斯·亞當斯（Douglas Adams）發表了他五部系列科幻小説的第一本——《銀河系漫遊指南》。在這本小説的最後，名為“深思”的超級計算機揭示了關於“生命，宇宙以及萬事萬物”的“終極問題”的答案：“42”。

“深思”運行了整整750萬年才計算出這個結果。但小説中製造出這台超級計算機的外星人令人大失所望，畢竟單純一個數字並沒有多大用處。不過，“深思”也告訴外星人，它們提出的問題太過籠統。要找到問題的準確表述，超級計算機需要耗費漫長的時間，對自己進行版本更新。而計算機的新版本便是地球。感興趣的讀者可以讀一讀亞當斯的書。

而數字“42”隨後便成為了極客文化（反主流文化）的根基，引申出了不少典故和玩笑。比如你在搜索引擎裏面輸入“一切的答案是什麼？”跳出來的回答多半是“42”。用其他語言（比如法語或德語）或是不同的搜索引擎，都能得到相同的結果。

從2013年開始，世界各地陸續建起了一系列名為“42網絡”的計算機培訓學校，這個名字顯然引申自亞當斯的小説。時至今日，創辦“42網絡”的公司已經擁有超過15個教學基地。而在電影《蜘蛛俠：平行宇宙》中，同樣出現了各種花樣的“42”。如果你點進維基百科“42”詞條，會發現更多有趣的典故。

實際上，關於42還有很多有趣的巧合，不過這些巧合為什麼存在，可能就不得而知了。比如在古埃及神話中，當人死後成為靈魂時需要接受審判，死者需要向42名審判官表明自己沒有犯下過42樁罪行中的任何一項。

而在另外的傳説中，希臘人戰勝波斯帝國之後，派使者菲迪皮德斯從馬拉松回到雅典，走過的路程約為42.195公里，現代的馬拉松比賽距離也是取自此處（而當時並沒有“公里”這個單位）。

吐蕃有42代贊普，其中初代聶赤贊普於約公元前127年即位。末代贊普，也就是第42代贊普朗達瑪在位時間從公元838年開始，結束於公元842年。而歐洲最早用活字印刷術出版的古騰堡聖經，每頁有42行，所以又稱為“四十二行聖經”。

今年3月6日，《經濟學人》博客發表文章，紀念1978年《銀河系漫遊指南》系列最早問世的廣播劇已達42週年（在此之後才發表了小説）。文章寫道：“很少有人會紀念42週年”。

作者只是隨手一寫

很多人都想問，亞當斯的42究竟有什麼意義？他在線上討論羣裏簡潔地回答了這個問題：“這是個玩笑。首先，我得找一個簡單又短小的數字，然後我就決定是它了。二進制，十三進制，吐蕃贊普之類的推測全都是空穴來風。我當時就坐在寫字枱邊，盯着花園，想了想，‘42就行了’。然後我就把它打了出來。就這麼簡單。”

在二進制中，42寫作101010，看起來簡約又巧妙。很多粉絲因此舉辦了一場聚會，時間就在2010年10月10日（10/10/10）。但十三進制下的解釋就不那麼明顯了。你必須回答“六乘以九得多少？”才能得到線索，在十三進制下，(4 x 13) + 2 = 54。

除了這些計算機科學家無聊的牽強附會，以及在歷史長河中找出來的某些巧合，到底42這個數字在數學上有什麼特別之處呢？

數學上的獨一無二？

42有不少有趣的數學性質。我們這裏舉出幾個：2的前三個奇數指數的和：2^1 + 2^3 + 2^5 = 42。如果把這樣的n個奇數次方的和作為一個數列a(n)（也就是説4^2= 2(3)），我們就得到了數列A105281。（OEIS這個網站是由數學家尼爾·斯隆創建的，專門蒐集你想得到想不到的各種數列，你可以在上面用前幾項檢索）。在二進制下，這個數列的每一項其實就是把“10”寫n遍(1010 … 10)。數列的通項公式是 a(n) = (2/3)(4^n – 1)。隨着n增大，數字的密度會趨向於0。也就是説，這個數列裏的數，包括42，其實相當地稀有

42還是6的前兩個正次方的和：6^1 + 6^2 = 42。這裏相對應的數列b(n)，對應OEIS的A105281，通項公式為b(0) = 0, b(n) = 6b(n – 1) + 6。數的密度在無窮遠處也趨向於0。

42是一個卡塔蘭數。這種數也十分稀有，一百萬以下的卡塔蘭數只有14個，比質數少得多。歐拉當時是為了解答“凸n邊形可以分解為多少個三角形”這個問題，才引入了這一概念。數列開頭幾項為1, 1, 2, 5, 14, 42, 132...可以在OEIS的A000108中找到。通項公式為c(n) = (2n)! / (n!(n + 1)! )。跟前兩個數列一樣，數的密度也無限趨近於0.

42也是一個相當“實用”的數字，因為1和42之間的任何整數，比如20，都可以像這樣分解為：20=14+6，其中14和6都可以整除42（即42的因子），其他1到42的數也一樣，它們都能表示為42的不同因子的和。這樣的“實用”數字前幾項為：1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72(A005153)。目前我們還不清楚這個數列的通項公式。

甚是有趣，可惜這並不能説明42在數學上有任何獨特的意義。它的鄰居41和43也具有許多奇妙的性質。你只需要在維基百科中搜索任何一個數字，就能找到關於它的各種不同性質。

那麼我們怎麼才能判斷某個數有趣與否呢？我和兩名合作伙伴：數學家與心理學家尼古拉斯·高維特（Nicolas Gauvrit），計算學家赫克託·澤尼爾（Hector Zenil），曾經研究過這個問題。我們也試圖往柯氏複雜性這方面走，但最終結果表明，OEIS中收錄的數列其實主要還是來自人們的喜好。

三個數的立方和

計算機科學家和數學家們偶爾也會對42感興趣，不過對他們來説，這只是閒暇時的小遊戲，即使換個數字也能玩。不過，前不久的一則新聞吸引了他們的注意。這便是“三立方和”問題，在這個問題中，42比其他100以下的數都更具有挑戰性。

這個問題是這樣的：如何判斷一個數n能否分解為n = a^3 + b^3 + c^3的形式？又該如何找到這樣的a,b,c？由於abc有可能是負數，所以它們的組合是無窮無盡的，不像平方和。平方和分解出來的數絕對值必然小於原數，因而組合是有限的；並且給定一個數，我們可以肯定地判斷它能否分解為平方和。

而對於立方和來説，其分解可能會大的離譜，比如156，這個數字的分解是在2007年發現的：156 = 26577110807569^3 + (−18161093358005)^3 + (−23,381515025762)^3

在分解之前，首先要注意到一個問題，那就是，形如9m+4和9m+5的數是無法分解的（像4，5，13，14，22，23）。

為了説明找到解有多難，我們先舉兩個例子，n=1和n=2。

n=1的時候很簡單：1^3 + 1^3 + (–1)^3 = 1

那還有別的分解嗎？答案是肯定的：9^3 + (–6)^3 + (–8)^3 = 729 + (–216) + (–512) = 1

解還不只這些。1936年，德國數學家庫爾特·馬勒（Kurt Mahler）發現，對於任何p，下面這個式子都成立：(9p^4)^3 + (3p – 9p^4)^3 + (1 – 9p^3)^3 = 1

證明相當簡單，只需要用到中學學過的二項式展開：(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

對於n=2，也存在無窮多個解。下面的式子是1908年由A. S.韋雷布魯索夫（A. S. Werebrusov）發現的：(6p^3 + 1)^3 + (1 – 6p^3)^3 + (–6^p2)^3 = 2

只要在上式兩邊乘上一個完全立方數(r3)，我們就能得到：對於任何完全立方數和完全立方數的兩倍，都有無窮個解。

比如説16，它是2的 23^倍，那麼取p=1的話，就有14^3 + (–10)^3 + (–12)^3 = 16

n=3時，我們已知的解只有兩個（截至2019年8月）1^3 + 1^3 + 1^3 = 3; 4^3 + 4^3 + (–5)^3 = 3

那麼自然我們就要問：除了上面已經證明無法分解的數以外，其他數是不是都能分解？

計算機的勞動

為了回答這個問題，數學家開始挨着驗證除了9m+4和9m+5以外的數字1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16 … (A060464)。要是前面這些數字能找到解的話，那這樣的分解就很有可能是普遍存在的。

目前為止，兢兢業業的計算機以及計算機網絡為這項問題的研究提供了不少結果。而最終我們又回到了42。

2009年，兩名德國數學家，安德烈亞斯·斯蒂芬·埃爾森漢斯（Andreas-Stephan Elsenhans ）和約格·賈內爾（Jörg Jahnel）使用了一種由哈佛大學的諾姆·埃爾基斯（Noam Elkies）於2000年提出的方法，對1000以內的n，尋找所有1014以內的“三立方和”問題中的a,b,c。大多數n都得到了解答，除了33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975。而100以內的，就只有33,42和74。

2016年，桑德·惠斯曼（Sander Huisman）（如今就職於荷蘭特温特大學），找到了74的解：(–284650292555885)^3 + (66229832190556)^3 + (28,350105697727)^3

2019年，英國布里斯托大學的安德魯·布克（Andrew Bookder）找到了33的解8866128975287528^3 + (–8778405442862239)^3 + (–2736111468807040)^3

至此，道格拉斯·亞當斯的42已經是100以內僅剩的未解數字。要是解不存在，42可真就是與眾不同了。不過，計算機還沒有放棄，它們繼續尋找着答案。

答案在2020年終於揭曉，前文提到的布克，以及MIT的安德魯·薩瑟蘭（Andrew Sutherland）是主要功臣。通過慈善引擎平台，使用了可對等於超過一百萬小時的計算時間，終於得到了結果：42 = (–80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

165，795和906也在近日宣告解決。現在1000以下只剩114, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975了。

現在看來，除了9m + 4 和9m + 5 以外的所有數字很有可能都存在分解。1992年，牛津大學的羅傑·希思-布朗（Roger Heath-Brown）還提出了一條更強的猜想：他猜測這種分解對於每個數而言都是無窮的。不過，目前為止，我們離證明這些猜想還有很長距離。

這個問題實在是太難了。一般説來，沒有任何算法可以遍歷全部可能。比如説，早在1936年，艾倫·圖靈（Alan Turing）就證明了，沒有任何算法能解決全部電腦程序的停機問題。不過現在問題的領域，已經到了易於描述的的純數學。假如我們能證明這個問題的不確定性，那也將是向前邁進的一大步。

42這個數字很難解，但根本就不是最後一步！

本文經授權轉載自微信公眾號“環球科學”。