這道小學生都能看懂的題目，竟然沒人會做！_風聞

　　這是一個非常詭異的數學猜想，因為它的表述異常簡單並且非常容易理解，而且問題的形式看起來那麼富有吸引力。

　　但是即使是最頂尖的數學家，也沒能給出一個證明！！

　　不要試圖自己解決這個問題！

　　雖然我已經發出了警告，但你一定還是會被這個問題所蠱惑，因為它的表述是那麼簡單，那麼容易理解，而且問題的形式看起來那麼富有吸引力。

　　任意選擇一個整數，如果它是偶數，就將它除以二；如果它是奇數，就把它乘以三再加一。對於新產生的數，我們對它進行上一步的操作，依次類推。

　　如果你這樣一直做下去，你一定會陷入一個循環中。至少我們猜想會是這樣。

　　接下來以10為例來説明這個問題：

　　10是偶數，所以我們將它除以2然後得到5；又因為5是奇數，所以用3乘以5再加1得到16；16是偶數，16除以2得8，接下來可以得到4，然後是2，再接下來是1。因為1是奇數，3乘以1加1是4，最後進入了4-2-1-4-2-1.…..的循環中。

　　如果以11為例，我們可以得到以下過程：11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1-4-2-1.…最終我們還是掉入了相同的循環中。

　　這個“臭名昭著”的考拉茲猜想講的是，如果從一個正整數開始，你最終一定會陷入循環中。也許你會不顧我的警告而嘗試去解決它：因為它看起來很簡單也很容易理解。事實上，多數數學家都曾在這個問題上花過功夫。

　　我第一次在學校學習到這個猜想時就被它吸引了。我和我的朋友花了很長時間來思考這個問題，但是這並沒有讓我們得到答案。

　　考拉茲猜想之所以臭名昭著的原因是：即使你可以證明你見過的所有數字都滿足這個猜想，那你也不能證明它一定是對的。所以，它至今只是個猜想。

　　看似簡單 · 實則極難

　　為了理解考拉茲猜想，我們從下面這個函數開始：

　　你也許還記得學校裏教的“分段函數”：上面的函數里包含一個作為自變量的正整數n，並且有兩種對它進行操作的規則，我們需要根據n的奇偶性來選擇兩個規則中的一個。

　　函數f代表我們對n進行操作的規則，例如：f(10)=10/2=5，f(5)=3*5+1=16。根據函數f對輸入的奇數的操作，考拉茲猜想也被成為3n+1猜想。

　　考拉茲猜想處理的是函數f的“軌跡”問題。軌跡指的是如果你從一個正整數開始計算函數值，並將上算出的值重新代入到函數中得到新的函數值。我們稱這種操作為函數的“迭代”。我們已經計算過了輸入為10時函數f的軌跡：

　　f (10) = 10/2 = 5

　　f (5) = 3 × 5 + 1 = 16

　　f (16) = 16/2 = 8

　　f (8) = 8/2 = 4

　　更方便的表達函數軌跡的方法如下：

　　10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 → …

　　在軌跡的尾部我們可以看到1 → 4 → 2 → 1 的循環。

　　類似地，對於11有：

　　11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → ….

　　我們同樣陷入了相同的循環中。在嘗試其他的例子後，我們會發現軌道最終總是會陷入到循環4 → 2 → 1 → … 中去。

　　考拉茲猜想聲稱，任意正整數的軌跡最終都會經過1。儘管沒有人能證明這個猜想，但是已經有人證明了，任何小於2^68的正整數都符合考拉茲猜想。所以，如果你想找一個反例的話，你要到大於300000000000000000000的整數里去找。

　　很容易證明某個數是否符合考拉茲猜想：只要計算相應的軌跡直到得到數字1。但是如果想要知道這個猜想為什麼這麼難證明，讓我們先研究一個稍微簡單一點的函數，g(n)。

　　函數g和f類似，但是對於奇數，函數g只是讓數字加1。由於函數f和g不同，數字在函數g中的軌跡和在f中的不同。例如，g中10和11的軌跡分別是：

　　10 → 5 → 6 → 3 → 4 → 2 → 1 → 2 → 1 → 2 → …

　　11 → 12 → 6 → 3 → 4 → 2 → 1 → 2 → 1→ 2 → …

　　可以看到，g中11的軌跡更快到達1。同樣的，27的軌跡在g中也更快的到達1.

　　27 → 28 → 14 → 7 → 8 → 4 → 2 → 1 → 2 → …

　　在這些例子中，g中的軌跡也會陷入循環中，但是它比f中的循環更加簡單：

　　→ 2 → 1 → 2 → 1 → ….

　　我們可以猜想，g中的軌跡最終也會到達1。我可以把它稱作“諾拉茲”猜想，但是我還是想叫它n+1猜想。我們會通過檢驗更多的數的軌跡來研究它，即便是證明了很多數都滿足這個猜想，我們也不能認定所有的數都滿足這個猜想。幸運的是，諾拉茲猜想可以被證明，方法如下：

　　首先，我們知道一個正整數的一半總是小於這個數字自身。因此如果n是正偶數， g(n) = n/2 當n>1，總有n/2 + 1/2

　　這些性質告訴我們，當g中的軌道到達了一個大於1的奇數，我們總是可以在兩步之後獲得一個更小的數。

　　現在我們可以給出證明諾拉茲猜想的思路了：在軌跡中的某一個點，無論它是偶數還是奇數，那麼之後的點總是會逐漸變小，最終，軌跡會到達1。然後它就陷入了循環中，就像我們猜想的那樣。

　　問題在哪？

　　可以用類似的方法證明考拉茲猜想嗎？讓我們回到最初的函數形式。

　　就像函數g那樣，函數f會讓一個偶數變小，也會讓一個奇數變成偶數，接下來再讓新的得到的偶數減半。而一個奇數的軌道如下：

　　… → n → 3n + 1 → (3n+1)/2 → …

　　而這裏正是我們的策略會失敗的地方。和前面的例子不同的是，(3n+1)/2 >n。證明諾拉茲猜想的關鍵是奇數在被函數g作用兩次之後會變小，但是這在考拉茲猜想中是不適用的。所以我們的策略失敗了。

　　那考拉茲猜想是不是錯的呢？畢竟軌道上的數似乎一直在變大，那它怎麼可能慢慢變成1呢？這就要考察接下來會發生什麼了，接下來發生的事情會解釋考拉茲猜想為什麼這麼難證明：因為我們不能確定(3n+1)/2 是奇數還是偶數。

　　我們知道3n+1是偶數。如果3n+1可以被4整除，那麼(3n+1)/2是偶數，軌跡上的數會變小。如果3n+1不能被4整除，那麼(3n+1)/2是奇數，接下來軌跡上的數會變大。我們不能預測接下來的情況是什麼，所以證明諾拉茲猜想的方法在這裏失效了。

　　但是，這種方法並不是毫無用處。因為有一半的整數是偶數，所以 (3n+1)/2有一半的可能性是偶數，這樣下一個數就是(3n+1)/4。

　　對於n>1，(3n+1/)4所以從平均的意義上講，所有軌跡都必須減少。雖然這在概率論中説得通，但沒有人能夠完整證明考拉茲猜想。

　　還是有一點進展…

　　然而，幾位數學家已經證明考拉茲猜想“幾乎總是”正確的。這意味着他們已經證明，相對於他們知道的滿足考拉茲猜想的正整數，還沒有被證明的數字的個數可以忽略不計。1976年，愛沙尼亞裔美國數學家Riho Terras證明，在反覆應用考拉茲函數之後，幾乎所有的數字最終都會低於最初的值。正如我們在上面看到的，表明軌跡上的數字會不斷變小是證明它們最終會達到1的一條途徑。

　　2019年，著名數學家陶哲軒改進了這一結果。當Terras證明了幾乎所有的數n的考拉茲軌道最終都會變小後，陶哲軒證明了對於幾乎所有的數，n的考拉茲軌跡最終小得多：低於n/2，低於√n，低於lnn。但是陶哲軒説，這個結果是“在沒有真正解決它的情況下，最接近完全證明它的工作。”

　　儘管如此，這個猜想會繼續吸引大量的數學家和愛好者的注意。所以你可以選擇一個數字嘗試一下。記住，有人警告過你：不要陷入無休止的循環中。

　　下面給大家幾個小練習

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　　1. 證明有無窮多個數可以讓考拉茲軌跡經過1

　　舉個例子，我們很容易注意到：

　　24 → 23 → 22 → 2 → 1 → …

　　既然2的冪可以寫出無窮多個，那麼很顯然有無窮多個數的考拉茲軌跡經過1。

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　　2.讓n的考拉茲軌跡到達1的最小的操作次數被稱為“停止時間”。例如，10的停止時間是6，11的停止時間是14。找出兩個停止時間是5的數。

　　很容易注意到， 25 的停止時間是5，因為 25 →24 → 23 → 22 → 2 → 1 → ….

　　而 24 的停止時間是4，那麼從24 開始往外數一步的數的停止時間都是5，比如5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

　　大家可以想想還有其他思路麼？

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　　3.在最近的報告中，陶哲軒提到一個和考拉茲函數相似的函數：

　　他提出，除了循環 1 → 2 → 1 → 2 → 1…，還存在其他兩種循環，你可以找到它們嗎？

　　另外的兩個循環是：

　　5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5 → …

　　17 → 50 → 25 → 74 → 37 → 110 → 55 → 164 → 82 → 41 → 122 → 61 → 182 → 91 → 272 → 136 → 68 → 34 → 17 → ….

　　你是如何找到的呢？

　　作者：Patrick Honner

　　翻譯：Nothing

　　審校：Dannis

　　原文鏈接：

　　https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-collatz-conjecture-20200922/