中心極限定理：從高爾頓板到麥克斯韋分佈_風聞

神奇的正態分佈源於“加”。

撰文 | 張和持

時隔多年，或許你早就記不得16歲那年夏天高中悶熱的教室，但可能會記得有一天數學老師説着要給大夥看個稀奇——一塊祖傳的高爾頓板。儘管班上大多數同學都叫不出它的名字，卻也從小到大在科技館、博物館見多了，一點都提不起勁兒。老師一本正經地開始講，這個圖形就是正態分佈，它有諸多的性質……午後的時光更加昏沉而緩慢地流逝。

不過，這裏面藴含的數學可一點都不無聊，讓我們來觀察一下高爾頓板的結構。

楊輝三角/圖片來源：維基百科

不過這一結論在當時並沒有引起重視，畢竟並不是所有賭徒都能像梅雷一樣交上帕斯卡這樣的朋友。百年之後，拉普拉斯試圖挽救這個定理的人氣，依然沒有成功。為了紀念這對“難兄難弟”，現在人們把這個定理稱為棣莫弗-拉普拉斯定理。

在物理學中，誤差來自於無關因素的微小擾動。這些擾動加起來，就是整體的誤差。這個整體誤差雖然層次不齊，但形狀與正態分佈還是大致吻合的。從那以後，實驗的誤差一般都當作是正態分佈。為了紀念高斯的貢獻，也把正態分佈稱為高斯分佈。

至此，我們已經大概能想象到，正態分佈的逼近與這種“加”的性質有關，剩下證明就是數學家的事了。如今，我們把這一系列逼近正態分佈的性質稱為“中心極限定理”，結論從最初的二項分佈，已經擴展到了任意分佈（包括同分布和不同分佈）的廣闊天地。就如同上一段中的誤差——即便我們對微觀下的擾動一無所知，也能通過這種極限形式，瞭解大樣本下的整體行為。

應用這一思想的最為經典的例子當屬統計力學。假如有一大堆粒子，每個都雜亂無章地運動，我們自然無從知曉每一個粒子的運動狀況。不過，如果把每一個粒子的動量當作是一個隨機分佈的話，那就可以把所有這些分佈“加”起來當做整體的動量。如此一來，中心極限定理豈不是大有用處？

的確如此。如果對理想氣體應用中心極限定理，得到的正是大名鼎鼎的麥克斯韋速度分佈：

物理學中一般是用玻爾茲曼分佈來推導麥克斯韋分佈的，但玻爾茲曼分佈本身也可以用中心極限定理間接推導出來。之所以説是間接，只需要看它的形式

這根本不是正態分佈。歸根結底，能量的分佈在這裏不能相加，但在推導過程中，還是能見到正態分佈。具體操作會稍微複雜一些，這裏就不扯遠了。

參考資料

[1] A. I. Khinchin, Mathematical Foundations of Statistical Mechani