濛濛卡和張量量｜量子多體中的吶喊與彷徨之六_風聞

撰文 | 孟子楊

來源 | 選自《物理》2020年第11期

引 子

有的童話穿越歷史，變成了一個民族心中的文化圖騰，如西遊記之於中國人，安徒生和格林童話之於歐洲人。有的童話停留的時間稍短，但也是一代人甚至幾代人心中共同的啓蒙故事，如《星際旅行》、《鐵臂阿童木》、《機器貓》甚至《哈利波特》。對中國的孩子來説，尤其是在1980年代至1990年代成長起來的孩子，這樣的童話應屬皮皮魯和魯西西的故事了。這些故事填補了彼時孩子們十分枯燥和閉塞的學校教育的空白 (現在也許不閉塞了，但是否枯燥不得而知)，讓他們感受到了想象力的震撼和獨立思考帶來的樂趣。現在回頭看，皮皮魯和魯西西的那些奇遇從技術上講十分落伍，在科學上有的更是完全不合理，當然也無法和現在的硬核工業黨穿越科幻相比，但是皮皮魯和魯西西好就好在不按照彼時學校裏和社會上灌輸給孩子們的教條行事，總愛搞些小玩鬧、小探索，卻總能在無意中發現一個新的世界，讓彼時的孩子們知道，好奇心和對不公正的一點點小反抗不但不是罪惡，反而是特別正確和特別好玩的事，在特立獨行和無拘無束中才能學會真正的同情心和責任感。

一晃幾十年過去，彼時的孩子都長成了大人，他們中有人也開始教育自己的孩子按照當下學校裏和社會上的教條行事，而他們自己也努力地學着當下社會上的通行規範，扮演着一個好員工、好同事、好下屬、好老師或者好領導的角色，童話嘛，畢竟是要遠去的。但是大家偶爾想起皮皮魯和魯西西，又似乎心有不甘，想着畢竟什麼時候還是要做出一些像他們那樣出格的、有趣的事情，嘗試一些與眾不同的、能夠發現新的世界的探索，人生才不算白過。若是有人完全忘記了皮皮魯和魯西西，那麼這樣的人要麼是對自身徹頭徹尾的失望者，要麼就是在當下社會中徹頭徹尾的成功者。在筆者熟悉的量子多體計算領域，就有一羣這樣不能忘情的人，還總想着皮皮魯和魯西西，總喜歡玩些在行業內的正人君子們、行業內的成功者們看來離經叛道，吃力不討好的遊戲。好在他們自己覺得有趣，在這樣的玩鬧中自己的好奇心和求知慾得到了極大的滿足，並且漸漸開始影響和鼓勵着身邊的朋友們。最近就有這樣一個故事，這幾個童心未泯的小夥伴，用蒙特卡洛和張量重正化羣的計算方法，完成了好幾個好玩的計算，還鼓動着實驗物理學家們驗證了他們的結果，實驗的夥伴們更發現了有趣的新問題。大家就這樣一路樂此不疲地玩下去。

下面就是他們的故事，為了講好這個故事，為了向皮皮魯和魯西西致敬，姑且稱這樣一羣人都是濛濛卡和張量量吧。

濛濛卡與張量量探索量子材料

量子材料研究是很好玩的事情，因為量子材料是一個很大的筐，什麼東西都放得進去：從超越摩爾定律的新一代集成電路人工智能芯片材料，到具有解決能源危機潛力的高温超導體，還有現在十分流行的轉角石墨烯二維範德瓦爾斯層狀材料，再到希望成為量子計算機信息存儲載體的拓撲物態，都算量子材料的內容。但是對於這些材料性能的研究需要嚴格處理其中阿伏伽德羅常數量級的滿足量子物理學規律的電子行為(因此這類問題也被稱為量子多體問題)，計算量子多體系統在温度、壓力和磁場等外界環境變化時的響應，從而確定其在科研和工業應用中合適的參數範圍。這樣複雜的問題已經不是鉛筆和白紙般古典時代的推算可以解決得了，很多時候以微擾論為基礎平均場計算甚至不能提供定性正確的結果，遑論定量。取而代之的，大規模量子多體計算方法，伴隨着全球範圍內計算平台的迅猛發展和普及，輔之以場論、對稱性和拓撲性質分析等高級數學語言的應用，逐漸成為現代物理、化學、材料科學的主流研究方式，使得科學家和工程師們可以不斷地發現具有更加優異性能的材料，拓展量子物質科學的內涵和外延，造福人類生活。

在量子多體計算研究這個廣大的領域之中，量子蒙特卡洛方法 (是為濛濛卡) 和張量重正化羣方法 (是為張量量)，無疑是兩種最具有代表性的手段。前者及其最近的發展筆者在這個系列的前幾篇文章中已反覆介紹過，主要是通過設計抓住問題物理實質的晶格模型，然後在如是模型的合適相空間中進行蒙特卡洛抽樣，計算量子多體問題的配分函數和各種物理觀測量的系綜平均值和誤差。而後者則一路從密度矩陣重正化羣演化而來 (見參考文獻，哦不對，見濛濛卡和張量量迷宮地圖之[1])，主要關注於量子多體基態波函數的張量網絡表示與其重正化羣操作。

當然，傳統的濛濛卡和張量量研究，主要還是專注於量子多體模型性質的計算，比如Hubbard模 型，t—J模型，Heisenberg模型，還有之前在這個系列中提到的費米子—玻色子耦合模型。如果嚴格計算真實量子材料的性質，考慮到材料本身的複雜性(多種相互作用和晶格的物理、化學環境所帶來的指數牆問題)，即使對於濛濛卡和張量量這樣充滿活力的小夥伴，大多數時候也無能為力。但是問題有意思的地方就在於是否敢於嘗試，敢於特立獨行不按教條行事，找到走出迷宮的神秘地圖，這裏的故事就是一個成功的事例 (見濛濛卡和張量量迷宮地圖之[2，3])。

格結構為三角晶格，通過物理和化學結構的分析，人們認為三角晶格量子伊辛模型似乎是一個合適的出發點，但是問題是精確模型參數該如何得到？這裏張量量發揮了很大的作用。一直以來，在張量重正化羣領域中，人們普遍地喜歡開發新的方法，從DMRG，TMRG到後面的LTRG，CTMRG，PEPS，iDMRG，TEBD，METTS，SETTN等等，不一而足，讓外行人看得眼花繚亂、一頭霧水，只見業內專家們口吐蓮花般拋出許多新名詞與它們的骨感縮寫。其實領域內部大家主要還是關注量子多體模型基態波函數的張量表示，以及為了達到某種精度在張量的數值操作上如何降低計算複雜度等等。但在外人看來，這個領域就顯得對於實際量子材料系統的熱力學和動力學性質關注比較少，也就很難和行業之外的物理學家(如實驗物理學家)進行實質性的溝通。

圖1 磁性晶體TMGO中的電子自旋排布與磁振子—渦旋對激發(見濛濛卡和張量量迷宮地圖之[2，3])

但還是有特立獨行的人，此次張量量小夥伴們是來自北京航空航天大學物理學院的李偉老師和他的研究生李涵和陳斌斌等，他們與合作者獨闢蹊徑，開發出了指數熱態張量網絡方法 (Exponential ThermalTensor Network，XTRG，雖説又多了一個名字……)，但這個方法可以在儘量保持計算結果精度的情況下，得到量子多體系統的熱力學信息 (細節見迷宮地圖之[7])。然後他們運用XTRG計算了TMGO模型系統的比熱、磁化率和磁矩等物理可觀測量隨着温度和磁場變化的行為，再通過與實驗結果進行對比和調整模型參數，最終得到了TMGO的正確晶格模型——三角晶格量子伊辛模型及其精確模型參數。如圖2所示，XTRG算出的熵、比熱、磁化率和磁矩可以在很寬的温度範圍內完美地擬合實驗觀測的磁比熱、熵曲線、磁化曲線等諸多磁熱力學性質。

圖2 熱態張量網絡多體計算精確擬合TMGO磁熱力學測量數據

得到了材料的微觀模型之後，小夥伴中的真∙理論物理學家復旦大學戚揚老師略作沉思，口占一偈道，“籍此三角晶格量子伊辛模型，磁性晶體TMGO將在特定的温度範圍內展現出奇異的拓撲Kosterlitz—Thouless(KT)相”。鑑於戚老師講話常常暗含玄機，此處筆者不得不寫下一個按語，原來Kosterlitz與Thouless是2016年諾貝爾物理學獎得主，是次諾獎頒發給拓撲物態的三位開拓者，其中Kosterlitz與Thouless在1970年代便預言了量子磁性材料中可能存在的拓撲相，即現在用他們名字命名的KT相。此前人們在二維超流體和超導體中已經觀察到KT相，但是經過半個世紀的尋找，KT相在量子磁性材料中卻一直沒有找到。戚揚老師掐指一算，口中唸唸有詞，“KT相將會在模型如此如此這般這般的參數範圍內出現，下面可以請濛濛卡君來為之一決”。

濛濛卡果然是好樣的，如筆者在之前的系列文章中所講，濛濛卡在最近的幾年裏開始逐漸揚棄如死磕square lattice Hubbard模型等等主流套路，劍走偏鋒，搗鼓出很多新的技能，其中一項就是從量子多體系統路徑積分的虛時關聯函數中，運用隨機解析延拓的方法得到系統在頻率空間的譜函數[8]。有了張量量給出的精確微觀模型，濛濛卡計算瞭如是模型的自旋動力學譜函數，如圖3所示，如此的譜函數可以直接和TMGO材料在非彈性中子散射實驗中得到的自旋譜函數進行比較。在圖3(a)中，可以看到模型計算所得的結果與實驗結果完全吻合。不僅如此，濛濛卡還確實看到了系統出現KT相的温度範圍，並對於在這樣温度範圍內應該看到的中子散射自旋能譜的色散關係和譜權重分佈做了預測，結果如圖3(c)。

圖3 二維自旋阻挫量子磁體TMGO的量子多體濛濛卡動力譜學模擬結果。(a)中的數據點為中子散射實驗結果，其後的背景為濛濛卡計算所得的量子伊辛模型自旋譜函數。(b)，(c)，(d)都是濛濛卡在不同模型參數下計算得到的材料自旋能譜

成功地得到了材料的微觀模型參數並解釋了已有的實驗結果，大家都覺得“量子磁體真是非常有趣的量子材料，豐富的多體效應中湧現出新奇的量子物態與相變，吸引着我們在其中探尋凝聚態物理的新範式”，雖説開展精確理論計算並與實驗對比仍然是量子多體問題亟待解決的前沿問題。但在這項研究中，通過蒙蒙卡和張量量的配合，小夥伴們成功地完成了關聯量子晶體材料的熱力學—動力學的多體計算。“那麼下面一步該去哪裏玩耍呢？”有人問到。這時又是戚揚老師給大家指點迷津，“下面咱們去找實驗的朋友們，驗證已經從理論上得到的結果，如KT相的探測和這種具有準長程序和強烈磁性漲落的奇異物態的其他標度行為，豈不快哉？”，眾人皆歡喜不待。

濛濛卡和張量量找到了實驗的夥伴

為了能夠從實驗上看到KT相所特有的磁性漲落，需要十分精密的測量手段，小夥伴們找到了南京大學的温錦生老師和中國人民大學的於偉強老師。温老師那裏可以長出單晶樣品並完成磁化率在不同温度和磁場下的測量，而於老師組裏發展的核磁共振測量正是探測系統磁性漲落的敏感利器。實驗小夥伴們聽明白了濛濛卡和張量量的話，不但欣然應允入夥，而且還發現因為材料中的面內磁矩具有多級矩的性質，通過施加面內磁場剛好就可以收集

圖4 背景為磁性晶體TMGO中KT相的核磁共振信號。下面的平面中示意性地畫出在對應的温度範圍內，系統處在高温順磁、中間温度KT相，與低温下的磁有序相的自旋構型。右邊的背景為實驗生長出的單晶照片

實驗的結果顯示在圖4這個示意圖的背景中 (順便説一句，圖1和圖4這樣漂亮的示意圖，既有物理內容，又充滿藝術氣息，都出自張量量之北京航空航天大學物理學院的李涵同學和李偉老師，可見其玩心之大)。隨着温度的降低，系統處於順磁狀態，自旋晶格弛豫率隨着温度先降低，後開始緩慢抬升，預示着系統內部的磁性漲落在逐步增強；當温度到達KT相

這時戚揚老師又口占一偈， “ 籍此實驗觀測，其實核磁共振的信號我們也可以從蒙卡計算所得的自旋動力學能譜中獲得，濛濛卡你應該如此如此這般這般，就可以從數據中得到與實驗觀測類似的物理量，在模型的層次上也抓住系統低能的磁性漲落。汝其為我一決。”濛濛卡當下依計行事，果然得到了圖5(b)的計算結果，與圖5(a)的實驗觀測定性相似。當然實際的材料總比理論模型複雜，實驗中還有很多有趣的細節，如温錦生老師他們測得磁場下系統的磁化率，還可以分析出很多與KT相有關的有趣物理，這些實驗的小夥伴們自然會專門撰文解答，在此就不熬述了。細節也都在參考文獻 (哦不，濛濛卡和張量量迷宮地圖之[9]) 中。

濛濛卡和張量量下面會去何處探險

至此，濛濛卡和張量量此番量子材料探索行跡已交代清楚，這樣無拘無束的探尋讓眾人嚐到了不按教條行事的樂趣。量子多體系統的巍峨羣山、森森林海和廣闊原野就是他們自由自在馳騁的世界，轉角石墨烯、拓撲序的模型與材料實現、非費米液體和量子臨界金屬……等等勝地都是他們探尋路上行經的風景。也許有一天，他們會來到你的身邊，神氣活現地給你講起他們最近的奇遇。這時請耐心聽，那其中也許又是新的驚喜，你也許也會按捺不住加入他們的行列的。

濛濛卡與張量量迷宮地圖

[1] 劉耘婧，陳斌斌，李偉. 有限温度量子多體系統與熱態張量網絡. 物理，2017，46(7)：430

[2] Li H，Liao Y D，Chen B B et al. Kosterlitz-Thouless melting of magnetic order in the triangular quantum Ising material TmMgGaO4. Nature Communications，2020，11：1111

[3] 李偉，孟子楊，戚揚. 二維量子磁體中的“幽靈軟模”與KT物理. 物理，2020，49(5)：400

[4] Cevallos F A，Stolze K，Kong T et al. Anisotropic magnetic properties of the triangular plane lattice material TmMgGaO4. Mater. Res. Bull.，2018，105：154

[5] Li Y et al. Partial up-up-down order with the continuously distributed order parameter in the triangular antiferromagnet TmMgGaO4. Phys. Rev. X，2020，10：011007

[6] Shen Y et al. Intertwined dipolar and multipolar order in the triangular lattice magnet TmMgGaO4. Nat. Commun.，2019，10：4530

[7] Chen B B，Chen L，Chen Z Y et al. Exponential Thermal Tensor Network Approach for Quantum Lattice Models. Physical Review X，2018 8：031082

[8] 孟子楊. 海森伯模型的譜，到底有多靠譜. 物理，2018，47(9)：595

[9] Hu Z，Ma Z，Liao Y D et al. Evidence of the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Phase in a Frustrated Magnet. Nature Communications，2020，11：5631

本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”。