中二所教你盪鞦韆 | 正經玩_風聞
中科院物理所-中科院物理所官方账号-2020-12-05 19:38
小時候蕩過鞦韆的舉左手
小時候摔下來過的舉右手
今天中二所來教大家盪鞦韆
實驗器材
所標杯、鐵架台、彈簧、重物

實驗過程
首先將彈簧掛在鐵架台上,將重物掛在彈簧上
將重物豎直向上輕輕抬起一點,然後放手
會發現隨着重物上下振動
居然慢慢蕩起了鞦韆
原理解説
對於我們的系統,或者是鞦韆,存在兩個方向的振動:
豎直方向彈簧的振動,和水平方向的擺動。
當兩個方向的振動滿足一定的關係時,便會發生共振,使擺動振幅越來越大。在物理上,這種現象稱為參數共振。
參數共振得名於系統的參數隨着時間變化,比如本例中擺長在隨時間改變。這導致了擺的週期,或者説振動角速度隨着時間週期性的變化。
接下來讓我們進行……億點點計算。
在擺動的小角度近似下,水平方向的擺動對豎直方向的振動影響不大,我們可以直接寫出擺長以簡諧方式變化。

那麼此時水平方向單擺的運動方程為


參數Ω隨時間變化。
對方程進行近似:
根據微分方程理論,方程可能存在如下形式的解,其中a和b隨時間變化緩慢
將解代入方程,得到
又根據微分方程理論,假設解具有指數形式
代入方程,得到
解出
可以知道在
時,α為實數,單擺振幅會逐漸增大。
劃重點!經過一通計算,我們知道了當縱向振動頻率約為橫向擺動頻率的2倍時,擺動振幅會越來越大。
再代入彈簧振子和單擺的頻率公式,設k為彈簧勁度係數、l為彈簧原長、mg為重物重力、Δl=mg/k為彈簧靜止時伸長量。
解出
我們得到結論,掛上重物後,彈簧伸長量等於彈簧原長的1/3時,可以發生參數共振。
在盪鞦韆時,發生的事情與上面的類似。

當我們在鞦韆上,在最低點站起、在最高點蹲下時,就在以鞦韆頻率兩倍的改變鞦韆的擺長。根據我們上面的計算,就會發生參數共振,讓鞦韆越蕩越高。
另外,中二所也在第203期Q&A欄目中回答過這個問題哦。