編寫現代數學史，陳省身先生都感嘆太難了_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2020-12-14 20:17
編輯 | 朱善軍（同濟大學碩士研究生在讀）
來源：小朱的讀書筆記
本文所講的現代數學史是指20世紀數學史。20世紀是數學飛速發展的時代，據估計，全部數學的90%是在20世紀中創造的。如今的數學真正成為了人類知識領域中最博大精深的一個，其抽象與艱深的程度登峯造極，數學知識出現了前所未有的大爆炸，這對編寫現代數學史的人們來説造成了空前巨大的困難。
現代數學史研究的範圍主要是在20世紀中形成的基礎數學的發展歷史，它自然包括了現代微分幾何、抽象代數、偏微分方程與泛函分析、代數拓撲、多複變函數論、代數數論和代數幾何等主要分支學科的歷史。雖然目前國外已經有了一些關於現代數學發展歷史的書和文章，但是國內在研究現代數學史方面還處於剛剛起步的階段。研究現代數學史和普及現代數學史知識，並且將它們與現代數學的教學有機結合起來，這對於國內數學專業的研究生學習和掌握現代數學、以及促進現代數學的研究和發展具有十分重要的意義。
數學大師陳省身先生在談到現代數學的發展時，曾經感嘆“一部二十四史從何説起”。儘管如此，在最近三十年來，還是出現了一些按分支學科編寫的數學各主要分支學科在20世紀的發展史著作。依照J. Dieudonné在其英文著作《純數學概觀》【1】一書中的劃分方法，20世紀現代基礎數學的A級主流學科有代數拓撲與微分拓撲、微分幾何、偏微分方程、復解析幾何（即多複變函數論）、代數幾何、數論、非交換調和分析、自守形式與模形式、常微分方程、遍歷理論等10門學科，在它們下面有次一級的7門B級學科：同調代數、李羣、羣論、交換調和分析、Von Neumann代數、概率論、數理邏輯，再下面是範疇與層、交換代數、算子的譜理論等3門C級學科。在最近出版的《普林斯頓數學指南》【2】中，強調了代數數論、解析數論、代數幾何、算術幾何、代數拓撲、微分拓撲、參模空間、表示論、偏微分方程、算子代數等10門主流分支學科。令人高興的是，對於不少現代數學分支學科，已經有了專門的著作開始初步論述它們各自的發展歷史：
代數拓撲與微分拓撲方面有J. Dieudonné 的英文著作《代數拓撲與微分拓撲史1900-1960》【3】和幹丹巖的中文著作《代數拓撲與微分拓撲簡史》【4】。微分幾何方面有M. Berger 的英文著作《20世紀後半葉的黎曼幾何》【5】。代數幾何方面有J. Dieudonné 的英文著作《代數幾何史》【6】。數論方面有馮克勤的中文著作《代數數論簡史》【7】。
李羣與代數羣方面有A. Borel的英文著作《李羣與代數羣歷史論集》【8】和T. Hawkins的英文著作《李羣理論的形成：數學史上的一章1869-1926》【9】 。範疇與函子方面有L.Corry 的英文著作《抽象代數與數學結構的興起》【10】。交換代數方面有J. J. Gray和K. H. Parshall 主編的英文文集《抽象代數史片斷1800-1950》【11】。泛函分析方面有J. Dieudonné 的英文著作《泛函分析史》【12】（有高等教育出版社的中譯本）。
表示論方面有C. W. Curtis的英文著作《表示論的先驅：Frobenius,Burnside,Schur和Brauer》【13】。調和分析方面有G. W. Mackey 的英文著作《交換與非交換調和分析的範圍與歷史》【14】。
對於偏微分方程、復解析幾何、同調代數等學科的發展歷史，在 J-P. Pier 主編的兩本英文文集《數學的發展1900-1950》【15】、《數學的發展1950-2000》【16】和I. M. James 主編的英文文集《拓撲史》中各有較長的研究文章專門加以論述。這三本研究文集內容豐富，包含了現代數學許多分支學科發展史的研究文章。在《數學的發展1900-1950》【17】的開頭，還有一份長達34頁的20世紀上半葉數學研究成果的大事年表，其中詳細記錄了每一年所取得的重大進步。
此外還有由D. E. Rowe 和J. McCleary 主編的3卷英文文集《現代數學史》【18】。
值得注意的是，由J-P. Pier寫的英文著作《20世紀數學分析》【19】，在簡略地分學科敍述了傳統上屬於分析的點集拓撲、實變函數、泛函分析、調和分析、複分析與復解析幾何、常微分與偏微分方程、概率論等學科發展歷史的同時，還簡要地敍述了李羣、代數拓撲、微分拓撲、代數幾何與整體微分幾何等與分析密切相關的學科的發展歷史。這充分表現了現代數學各分支學科之間交叉融合、趨於統一的本質特徵。
在討論現代數學史著作的出版現狀時，不能不説到《20世紀數學思想》【20】這部介於數學通史與普及綜覽之間的中文著作。這部試圖仿效M . Kline的《古今數學思想》的大作強調了布爾巴基的結構主義，並且以羣論和拓撲學為中心，對現代數學的主要分支學科的發展作出了簡略的敍述，《20世紀數學思想》的寫作可以看作是邁向編寫20世紀數學中文通史著作的第一步。
筆者認為，如果説在未來的現代數學通史中有一箇中心分支學科的話，那麼這個中心學科應該是代數幾何。在20世紀數學各主要分支學科的發展過程中，代數幾何所起的推動作用最大，它甚至可以看成是一個綜合了數論、代數、幾何、拓撲和分析的一個龐大的領域，是20世紀數學統一化的主要源動力。在幾乎所有20世紀基礎數學重大進步的背後，總能看到代數幾何的影子，因此代數幾何在現代數學通史中的地位不會低於羣論和拓撲學。在編寫現代數學通史時，還有一個重要的問題是怎樣寫作和表達的問題，像《古今數學思想》那樣分學科敍述的方式，很容易寫出各部分互不關聯或者很少關聯的拼盤式的現代數學通史，從而很難準確反映不斷進行交叉融合、趨於統一的現代數學發展過程，為此人們需要探索和研究新的寫作表述方式。
到目前為止，在世界範圍內似乎還沒有一部真正意義上的20世紀數學通史（至少是前70年的數學史）問世。許多現代數學分支學科歷史著作和文章的作者是各領域裏的資深數學家。雖然他們所做的論述與研究十分珍貴，但這還是比較初步和單方面的，還有待於數學史家進行整理擴充和進一步的研究，特別是各分支學科相互作用的研究。對於重要數學問題的解決，最好能給出詳細的歷史發展過程和思想源流的介紹。陳省身先生曾經評論：“現在的數學史著作，好像是‘新聞彙集’”，“很少涉及數學發展的真正關鍵” 【21】。
最大的困難還在於如何正確理解和全面地把握現代數學。“在數學中，要講述真理是極其困難的，數學理論的形式化的陳述並沒有講清全部的真理。數學理論的真理更像是當我們在聽一些專家所做的漫不經心的隨口評述時，我們去捕捉專家評述的動因後才會感觸到的體味，當我們最終搞清楚典型的例子時或是當我們發現了隱藏在表面化諸問題之後的實質問題時，我們才品嚐到數學之真。哲學家和精神分析學要解釋，為什麼我們的數學家習慣於系統地擦去我們走過的足跡。科學家們總是不理解地看待數學家的這種怪異的習慣，而這種習慣自畢達哥拉斯以來直至今天幾乎沒有改變。”【22】
由此看來，建設現代數學史這一數學史分支學科的任務，無疑是最為艱鉅的。考慮到一直要等到20世紀下半葉的1972年，M . Kline才寫出了主要講述18與19世紀近代數學通史的《古今數學思想》，那麼可以預料，我們可能還要等待相當長的時間才能見到20世紀數學通史鉅著的問世。
參考文獻
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本文經授權轉載自微信公眾號“小朱的讀書筆記”，原文標題為《現代數學史著作介紹》。