數學是人類的發明，還是發現？_風聞

張英鋒好答案不在對錯，在於讓心智獲得更多自由！專業已有 2 人贈與了專業徽章11,551 人贊同了該回答講真，對這個問題感興趣，還點進來看的人，都不是一般人。^_^

簡單的説，早期的古代數學多數是發現，但是從2000多年前的古希臘開始，數學家們創造出大量超越自然的新事物，導致此後的數學越來越多的是發明。

文藝復興三傑拉斐爾的名畫《雅典學院》圖片出處：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:La_scuola_di_Atene.jpg

古希臘的先賢們也不會想到，他們居然為人類開闢出一片新的世界。

在這個新世界中，人類的思想得到了前所未有的解放，並加速了科學與技術的進步，讓人類文明進入了快速騰飛的時代。

一切先從定義開始數學究竟是發現（discovered），還是發明（invented），取決於“發明”和“發現”的定義。

先看兩個案例：

科學家發現了微觀粒子，而不是發明了微觀粒子；殷商時代的古人發明了甲骨文，而不是發現了甲骨文。通過這個例子，我們可以達成共識：

發現，是指人類在自然宇宙裏找到了以前沒見過的事物發明，是指人類創造出了自然宇宙中以前不存在的事物如果以這兩個定義為基礎，可以推出：

因為，數學的定義、符號和規則都是人類的發明，是自然宇宙中以前不存在的事物。 所以，數學是人類的發明，而不是發現。 Q.E.D.等一下，這樣就證明結束了嗎？

並沒有，因為事情沒有這麼簡單。

有限的自然宇宙和無窮的數學宇宙無窮符號“無窮”是數學中最核心的概念之一，但是”無窮“只存在於人類的想象中，不存在於自然宇宙中。

在我們的印象裏，自然宇宙是無窮的。

然而，隨着人類觀測能力的增強，科學家逐漸發現，我們所生活的自然宇宙，實際上比我們想象的要“小”的多。

根據觀測到的天文數據，科學家發現宇宙的時間不能無限上溯，而是存在一個叫“大爆炸”的起點，宇宙的年齡估計不超過200億年；宇宙的空間也非無限，宇宙的直徑不超過1000億光年；而宇宙裏所有普通物質的質量是 千克，儘管這些都是極其龐大的天文數字，但也是有限的。[1]

也就是説，我們印象裏那個無窮的宇宙，是我們想象出來的。

宇宙中所有已知的自然事物，包括時間、空間、物質、能量……等等都是有限的，在自然中並不存在無窮的事物。

圖片出處：What Really Put The ‘Bang’ In The Big Bang?

然而，相比於自然，在數學的世界裏，無窮幾乎無處不在。

簡單的，如分數1/3，就可以表達為無限循環小數0.3333……

常見的，如圓周率π，則是一個無限不循環的常數，這個數就藴含着無窮。

圓周率π圖片出處：How to make the digits of π go around in a spiral like this?

人類至今也無法窮盡圓周率的計算，並不是因為它難算，而是因為人類所擁有的能量和物質是有限的。

不要忘了，無論是電腦，還是人腦，在計算時都需要消耗能量和時間，而存儲數據時，也要佔用物質和空間，所以人類的算力不能無限的增長。

事實上，即使人類窮盡宇宙裏所有的能量，即便計算到宇宙毀滅，也無法計算出圓周率的最後一位；即便耗盡所有的物質，寫滿了宇宙所有的空間，也無法把圓周率計算的數據保存下來。

因為無窮是沒有盡頭的！

請仔細想想，是不是這樣！

僅僅是數學世界中一個常見數字的計算，就可以耗盡我們這個自然宇宙中所有的能量、物質、時間和空間。

有趣的是，數學家還證明了，像π這樣的無理數，其個數要遠遠多於有理數。

更有趣的是，有的無窮比另外一些無窮還要大，比如説自然數的個數有無窮多個，而實數的個數卻遠比自然數多的多。

這些無窮，都是人類在數學世界裏證明和創造出來的新概念，它們在自然宇宙中並不存在，是人類在對自然宇宙觀察和思考後，在數學世界中重新發明的新事物。

換句話説，數學世界和自然世界是截然不同的兩個世界，數學是人類創造出來的全新世界。

無窮讓數學凌駕於其他科學之上公元前6世紀，古希臘人證明出了第一個數學定理，從此，無窮進入了數學。

第一個定理是泰勒斯證明出來的泰勒斯定理，和他同時代的畢達哥拉斯則證明了勾股定理，並建立了第一個數學學派。

《雅典學院》中的畢達哥拉斯，旁邊抄作業的是德莫克里克畢達哥拉斯用邏輯推理的方式，證明了直角三角形都遵循勾股定理。

這裏針對的“直角三角形”並不是指某一個直角三角形，而是指所有的直角三角形，對無窮多的直角三角形都成立，不存在例外。

正是因為畢達哥拉斯的這個貢獻，他和泰勒斯都被戴上了”第一位數學家“的桂冠。

在他們之前的古巴比倫、古埃及的數學家，都無法獲得這個殊榮，儘管他們提前一兩千年就發現了這些定律，但是他們並沒有把定律證明成定理。（當然很可能他們也證明了，只是還沒有足夠的證據支持）

是無窮讓定律和定理之間產生了天壤之別。

定律是對已知規律的歸納總結，將來可能會出現例外情況，改寫定律。而定理則通過演繹推理實現了無窮，不存在例外情況，不會被推翻。所以，畢達哥拉斯之前的古代數學家更多的是發現，他們發現了很多定律，但是沒有發明太多超越自然宇宙的數學概念。

而畢達哥拉斯之後的數學家，引入了演繹和無窮，還定義了很多超越自然的概念，導致此後的數學越來越多的是發明。

這是一個歷史性的時刻，古希臘哲學家開闢了一個無窮的新世界，而數學也從此開始凌駕於其他科學之上。

高斯稱，“數學是科學的皇后”（Regina Scientiarum）。

而愛因斯坦也表示認同[3]

數學之所以擁有超越其他所有科學的地位，是因為數學中的法則是絕對確定和無可質疑的，而其他科學的法則則是可質疑的，並隨時有被新發現的事實所推翻的危險。One reason why mathematics enjoys special esteem, above all other sciences, is that its laws are absolutely certain and indisputable, while those of other sciences are to some extent debatable and in constant danger of being overthrown by newly discovered facts.

大部分自然科學中的定律，放在數學中只能算作猜想。

因為這些定律都是觀察、歸納而來的，還不能靠嚴格的證明保證其永遠成立。

例如以牛頓定律所構建的經典力學，後來就被相對論和量子力學所改寫。

現代物理學圖片出處：https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_physics

數學的地位要歸功於無窮，數學家赫爾曼.外爾（Hermann Weyl ）也説[2]：

數學被稱為關於無窮的科學。的確，數學家發明了有限構造，通過該構造可以解決問題，而其本性卻隱含着無窮。*Mathematics has been called the science of the infinite.*Indeed, the mathematician invents finite constructions by which questions are decided that by their very nature refer to the infinite.

外爾的第一句話，我們已經理解，第二句話也很重要，可是該如何理解呢？

讓我們以《幾何原本》為例：

利瑪竇和徐光啓所翻譯的拉丁語版《幾何原本》圖片出處：Mathematical Treasures - Christopher Clavius’s Edition of Euclid’s Elements

古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》，是數學史上最重要的文獻之一，這本書的第一句話就暗含了無窮。

定義1. 點：點無法再分割成部分。Definition 1. A point is that which has no part.

有沒有意識到，這個定義很古怪，但是哪裏古怪，又説不出來。

其實，這是歐幾里得在用精巧的話術，想方設法的要繞開無窮，只是為了説明”點“只有位置，而沒有大小。

如果直接説“點”沒有大小，就必須引出“無窮小”這個至關重要的概念。所謂”無窮小“是指無限的接近於零，卻不等於零。

古希臘人發現”無窮小“會引發很多悖論，他們無法解決，所以只好用“分割”來定義“點”，迴避“無窮小”悖論。

如果有人問，這個定義包含了無窮小？

那就可以反駁：誰説無窮小了？我説的是”不能再分割“。

不管怎麼説，無窮隱含其中。

有趣的是，無窮小悖論要等到2000多年後才得到解決，方法之一也是“分割”。這裏有很多有趣的故事，將來有機會再詳細展開深談。

另外，這種沒有大小的”點“，是人類頭腦中想象出來的。不僅古希臘人從來沒有在自然中發現過，就是我們現代人也沒有見過。

幾何中的”點“是一種超越自然的事物，是歐幾里得在另一位古希臘哲學家——德謨克利特——發明的原子論的基礎之上，創造出來的數學概念。

《雅典學院》中手拿圓規作圖的歐幾里得，定義完了”點“，緊接着，歐幾里得又在“點”的定義基礎之上，構造出了“線”的定義，

定義2．線：線是沒有寬度的長度。定義3．線的兩端是點。定義4．直線：直線是線上的點均勻平直的分佈。Definition 2. A line is breadthless length. Definition 3. The ends of a line are points. Definition 4. A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.

有了“線”的定義，接下來是“面”的定義，然後是各種“幾何圖形”的定義，……

歐幾里得構造了點、線、面、形、角等23個數學元素的定義（後面的12卷又增加到了131個），以及5條公理、5條公設，並以這些有限的元素和規則證明了465個命題，構建出無限的歐幾里得幾何空間。

號稱最美的彩版《幾何原本》中的插圖圖片出處：Making of Byrne’s Euclid

數學的定義裏有無窮、定理裏也有無窮、數學的空間也是無窮的……，總之數學世界中到處都是無窮。

回過頭來，再重新品味外爾的話

的確，數學家發明了有限構造，通過該構造可以解決問題，而其本性卻隱含着無窮。

是不是容易理解了？

數學來源於自然，卻高於自然。人類觀察鳥的飛行，發現了飛行的原理，然後發明出飛機這種全新的事物。隨着人類對飛機的不斷改良，飛機的速度和範圍很快就超越了所有鳥類。