2020數學盤點——你從哪句話開始看不懂了？_風聞

　　對於數學和計算機科學來説，2020是艱苦的一年。

　　新冠疫情使得許多在職數學家的研究受到影響，著名數學家約翰·康威（John Conway）也因新冠而逝世。

　　**2020年也是充滿了跨學科發現與創造力的一年。**康威逝世前1個月，他標誌性的康威紐結（Conway’s Knot）問題被解決。

　　除此之外，數學家們和計算機科學家們在計算複雜性、數論和幾何學方面，都取得了巨大的成就。

　　著名數學家約翰·康威（John Conway，1937.12.26-2020.4.11）與他標誌性的康威紐結

　　我們也發現，計算機在數學中越來越不可或缺。

　　在一些存在已久的問題研究上，**數學和計算機科學的持續合作，不斷地有所產出。**有時候其中一方研究的副產物，反而可以用來回答另一方的重要議題。

　　在這些合作中，有一些研究結果立竿見影，研究人員對其稍加改進，即納入到其他工作之中。

　　而其他的一些研究結果，雖然目前只起到了啓發作用，但相關領域的進展也指日可待。

　　計算機科學、量子物理、純數學領域，層層突破

　　圖源：quantamagazine.org

　　本文主要內容包括：

　　1. 計算機科學家證明“MIP*=RE”為數學問題作出新回答——孔涅嵌入猜想被證明是錯誤的，旅行商問題得到新突破。

　　2. 朗蘭茲對應得到升級。光滑連續閉合曲線上的矩形問題和十二面體直線環形路徑問題等幾何難題得以解決。

　　3. 用於數學證明的AI工具Lean面世，並將參與國際數學奧林匹克大賽。

　　4. 2021年國際數學日確定主題**“數學讓世界更美好”**，聚焦數學應用帶來的生活福祉。

　　01 計算機科學開枝散葉

　　當一個科學成果足夠重要時，許多其他學科就會被迫予以關注，2020年計算機科學的大發現就是在如此開枝散葉。

　　2020年1月，五位計算機科學家撰寫了具有里程碑意義的證明，“MIP*=RE”。

　　這個等式涉及到了計算複雜性（computationalcomplexity）的問題，如果它成立，就證明了數學、量子物理和計算機科學之間，存在着深刻的聯繫。

　　（從左至右，從上至下）Henry Yuen、Thomas Vidick、Zhengfeng Ji、Anand Natarajan和John Wright，五位計算機科學家共同撰寫了一份關於驗證計算問題答案的證明，並以此解決了數學和量子物理中的一些主要問題

　　圖源：quantamagazine.org

　　等號左邊的MIP*，代表一種計算機證明系統，它是多證明者的交互驗證（MIP）的一種“升級版”。

　　簡單來説，MIP就是一台普通的計算機可以向兩個互不相識的人提問，他們無所不知卻不一定誠實，就像審訊兩個彼此隔離的嫌疑者一樣。這樣的證明系統就可以有效地驗證複雜的問題。

　　計算機解決問題，從P到NP到IP到MIP的“升級”

　　而MIP*的“升級”在於，它的回答者之間是通過量子力學的規則糾纏在一起的（處於糾纏態的量子）。

　　如果確定了其中一個量子的狀態，另一個無論相距多遠,其狀態也會瞬間被感應確定），因此相比其他情況，他們給出的答案會更具相關性。

　　而等號右邊的RE，代表遞歸可枚舉類問題，換言之就是隻要你有足夠的耐心，掰着手指慢慢數，最後也會算完所有情況的一類問題。

　　這個等式的證明，也就意味着科學家們可以使用量子糾纏的計算機，從理論上驗證一系列問題的答案了。

　　而在證明這個等式過程中，研究者們也對另外兩個主要的問題作出瞭解答——

　　其一，他們回答了鮑里斯·齊雷森（Boris Tsirelson）在物理學中提出的粒子糾纏模型的問題；

　　此外，更重要的是，他們在純數學領域，回答了著名的孔涅嵌入猜想（Connes’ embedding conjecture）的問題。

　　著名數學家阿蘭·孔涅曾提出了一種精確的方法來近似無限維矩陣

　　圖源：CNRS Photo Library

　　對於無限維度的矩陣，孔涅猜想，它總是可以用有限維度的矩陣來近似的。

　　例如，你有一張世界地圖，並且想知道地圖上任何一個地方的温度。

　　那麼對於地圖上的無數多個點，你可以每一個點都取一個温度計讀數，這樣你就可以通過一個有無限列無限行的矩陣來得到整個地圖的温度信息了。

　　可這太耗時耗力了，因此我們可以做粗略的近似。我們可以把地圖像分座標象限一樣，分成4個象限，並計算每個象限的平均問題，這樣無限的矩陣就被近似為了2x2的矩陣。

　　當然這樣的近似可能太粗糙了，你可能希望一個象限的平均温度和該象限內每個點的實際温度，温差都在10％以內。

　　因此你還可以繼續細分，將每個象限再分為4個象限，變成4x4的矩陣，8x8的矩陣……

　　通過象限的平均温度來表示所有的問題，儘管行和列的數量會越來越大，但它仍然是有限的。

　　是否有一種方法，可以用有限行列的矩陣，近似表達出光束中的無限光子？

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　　孔涅嵌入猜想也與此類似，不過它的矩陣描述的是如光束這樣的量子機械系統（一束光可以看作許多光子在流動）。

　　孔涅預測，通過知曉系統的簡化狀態（如2x2的矩陣），就可以在一定誤差範圍內近似地估計出整個系統的行為。

　　然而計算機科學的結果表明，孔涅的預測是錯誤的。

　　孔涅嵌入猜想的失敗不僅對無限矩陣本身的研究影響很大，更重要的是，許多其他猜想也與孔涅嵌入猜想有關。

　　對於相關的研究者們，這可謂當頭棒喝，現在他們不僅需要重新去審視和矩陣有關的其他假設，還需要趕緊學習計算機科學來理解這篇論文了。

　　旅行商問題：

　　找出一個走遍所有城市回到起點的最短路徑

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　　另一件計算機科學開枝散葉的大事，是2020年它在解決著名的旅行商問題（Travelling Salesperson problem）上也取得了成功。

　　所謂旅行商問題，就是在給定一系列城市和城市之間距離的前提下，算出一個訪問每一個城市並最後回到起始城市的最短的旅行方案。

　　2020年7月，三位計算機科學家利用一門叫做多項式幾何（Geometry of polynomials）的數學分支學科，證明了現代的算法是優於過去長期存在的最佳方法的，儘管它所優化的效率無限的小。

　　（從左至右）Nathan Klein、Anna Karlin和Shayan OveisGharan，三位科學家找到一種尋找旅行商問題近似解的更好方法

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　　最少“一萬億分之一萬億分之一萬億分之2”的提升，聽起來可能不足為道，但它證明了一個持續了幾十年的問題，也可以通過計算機科學，取得新的進展。

　　02 數學思想的擴展

　　1995年，費馬大定理（Fermat’s Last Theorem ）的證明，受到了全世界數學期刊和報紙的稱讚。

　　然而這個定理（當整數n>2時，關於x^n+ y^n = z^n 的方程沒有正整數解）的證明，只是數學家研究的一個起點。

　　它更重要的是建立起了一座橋樑，連接起了數學世界裏相隔遙遠的兩片大陸——代數方程與幾何平鋪的對稱組織。

　　這座橋就是著名的朗蘭茲對應（theLanglands correspondence）。

　　朗蘭茲對應像一座連接代數與幾何的大橋

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　　近兩年，兩篇論文成功為這座大橋帶來了升級。一方面，它們提升了現在這座橋能夠連接的代數方程與平鋪組織的種類。

　　另一方面，他們也為這個聯繫後續進一步擴展，掃除了長期存在的障礙。

　　而除此之外，其他的幾何問題也被數學家們找到了新的通路。

　　光滑連續的閉環曲線上，取4個點構成矩形

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　　2020年5月，兩位數學家終於破解了一項幾何學中的老問題——他們發現在一個光滑連續的閉環曲線上，通過連接上面的四個點，可以得到任意長寬比的矩形。

　　他們將所有可能得到的矩形，想象成了四維空間上的一系列的點（每一個矩形對應一個擁有4個座標的點），通過對這一系列的點來做分析。

　　矩形可以看作兩組等距離的點共用一箇中點，由此可以將其轉化為一個四維座標

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　　同樣在2020年5月，三位科學家解決了一個關於十二面體的問題。

　　假設螞蟻從正十二面體的一個角出發，筆直朝前走，能不經過任何一個其他角，回到終點嗎？

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　　從十二面體的一個角開始，沿着直線路徑一路往前，可以不經過任何一個其他的角，返回起點嗎？

　　他們把問題所有的因素都放到了計算機上，利用Finster算法，識別十二面體上從拐角到其自身的所有直線路徑，並通過十二面體的隱藏對稱性對這些路徑進行分類。

　　最終發現，滿足這樣要求的路徑不僅存在，而且存在無數條。

　　03 計算機科學“入侵”數學

　　在以上的2020年的數學發現與證明中，計算機、算法毫無疑問地承擔了重要的作用。

　　幾十年來，數學家們一致將計算機視為證明數學理論的幫手。然而一直以來，都是人類在選擇證明的策略與方法，在引導整個過程。

　　而這種情況或許很快就會有所改變，因為能自動做數學證明題的AI已經來了——

　　許多數學家已經開始應用一款名為Lean的程序，並希望它有朝一日，可以幫助着解決那些長期存在的重大問題。

　　Lean的使用簡示

　　（Lean社區中，小章魚成為成功快樂的象徵）

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　　當然，在實現這個理想之前，數學家們必須將幾千年來的數學知識數字化。

　　儘管這些知識大部分並不成文，但要利用AI工具，就必須將它們轉化為Lean可以處理的形式。

　　研究人員已經對一些最複雜的數學概念進行了編碼，從理論上證明了這個軟件可以啃下這些硬骨頭，所以之後要做的，便是填補剩下的部分。Lean也可能因此慢慢成為最大的數學圖書館。

　　每年，世界上最好的年輕數學學生都會參加國際數學奧林匹克競賽。很快，人工智能就會加入其中。

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　　此外，國際數學奧林匹克大賽（International Mathematical Olympiad，IMO）也計劃於2021年對該軟件進行一次大測試——

　　微軟研究院的的丹尼爾•塞爾薩姆（DanielSelsam）希望在他創立的IMO挑戰賽（IMO GrandChallenge）上，利用Lean開發出一種人工智能，在數學競賽中摘得金牌。

　　儘管還有許多數學家不能完全接受這些程序，然而Lean的“信徒”們堅信這就是**“未來”**。

　　數學正在數字化，未來可能會形成數字的數學圖書館

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　　的確，如今計算機已經成為數學研究的主流工具，它們純粹的計算能力對於回答某些問題至關重要。

　　但人的力量同樣至關重要，成功的數學家總是充滿創造力的，他們不僅能發現解決老問題的新方法。更關鍵的是，他們能發現數學世界中新的連接。

　　另一方面，編譯歷史的計算機算法在數學研究中也有一定的限制——因為我們不僅要回答前輩學者們留下的猜想和疑問，也需要面向現實解決我們正在遭遇的問題。

　　聯合國教科文組織將每年3月14日（π 日）定為國際數學日（International Day of Mathematic，IDM），IDM 2020 主題：數學無處不在；2021年主題：數學讓世界更美好

　　正如國際數學日2021年的主題——“數學讓世界更美好”。

　　在新的一年裏，或許我們可以更關注數學於我們生活的應用，以及對我們生活的改變。

　　數學是一門基礎學科，更是地球上的一種通用語言。

　　它能為我們提供基礎的模型與工具，幫助我們理解、預測、解決問題——疫情還未過去，它能幫助我們監測並控制病毒的傳播；

　　它能用於天氣預報，警示我們注意氣候的變化；

　　它可以預測自然災害並讓我們提前做好準備；它能優化運輸和通訊網絡，實現城市智能化的規劃與管理……

　　相較於其他細分的學科領域，純數學的研究或許十分抽象，但它並非與現實毫無干係。

　　相信它的突破會為其他領域打開缺口，無論是前沿科技還是文化藝術，都會有更加光明的未來。

　　參考資料：

　　1.https://www.quantamagazine.org/quantas-year-in-math-and-computer-science-2020-20201223/

　　2.https://www.quantamagazine.org/landmark-computer-science-proof-cascades-through-physics-and-math-20200304/

　　3.https://www.quantamagazine.org/building-the-mathematical-library-of-the-future-20201001/

　　4.https://www.quantamagazine.org/mathematicians-grapple-with-sudden-answer-to-connes-embedding-conjecture-20200408/