彩虹背後隱藏的秘密_風聞

歷史上有許多數學家和物理學家研究過彩虹這一美麗的自然現象，除了能解釋彩虹是因為光在水滴中的折射和反射，還有一些有趣的問題不那麼容易回答，比如為什麼看到彩虹的仰角為42°？為什麼看到的彩虹是完美的半圓形？神奇的現象往往背後藴含着深刻的道理，這也是讓科學家不懈追求的動力。

撰文 | Marianne Freiberger

翻譯 | 丁玖（密執安州立大學博士，南密西西比大學數學教授）

校對 | 湯濤（南方科技大學數學系教授）

來源：數立方網站

當偉大的數學家艾薩克·牛頓解釋彩虹的顏色與折射時，詩人約翰·濟慈嚇壞了。濟慈抱怨（當然通過詩），數學解釋打劫了這些魔幻般的“所有規則和線條的奧秘”的自然奇觀。但是，正如我們下面將看到的，數學解釋只需要基本的幾何線條和圓圈，漂亮的數學原理和彩虹本身是一樣的優雅。

因折射而彎曲

彩虹的顏色是因光折射而分裂成的一個結果，就像光線通過稜鏡照射時所發生的那樣。從太陽上來的白光是不同頻率電磁波的組合。當這些頻率的組合在同一時間到達你的眼睛時，你就能看到白色，當你的眼睛捕捉到其它的波時，你就會感知另一個特定的顏色。

約670至780兆赫頻率之間的光波被視為紫羅蘭色調，光譜的另一端是波頻率在約400至480赫茲之間，它給出了不同深淺的紅色知覺。而所有其它顏色均來自這兩個頻段之間的頻率。一般來説，人眼不能感知所有頻率的電磁波。

圖1：可見光譜從紫色（左）到紅色（右）

當一縷陽光碰到一個球形水滴，它的一部分將從液滴的表面反射，但另一部分將進入它。當進入時，光線會彎曲或折射，這是將吸管插進一杯水時看到的同樣現象。然後光線將繼續行進直到液滴的後部。這時有些光線會離開水滴出去，但有些將被反射回來到液滴的另一邊，並在這一過程中再次折射。（見圖2）

圖2：一條光線被折射，反射，然後再次折射。

折射是一縷光線從一種介質傳遞到另一種介質而速度放緩的一個結果。一個非常粗略的類比是想象將一個購物推車以某種角度從路上推向草地：推車因為撞擊草地將首先放緩，然後改變方向。

圖3：不同頻率的光有不同的折射

不同頻率的光進入液滴彎曲多大由Snell定律描述。該定律説，折射光線位於由入射光線和入射點法線所形成的平面上，法線是通過射線撞擊液滴的那點並和液滴表面垂直的那條線。由於我們假設是球形的液滴，在這種情況下，法線是連接液滴中心和入射點的擴展半徑。

圖4：包含入射光線和折射光線的水滴的橫截面。Snell定律表明角度α和β有關係。

Snell定律也告訴我們，光線折射的角度由下列方程決定：

上面的結果四捨五入到小數點後兩位。折射率為1.34的紫外線光有

正是這些不同頻率的光導致的不同折射角度，給出了彩虹的不同顏色。

捕捉彩虹光

但是，為什麼我們看到的顏色形成一個完美的圓弧？要了解彩虹的形狀，我們假定來自太陽的光可以看成一束平行光線並射向一個特定的水滴。使用Snell定律和反射律（即入射角等於反射角），我們可以計算出一根射線偏離它第一次進入液滴時的角α多少。換句話説，當它被折射、反射，然後再折射後以什麼角度轉向（見圖5）。這個角度當然因不同頻率或不同顏色的光而異。

圖5：算出的角度偏差

圖6：DF(α)的圖像

圖7：圖中彩虹線以紅色表示。來自水滴的一簇光線在彩虹線周圍出現，而其它地方出現的光線則更加分散。

色彩錐

圖9：由水滴偏離而來的彩虹線與直線L形成了一個42.52度的傾斜角。

如果把你的眼睛發出的所有和L相交42.52°角度的光線放在一起，將得到一個圓錐體（見圖10）。所有發出紅光的液滴都在此錐上；如果不是的話，你將不可能捕捉到它們的紅色彩虹線。但是，當你從錐的頂點沿着錐表面看，所有你看到的都是一個圓。你可以通過將一張紙捲成錐形狀並通過尖端的小洞窺視來嘗試這點。彩虹來自錐面上與你的眼睛距離不一的水滴，有的較近有的較遠。但你的眼睛無法分辨距離，它看到的是紅色光混合在一起形成的一個圓弧，似乎是位於有一定距離的某處。為什麼你往往看不到完整的圓呢？這是因為地球的緣故。除非你的位置高於天空中的水滴，例如從飛機上俯視，在這種情況下，你可以看到一個美麗的圓形彩虹。

圖10：你看到的在天空發光的水滴位於一個圓錐體的表面。

這種解釋也説明為什麼背朝太陽站着時你只看到一道彩虹：這是你可以捕捉來自於液滴的彩虹光線的唯一途徑。這也解釋了為什麼彩虹下面的天空顯出比上面的更明亮。由於絕大多數的光線離開液滴後高於彩虹線（見圖7），你不會捕捉到彩虹“上面”來自水滴的任何光線（即位於各種顏色的錐的外面）。所以你看不到任何源自這些水滴的反射光。然而，你的眼睛能捕捉到來自水滴彩虹“下面的”的反射光（位於錐體內的水滴）；鑑於此，彩虹下面的天空顯得更亮，它以白光出現，因為從不同的水滴來的不同顏色的非彩虹光線混合在一起會成為白光，並進入你的眼睛。

彩虹幾何也表明，任何你看到的彩虹是你的，也僅僅是你的，雖然站在你旁邊其他人也會看到彩虹，但它一般會來自不同的水滴，因此這將是一個不同的彩虹。

圖11：彩虹

如果你是幸運的，有時候你可能會在略高於主彩虹處看到暗淡一點的第二個彩虹。這個副虹是水滴內光線兩次反射的一個結果。在這種情況下，各種顏色的彩虹角度約為51度，這是為什麼副虹在天空看上去高一點的原因。雙反射也意味着副虹的顏色以相反的順序出現，底部為紅而頂部為紫。下面是笛卡兒所作的原始草圖，他天才地首先解釋了彩虹的形狀，包括主虹和副虹。與副虹相關的雙反射由紅線跟蹤。

圖12：笛卡兒的草圖：主要和次要的彩虹

甚至有可能在理論上（儘管實際中鮮有發生）看到來自水滴內三、四個或更多的反射產生的彩虹。但我把這些計算留給讀者們。

本文轉載自數立方網站。原文鏈接：http://plus.maths.org/content/rainbows