祛魅《幾何原本》｜何以祛《幾何原本》的演繹和公理化之魅？中國象棋+元素週期表_風聞

末那识-学以养识，以识统学。（心迷法华转，心悟转法华）2021-01-26 20:25

2021-01-26

按：本文為從拙文祛魅《幾何原本》｜《幾何原本》的“演繹”和“公理化”之“魅”，何以祛之？中國象棋+元素週期表中節選出的What’s new （你有什麼新見解）的部分（按眉山劍客陳平老師的3W原則，另兩個部分為What’s the issue （你要討論什麼問題）、Why’s it important （這個問題為什麼重要））。懇請諸君批評指正。

What’s new （有什麼新見解）

以下將對《幾何原本》的兩大魅惑：

《幾何原本》從少量的自明公理演繹推導出了四百餘個命題；

《幾何原本》是一個純粹數學的公理化演繹體系。

分別進行祛魅。

一、祛魅“演繹”

《幾何原本》中的命題是演繹推導出來的嗎？

於不疑處有疑，方是進矣。（宋•張載《經學理窟•義理篇》）

我們首先從一個鮮有人想卻可能“直擊要害”的問題開始：

《幾何原本》的書寫結構為什麼是“命題+證明（演繹+公理）=命題”式的而不是“公理+演繹=命題”式的呢？

也即：為什麼並非從公理出發直接演繹推導出命題，而是先給出命題然後才用演繹推理去證明呢？

這是個“問題”嗎？

似乎沒有人認為這是個“問題”，因為似乎沒有人從這個角度以這種方式去看待《幾何原本》。

這樣的“問題”似乎是愚蠢的，但哥廷恩大學玻恩研討班的一句名言是：

愚蠢的問題不僅允許而且受歡迎。

因為有些貌似愚蠢的問題才是最基本的，而最基本的問題往往是新的認知突破的原發地。

那這個問題究竟是個什麼問題？已經拍了大腿、有會於心的朋友且耐心點，容筆者給還未明白的朋友做一些解釋。

1、“命題的‘確立’”中演繹之成色如何

對於一個命題的“確立”——所謂“確立”，即“獲得”了命題並且其正確性是得到了保證的——有兩種方式：

A、從公理出發，通過演繹邏輯，直接推導出命題。

此方式下，這個命題是直接演繹推導出來的，其正確性是依靠公理的正確性和演繹邏輯的保真性推理的特性來保證的。

B、先“獲得”了命題，然後通過演繹邏輯將公理（及其推論）串起來形成一個對命題的“證明”。

此方式下，這個命題是已知的（前人或自己“發現”——“偶得”如畢達哥拉斯定理、“猜想”如哥德巴赫猜想——的），其正確性是通過證明來完成的，而證明的正確性是依靠公理的正確性和證明所用邏輯的正確性來保證的。

那麼，你覺得《幾何原本》中的命題（主要）是以A方式還是以B方式來“確立”的？

筆者的直覺是B方式，以下試證之。

先來看文本（事實）證據

得益於上述直覺認識，筆者發現了一些以前視而不見（小和尚唸經有口無心）的“白紙黑字”的文本上的證據。

比如，同樣在《決定經典叢書》之《歐幾里得》中譯本的《導讀》裏有這麼幾句：

他在這部書中，總結了前人的研究成果。

歐幾里得創造性地總結了他以前的古希臘人的數學，將零散的、不連貫的數學知識整理起來，加上自己的大量創造，構建出彼此有內在聯繫的有機的宏偉大廈。

《幾何原本》中涉及到諸多重要命題，比如命題I.47就是著名的“勾股定理”。傳説這一定理最早是由畢達哥拉斯證明出的，但他的證明方法卻沒有流傳下來。而《幾何原本》中的證明，則可以算是現存西方最早證明勾股定理的記載。

畢達哥拉斯學派……發現勾股定理……還發現了不可公約量，以及五種正多面體的存在，並把算數和幾何圖形結合起來。這些都為歐幾里得的《幾何原本》奠定了堅實的基礎。

清華大學人文學院科學史系教授張卜天的譯本的《譯後記》裏也有類似的表述：

目前通行的《幾何原本》包含13卷（另外兩卷被認為是後人續寫的）。

學者們認為，《幾何原本》在很大程度上是根據一些早期希臘數學家的著作所作的命題彙編。

可見，《幾何原本》中的很多命題是已知的（畢達哥拉斯定理即勾股定理是人所眾知的一個確鑿無疑的案例，其它的，專業學者應該有所考證，此處不贅），歐幾里得只是對這些命題給予了證明。

我們現在不知道的是，假如這些命題並非已知，歐幾里得能否從他的公理中通過演繹推導出這些命題？

我們現在不知道的還有，《幾何原本》中的已知命題究竟有多少、歐幾里得自創的命題又有多少？

我們現在不知道的更有，歐幾里得自創的命題中，究竟有多少命題是通過A方式“確立”的、又有多少命題是通過B方式“確立”的呢？

然後我們再來論理。

**論理其一：**既然“演繹”，那麼應該連綿不絕，卻為何止於400餘個命題？

我們可以學習歐幾里得的“反證法”。

假定歐幾里得《幾何原本》中的命題是以A方式確立的，也就意味着：

給定已知（定義、公設、公理、定理，等），就能從已知出發通過演繹邏輯推導出所有命題（“已知”所內涵的全部結論）。

下面來反證。

如果此説為真。那麼：

歐幾里得將可以綿延不絕的推導下去，至死方休，那《幾何原本》中的命題就不會只有區區400多個，而是至少成千上萬了吧；

再加上他的弟子（如有）和後學者（肯定有）的接力（既然《幾何原本》寫的那麼通俗易懂——號稱笨蛋都能看懂，其秘訣——演繹推導——也人所共知，那總有幾個歐幾里得的弟子或後學能接着續寫《幾何原本》啊），《幾何原本》應該是多少倍現在的體量了吧（而不是僅僅增加了兩卷，見上述引用的張卜天譯本的《譯後記》）。

但這些都沒有發生，由此可知，並非是給你一些已知（公理、定理等）然後用演繹邏輯就一定能推導出什麼命題來的（嚴謹的説，應該是人力所及，能推導出一些能推導出的命題，但不能推導出未能推導出的命題，這看起來像廢話，但仔細體會，實情確是如此）。

證畢。

再做點補充論述。

《幾何原本》中的命題，我們（普通讀者）唯一確定的並非是直接演繹出來的命題就是“畢達哥拉斯定理”，似乎也沒有任何史料中記載畢達哥拉斯是通過演繹的方式得到這一定理的，那麼，可以推定，“畢達哥拉斯定理”要麼是從生產實踐中總結出來的（如它的另一個名字“勾股定理”的來源一樣）、要麼是畢達哥拉斯在擺弄三角形的過程中“發現”的。

古人及其命題是怎麼獲得的，我們不好妄斷，我們看看現代人是怎麼幹的。比如這位：

數學史上最強家庭主婦，只有高中學歷卻做出了4項重要發現。

是**“發現”“發現”“發現”**（重要事情説三遍）的哦，而不是“演繹”出來的。

故此，A方式或許並非是《幾何原本》中命題的“確立”的（主要）方式。

（為什麼加“或許”，因為：第一，這只是以雖然是既定的、全部的事實但依然是有限的事實所做的論據，並沒有邏輯上的必然性，故其可靠性有限；第二，《幾何原本》中的命題究竟是怎麼來的，無從全部考證了嘛。）

**論理其二：**既然“演繹”，那在數學中又為何有那麼多“猜想”？

筆者在看到“我國數學家成功證明微分幾何學兩大核心猜想，歷時11年”這個報道後，感想如下：

歷史上有諸多數學命題/定理的猜想，既然是猜想，那就不是經過推導出來的，而是真的“猜”出來的。

那麼，我的問題是：

1、數學這種純而又純的所謂理性科學，所謂的演繹推理（以歐幾里得《幾何原本》為代表）究竟起了多少作用，換句話説，有多少數學成果是靠演繹推理推出來的，又有多少是靠猜出來的，而重大突破性的成果中又有多少是演繹推理推出來，有多少是先猜到後得證的——自己證明或者後人證明，自己證明的又有多少是抹去了先猜到的跡象而偽裝成演繹推導出來的；

2、後人證明了某個猜想，是由於提出猜想的人比後來給其證明的人的演繹推理能力差嗎？

搞清這兩個問題對我們真正理解科學和創新至關重要。

數學王子高斯也曾感嘆到：

給我一些結果吧，證明由我來給出。

感謝觀察者網風聞社區ID名為Wanglaow見告，但筆者查不到原出處

可見，高斯對於命題的飢渴。

這也説明，數學家更頭痛和更渴望的是“獲得”命題，因為提出命題是更重要、更榮耀的事，也因為有了命題才有活兒——證明——可幹。（即使高斯沒説過這個話，也不影響筆者的論述，因為高斯的話只能算是錦上添花。）

**論理其三：**演繹應該是一門老而彌辣的功夫，但為什麼年紀與建樹成反比

演繹這門功夫，按其本性來説，應該越操練越純熟，隨年紀增長，功力也就會越深，也就越能演繹推理出一些新知——即作出創新。但為什麼在數學創新領域，幾乎全是年輕人包打天下，老爺子們不會成為遏制創新的阻力就已經阿彌陀佛了。

論理其四：既然演繹可得命題，又何來反證法

反證法的存在，至少能直接證明反證法所證明的這些命題並不是直接從公理演繹推導出來的。

**論理其五：**數學家慣於隱匿自己獲得命題的方式和細節

上述筆者關於“猜想”的感想中有一句話很關鍵：

自己證明的又有多少是抹去了先猜到的跡象而偽裝成演繹推導出來的。

“抹去了跡象”恐怕是歐幾里得開了這個“壞”的先例，不知道數學家究竟有什麼顧慮，非得將自己獲得命題的的方式和細節隱匿，很可能是覺得只有演繹才高雅吧。

這可不是筆者的異想天開、欲加之罪，而是在學界有一定共識的：

J. L. Casti曾説：“在數學中，要講述真理是極其困難的，數學理論的形式化的陳述並沒有講清全部的真理。數學理論的真理更象是當我們在聽一些專家所做的漫不經心的隨口評述時，我們去捕捉專家評述的動因後才會感觸到的體味，當我們最終搞清楚典型的例子時，或是當我們發現了隱藏在表面化諸問題之後的實質問題時，我們才品嚐到數學之真。哲學家和精神分析學要解釋，為什麼我們的數學家習慣於系統地擦去我們走過的足跡。科學家們總是不理解地看待數學家的這種怪異的習慣，而這種習慣自畢達哥拉斯以來直至今天幾乎沒有改變。”

陳躍，公眾號：算法與數學之美從歷史角度講現代數學

以上從“文本證據”和“論理”兩方面論證瞭如下判斷：

在《幾何原本》中，**命題的“確立”**的主要方式或許並非是A方式的（從公理出發，通過演繹邏輯，直接推導出命題）而是B方式的（先“獲得”了命題，然後通過演繹邏輯將公理及其推論串起來形成一個對命題的“證明”）。

（筆者不知上述判斷能否得到確切的論證，但至少筆者力有未逮；筆者只希望能啓發讀者對《幾何原本》產生一些如上述判斷的疑問）。

2、“命題的‘證明’”中演繹之成色如何

既然我們已經“證明”（假設上述論證有效）《幾何原本》中的命題並非以A方式直接演繹推導而得來，而是以B方式“確立”即先有命題（命題的“獲得”又究竟是怎麼回事？待會在下文有討論）而後給出證明的，那我們接着再來考察一下在命題的“證明”中，演繹之成色如何。

我們從幾個疑惑開始討論。

疑惑一：命題的“證明”為什麼需要“巧妙”的方法？

當我們説某人證明某命題用了一個非常“巧妙”的“證明方法”時，這個“巧妙”二字實際上已經承認了這個“證明方法”的“獲得”是非演繹的，只有用這個“證明方法”而展開的“證明過程”是演繹的。

疑惑二：前人“猜想”、後人“證明”是因為“演繹”能力的差距嗎？

數學史上有諸多偉大的或不那麼偉大的“猜想”，而且提出者本人未能給予證明，而要等到後人去證明。是因為在演繹能力上提出猜想的前輩不如後世的證明者和後世證明者的同輩不如證明者嗎？

從上述疑惑可知，對於“命題的‘證明’”，也並非直接就從公理開始演繹了，而是先要“獲得”“證明方法”，然後才是按照這一“證明方法”開始的演繹過程，而“證明方法”的“獲得”並非是演繹的。

類比的説，“命題的‘證明’”猶如以公理為起點經過某一線路到達終點，“證明方法”就是“路線圖”，沒有“路線圖”就不知道從起點開始應該往哪走才能到達終點，而這個“路線圖”並非是演繹得來的，所謂演繹僅僅在於按此路線圖行進而已也即按圖索驥，行進過程中經過的節點/站點就是公理或已知的定理等，是路線圖串起了這些節點，而不是行進的動作串起了這些節點。

所以，“命題的‘證明’”也並非是直接演繹的，而是先要“獲得”“證明方法”，然後才能依據這一“證明方法”的指引展開所謂演繹之過程。

綜上1、2之所述，筆者的觀點可總結為：

一個命題的確立大致分三步：

第一步，“獲得”命題；

第二步，“獲得”證明命題的方法；

第三步，展開證明。

類比地説，第一步猶如確定“目的地”，第二步猶如明晰“路線圖”，第三步猶如“按圖索驥”。

只有第三步才是邏輯呈現的場域，所謂“呈現”，是指其實邏輯的展開即演繹推導的過程已內涵於第二步，第三步只是讓其用演繹邏輯的規範語言表述出來而已。故而筆者戲言，所謂演繹不過是個小三而已。

第一步和第二步都是“獲得”，那這個“獲得”是怎麼回事呢？

“獲得”無非兩個途徑，其一“實踐”，其二“思維”。前者易於理解，不再贅述；後者並非理性邏輯的領域，而是非理性、非邏輯的，是感性的直覺、洞察力、想象力，庶幾近於“妙手偶得”和“頓悟”。

3、直覺的首要地位

笛卡爾在他的《思維指導法則》中指出：

“對於我們要研究的對象來説，我們不僅不應該研究他人已經想出的，而且也不應研究我們自己臆測的東西，而應研究我們能清楚明瞭的看出或可靠地演繹出的東西，因為知識不可能用別的方法得到。”使頭腦有能力直接獲得清楚和明晰的基本原理，極其敏鋭的直覺和對結果的演繹——這就是笛卡爾認識哲學的實質。笛爾卡認為思維只有兩種方法，它們能使得我們不必擔心陷入謬誤而獲得知識，這就是：直覺和演繹。在《法則》一書中，笛卡爾對直覺給予很高的評價：“直覺是純粹的專注的思維的可靠概念，它僅由理性之光產生，而且比演繹更可信一些。”

轉引自美國數學史大家、數學哲學家莫里斯·克萊因（Morris Kline，1908—1992）《數學簡史：確定性的消失》

17 世紀偉大數學家之一帕斯卡在他的《思想錄》裏告訴我們：

關於空間，時間、運動和數的基本原理的知識如同我們通過推理獲得的任何知識一樣可信，事實上，由我們內心和直覺所提供的這種知識正是我們的推理賴以建立結論的基礎。對推理來説，要求在接受來自內心的基本原理前就要求其證明是無意義的和荒謬的，就如同對內心來説，在接受由推理所論證的所有命題前就要求其有直觀知識一樣是無意義和荒謬的。

轉引自美國數學史大家、數學哲學家莫里斯·克萊因（Morris Kline，1908—1992）《數學簡史：確定性的消失》

以上引用可參看：數學：確定性的喪失

阿諾德在其論數學教育的文章中指出：

試圖創造所謂的純粹推導式的公理化數學的做法，使得我們不再運用物理學中的研究方法（觀察-建模－模型的研究－得出結論－用更多的觀察檢驗模型），取而代之的是這樣的方法：定義－定理－證明。人們根本不可能理解一個毫無動機的定義，但我們卻無法阻止這些有罪的“代數－公理學家”。

我國數學家、數學教育家姜樹生指出：

那麼不能先講方程再用來做這類應用題嗎？其實現在有些人就是這樣主張的。有了一般方法就可以應用於解決很多特殊問題，這樣效率不就高了嗎？類似的主張在中學數學教育中更多。

小平邦彥對此堅決反對，認為“數學教育應按數學發展史順序進行，而不是按邏輯基礎來進行”（參看 [1]）。筆者很贊同他的觀點。

在邏輯上，固然是由一般可以推導出特殊，因此掌握了一般原理就可以用於解決很多具體問題。但**人的學習規律，是從特殊到一般，從具體到抽象，從簡單到複雜，從容易到難，從低到高。不掌握足夠的特例，是不能深刻理解一般規律的。**在這方面教育不能偷工減料，老師省事了學生就苦了。

姜樹生，公眾號：返樸小學數學應該學什麼？

4、以中國象棋做類比説明

以中國象棋做類比，各個棋子的行棋規則（比如馬走斜日、車走直線）就相當於公理，所有的象棋的戰略戰術以及象棋的對弈史都可以説是這些規則/公理所預先內涵的，具體的對弈實戰只是將這些內涵的東西發掘出來。

各種將死對方的招數就相當於一個個命題，這些命題雖然是預先內涵於象棋規則中的，也即是説理論上可以從規則中演繹得出，但人力所限，我們得到這些招數是在具體的實戰中發現的。

而這些招數的演示，就相當於命題的證明。我們對於一般一眼就能看穿的招數是不展開演示的，只有對於複雜的招數，我們才會演示。

還有一些行棋過程中的戰法或者叫套路，也可以視為命題。比如清代棋譜《梅花譜》中記載的“屏風馬破當頭炮第一局：破當頭炮巡河車去卒局”：

其演示即證明過程如下：

1. 炮二平五馬8進7、2. 馬二進三卒3進1、3. 車一平二車9平8

4. 車二進四馬2進3、5. 兵七進一卒3進1、6. 車二平七卒7進1

7. 炮八平七馬3進2、8. 車七進一炮8進2、9. 車七平三馬2進4

10. 車三進二象3進5、11. 車三退三馬4進2、12. 馬八進九馬2進4

13. 帥五進一炮8平4、14. 帥五平四炮2進6、15. 車九平八車1進1

16. 車三平四車8進8、17. 帥四進一馬4進5、18. 炮五退一車8平6

19. 帥四平五車6退3（黑得車勝）

由此我們發現，可以以中國象棋來度量《幾何原本》中演繹的成色。

二、祛魅“公理化體系”

“公理化體系”究竟是獲得新知的方法還是僅僅是整理已知的寫作方式/行文架構？

主流認知中，《幾何原本》中的命題是以一些公理、公設、定義為起點通過演繹邏輯推導出來的（已經推導出的命題又可加入起點之列，用以推導出新的命題），這些命題以承前啓後的結構化方式被編織成為一個命題體系（知識體系），此之謂“公理化體系”。

“公理化體系”之“魅惑”其實是在“演繹邏輯”之“魅惑”的加持下形成的。在本文第一部分中，筆者已對“演繹”進行了祛魅，所以“公理化體系”之“魅惑”應該也消解得差不多了。

以下仿照第一部分的架構，繼續討論。

我們先來看文本證據。

《決定經典叢書》之《歐幾里得》中譯本的《導讀》中指出：

《原本》作為文化豐碑還在於，它為人類知識的整理、系統闡述提供了一種模式。從此，人類的知識建構找到了一個有效的方法。整理為從基本概念、公理或定律出發的嚴密的演繹體系成為人類的夢想。斯賓諾莎的倫理學就是按這種模式闡述的，牛頓的《自然哲學的數學原理》同樣如此。

……

歐幾里得創造性地總結了他以前的古希臘人的數學，將零散的、不連貫的數學知識整理起來，加上自己的大量創造，構建出彼此有內在聯繫的有機的宏偉大廈。

張卜天譯文的《譯後記》中指出：