那位還在用老式縫紉機打補丁的朋友，可能是個數學小天才_風聞

老式的腳踏縫紉機應該是一代人的回憶，你仔細想過它的原理嗎？為了更便捷地使用，上百年來聰慧的工程師對這種機器進行不斷革新，這裏就有着很奇妙的數學。即使今天已經出現了智能電動縫紉機，但處理布料的縫紉方式仍是線的各種組合，重新看這些老物件，或許會給人們新的啓發。

撰文丨Tony Philips（石溪大學榮譽數學教授）

編譯丨Hadron

縫紉機是十九世紀機械發明的奇蹟之一。據説，聖雄甘地曾經稱它是“人類為數不多的有用發明之一”。這種自動化的工具與打印機或者點鈔機不同，應用它來處理的最終是實際的材料，而非呈現信息。在本文中我將從數學層面探索縫紉機和通常被同時提及的繞線器（bobbin winder）的原理：雙線連鎖縫紉法（Lockstich，也稱為鎖式線跡，是縫紉機上最常用的一種工藝）在拓撲層面上如何實現，以及阿基米德螺旋線形狀的凸輪是如何保證在長線軸上均勻繞線的。

線步拓撲學

最原始的縫紉機使用的是單線鏈式線跡：

鏈式線跡縫法：每逢一針，一圈絲線都被拖進上一圈線形成的環中。

鏈式縫法在拓撲學上不是個難題，因為線完全不打結——只需拉動上圖的右端線頭，就足以讓整個縫線瓦解。對於一些需要容易打開的情況，比如家裏裝滿土豆或者狗糧的袋子，這種縫法是比較好用。但是，有的時候這個特性是災難性的，除非你那麼想要一件一扯就壞的衣服。

最早實現鎖式縫法的縫紉機大約誕生於1830年至1850年間，這種縫紉機用兩股線來縫製。

鎖式線跡逢法：在每一個針腳處，上方的線與下方的線纏繞在一起，並且朝向一致。如果忽略要縫的布料，你會看到兩股線均勻地纏繞在一起，一股繞着另一股。

一眼看上去，用機器縫出鎖式縫法從拓樸學上來説似乎是不可能的。縫紉機用兩股線來縫接縫，而每股線都來自一個線軸——上方的線來自位於機器頂端的線軸，下方的線則來自於隱藏在縫紉機內部梭子裏的線筒。那麼問題來了，這兩股線是如何一圈一圈地纏繞在一起？

答案很簡單，線筒沒有固定在縫紉機上。在早期的縫紉機上，線筒裝在子彈形狀的梭子裏，每縫一針，梭子就先前進穿過上線，當針抬起後，梭子退回，這樣就完整地繞了一圈。梭子在縫紉機中能夠自由地穿梭就是實現這種縫法的關鍵。在更現代的縫紉機中，線筒被卡在一個光滑的圓形金屬梭子中，它處於一個固定的位置，但不是被完全固定住，而是可以轉動。每縫一針，上方線都被掛到金屬梭子上，隨之轉動後剛好和下方線纏起來並被拉緊。

圖a

圖b

兩種實現鎖形縫法的方案。圖a：“振盪梭”。每縫一針，梭子帶着線筒（藍線）穿過上方線（紅色）形成的環。圖b：“旋梭”。線筒（綠線）被封閉在保持固定的圓形光滑梭子裏，每縫一針上面的線（黃色）被拉向繞梭子一圈。在這兩種情況下，為了保證在拓撲學上是可能的，梭子必需在機器內能夠自由運動。

神奇的阿基米德螺旋線

這些有意思的東西我是從前同事，也是好友Enrico Giusti（意大利數學家）那裏得知的。他之前在威尼斯舉辦的“數學與文化（Matematica e Cultura）”會議的講座中提到了縫紉機和繞線器。這些內容也可以在佛羅倫薩的數學博物館“阿基米德花園（The Garden of Archimedes）”裏找到。另一位意大利數學家Franco Conti創建了這個展覽，想法源於他和Giusti在2000年時出版的Oltre il Compasso: la geometria delle curve（《超越圓規：曲線的幾何》）一書。博物館網站上還有這些繞線器的工作機制。

對於那些不熟悉雙線連鎖縫紉機的人來説，每台機器都不相同，因為它們都有各自獨特的梭芯——一個嵌在梭子內載着下方線的小線筒。為了更方便地將線繞在梭芯裏的線筒上，每台縫紉機上都有繞線器這樣的裝置，它們通常挨着縫紉機的主軸，距離縫紉操作較遠的地方。

左圖展示的是經典的縫紉機，Singer Sphinx Model 27, 1910年製造。右圖是繞線器的近距離展示。Model 27是有振盪梭的設計。

子彈狀振盪梭模型和繞線筒，展示的這款長約1.5英寸。

對於那種圓形旋轉梭裏面較短的線筒，要保證線纏繞均勻通常不是問題，縫紉機上的繞線器能讓線均勻地抽出來（當然還是建議你盯着點繞線的過程，必要時用手調整一下）。但是像上圖中那種古老型號使用的又窄又長的線筒就不那麼好辦了：在纏繞過程中，需要沿着線筒來回引導線。有種非常簡單的解決方法，即在繞線器上設計一個可動的結構，來達到來回運動的效果。下圖展示了這種簡單的機制，線可以被引導通過一個轉動的、直徑與線筒長度相等的環上，然後通過固定點連到繞線器，但這會導致線在線筒兩端堆積。在右圖中，可以看到綠色區域的繞線量是相同長度紅色區域的兩倍。Conti解釋了這樣做為什麼會讓線在線筒的兩端堆疊。

（a）圖為實際裝置示意圖，繞線筒繞沿平行紙面方向勻速旋轉，圓盤沿垂直紙面方向勻速旋轉。圓盤上黑點對應下的線筒的位置為繞線的位置。黑點在線筒上方停留時間的長短決定了繞線量的多少。如圖（b）所示，圓盤均勻轉動一圈時，繞線筒綠色部分區域在圓盤上對應的圓心角大小是紅色部分所示區域對應圓心角大小的兩倍，因此綠色區域的繞線量是紅色區域的兩倍。由此可見繞線將在線筒兩端堆疊，結果如圖（c）。

解決方案由這類縫紉機的發明者和後續發展者提出，就是在類似於上圖的旋轉圓盤上安裝一個心形的凸輪，就像兩條阿基米德螺旋拼起來一樣。（在極座標軸可以表示為當 0≤θ≤π，r=θ，當 −π≤θ≤0，r=−θ)。與之連接的臂杆可以調整以匹配繞線器的長度。

1868年出版的507 Mechanical Movements 收錄了這種利用阿基米德螺旋把圓周運動轉換成均勻線性運動的裝置。（507 Mechanical Movements，《507種機械運動》，作者Henry T. Brown是The American Artisan雜誌的編輯，這份刊物專門刊登工業革命時期機械工程領域的新內容，最終Brown將其集合成書，出版了21版。現在這本書可以在網上查到，並有動圖。）這個縫紉機上的巧妙裝置是第96個，書中還給出瞭解釋。

阿基米德螺線

507種機械運動書中記錄的心形凸輪

心形凸輪。心形凸輪的旋轉可以使臂杆得到均勻的橫向運動。虛線擬合出了心形凸輪的運動軌跡。臂杆裝置被等分成任意個部分，從這些點確定了一系列的同心圓。從外圈的最左邊的點開始，每向中心走一小格的時候，同時需要轉動等間距的角度，逐漸走向中心。那麼，這些同心圓和向外輻射線的交點就是我們希望擬合出來的曲線。

早些年比較火的光盤，實際上是由載有信息的條狀介質（厚1.6微米）繞制而成的，它也是一條阿基米德螺旋線。這樣做的好處是，當光盤勻速旋轉時，讀取信息的激光頭只需要勻速地沿光盤做徑向運動，就可以均勻地讀取刻錄在條狀介質上的信息，而且不會間斷。更古老的留聲機的黑膠唱片也是類似的原理，它表面的信息載體——刻槽就形成了一條完美的阿基米德螺旋線。

阿基米德螺線是既作勻速轉動又作勻速直線運動而形成的軌跡。不同的是，有的是垂直旋轉軸勻速直線運動，如前面提到的凸輪和光盤；有的是平行於轉軸的勻速直線運動，如阿基米德揚水器。據説，公元前3世紀，阿基米德為了解決用尼羅河水灌溉土地的難題，發明了圓筒狀的螺旋揚水器，後人稱它為“阿基米德螺旋”。阿基米德螺旋揚水器是最古老的水泵，藉着螺旋曲面繞着旋轉軸做旋轉運動，將水從低處傳輸至高處，用於農田灌溉。憑着它操作簡單、結構維修簡便，流速平穩等優點，至今在工業應用中仍有阿基米德螺旋泵的身影。

上圖所示為阿基米德螺旋揚水器，轉軸每旋轉一圈，每個格子裏的水都向前推進一個螺距。

應該注意的是，阿基米德螺旋經常與另一種常見螺線——等角螺線（或稱對數螺線）混弄，它們的區別在於後者旋轉是以幾何指數遞增，而阿基米德螺線是恆定的。大數學家雅各布·伯努利對這種曲線頗為痴迷，相傳他要求死後把等角螺線刻在墓碑上，結果最終工匠刻成了阿基米德螺線。

等角螺線

阿基米德螺線，這種簡潔且深邃的曲線也出現在今天各類工程應用裏，小到螺絲，大到通訊天線。技術的魅力在於為人類帶來了切實的應用，而背後的原理更顯自然界的神奇。或許你再翻出仍在儲藏間角落的縫紉機，還能發現過去沒注意到的科學道理。

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