同樣的利率下，如何讓賬户裏的錢翻倍？_風聞

同樣的利率下，如何讓賬户裏的錢翻倍？我們在預測數值增長的時候經常提到“指數增長”一詞。自然底數e是指數增長模型中一個很常見的常數，那麼自然底數是如何自然地出現的呢？

這張圖很好地説明了指數增長的模式：莖分成兩個分支，每一個分支又分成兩個分支，依此類推。很快有很多的樹枝，它們形成了一個濃密的樹冠。

為什麼自然底數e總出現在指數型增長模型中呢？

這個問題有一個純粹的數學上的答案，但日常中它還能解決你在銀行賬户中“錢生錢”的問題，（當然如果是負債的話也可以算……），也就是複合利率的問題；同時還可以用到醫藥、流行病等等其他領域。今天我們用一個便於理解的方式來解釋。

想象一下，如果你在銀行有N塊錢（基本量），也就是本金，每塊錢在一週後都可以獲得固定的r元（產出），就是利潤，那麼t周後你的賬户裏會有多少錢（總量）呢？

N+rN=N(1+r)

來，我們從N元開始計算，在第一週N中每一份都會獲得r元，那麼一週後我們就可以獲得rN元，加上我們已有的N，那麼我們第一週就會有N+rN=N(1+r)元。

第二週，已有的數目又繼續乘以因子r，也就是説有rN(1+r)元錢加入到原有的N(1+r)中，這樣的話第二週我們就有：

N(1+r)+r****N(1+r)=N(1+r)(1+r)=N(1+ r)2

這麼多。

類似的，第三週本金是N(1+ r)2 ，加上獲得的利潤 rN(1+ r)2，那麼一共是：

N(1+ r)3

找到規律了嗎？繼續計算，那麼t周之後你就會獲得 N(1+ r)t 元。

下圖展示了N為1時，10周內總量的增加情況。戳這個圖片鏈接可以看到數值的動態變化，你可以通過滑動左側的的條來改變r。

我們能立刻看出圖像更像一個台階，而不是一個曲線，這是因為我們之前假設的是在每週的結束時（在週日的半夜時分有一個突變）我們獲得利潤。

但其實這樣的話我們就會大大低估實際的數量！因為我們忽視了由事物A（前面説的本金）產生B（利潤），其實不一定要等到一週的週末，而是可以更早地產生利潤，而獲得的總量其實也可以在週末之前產生新的利潤……這樣之前我們計算時其實都忽略了這種可能性，從而大大低估了最後的數值。

如何賺得更多

既然如此，讓我們計算得更詳細一些，我們假定每天都獲得一次利潤，每塊錢每天的收益是r/7，這樣保持一週的利潤總量還是r。那麼第一週週末你會獲得多少錢呢？計算方法實際上和之前的是一樣的，只不過把單位從周換成了天，利潤從r變成了r/7，那麼第一週週末你的總資產就會變為：

N(1+ r/7)7

這樣的話到了t周之後，也就是7t天之後，總量就會變為：

N(1+ r/7)7t

那如果利潤每時每刻地產生呢？那我們的估計可能對於第一次的計算來説又有了一些改變——畢竟第二次改良相比於初始計算只是把時間節點從每週末換到了每天的結束而已，如果時間節點換成每半天結算一次呢？那當天就有兩次的利潤結算了。

那下一步，就是把我們結算的基礎週期從每天，改為每小時，或者做得更精確一些，改成每分鐘或者每秒。

實際上，我們可以考慮更普遍的情況——讓我們將一週分為n個時長相等的週期，n的值可以取很大，使得每個週期長度非常短，根據上面的推理，我們可以假定每過一個週期，每個單位的本金在每個週期時間內產出r/n，根據上面提到的推導，我們可以得出t周之後的總量為：

N(1+ r/n)nt

逼近極限

那麼，如果n取得越來越大這個表達式會怎麼樣呢？這樣的話也就意味着產出的週期就會越來越小。

我們主要來看表達式中的一部分，(1+ r/n)n 的部分，當n越來越大時（隨着n的增加），這個表達式趨近於 er，其中的e就是歐拉數（Euler’s number，也叫自然底數）。也就是説，當我們假設產出的週期趨近於無窮小、即隨着時間推移在不斷產出時，總量的變化就是指數型變化，而其中的數字e就由此產生了。

那麼，回到之前的t周之後總量的式子

N(1+ r/n)nt=N((1+ r/n)n)t

根據上述的推論，當n增加到非常大時，這個式子趨近於

N(er)t =Ner****t

下圖是基本量N=1時，隨結算時間的總量變化：

最後需要注意到的就是變化的量t，我們之前用它來表示週數；還有參量r，我們用它來表示每週的單位基本量的產出量（產出率）。一般情況下，t可以不再指週數了，t也可以是天數，相應的r就調整為每天的產出率，最後的我們的獲得量還是一個與上述表達式當中的e有關的量。那麼我們可以類比地用t來衡量小時、分鐘或是秒，你可以通過計算的對象來做出相應的改變。比如之前的例子中，銀行一般用的是年利率，那麼t的週期就是一年；對於細菌的數量來説，由於其增殖速度很快，t的週期會大大減小；而計算流行病時，t會隨着疾病感染的時間變化。

錢會消失嗎

在我們之前的討論中，我們一直假定每週都有新的東西生成。但如果這個量也會減少呢？比如在傳染病流行過程中會有人癒合或死亡，那麼感染人數就會減少。

實際上，我們的計算過程並不會有什麼改變：我們把增加量和減少量的總和看成新的增加量，只需要在總量減少時，將之前的增長率r取負數就可以了。計算出的t時間後的總量還是會趨於式子：

Ner****t

可以從下圖看出當N=1、r=-0.5時，獲得量隨時間的指數減小的情況，數學家稱之為“指數衰減”。

指數模型不是萬能的

像所有的數學模型那樣，指數模型也有一些自身的限制並帶來了一定的問題。

對於感染病的傳播來説，因為有人患病後癒合或者不幸去世，所以感染的總人數並不會像模型中的一樣飛快增加，而是會相對減小，所以實際中指數增長模型只是會在爆發後的一個相對合理的週期內符合，它並不會永久地做出很好的預測。

還有許多東西不能直接使用指數模型計算，在流行病的傳播過程中，由於個體的差異，受到感染的人的發病時間會有不同，隨着時間的推移以及其他的原因，增長也會發生變化。要讓自己構建的數學模型更加精確、時效性更長，就需要考慮更多複雜的因素。

儘管如此，對於預測問題的性質和走向來説，指數模型仍然是非常有力的工具，同時也向我們展示了數字e的迷人和強大。

作者：Marianne Freiberger

翻譯：zhenni

審校：Dannis

原文鏈接：

https://plus.maths.org/content/compound-infections