x3+y3+z3=3第三組整數解是多少？這個58年難題被40萬台電腦算出來了_風聞

你在看到標題的時候，一定會想：

這個問題我知道答案：x、y、z都等於1。

如果再多算幾步，你還能發現4、4、-5也是一組整數解。

注意審題，以上只是方程x3+y3+z3=3的前兩組整數解，第3組整數解是多少，你知道嗎？

1953年，數學家Louis Mordell提出一個疑問：這個第3組整數解，它存在嗎？

最近，這組解終於被找到了。

警告一下，千萬別嘗試用窮舉法編程！

因為這3個數遠遠超出了長整型的範圍，但數學家還是動用了40萬台電腦把答案找出來了。

另外，這兩位數學家還把程序代碼開源了。

當然，他們並非暴力搜索。這時候數學的作用就來了：它能為你提供算法，告訴你搜索範圍，大大縮小搜索空間。

一個正整數能否表示成三個整數的立方之和（x3+y3+z3=k），關於它的每次發現都能引起不小的轟動。

這個看似沒技術含量的問題，其實困擾了數學界很久。

三個立方數之和

1992年，數學家Roger Heath-Brown提出了一個猜想：對於一個正整數k，如果它除以9的餘數不是4或5（k不等於9n±4），那麼k就可以表示成三個整數的立方之和。

而且每個k都有無窮多組整數解。

對於k小於100的情況，2019年之前只有k=33、42沒有找到整數解。

2019年3月，33告破：

33 = （8866128975287528）3 + (-8778405442862239)3 + (-2736111468807040)3

2019年9月，麻省理工的Andrew Sutherland和布里斯托大學Andrew Booker的兩位安德魯找到了42的答案：

42 = (-80538738812075974)3 + （80435758145817515）3 + （12602123297335631）3

當時，菲爾茲獎得主、劍橋大學教授Timothy Gowers還轉推“祝賀”。

雖然100以內的數皆告破，但幾十年間卻沒有關於k=3的新解，許多人開始相信這個所謂的新解根本不存在，Heath-Brown猜想也是錯的。

但是，在找到42的答案之後，這兩位安德魯很快就出乎意料找到了k=3的第三組整數解：

3 = （569936821221962380720）3 + (-569936821113563493509)3 + (-472715493453327032)3 

數學化簡

為了找到42和3的解決方案，兩位數學家從現有算法開始，將立方和公式轉化為他們認為更容易求解的形式：

他們將x+y看做一個參數d，進一步修改了算法，然後將兩邊都除以d求餘數（數學中記作mod d）

這樣問題就變成k除以d的餘數是z?。

這樣，只需尋找d和z的值，即可保證找到對應於k=3的x、y、z。

即便如此，搜索的數字空間也是無限大的。因此，他們通過使用數論中的“篩法”，極大地減少了d範圍，將xyz的搜索範圍降到10的15次方以內。

拆解任務

兩位安德魯還開發了將搜索算法拆分成幾十萬個並行處理流的方法。

如果僅在一台計算機上運行該算法，則要花幾百年的時間才能找到答案。而通過將工作分為幾十萬個較小的任務，就可以在個人電腦上運行，進一步加快搜索速度。

在2019年9月，研究人員通過Charity Engine實施了這項計劃，借用普通用户的家用電腦資源，共同解決難題。

當時，全球加入Charity Engine分佈式計算項目的計算機超過40萬台。兩位安德魯將他們的算法部署在平台上。

（注：Charity Engine項目還幫助科學家解決了一個蛋白質摺疊問題，發了一篇Science。）

最終，這項工作被分為大約40萬個任務，每個任務需要一台計算機花費大約3個小時才能完成。

很快，全球各地的電腦返回的k=42的第一個整數解。

而僅僅兩週後，他們已經發現，k=3的第3個整數解就找到了，他們還把這組解印在了T恤上。

至此，Mordell在68年前的問題終於得到解答。

那麼問題又來了x3+y3+z3=3的第4組解是多少？

可能有生之年很難見到了，因為求下一組解需要的計算量是現在的1000萬倍，需要4萬億台電腦才能算出，而且可能還不夠。

△ 論文作者之一Andrew Sutherland

Sutherland説：“我不知道我們是否會知道第四個解，但是我確信它存在。”