相對論把球看扁了？圖樣圖森破丨賢説八道_風聞

科學闢謠，要闢就闢科學界內外根深蒂固的謠。

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

轉動，只有各種轉動；任何轉動都只是轉動而已

——筆者

摘要 時間膨脹和長度收縮是民間廣為流傳的相對論效應，甚至有所謂高速運動的星球其視覺效果變得扁平的嚴肅研究。然而，狹義相對論的精髓是洛倫茲羣，那是一個共形（保角）變換羣，洛倫茲變換從一開始就是讓球波還是球波的變換，一個運動球體的視覺效果

加以討論。運動球體的視覺效果看起來還是圓但經受了轉動，此結論有用旋量和幾何代數的嚴格證明。

關鍵詞 長度收縮，時間膨脹，視覺，洛倫茲羣，共形（保角）變換，轉動，旋量，幾何代數

1 伽莫夫的奇異世界

伽莫夫 (Георгий Антонович Гамов，1904-1968) 是著名的理論物理學家、宇宙學家，原子核的液滴模型，α粒子衰變的量子隧穿模型等重要物理內容都和他有關，但他更成功的地方在於他眾多的Science writings。我最喜歡的是他的短篇“我兒子是個物理學家”，而廣為人知的是長篇《One Two Three…Infinity》(漢譯《從一到無窮大》。我怎麼傻傻地覺得哪兒不得勁呢)，Mr. Tompkins in wonderland (漢譯《物理世界奇遇記》)。這後一本1940年出的第一版，此後多次再版，1999年Russell Stannard還代庖完成了修訂版的The New World of Mr. Tompkins。

伽莫夫的wonderland 是一個光速比自行車速度 (對一般人來説這個數值~30 km/hr) 略高的世界，因此一個騎自行車的人很容易觀測到相對論效應。伽莫夫藉助這個奇思妙想來普及狹義相對論。那麼，一個騎自行車的人用眼能觀測到什麼相對論效應呢？書裏給出的例子是長度收縮。在騎自行車的Mr. Tompkins的眼裏，路邊的行人、狗、建築一概在他自行車速度的方向上收縮了——他把世界看扁了。這樣的物理世界的圖像書裏是一定要給配個插圖的 (圖1)，這是多麼令人驚奇啊！伽莫夫的這本書，尤其是這幅插圖，對於普及長度收縮的概念可以説功莫大焉！説長度收縮婦孺皆知並不為過——有水井處即有人討論長度收縮。然而，事情就怕説然而，伽莫夫對長度收縮的理解是完全錯誤的，“Indeed, in his famous 1940 children’s book Mr. Tompkins in Wonderland, the Russian-born physicist George Gamow got length contraction all wrong.” (David Appell語) 這一幅讓伽莫夫名滿天下的插圖恰恰也是讓他的著名理論物理學家身份受傷最重的，書中含有公式

則更是雪上加霜，他對相對論的理解確實太膚淺了，與他在眾多物理學方向上表現出的水平嚴重不符。

圖1. 在騎自行車的Mr. Tompkins的眼中，世界是在自行車運行的方向上是壓縮的

2 長度收縮

相對論的精髓是洛倫茲變換。設兩參照框架的相對速度v在x-方向上，則兩參照框架的時空座標之間的洛倫茲變換為

相對論意義下的物理變換，應該把物理量表示成4-矢量或者 4×4 張量的形式，相應地作洛倫茲變換或者二重洛倫茲變換。

時間膨脹和長度收縮是人們耳熟能詳的相對論效應。筆者在諸多關於相對論的嚴肅與不嚴肅的介紹中不知道見過多少次這種説法，且也是深信不疑。然而，等到筆者自己撰寫《相對論~少年版》時，卻發現問題遠不是那麼簡單。有些地方是讓人感覺相當彆扭。

你看到問題出在哪兒了吧？雖然相對論用的是時間和空間縫到一起的空時(spacetime) 的概念 (時空是對空時的故意顛倒，類似的有輸運對運輸的故意顛倒。有人給我們用中文學物理挖了許多坑)，時間膨脹和長度收縮老是相提並論，但是它們的推導用的卻不是同一個物理圖像！物理不帶這麼玩的。

既然觀測者測量到的相對運動的物體在運動方向上的長度比實際的要短，那自然可以説一個從身邊疾馳而過的物體看起來有點扁，或者如伽莫夫書中描述的，一個騎自行車人的看到了一個擠扁了的世界——相對論把世界看扁了。我印象中，有本相對論書裏有用長度收縮出了個如何相對論地往車庫裏倒車 (how one drives relativistically his car into garage) 的題，我是實在不理解 (但凡那車值10塊錢也捨不得相對論地往車庫裏倒) 。現在，我為當初我對這道題的困惑不解感到驕傲了。

3 相對論幾何與相對論視覺

時間膨脹和長度收縮被胡亂地用於一些原子物理現象的解釋，嚴肅的、對物理有點感覺的物理學家很容易注意到裏面前後不一致的地方。早在1924年，即量子力學、玻色統計被引入的同一年，Anton Lampa就發文討論了“一根運動的杆在靜止觀察者看來到底是什麼樣子”的問題，可惜無人喝彩。長度收縮帶來一個擠扁了的運動世界的説法繼續肆意流傳。

到了1959年，事情有了轉機。James Terrell 發表了“洛倫茲變換之不可見性”一文，該文驚動了物理大家Weisskopf撰文加以詳細闡述。最重要的是，同年彭羅斯發表了“相對論運動球的視形狀”一文。這些研究的結論是，運動物體沒有看起來扁平這種事情，一個球運動起來給靜止觀察者的視覺效果也是個圓，但是觀察者看到的是轉動了一個角度的部分。這種由相對運動帶來的、用洛倫茲變換描述的、運動物體在靜止觀察者那裏引起的視覺效果上的轉動稱為Terrell effect 或者Terrell rotation. 對於一個立方體骰子來説，運動快了Terrell 轉動會讓它的背面都能被看到 (圖2)。

圖2. 一個立方體的Terrell 轉動示意圖

對於運動物體由洛倫茲變換帶來的視覺問題，彭羅斯以運動的球給觀察者的視覺仍是個圓為例，他的數學處理用到了射影幾何以及用兩分量旋量 (a, b) 來表示時空座標，

這個不是很好理解 (其實，學1927年引入的量子力學泡利方程就該好好學學旋量的語言)。利用幾何代數的語言雖然也不容易懂，但是相較而言推導還比較直觀一點。

行文至此，作為對本文所討論的相對論視場變換 (transformation of field of vision) 問題的延伸，筆者要特別提醒讀者，為了全面地理解快速運動物體的視覺結果，有必要針對任意尺寸、任意視角、任意距離、任意速度來計算一個物體的幾何。嗯，請記住，底線是

圖3. 球的相對論視覺

4 問題出在哪兒呢？

關於長度收縮的誤解由來已久。即便是到現在，在 Terrell 和彭羅斯的工作發表60年以後，所謂因為長度收縮運動球看起來是扁平圓盤的説法還隨處可見。萬幸的是，筆者2020年出版的《相對論少年版》躲過了這個坑。那麼，有這樣的誤解，問題出在哪兒了呢？

首先可能是因為基本科學素養不夠。

談論一個三維物體對運動觀察者的視角效果問題，必須把4-個時空維度當成一個整體考慮。把一個洛倫茲變換掰開來討論，特別是用不同的物理情景來討論時間和空間座標的變換問題，這應該是非常業餘的研究者做法，是科學家不該犯的錯誤。非常有趣的是，伽莫夫這樣的鳳毛麟角的優秀理論物理學家，其功底看似不是很紮實，哪怕是洛倫茲這樣的巨擘級的科學家，也犯了這種低級錯誤。洛倫茲甚至在1922年宣稱，長度收縮不僅存在，而且是一個物理可觀測現象。一個常見的相對論效應，就成了物理學家的試金石，再次驗證了低温核聚變鬧劇時引出的那句扎心的評論——這個世界上80%以上的物理學家根本不懂物理。而那些頂級的物理學家，也難免犯這樣或那樣的低級錯誤。

其二，可能是因為數學功底不夠紮實。彭羅斯是憑數學思考看出來這個長度收縮引出來的推論有點兒那麼不合適的，用他自己的話説，是All this is evident from the symmetry——他説this is evident. 洛倫茲變換是保角（共形）變換，關於洛倫茲變換的演繹，底線是任何物體的觀測形狀不依賴於洛倫茲變換 (The bottom line is that the observed shape of any object will not depend on its Lorentz transformation)。當然了，光有這麼籠統的思考心裏估計也還是不踏實，如果能象彭羅斯那樣，還能再用投影幾何和旋量來驗證一下，那就完美了。彭羅斯的論文只有短短的兩頁半，數學證明也就是給個梗概(sketch)，他對我們讀者的數學要求有點兒高啊。其實，以筆者的馬後炮定式來看，洛倫茲羣有六個生成元，可以理解為都是關於轉動的，則洛倫茲變換的唯一結果是時空轉動。順便説一句，彭羅斯的科學素養和研究水平太高了，有興趣的讀者可以好好研究他在哲學、數學和物理方面的眾多成就，他2020年獲得諾貝爾物理獎有被人碰瓷了的説法。

其三，可能是因為物理學史功底不夠紮實。洛倫茲變換是關於麥克斯韋波動方程的不變變換，是讓球波看起來還是球波的變換。關於這一點，早在1887年就是已經明確了的，參見拙著《相對論少年版》5.5節“洛倫茲變換的歷史”。注意，洛倫茲變換是讓球波看起來還是球波的變換，球波還是球波，哪有球變得扁平這回事兒呢！

回頭談談伽莫夫寫 science writing 推廣量子力學和相對論的苦心。伽莫夫假設如果物理常數換個數值，使得類似相對論效應的那些物理效應是觸手可及的，則我們通過長期思考研究得來的高深知識“會變成常識。我們甚至可以説連原始人在那樣的世界裏也會熟悉相對論和量子理論，會將這些知識用於打獵和日常生活 (would become a matter of common knowledge. We may say that even a primitive savage in such a world would be acquainted with the principles of relativity and quantum theory, and would use them for his hunting purposes and everyday needs.) ”然而，伽莫夫的這種想法還是太naïve 了。知識不會因為現象或效應盡在眼前就能變成common knowledge——這個世界上有幾個人懂得加法呢？伽莫夫試圖用他的science writings 讓人們形成關於實際物理世界之隱藏背景的清晰圖像 (form a clearer picture of the hidden background of the actual physical world)，似乎不是很成功。連伽莫夫這樣的創造了物理學的、擁有最強大腦的、最勤奮的一羣人尚且做不到，指望着靠一羣資質平平、不明就裏的人所提供的簡化、零散、淺薄的知識片段讓人們快速獲得科學素養，這種想法也虧得有人敢想！知識越簡化、越零碎，越意味着遠離知識體系，越具有較高的曲解、誤解甚至根本就是錯誤的風險。我的口號是，熱愛科學，遠離科普，哪怕是伽莫夫那種水平的科普作品。

從這個關於狹義相對論長度收縮效應的認識過程筆者得到的教訓是，作為學習者要習慣懷疑，要找到對具體學問細節負責的那個人，要到大的知識體系中推導驗證所學內容。此外，作為作者，寫書時一定要主動提醒讀者去懷疑。

若有一天見到了那些無所用心的所謂相對論作者，包括寫了《相對論少年版》的我自己，我想用《天下無賊》裏的那句台詞跟他們打招呼：“ you should say sorry to me! ”

參考文獻

1.George Gamow, Mr. Tompkins in wonderland, Cambridge University Press (1962).

2.George Gamow, Russell Stannard, The New World of Mr. Tompkins, Cambridge University Press (1999).

3.曹則賢，《相對論少年版》，科學出版社(2020).

4.Anton Lampa, Wie erscheint nach der Relativitätstheorie ein bewegter Stab einem ruhenden Beobachter, Zeitschrift fur Physik 27, 138-148 (1924).

5.James Terrell, Invisibility of the Lorentz Contraction, Physical Review 116(4), 1041–1045(1959).

6. Victor F. Weisskopf, The visual appearance of rapidly moving objects, Physics Today13(9), 24 (1960).

7. Roger Penrose, The apparent shape of a relativistically moving sphere, Proc. Cam. Phil. Soc. 55, 137-139(1959).

8. David Appell, The invisibility of length contraction, Phys. World 32(8), 41-45(2019).

9. Chris Doran, Anthony Lasenby, Geometric Algebra for physicists, Cambridge University Press (2003).