我愛糾纏如秋褲｜量子多體中的吶喊與彷徨之八_風聞

對彎曲空間（在數學上被稱之為流形）的研究，是數學的一個大方向，數學家非常感興趣，特別是關於這些流形所有可能的拓撲結構。其中一個研究思路就是尋找一些簡單的流形，看它們是否可以作為複雜流形的基本構件：任何一個流形都可以通過這些基本構件的拼接來實現。比如二維流形的基本構件，就是“秋褲”和“西瓜帽”。任何一個二維流形都可以通過秋褲和西瓜帽的縫合來形成。這種“裁縫拓撲”是數學中的一個重要手段。

三個西瓜帽和一個秋褲可以縫製成一個球面。兩個西瓜帽和兩個秋褲可以縫製成一個環面。

流形的拓撲在物理上也有很重要的應用。目前物理學家非常感興趣而且廣泛研究的量子材料，其中有很強的多體量子糾纏。但多體量的糾纏是一個全新的自然現象，它們長什麼樣，內部有什麼結構，很難説清楚，因為描寫這些結構的語言（也就是數學理論）還有待（或者説正在）發明。

探索多體量子糾纏內部結構的第一個想法，就是把多體量子體系放到有各種不同拓撲性質的流形上，然後測量這個系統的一些物理性質，如基態簡併度和基態所形成的纖維叢。這樣具有不同拓撲性質的流形就成為了測量多體量子糾纏的探測器。有人猜想，具有所有可能拓撲結構的流形，是多體量子糾纏的完備探測器。也就是説，可以測量到所有可能的多體量子糾纏。這樣，流形的拓撲結構和多體量子糾纏的內部結構，就有了一個很深刻的對偶關係。這就是為什麼多體量子糾纏的內部結構被稱之為拓撲序。正是因為這個深刻的聯繫，數學上研究拓撲結構的方法，也成為物理上研究多體量子糾纏的方法。抽象數學中的經典拓撲（就是上面説的“裁縫拓撲”）和代數拓撲在量子材料的研究中大顯身手。今天這篇文章介紹瞭如何用“裁縫拓撲”中的“秋褲”來探測多體量子系統中的糾纏熵。

——文小剛

撰文 | 孟子楊

來源 | 本文選自《物理》2021年第3期

1 引 子

秋褲者，勤勞勇敢的中國人民禦寒保腿温之神器也。從塞外北國到中原大地，從江南水鄉及至嶺南熱土 (沒暖氣)，每當神州各地秋風乍起涼意漸濃的時候，媽媽總會關切地問一句“你穿秋褲了嗎？”不論在北風呼嘯大雪飄飄的北方，還是在陰冷潮濕室內室外同此涼熱的南方，一條秋褲不僅讓温度從腿部一直蔓延到心裏，更喚起了你內心中一種依戀的情節，告訴你時代再變再內卷再996，國際形勢再複雜再詭譎再亡我之心不死，我們漂泊的人生中總有一些不變的東西，家一樣的東西，每年按時來到，讓你安心，保你平安。這就是規律性和規律性給人帶來的慰藉。

雖然穿不穿秋褲的爭論仍在全球化的大潮中此起彼伏，但秋褲的存在，的確揭示了我們生活中的一個普遍現象，呼喚着我們心中的一種普遍心理。這樣反映普遍規律的事物，願意思考的人都喜歡琢磨一下。雖然他們中很多人並不見得會穿秋褲，比如筆者，但喜歡是真的。

科學研究當然也是揭示規律性的活動，從事這個行業的，也頗有一些願意思考的人。有趣的是，在筆者熟悉的量子多體系統的研究中，竟也存在一個和秋褲頗為相像的事物，揭示出量子多體系統中無處不在的量子糾纏這樣深刻的道理，讓科研從業者中願意思考的人安心，忘卻身邊的種種不順遂，進入“此中有真意”的境界而更加起勁地探索其中的奧妙。他們發現通過秋褲的視角可以揭示量子多體系統從朗道—金茲堡對稱性自發破缺，到量子相變，再到拓撲序長程糾纏和範疇對稱性等等奇異的現象，秋褲之功善莫大焉。

這聽起來好像有點離奇，待我為君細細道來。

2 量子糾纏

量子糾纏是一個深刻的概念，其全面的外延與內涵，當然不是這篇小文可以承擔的。但是僅就在凝聚態物理學量子多體問題的研究中，人們逐漸認識到，量子糾纏的重要性體現在對其的測量能夠反映量子多體系統的規律性——尤其是這樣的規律性無法從常規測量中得到時——以至於在許多新奇量子物質形態的探索中，糾纏成了一錘定音的判據。

那麼糾纏作為一個概念，怎樣在量子多體系統的計算中進行量化呢？這就是糾纏熵。為了計算糾纏熵，需要定義約化密度矩陣 (reduced density matrix)。如圖1所示的一個量子多體系統，我們將其分為A 和B 兩個子系統 (也可以記為A 與其補集

)，那麼就子系統A 而言的約化密度矩陣就是將系統波函數中屬於B 的自由度積分掉，寫成公式就是

然後隨之而來的糾纏熵 (此處主要介紹雷尼(Renyi)熵) 就是

其中 q 是一個整數。q → 1 的極限就給出了馮·諾依曼熵，而在量子蒙特卡洛的晶格計算中，人們常常計算 q = 2 的Renyi熵。對於空間維度 d = 1 的量子多體系統，糾纏熵在量子場論的理論框架之下，以及密度矩陣重正化羣 (density- matrix renormalization group，DMRG) 的嚴格數值計算之中，目前人們已經獲得了十分深入近乎完善的理解。比如對於 s =1/2 海森伯模型的自旋鏈，假設鏈長為L，而其中的子系統A長為lA，其 q = 2 的Renyi熵就是

其中的常數c就是系統的中心荷 (central charge) ，是一個普適量(universal constant)(對於 s = 1/2 海森伯自旋鏈 c = 1)，而b是一個非普適量。這方面的文獻已然汗牛充棟，比如文獻[1]，筆者也不贅述了。總之糾纏熵的計算在1維的量子多體系統中是如此多見，以至於眼下做DMRG計算的人，在進行量子多體計算時，第一個要看的就是糾纏熵如何，“糾纏熵怎麼樣？”，“糾纏熵大不大？”，“糾纏熵和D怎麼標定？”這樣的話，在DMRG從業人員的日常交流中，已經平常到“你吃了嗎？”，“你家孩子幾歲了？”，“今天天氣，哈哈哈……”這樣的見面寒暄用語的程度了。

不過在這篇文章裏，出於筆者個人的行業積習，我們談談糾纏熵在空間維度 d = 2 的量子多體系統中，如何通過蒙特卡洛計算得到，以及得到的結果反映了什麼普適規律。當然，最重要的是，糾纏熵與秋褲到底是什麼關係。

圖1 空間維度為d 的量子多體系統，可以分為A，B 兩個子系統，計算其糾纏熵。A 和B的交界，記為lA，就是下文中所説的面積律裏面的面積。注意此處的面積是指A 和B 交界的面積，即d-1維度面積，對於d 維來説，lA是A 和B 交界的周長

3 秋褲的算法

其實糾纏熵之所以能夠在DMRG這類計算中生根發芽，主要是因為這些計算可以得到量子多體系統的波函數 (起碼是波函數很高程度的近似)，有了波函數，自然可以套用上面所説的公式，直接計算系統的約化密度矩陣和糾纏熵。但是對於空間維度 d = 2 和更加高維的晶格系統，如正方、三角、Kagome等晶格的Hubbard模型和海森伯模型等等，面對系統中自由度指數增加的問題 (常常也稱為“指數牆”問題)，此時還想要普遍性地寫出系統的波函數，就勉為其難了。取而代之的，是通過統計物理的方法，在 d+z 維度的相空間中 (d 為系統的空間維度，z 為系統的“時間”維度，其實z 有一個學名，叫做動力學臨界指數，在我們討論的問題裏，很多時候 z = 1，也就是大家常常聽到的那句其實是有錯誤的話“量子系統就是d+1維的經典系統”的由來)，進行滿足系統統計規律的蒙特卡洛抽樣，才有可能以代數增長的計算複雜度，克服指數增長的物理問題自由度，獲得對於量子多體系統的嚴格結論。

那麼問題就來了，既然量子蒙特卡洛是解決 d = 2 的量子多體系統的不二法門，怎麼用蒙特卡洛的方法計算糾纏熵呢？辦法自然是有的，這就是秋褲登場的地方。不過我們還是以 d = 1 ，z = 1 的量子多體系統為例 (比如上文中的 s = 1/2 海森伯自旋鏈) 來説明秋褲的算法吧，如圖2所示 (此處當然也可以畫一個空間維度 d = 2 的晶格，不過那樣捲成的秋褲就太後現代了，還是一維比較清楚)，長度為L，温度為T (“時間”長度 β = 1/T ) 的量子多體系統的配分函數，可以用圖2分母中的一個長為L 的圓筒表示，圓筒的周長就是系統的時間維度β，之所以捲起來是週期性邊界條件的意思。如此係統的配分函數和種種物理可觀測量，其蒙特卡洛計算自然是不在話下[2]。問題是糾纏熵需要把系統兩分 (bipartition，當然實際計算中可能不止兩分而是多分) 為子系統A和其補集，就是

然後刻畫系統內子系統之間的糾纏。

圖2 d =1，z =1的量子多體系統，2階Renyi糾纏熵S2(A )的秋褲表示。系統本身的配分函數Z就是一個長為L 的圓筒，筒的周長是β。現在為了計算糾纏熵，需要把Z 平方一下，就是ln裏面分母中的

，其中的∅是空集的意思，就是系統不兩分，子系統A 為空集。而ln裏面分子上的

，就是我們所説的秋褲構型或者秋褲配分函數。這個配分函數的褲襠就是子系統A，具有時間週期2β；褲腿就是A 的補集

，

，時間週期為β 。2階Renyi糾纏熵

其實通過簡單的推導 (比如在文獻[1]中)，如是的以約化密度矩陣寫出的糾纏熵：

可以轉化為用配分函數寫成

其中 q = 2 就是圖2所示的，我們關心的2階Renyi糾纏熵，

而ln裏面分母上的

就是系統不兩分時配分函數的平方 (此時子系統A為空集∅)。ln裏面分子上的

就是我們喜歡的秋褲構型的配分函數。其中褲襠部分的空間維度就是子系統A，其時間上的週期為2β；褲腿部分的A的補集，其時間週期為β。因為我們此處討論的是2階Renyi糾纏熵，所以秋褲有兩條腿。如果是3階、4階的話，那就會有3條、4條腿甚至更加複雜聯通的秋褲了，是給外星生物穿的了。

圖2中描述的，就是這樣的一個2階Renyi糾纏熵的秋褲表示。一旦可以寫出配分函數，不管其形狀多麼奇怪，後面的蒙特卡洛抽樣等等就有章可循了。重要的是有秋褲這樣一個清晰的意象。當然算法的發展，也經歷了頗為曲折的過程，而且還在不斷優化之中，從最早的、略顯尷尬的在蒙特卡洛中硬要DMRG上身的Swap算符[3]，到後來的運用非平衡抽樣的手段，優化配分函數比例的統計質量[4]等等，更加簡便和魯棒的計算竅門，正在不斷向前推進。但是正是拜秋褲的意象所賜，蒙特卡洛從業人員可以從配分函數入手計算糾纏熵 (其實也不止糾纏熵了，而是以其為代表的廣泛的非局域測量方法，如威爾遜環 (Wilson loop)， 無 序 算 符 (disorder operator)等等，後文會有提及)，這樣的視角在技術上對蒙特卡洛從業人員來説，比糾結于波函數的方法更加可親，也更容易在不同的模型中程序實現。可以想見在不久的將來，隨着計算方法的普及，量子蒙特卡洛的從業人員討論起糾纏熵的時候，也可以像我們的 DMRG同行那樣稀鬆平常，“今天天氣，哈哈哈……”了。

4 秋褲的應用

有了通過秋褲配分函數計算Renyi糾纏熵的方法，我們就可以談談糾纏熵作為物理可觀測量，在量子多體問題中揭示了什麼普遍性的規律。其實很多讀者都聽説過糾纏熵要滿足面積律 (area law)，就是説