從《周髀算經》看先秦的天文觀及地中問題_風聞

文渊紫光-2021-04-25 23:41

2021-04-25

（正文轉載自中國社會科學院考古研究所：曹慧奇）

天文學是一門古老的科學，自有人類文明史以來，天文學就有重要的地位，也是我們研究古代社會人文思想的重要內容之一。天文學起源於古代人民對於季節測定的需求發展而來, 對古代農業種植的時令起着主導作用。因此關於天體位置和天體到達某個位置時間的天體測量成為構建古代天文學的重要內容。現在我們可以運用很多科學儀器對天體進行測量和定位，但是在幾千年之前人們是如何運用簡單的器具來對天體進行觀測呢？《周髀算經》就給了我們一個很好的答案！

一、天文測量的基礎——術：

商高定理——方圓之術

《周髀算經》開篇就借周公提出瞭如何來測量天體：“昔者周公問於商高曰：‘竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可將尺寸而度，請問數安從出。 ’”商高回答周公測量天體最基本的方法就是方圓之術——即《周髀算經》的商高定理，也就是我們現在所熟知的勾股定理。古人首先把勾股定理熟練地運用到了大地的測量中，而測量的工具就是矩尺。遠古先民在長期的立杆測影實踐中總結出來矩尺測量的使用規律：“偃矩以望高，覆矩以測深，卧矩以知遠。 ”“偃矩、覆矩、卧矩”只是測量對象觀測的角度不同，所以立尺的方向不同，但他們所採用的勾股運算方法都是一樣的。例如測量高山，就採用偃矩的形式：讓矩尺的兩個頂點與山頂在同一直線上，然後用步數測量出矩尺底部頂點到山腳的步距，然後根據勾股比例換算出山體的步距高度。同理用覆矩來測量山谷的深度、用卧矩來測量大河等的寬度。以上這些大地、高山、河流等的測量方法都是用步距來測量出直角三角形的一邊邊距，然後通過勾股比例換算出另一個直角邊邊距。因而這種測量方法具有一個限制條件：

必須要實際測量出一條直角邊的長度，才能來換算另一邊。然而對天體的測量我們沒法運用步數來測量其中的一邊，那又該如何來測量天體的遠近和高度呢？這也就是周公所提出的疑問“夫天不可階而升，地不可將尺寸而度，請問數安從出”。因此天體的測量不光要掌握勾股，還需要一把“量天尺”。

二、天體測量的方法：量天尺

榮芳問於陳子，曰：“今者竊聞夫子之道：知日之高大，光之所照，一日所行，遠近之數，人所望見，四極之窮，列星之宿，天地之廣袤，夫子之道皆能知之，其信有之乎。 ”即榮芳問陳子：“你能用勾股的方法來測量宇宙和天體嗎？ ”陳子告訴他：可以的。榮芳雖然也明白勾股運算，但如何將它運用於天體的測量，他卻是百思不得其解。這就是上文我們所説的採用勾股比例換算，需要測量出一條直角邊，如果不能測量出一條直角邊就無法換算出另一直角邊或斜邊。因此在測量天體時就需要一把“量天尺”，通過“量天尺”測量出一條直角邊，然後就可以換算出另外的兩條邊了。現在我們熟知的丈量天體的天文單位有光年等。那麼先秦人們的量天尺是怎麼測算出來的呢？陳子曰：“日中立杆測影，此一者，天道之數。周髀長八尺，夏至之日日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也，正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸，日益表南，晷日益長。 ”即採用立杆測影的方法，立八尺之表為勾股中的 “股 ”邊，表影為勾股中的“勾”邊。夏至日周地的影長是一尺六寸，那麼南距周地一千里的地方影長是一尺五寸，北距周地一千里的地方影長是一尺七寸———也就是我們通常所説的“寸影千里”。而“寸影千里”就是先民在實踐日影測量中總結出來的“量天尺”。

三、天體宇宙規模的測算：宇宙模型

有了“寸影千里”這把量天尺，天體的測量就很簡單了。周地夏至日影長一尺六寸，即“南戴日下”，即太陽直射點下到周地的距離就是 16000 裏；同理冬至日影長丈三尺五寸，即 “南戴日下 ”，到周地的距離就是 135000 裏。“候勾六尺， ……從髀至日下六萬裏，而髀無影。從此以上至日，則八萬裏。……”等到影長六尺的時候，那麼此時“南戴日下”到周地的距離就是 60000 裏，因而此時的太陽高度就是 80000 裏，“邪至日”即周地到太陽的斜邊距離就是 100000 裏。從這我們也可以看出即使有了“量天尺”和勾股測量方法，古人也是沒法直接測量太陽的高度，一直要等到影長等於六尺的時候，這時影長數據達到勾股比例數值後，才能計算出太陽的高度。

有了“日高”即天高距離後，再根據“周髀長八尺，勾之損益寸千里”的法則，“立表高八尺以望極，其勾一丈三寸。由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下”，這樣測算出了周地到北極星的距離是 103000 裏。

北極星正好處在地球地軸的延長線上，所以在夜晚觀察星空會發現羣星都圍繞着北極星做有規律的圓周運動。因此《周髀算經》中把天體測量的中心定作北極星，一切日月星辰都圍着它做圓周運動。這樣周地到夏至日的距離加上週地到北極星的距離就是 16000+103000=119000 裏；周地到冬至日的距離減去周地到夏至日的距離135000-16000=119000 裏，即冬至日到夏至日的距離剛好等於夏至日到北極星的距離（參見圖一）。

而太陽的運動軌跡是從夏至日點到冬至日點，再從冬至日點到夏至日點，做週而復始的反覆運動。而它倆之間的中點就是春秋分日，間距就是119000裏的一半即59500 裏。

《周髀算經》説夏至日太陽距北極星的距離是 119000 裏，而在半夜太陽就運行到北極星的對面，距離北極星的距離也是119000 裏，這樣夏至日的日道軌跡直徑就是 119000+119000=238000 裏，日道軌跡周長714000 裏（直徑乘以 3）。同理春秋分日的日道軌跡直徑（119000+59500）×2=357000 裏，日道軌跡周長 1071000 裏；冬至日的日道軌跡直徑（119000+119000）×2=476000 裏，日道軌跡周長 1428000 裏。

上述三週日道軌跡，就是早期蓋圖中的內衡、中衡和外衡：夏至日日道就是內衡、春秋分日日道就是中衡，冬至日日道就是外衡。

“春分之日夜分以至秋分之日夜分，極下常有日光。秋分之日夜分以至春分之日夜分，極下常無日光。故春秋分之日夜分之時，日光所照適極，陰陽之分等也。 ”訛輯輥從春分到秋分能觀察到極地是有光的，而從秋分到春分則看不到極地，這個現象説明在春秋分之日，太陽光剛好照射到極地的邊緣。於是它説“故曰：日照四旁各十六萬七千裏”訛輰輥。那麼這個日光的照射距離是怎麼測算出來的呢？

首先要明白什麼是極地？這個在《周髀算經》的下卷中有敍述，極地就是北極星周圍能產生極晝和極夜現象的區域，也就是“璇璣”。測算“璇璣”的方法《周髀算經》也給出了：“正極之所遊，冬至日加酉之時，立八尺表，以繩系表顛，希望北極中天大星，引繩致地而識之；又到旦明，日加卯之時，復引繩希望之，首及繩致地而識其兩端，相去二尺三寸，故東西極二萬三千里。 ”就是在冬至這天，加酉時（晚上 6 點）用牽繩法把北極星的星位在地上做個標記，在早上加卯時（早晨 6 點）再次牽星做標記，兩次標記的間距是二尺三寸，即極地的東西直徑為 23000 裏，半徑就是 11500裏。璇璣的東西間距就知道了，那麼“何以知南北極之時？ ”訛輲輥上述牽星標記的“其兩端相去正東西，中折之以指表，正南北”，就是把東西方向的線段對分，對分點與表之間的連線就是正南北方向，然後以 “冬至夜半北遊所極夜，……以夏至南遊所極。 ……此皆以繩系表顛而希望之，北極至地所識丈一尺四寸半，……其南極至地所識九尺一寸半”，就是冬至時的測影距離是 114500 裏，減去周地到北極星的距離 103000 裏，這樣北遊北距北極星是114500-103000=11500 裏；夏至日測影距離為91500裏，周地到北極想距離 103000 裏減去夏至日測影距離，南遊南距北極星距離就是103000-91500=11500 裏。南北遊距北極星的半徑也都是 11500 裏（圖二）。

上述可知，北極璇璣的半徑距離是 11500裏，而春秋分之日日光剛好照到極地，那麼陽光的照射距離就是春秋分日太陽到北極星的距離，減去璇璣半徑就是日光的照射距離，即178500-11500=167000 裏。

璇璣南北遊半徑為 11500 裏，這樣上文中《周髀算經》計算的周地到北極星的距離是103000 裏，這個距離既不是夏至日距離，也不是冬至日距離，這個103000 裏的距離，剛好是夏至日距離和冬至日距離差的中點，也是南北遊計算的依據。再按照太陽日軌道夏至日到冬至日的軌道中點看，此時應當為春秋分之日。因此《周髀算經》周地到北極星103000 裏這個距離，應該是按春秋分之夜北極星的影長距離推算出來的。

《周髀算經》認為陽光所能照射的範圍就是宇宙的範圍。冬至之日正午太陽到達周地的最南方，此時日光所能照射的最遠距離就是冬至日到北極星的距離加上日光照射距離，即238000+167000=405000 裏。而冬至之日的夜半太陽到達北極星對面，它的日照最大距離也是 405000 裏，因此冬至日宇宙的直徑就是 405000＋405000=810000 裏。所以説“冬至晝，夏至夜。差數及日光所遝觀之，四極徑八十一萬里，週二百四十三萬裏。從周南至日照處三十萬二千里；周北至日照處，五十萬八千里”。（參見圖一）。

這樣形成的宇宙模型就是：宇宙直徑八十一萬里，週二百四十三萬裏。日高八萬裏，“天之中央亦高四旁六萬裏”；“天象蓋笠，地法覆盤。 ”；“周在天中南十萬三千里” ，先民已經清楚地認識到周地並不是宇宙的中心，而是處於宇宙中心偏南十萬三千里處。而對於太陽光照之外的地方則説“過此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其難知，此言上聖不學而知之”訛輯輦，這些陽光照不到的地方也只有不學就知道的聖人才能瞭解，也即後人所説的“知地者智，知天者聖”。

四、天文觀的形成：蓋天説

《周髀算經》中將蓋天説形象比喻為 “天象蓋笠，地法覆盤”，根據《周髀算經》筆者繪製了一個蓋天宇宙模型的假想示意圖（圖三），事實上大地的範圍並沒有這麼大，《周髀算經》中認為的大地範圍為“《呂氏》曰：凡四海之內，東西二萬八千里，南北二萬六千里”。

《周髀算經》認為“凡日月運行四極之道”就是日月圍繞着宇宙的四極做圓周運動，太陽在八萬裏的高空運動，“故日運行處極北，北方日中，南方夜半。日在極東，東方日中，西方夜半。日在極南，南方日中，北方夜半。日在極西，西方日中，東方夜半”訛輱輦。太陽運行到極北處時，北方是白天正午時，南方是夜晚夜半時。太陽運行到極東，東方是白日午時，西方是夜晚夜半。太陽運行到南極、西極時亦然。認為北極星所處的極地是 “天之中央亦高四旁六萬裏”，所以“冬至之日雖在外衡，常出極下地上二萬里。故日兆月，月光乃出，故成明月，星辰乃得行列”。太陽高出極地二萬里，由於太陽的照射，月亮、星辰才有了光。因此認為太陽是一直在高空運行當中，《周髀算經》認為人的目光距離是等於太陽的照射距離的，大地的夜晚只是太陽運行到了北極星的對面，陽光照射不到周地，我們的人眼看不到光，所以此時地處北極星南部的大地就是夜晚時分。因而認為天就像一個覆蓋的斗笠。地為什麼是平的呢？一是與我們人眼的觀察有關，肉眼觀測下的大地大致是一個平整的地面。另外也與立杆測影的測量建模有關，之前我們説古人運用矩尺進行的偃矩、覆矩、卧矩等方法的測量，都是平面測量計算。這種平面測算導致了平面建模觀念在立杆測影的天體測量中也遵循這個思維模式（參見圖三）。在這種思維下測算建立的大地模型也只能是一個平面的。這個平面是通過平面幾何測算構建出來的，它能滿足當地對宇宙天體的測量，但不是實際的地球平面。這也是古人“天圓地方”思想的根源所在，並且這種認識一直沿用到明代末年，“明朝末年，傳教士進入我國，帶來了西方的地球學説，在中國士大夫中引起很大震動。經過認真思考，中國學者逐漸接受了這一學説”。

五、七衡六間

上文我們知道了日道軌跡的內衡、中衡和外衡，分別是夏至日日道軌跡、春秋分日日道軌跡和冬至日日道軌跡。《周髀算經》將夏至日至春秋分日之間、春秋分和冬至日之間的間距，分別再進行三等分，這樣所得的就是七個同心圓圈，並且每兩圈之間的間距都相等，這樣得到的天體分佈圖就是“七衡六間”。所以每衡之間的間距就是“是故一衡之間，萬九千八百三十三里三分裏之一”訛輳輦。我們用夏至日到春秋分日的太陽間距除以 3 就可以得到這個數據：59500÷3=198331 ／ 3 裏。同樣春秋分日至冬至日的距離除以 3 也得同樣的數據。有了這個間距後，每一衡的周長和直徑都可以算出來了。所以《周髀算經》説“內一衡：徑二十三萬八千里，周七十一萬四千裏；……次二衡：徑二十七萬七千六百六十六里二百步，周八十三萬三千里；……次七衡：徑四十七萬六千裏，週一百四十二萬八千里”訛輴輦。“七衡六間”和“蓋天圖”的基礎都是更古老的兩分兩至的日影觀測。有了兩分兩至的日影範圍，只需要二等分就可以得到三衡圖，有了三衡後再分別進行三等分就得到了七衡圖（圖四）。

六、太陽曆法

兩分兩至、“蓋天圖”和“七衡六間”都是古人通過 “立杆測影” 對日影的圖像尺寸記錄，太陽的日道運行是從夏至日到冬至日，然後從冬至日再回到夏至日，這樣一個來回就代表一個太陽年。 “三衡圖”則標記出了夏至日、冬至日和春秋分日點，把每年劃分成了四個季度；而“七衡圖”則把一個完整的太陽運行週期分成了 6 段，一個來回就是等量的 12份；這 12 份即代表了一年中的 12 個月，即太陽在“七衡圖”中每運行一圈時間就過去了一個月，這樣就把每年劃分成了 12 個月。

古人日觀太陽又夜觀星象，通過長期的觀察，發現一歲即一個太陽年的時長為“一歲三百六十五日四分日之一” ，如果僅採用太陽年和七衡六間來記錄的話，那麼每個月的天數是 365.25÷12=30.4375 天。

古人對日觀象的記錄加上生物生長的規律，又把一年劃分成 24 節氣以配合農事勞作。那麼我們上面得到的每月（一衡）天數就是兩個節氣所跨的時間。那麼古人如何來測得節氣的時刻表呢？這就用到了立杆測影中使用的“圭表系統”中的“圭尺”了，“冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺六寸”把冬至影長數減去夏至影長數，然後等分成 12 份就得到了每個節氣的節令點，即（135-16 寸）÷12=9 寸 9 又 1/6 分。這樣“圭尺”上各個節氣的尺寸就清楚了：“冬至晷長丈三尺五寸。小寒丈二尺五寸，小分五。大寒丈一尺五寸一分，小分四。 ……芒種二尺五寸九分，小分一。夏至一尺六寸。小暑二尺五寸九分，小分一。 ……大雪丈二尺五寸，小分五。訛輶輦 ”12 個刻度往復循環，每一個刻度在來往時各代表一個節氣，“圭尺” 上每個節氣的刻度間距都是相等的。所以採用了“圭尺”劃分後就可以把每年劃分成二十四個節令，以此來指導日常的農業生產勞動。

因此，古代出土的“圭尺”的刻度應當是有規律可尋的，以夏至日“一尺六寸”為例，那麼此時記錄日影的“圭尺”，它的夏至點影長數據就是一尺六寸，冬至點影長就是一丈三尺五寸，春秋分日的影長是夏至日到冬至日尺寸的中點即七尺五寸五分。這樣它們之間的比例關係就是 16:75.5:135，有了比例關係，無論我們採用哪種單位長度的直尺進行測量，只要能滿足這個比例關係的“圭尺”，就是以夏至日“一尺六寸”為太陽曆法的“圭尺”。而《周禮》記載的夏至日“一尺五寸”的地中為洛陽，另據後漢《歷志》記載“洛陽冬至一丈三尺”以上述兩個尺寸為例，滿足上述兩個條件的“圭尺”的夏至日影長為一尺五寸，冬至日影長為一丈三尺，春秋分日則為七尺二寸五分，比例關係為 15:72.5:130。所以無論何地出土“圭尺”，只要知道當地的夏至日和冬至日影長，就可以求得它們之間的比例，而有了比例後我們就可以用現代的尺度單位來測算。為了便於識別各節氣的節點，只需在夏至日到冬至日之間塗以 12 段等距色塊段就可以了。

上述的二分二至即蓋天圖、 “七衡六間 ”圖，乃至“圭尺”，這些都是記錄太陽影長或週期活動的節點，通過這些節點產生的歷法就是太陽曆法。它們之間是一種逐漸遞增細分太陽曆法過程的關係。因此從本質上説“二分二至”是太陽曆法的基礎，這樣的日影觀測也最容易取得：只需記錄下每年內最短日影和最長日影即可。但能滿足夏至日“一尺六寸”、“一尺五寸”這些條件的地點，不是僅有一個地點，而是具有相同緯度的地點都能滿足。只要有了“二分二至”點，任何古代遺址都會很容易地建立起當地的太陽曆法，明白了這些原理後，古代遺址的太陽曆法就不再神秘了，就是簡單的長期的日影觀測記錄。

七、《周髀算經》中運用的測量規則的誤區根源

《周髀算經》中經典的量天尺——寸影千里，在歷代都備受關注，也是爭論的焦點。寸影千里產生誤區的根源在於古人建立宇宙模型時所採用的平面幾何的建構模型，把地面構建成一個統一的大平面，只有在統一的大平面下才能採用勾股定理來測量和測算宇宙。而事實上地球是圓形的，大地平面是個弧形面而不是用幾何原理構建出來的平面，因此在實地尤其是大距離的測量上肯定是測不準的，也必定是不準確的。例如後世《隋書·天文志》對“寸影千里”提出了疑義，而到了唐代，“開元九年(721)，天文官幾次預測日食不準，玄宗下詔讓僧一行(673～727) 制訂新的歷法。 ……天文學家南宮説等人在河南進行的日影測量工作最為重要。南宮説等在黃河南北選擇了幾乎位於同一經線的白馬(今河南滑縣)、浚儀(今河南開封)、扶溝和上蔡這四個地點，分別測量了其北極出地高度和夏至日影長度”。測得的數據如表一。

根據上表的數據，《新唐書·天文志》得出的結論就是“太史監南宮説擇河南平地，設水準繩墨植表而以引度之，自滑台始白馬，夏至之晷，尺五寸七分。又南百九十八里百七十九步，得浚儀嶽台，晷尺五寸三分。又南百六十七里二百八十一步，得扶溝，晷尺四寸四分。又南百六十里百一十步，至上蔡武津，晷尺三寸六分半。大率五百二十六里二百七十步，晷差二寸餘。而舊説王畿千里，影差一寸，妄矣”。這也是大地大距離實地測量必然會有的結果——“寸影千里”是錯誤的。

因此“寸影千里”的測算只能是在建立幾何平面模型後進行的小範圍內的測算。這樣小範圍內的測量，三國時期魏國劉徽在做《九章算術》序時，在洛陽城實地做實驗來驗證過：他根據“《周官·地官·大司徒》，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，謂之地中。説雲：南戴日下萬五千裏。 ”並利用《九章算術》中“重差”的方法，“立兩表於洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地。同日度其正中之景。以景差為法，表高乘表間為實”，根據他在洛陽城南北立表，根據影差算法總結出一套數學公式（如圖五），根據圖中三角關係，這些數學公式我們現在可以用平面幾何三角函數進行驗算。劉徽洛陽立表測影驗證了《周官-大司徒》“景尺有五寸”，也間接驗證“地中”的地點是在洛陽。劉徽在洛陽城南北立表距離，現據漢魏洛陽故城遺址南北約 4 千米，推測其立城南北兩表間距約 10 裏，這樣產生的影差只有百分之一寸。這個測量範圍很小，極容易產生測量誤差，並且精確度也是不高的，但至少劉徽利用“重差”法驗證了洛陽地區“寸影千里” 這個觀點是準確的。因此無論是夏至日“一尺六寸”還是“一尺五寸”都應該是在極小範圍內對日影的測算，這樣很容易測得或接近“寸影千里”這個結果。

八、夏至日“一尺六寸”影長的起源

上述唐代、元代等各個時代對日影的測量（表一）雖然否認了“寸影千里”的觀點，但至少讓我們知道：滿足夏至日 “一尺六寸”、“一尺五寸”地點的大致緯度度數。夏至日“一尺六寸”滿足此條件的緯度約為 35.9°，“一尺五寸”的緯度應稍小於登封的 34.47°。夏至日“一尺六寸”的大致緯度知道了，那麼我們很容易從地圖上找到古代在此緯度附近分佈的都市所在。《周髀算經》所説的夏至日“一尺六寸”是周地所測，從表一可知西周時期的周原、灃西遺址的緯度都沒有滿足這個條件，並且緯度要低太多。而“周族起源於晉南説” 訛輳輧則大致能滿足這個緯度條件，但我們並不知道確定的遺址地點。那麼早於西周的商代都城遺址是否滿足這一條件呢？殷墟遺址緯度為 36.12°稍微高出一些，如果允許誤差的話此地也能大致滿足夏至日 “一尺六寸”的條件。那麼時代更早而且恰好吻合這一緯度的古代都城遺址呢？我們在地圖上還真能找到一個——陶寺遺址。陶寺遺址緯度為 35.88°，剛好處於夏至日“一尺六寸”這個緯度上。而“二分二至”的天文記錄遠在新石器時代就有了記載。陶寺遺址近年的考古新發現——觀象台遺址，也從側面證實陶寺時期的人對於太陽的觀測具有多種手段，並且熟練掌握了很深奧的天文知識和測量技術；因此測量夏至日“一尺六寸”的源頭很有可能就在陶寺時期，並且在此基礎上通過平面幾何構建出了宇宙模型，並從而形成了上古量天尺“寸影千里”的測量觀念。從這個意義上説陶寺遺址是中國古代文明的重要起源點，是形成中國特色哲學思想的起源點。

九、地中問題

《周禮·地官·大司徒》 “以土圭之法測土深，正日景，以求地中。日南則景短多署，日北則景長多寒，日東則景夕多風，日西則景朝多陰。曰至之景尺有五寸，謂之地中。天地之所合也，四時之所交也，風雨之所會也，陰陽之所和也，然則百物阜安，乃建王國焉，制其畿方千里而封樹之”。文中明確指出了地中所具有的特徵。

《周禮》相傳為周公所著，實際上其成書年代在兩漢之際。而兩漢之際正是“蓋天説”式微，“渾天説”崛起之時。因此《周禮》的“地中”需從這兩大天文觀來分別敍述。

（一）“地中”在“蓋天説”下理解的話，就不能脱離 “蓋天” 宇宙觀———天圓地方的模型。

“日至之景尺有五寸 ”， “ 日南則景短多署，日北則景長多寒”；這三個特徵都比較好理解：《周禮》記載的地中是位於夏至日日影一尺五寸的地方，又根據“寸影千里”的量天定律立表愈南，晷影愈短而多暑；立表愈北，則晷影愈長而多寒。而對於“日東則景夕多風，日西則景朝多陰”則較難理解，馮時先生認為“多風、多陰”是立杆測影對天氣的需求。然而立杆測影需要一個長期的觀察和記錄，才能形成一個較為完整的宇宙觀。個別的天氣條件對立杆的正確與否會有影響，但對長期的觀察不構成太大的影響。

從上文“蓋天説”可知，在太陽運行到東方的時候，西方是夜晚，反之亦然。這裏隱藏了一個認識，即四方的大地在太陽的照射下是輪流有白晝和黑夜的。當夏至日太陽運行到《周禮》記載的 “周地 ”日影到達最短日影時，此時的周地為正午時分。此時在“周地”的東方觀測日影會發現日影偏東，在“周地”西方觀測日影會發現日影偏西。太陽是自東向西而來，正如前文所述“日在極東，東方日中，西方夜半”，當太陽正午到達周地時，此時周地的正東方就是傍晚了，同時此時周地的正西方就是早晨了。另夏至時節我國大部分地區都會吹東南季風，因此古人認為風從東來，愈東就越接近風口，風會越大。這樣“日東則景夕多風”就不難理解了：當“周地”是夏至日正午時，離“周地”愈東的地方則越來越接近傍晚，而且越來越接近風的來處，風也會越大；“日西則景朝多陰”就是離“周地”愈西的地方則越來越接近早晨，天空也越來越陰暗。這其實是一種樸素的“時差”描述方式，只是這種“時差”觀念一直沒有引起人們足夠的重視，一直到元代我國才真正認識到“時差”的存在。

另外，古人在測量日影時發現，每天日出點的影長和日落點的影長是相等的，這個可以參考上文關於璇璣東西徑的測量方法和原理。採用這種方法《周髀算經》算出“夏至之日正東西望，直周東西日下至週五萬九千五百九十八里半。冬至之日正東西方不見日，以算求之，日下至週二十一萬四千五百五十七里半”，夏至日周地到宇宙的東西極邊緣距離各約為 59598.5 裏，冬至日周地到宇宙的東西極邊緣距離各約為 214557.5 裏。而當夏至日正午時分太陽到達最短晷影處時，也剛好是一天之中東西徑的中點處，這樣正午時分“周地”剛好在東西方大地的中軸線上，也就是大地之中的位置，這也是最原始的“地中”概念。

劉緒老師在《西周疆至的考古學考察》一文中，通過考古出土的考古遺物資料劃分出西周時期的統治疆域圖（圖六）。

從圖六的西周疆域分佈看，西周最西地點分佈在天水一線，經度約為 105.72° ；最東到達濰坊一線，經度約為 119.15° ；最北約在北京附近，緯度約為 39.90°；最南延伸到隨州—六安一線，緯度約 31.72°—31.77° ；而洛陽的經緯度分別約為 112.45°、34.62°。從東西方向上看，洛陽至濰坊經度差約為 7°，洛陽至天水經度差也約為 7°，洛陽剛好位於整個西周疆域的東西正中位置上；而南北方向上，洛陽至北京的緯度差約為 5°，洛陽至隨州—六安緯度差約為 3°；根據上文唐代南宮説立杆測影數據看，越往南影差就越大，這樣洛陽往南 3°的影長差與洛陽往北 5°的影長差大致會比較接近，如果當時採用立杆測影的話，洛陽也剛好位於西周疆域的南北正中位置上。因此洛陽的影長位置剛好位於西周疆域東西南北的正中心位置處，這正好符合了《周禮》記載的“地中”，也因此而形成了一種“居中而治”的思想。因此“地中”的概念，尤其是含有“居中而治”的“地中”是西周以後才形成的觀念。

馮時老師在《保訓》一文中指出：“周公繼承了以嵩山為中心的‘地中’觀念，並於嵩山下測影，留下了相關的測影遺蹟。 ”訛輯輨這些遺留的“地中”遺蹟被後世人們推測在登封觀星台一帶，因此自周以降多把登封作為“地中”所在。而元代郭守敬採用五倍表高測得登封夏至日晷長為 1.5348 尺，《周禮》記載的夏至日“尺有五寸”的觀測地點很有可能就是周公在登封一帶測定的。

先秦之時，在確定觀測日影的地點後，再根據測量數據制定曆法，並且也確定了每天的時辰刻度，而每天的時辰刻度與地中的日影觀測是配套的，因為不同地點制定的每日時辰是有“時差”存在的。朝代更替後製定時辰的地點往往隨着首都的變遷而更改，但是曆法制度又往往被沿襲使用，這樣就造成了找不準“地中”的情況。南北朝大數學家、天文學家祖𣈶採用“五表法”來測地中，只要能滿足“五表”測影的地方就是“地中”。 “五表法”雖然彌補了“時差”造成的差異，但採用“五表法” 測得的地中是會隨着制定時辰地點的變動而變動的，因此它測得的“地中”並不是一個固定的地點。當然“時差”不易被察覺，這跟我國古代文化分佈的地理範圍有很大的關係——處於地球的中緯度附近，先秦時期，西端以天水為例，其東經約為 105.72° ，東端以青島、上海一線經度約為 121.4°，經度差約為15.7°，剛好產生了約 1 小時的“時差”；如果以傳統的中原地區看這個“時差”就更小了。所以歷法制定點與時辰制定點的不同造成了“地中”的難測了。例如 2019 年冬至點的時間預報為 2019 年 12 月 22 日 12 點 19 分 18 秒，如果採用祖𣈶的“五表法”來測，以冬至日 12點的時間為東經 120°處的制定標準，那麼 19分 18 秒就是制定曆法與北京標準時間之間的 “時差”，根據東經每一度差 4 分鐘計算，19.3÷4=4.825 （度），120-4.825=115.175°，那麼我們把 “五表 ”立在東經 115.175°的地方，這個經度大致就在北京稍偏西處，再加上影長尺寸數所在的緯度位置就可以測得“地中”的位置了。因此採用“五表法”每年我們測得的“地中”都是不同的。

（二）“地中”在“渾天説”中又是如何定義的呢？

首先我們得了解 “渾天説”中宇宙的模型。“渾天説”認為宇宙是“天如雞卵，地如雞黃”，其宇宙模型類似於西方的“地心説”，只是“渾天説”中大地位於宇宙的中心附近，並不停轉動。 “渾天説”主要採用兩個參照體系：

一是太陽轉動的軌道即黃道，二是大地轉動的軌道（赤道），認為“天左旋（公轉），地右動（自轉）”。 “渾天説”下宇宙的範圍是如何測量的？訛輲輨其測量規則與《周髀算經》相同，都是“寸影千里”，宇宙的形狀概念仍然是“天圓地方”。宇宙範圍的測量以春秋分大地與黃道相平行時為準：二十八宿周天之數為“百七萬一千里，……直徑三十五萬七千裏（作者注：此周天數和直徑與《周髀算經》春秋分日日道直徑和周長是相等的）”，而二十八宿距離宇宙四遊之極“上下東西各有萬五千裏”。這樣的宇宙就像一個圓球，它的球直徑為 387000裏，大地居於天球的中間。而大地在天球的中心附近不停地轉動，“春分之日，地與星辰複本位。至夏至之日，地與星辰東南遊萬五千裏，下降亦然。至秋分，還復正。至冬至，地與星辰西北遊亦萬五千裏，上升亦然。至春分，還復正。進退不過三萬裏，故云‘地與星辰四遊，升降於三萬里之中’。是以半之，得地之中也。 ”即夏至日大地轉到黃道下方 15000 裏處，然後開始往上轉，至冬至日轉到黃道上方15000 裏處，再開始往下轉；而春秋分日，剛好與黃道平。因此“渾天説”認為大地轉動的南北厚度為 30000 裏，這樣大地的一半剛好是15000 裏（即赤道與黃道的交叉點）。這樣的大地轉動模式形成了“地陷東南，天傾西北”的傳統文化認識。

另外夏至日太陽從東北角“寅”位升起、“戌”位落下（圖七），因此太陽的位置是位於地平線上方的（北方）。《周禮·地官·大司徒》“……曰至之景尺有五寸，謂之地中。天地之所合也，四時之所交也，風雨之所會也，陰陽之所和也，……”“日至之景尺有五寸，謂之地中”。從“渾天説”的宇宙動態變化看，“景尺有五寸，謂之地中”是夏至日“南戴日下”到達周地的距離是 15000 裏，此時的 “南戴日下 ”剛好位於渾天觀下大地南北轉動厚度 30000 裏的一半處，即為“地中”，而這個點就是黃赤交角的交叉點，因此它不但是“地中”，也是宇宙的中心。所以才會説此地為“天地之所合也，四時之所交也，風雨之所會也，陰陽之所和也，……”這個太陽直射點下的地方，正是“地中 ”“天中 ”的重合之地，是 “渾天 ”宇宙觀的“天地之中”所在（圖八）。

從“蓋天説”宇宙模型看，宇宙的中心只能是天中，大地位於中天 10 萬餘里之外，因而產生不了“天中”“地中”的重合點。所以從“地中”為“天地之中”這個角度理解的話，它是“渾天”宇宙觀下的概念。因此《周禮》最終成書時很可能是出於兩漢之際的“渾天派”之手。

瞭解了“渾天説”關於“地中”的概念後，我們就知道為什麼歷代把洛陽作為 “景尺有五寸”的地中所在了，人們把“景尺有五寸”理解成產生“一尺五寸”影長的所在地了。而“一尺五寸”影長所在地和“五表法”，都是“蓋天學説”下測量太陽影長的概念和方法。那麼用“蓋天説”的概念和方法去尋求“渾天説”的地中，也只能是“張冠李戴”了。從而有了洛陽“一尺五寸”的“地中”概念，因此自漢以降又多把登封作為測量“地中”的所在，進而形成了以嵩山為“天地之中”的傳統文化觀念。

那麼我們再回到先秦天文觀，什麼是“居中而治”呢？ “帝御斗車而摯四方”即居住在璇璣的天帝通過斗車（北斗七星）來執掌四方（天下），而璇璣則位於天之中央，這就是天帝的“居中而治”。春秋戰國時期人們把天上的星宿等星空位置與地上的九州和城市建立起對應的 “分野 ”訛輴輨關系。 “地中 ”則對應了 “天中”，“天中”是天帝居住的地方，那麼“地中”就應該為“人王”居住的最理想地了。因此“居地中而治” 成為了之後皇權的重要核心思想之一。

十、結語

《周髀算經》記載的天文現象觀測非常細緻，用詞也相當精準。書的內容從大地測量原理開始介紹，逐步構建出了宇宙模型，然後用術——勾股算之，先制定了太陽曆法，太陽曆法的每月是 30.4375 天，這樣的記日方式很不好計算。它又根據先民對夜晚星空天體的觀察，逐步掌握月亮運行的規律，並制定了以“朔望”為基礎的月亮曆法。太陽曆法和月亮曆法並行使用，也就是我們現在俗稱的“陰陽合曆”。而“陰陽合曆”在使用時是有“歲差”的，尤其是長時間的使用就會產生出誤差，使得觀測的日月運行位置與曆法產生了衝突，因此每隔一些朝代後就有對曆法的重新修訂。《周髀算經》記載的“夏至日一尺六寸”的天文曆法在時代上要相對早些，而《周禮?地官?大司徒》記載的“夏至日一尺五寸”的天文曆法很可能是周公營洛邑後，在“一尺六寸”古曆法的基礎上重新修訂的。

《周髀算經》記載的天文現象反映出古人“觀測唯勤，探微唯精”的實踐觀測和記錄；尤其是對天文現象的觀察和記載延綿幾千年，“日行天七十六週，月行天千一十六週，及合於建星”訛輵輨，沒有長時間的連續觀測和記載是無法做到這樣精準的天體測量和歷法計算的。因此《周髀算經》中整套完整的天文曆法的制定和計算，需要有大致以下幾方面的積累：第一就是上述長時間的天文觀測和記錄，天文觀測不僅有太陽運行規律的觀察和影長數據的記錄，也包含夜晚星空周天星辰位置的運行規律和月亮運行週期之間的關係。第二是數學運算的成熟，不僅是代數的四則運算，還有長期土地使用中平面幾何的計算，尤其是勾股定理的驗證和在實際測量中的運用。第三是以《夏小正》、《禮記·月令》等為代表的物候學的長期觀測和記錄，為之後曆法中二十四節氣的劃分打下了堅實的基礎。另外還有以《周易》為代表的思想哲學體系也與古代天文有着密切的聯繫。只有當上述各方面知識的積累達到一定的量後，才能建立起一部完整的精確的天文曆法。

從世界範圍看，在公元前三世紀古希臘天文學家埃拉托色尼（Eratosthenes, 公元前276—前 194），在埃及發現太陽光在賽伊城（今阿斯旺地區）可以直射入水井內，而在亞歷山大城的教堂頂部照射進的光線有 7.2°的照射角，他又根據這兩地的大地實際距離，計算出地球是個半徑約 6340 千米的球形（這個數據跟現在測定的地球半徑基本相同）。因此西方的地球觀多受此影響，而我國的地球觀一直是“天圓地方”的觀點。地球觀的不同孕育了不同的東西方天文宇宙觀。因此在面對同樣的自然客觀認識時，在解釋客觀世界時也就會產生偏差，例如陰陽（生死）、五行（五氣）等的自然認識，這些自然認識歸根結底都要用來解釋天文宇宙觀。因而東西方不同的天文宇宙觀也是東西方思想文化差異產生的重要原因之一。在東方，從立杆測影開始，就奠定了東方文化特有的基調。

“天文學不僅是古代科學的淵藪，同時也是古代文明的淵藪。 ”先秦天文學不僅僅是對古代農業的指導和祭祀占卜對星象的筮佔，它也是古代文明中科學技術和獨特思想文化形成的主要發源點。所以《周髀算經》不僅僅是一部數學算書，也是一部先秦天文之書，是先民對宇宙的一種宏觀認識，它對宇宙的宏觀構建，使得“天圓地方”思想在中國延綿了幾千年之久；而從“地中”演變成的“居中而治”的思想，自周以降都是帝王思想的重要組成部分；從晷長變化代表的“陰陽”、極盛而衰、否極泰來等陰陽轉變現象，對後世的“陰陽學派”、道家學説等中國獨特的思想文化也產生了巨大的影響和推動。

如果我們懂得了古代人類的宇宙觀，其實我們就已經在一定程度上把握了文明誕生和發展的脈絡”訛輷輨，中華文明孕育了獨特的中國思想文化和哲學倫理；中國傳統文化中“天文到人文”“天人合一”“君權天授” 等思想都與先秦古人的天文觀有着千絲萬縷的聯繫和淵藪。現今“中華文明探源工程”不僅僅是考古學意義上對文明和國家起源的探源，也應是中國獨特文化起源的探源。而天文考古學正是古代文明探源的重要手段和方法，尤其是在中國獨特的思想文化起源上具有不可替代的作用。

附記：從 2017 年開始學習《周髀算經》起，雖歷時三年多，但由於剛剛涉足古代天文學，很多天文學知識現今依舊缺乏，古代天文學文獻也僅僅是開了個頭，仍有大量的文獻需要去閲讀和理解。因此此篇文章寫作的角度很多都是從《周髀算經》形成的 “蓋天 ”宇宙觀來解釋的，在寫作期間，經常是在讀了新文獻後，就一改再改，現在在天文學的知識和結構體系上仍缺乏得太多，因此文中的欠缺還望大家多多批評指正和包涵。在寫作期間得到了何駑、馮時、嚴志斌、周廣明、李新偉等老師的指點和幫助；日常與陳國樑、宋江寧等同事的討論中也得到了頗多啓發和靈感；另外偃師商城隊史萌萌女士幫忙繪製電子版插圖，在這裏一併表示感謝！

註釋：

①（漢）張蒼著，曾海龍譯解：《九章算術》，第 276頁，重慶大學出版社，2006 年。

②（漢）張蒼著，曾海龍譯解：《九章算術》，第 278頁，重慶大學出版社，2006 年。

③（漢）張蒼著，曾海龍譯解：《九章算術》，第 283頁，重慶大學出版社，2006 年。

④⑦（漢）張蒼著，曾海龍譯解：《九章算術》，第286 頁，重慶大學出版社，2006 年。

⑤作者注：“勾，圈套也”，勾就是圓的周圈，而《周髀算經》等先秦時期通常採用的圓周率就是 3，因此勾本身就是一個名詞也是一個代表 3 的量詞；“股”也可做量詞，但股是否是代表 4 的量詞，已不可考。從勾股定義勾三股四來看，勾股都應當有特定數量值的含義。

⑥南戴日下：劉徽《九章算術》序“《周官·大司徒職》，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，謂之地中。説雲：南戴日下萬五千裏” ，南戴日就是周地南方太陽直射下的地點。（漢）張蒼著，曾海龍譯解：《九章算術》，第 1 頁，重慶大學出版社，2006 年。

⑧“邪至日”即周地到太陽的直線距離。（漢）張蒼著，曾海龍譯解：《九章算術》，第 287 頁，重慶大學出版社，2006 年。

⑨（漢）張蒼著，曾海龍譯解：《九章算術》，第 289頁，重慶大學出版社，2006 年。

⑩馮時：《天文考古學與上古宇宙觀》，《濮陽職業技術學院學報》2010 年 8 月第 23 卷第 4 期。

附一：《周髀算經》上卷****