戰俘營裏的大學_風聞

撰文 | 倪憶（加州理工學院數學系教授）

伏爾加河畔的光與影

上篇《受眉毛拖累被捕的小哥，在監獄裏寫了兩篇論文》裏出現了萊布尼茨的一篇論文。

細心的讀者會發現，這篇論文是用法文寫的，發表在法國科學院雜誌上，然而萊布尼茨卻是德國人。這並非偶然。在“太陽王”路易十四統治的年代，法國的中央集權達到頂峯，國力空前強大，巴黎成為歐洲的科學、文化與藝術中心。法國的數學研究格外活躍。不僅僅是新興的微積分，射影幾何在一批法國數學家的推動下也開始興盛起來。

圖形在點光源下的投影丨圖源：Encyclopaedia Britannica

射影幾何，簡單而言，就是研究幾何圖形在點光源下的投影跟原來圖形的關係。古希臘數學家帕普斯（Pappus of Alexandria）已經做了一些這方面的工作。文藝復興時期的意大利藝術家們創立了透視法，為射影幾何的研究帶來了動力。17至18世紀建立起來的牛頓力學告訴我們，很多物體的運動軌跡都是橢圓、拋物線、雙曲線等圓錐曲線，——而射影幾何正是處理圓錐曲線的有力工具。各方面的需求使得射影幾何得到了蓬勃發展。17世紀的德薩格（Gérard Desargues）、帕斯卡（Blaise Pascal）、拉伊爾（Philippe de La Hire），18世紀到19世紀的蒙日（Gaspard Monge）、卡諾（Lazare Carnot）、布利安香（Charles Brianchon）等人都為射影幾何作出了傑出貢獻。[1]

開普勒第一定律説，行星的軌道是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。丨圖源：維基百科

不考慮空氣阻力的情況下，炮彈軌跡是拋物線。計算炮彈軌跡是中學物理課的常見題型。丨圖源：Chegg Study

1789年爆發的法國大革命，雖然清洗了一批社會精英，可也從思想上解除了許多桎梏。1794年，法國建立了多所新式大學，包括綜合理工學院、共和曆三年師範學校（後來巴黎高等師範學院的前身）、國立工藝學院和梅斯炮兵工程學校。1799年起掌權的拿破崙對數學教育非常重視。他善於使用炮兵，而炮兵是一個技術兵種，對數學要求很高。拿破崙本人的數學就非常好。他同許多數學家關係密切，蒙日、卡諾、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）、傅里葉（Joseph Fourier）等數學家都曾在拿破崙政府裏擔任要職。

拿破崙時代海軍和炮兵使用的數學教材，作者為著名數學家裴蜀（Étienne Bézout）。丨圖源：知乎 拿破崙時代的炮兵究竟數學要多好？

軼事

拿破崙非常看重綜合理工學院。他在1805年把綜合理工學院變更為軍校，贈予校旗和校訓“為了祖國、科學和榮譽”。1814年，當第六次反法同盟軍隊進攻巴黎時，綜合理工學院的學生參與了巴黎保衞戰。但皇帝並不願意讓學生們參戰，他説：“我不能殺死會下金蛋的母雞。”[2]

1812年，拿破崙遠征俄國，遭遇了災難性的失敗。這場戰爭中，一名年輕的法軍中尉彭賽列（Jean-Victor Poncelet，1788-1867）被俘。作為戰俘，他在俄羅斯的冰原上跋涉將近五個月，到達位於伏爾加河畔薩拉托夫的一所監獄，在那裏一直被關押到1814年才獲釋。

彭賽列曾經就讀於綜合理工學院和梅斯炮兵工程學校，有着紮實的數學基礎。在獄中，為了打發時間，他回憶起在大學裏從蒙日和卡諾等人那裏學到的射影幾何學。他只記得一些基本原則，但忘記了很多細節。於是他自行從頭推導其中的定理，並發現了更多新成果。回到法國後，彭賽列任教於梅斯炮兵工程學校。在獄中筆記的基礎上，他於1822年出版了專著《論圖形的射影性質》。彭賽列率先認識到射影幾何學有着自己獨特的研究方法和對象，他的這本書標誌着現代射影幾何學的誕生。[3]

彭賽列曾擔任綜合理工學院的校長丨圖源：Encyclopaedia Britannica彭賽列在薩拉托夫蹲監獄時，另外一位偉大的幾何學家羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）正在幾百公里以外的喀山開始自己的數學生涯。他們兩人當時應該沒有交集。幾年前，一篇數學論文裏虛構了一個故事，讓彭賽列通過一名獄卒與羅巴切夫斯基發生了間接聯繫。[4] 這個故事過於生動，以至於連《數學評論》上這篇論文的評論員最初都信以為真。

發源於西伯利亞的數學之路

雖然彭賽列和羅巴切夫斯基的故事是虛構的，但一百年後，還真有另外兩位重量級的數學家在俄羅斯戰俘營裏結識。這兩人就是海萊（Eduard Helly，1884-1943，也譯作赫利）和拉多（Tibor Radó，1895-1965）。海萊是奧地利數學家，1907年在維也納大學獲得博士學位。第一次世界大戰爆發後，海萊參加了奧匈帝國的軍隊，在1915年負傷並被俄國軍隊俘虜。他被關押在西伯利亞的一個戰俘營裏。戰俘們組織起來學習各種課程，包括拉丁語、希臘語、希伯來語、物理、哲學和心理學。海萊也召集了一些人來學習數學，其中有一位年輕的匈牙利人拉多。拉多原本在布達佩斯一所大學裏學習土木工程，學業尚未完成就奔赴戰場。戰俘營裏能看到的書很少，拉多當時唯一能得到的是數學書，於是他就跟隨海萊學習數學。[5]海萊後來被轉移到了另外一個戰俘營，在那裏，他完成了一項泛函分析領域裏的工作，被認為是哈恩-巴拿赫定理最早的版本。（海萊在戰前的1912年已經證明了哈恩-巴拿赫定理的一種特殊情況。）海萊直到1920年才被釋放。由於俄國正在發生內戰，海萊不得不取道日本和中東，繞過了半個地球，終於回到維也納家中。他在戰俘營裏寫的論文發表於1921年。幾年後，哈恩（Hans Hahn）在海萊工作的基礎上證明了更廣泛的結論，巴拿赫（Stefan Banach）也用相似方法獨立證明了類似結果。這就是我們今天所知的哈恩-巴拿赫定理，泛函分析裏最重要的定理之一。

海萊本人最出名的工作是以他名字命名的一個關於凸集的定理，相信參加過中學數學競賽的小夥伴們都曾經學到。由於猶太人的身份，海萊一直未能在奧地利的大學裏找到工作。1938年，納粹德國吞併奧地利後，海萊逃到美國，在愛因斯坦的推薦下才在新澤西州一所社區學院裏獲得教職。換了幾份工作後，海萊終於得到了適合他的學術職位：伊利諾伊理工學院的數學教授。不幸的是，他尚未入職便因心臟病去世，而他的病根就來源於戰爭期間的槍傷。[6]

海萊丨圖源：MacTutor History of Mathematics Archive

同海萊比起來，拉多的學術之路則順利很多。拉多在俄國革命後的混亂中逃離戰俘營，歷經一年多的時間才於1920年回到布達佩斯。他回到大學，這次選擇了數學專業。拉多一直留在學術界，並在1929年移居美國，長期任教於俄亥俄州立大學。[5]

拉多在分析、拓撲、幾何、邏輯等許多領域都有着重要貢獻。1925年，他證明了任何一個閉曲面都有三角剖分，從而最終完成了閉曲面的分類。1930年，他解決了有二百多年曆史的關於極小曲面的普拉託問題。（道格拉斯（Jesse Douglas）獨立於拉多證明了略強的結論，並因此獲得1936年頒發的首次菲爾茲獎。）1962年，在他逝世前三年，他發表一篇理論計算機領域的文章，提出了“忙碌的海狸”遊戲，由此定義了一個著名的不可計算函數。

拉多丨圖源：MacTutor History of Mathematics Archive

在第一次世界大戰中，歐洲整整一代年輕人被驅趕上了戰場。海萊和拉多這樣在戰俘營裏進行學術研究的絕非孤例，海萊的同胞維特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889-1951）就曾在戰俘營裏研究哲學。David Aubin和Catherine Goldstein在《Placing World War I in the History of Mathematics》一文中對數學家們在一戰中的經歷作了深入探討。

在戰俘營裏革新拓撲學

第一次世界大戰並沒有給人類帶來足夠的教訓，僅僅二十多年後，第二次世界大戰就爆發了。在這場戰爭中，法國南錫大學數學教授勒雷（Jean Leray，1906-1998）入伍成為一名軍官。他於1940年被德軍俘虜，關押在位於奧地利的第十七號軍官戰俘營（Oflag XVII A），在那裏一直呆到戰爭結束。

這個戰俘營裏總共有大約5000名戰俘，他們組建了一所大學，勒雷被選為校長（recteur）。戰俘營裏人才濟濟，除勒雷外，還有一位數學家維爾（Jean Ville），概率論裏“鞅”（martingale）這個術語就是他在1939年的博士論文中引進的。生物學家沃爾夫（Étienne Wolff）日後當選法國科學院院士，地質學家艾倫伯格（François Ellenberger）後來擔任過法國地質學會會長。戰俘們甚至用偷運進來的攝像機拍攝了一部30分鐘的紀錄片《Sous Le Manteau》。總計有將近500人在戰俘營大學獲得學位，而這些學位在戰後得到了巴黎大學官方認可。[7]

戰俘營大學同事們的合影，前排中間即勒雷。丨圖源：Sous Le Manteau

勒雷在戰前是一位分析學家，在流體力學的Navier-Stokes方程上做出過卓越的工作。然而，他擔心一旦德國人知道他是流體力學專家，會強迫他進行軍事相關的研究。於是他決定把自己偽裝成一個拓撲學家，研究不能夠被直接用於戰爭的純理論。勒雷以前曾經跟波蘭數學家紹德爾（Juliusz Schauder）合作研究過拓撲裏的映射度理論和不動點定理，但那時他的目的是為了在微分方程裏應用。所以對於他來説，轉行拓撲算得上是得心應手。勒雷在戰俘營裏開設了微積分和拓撲課程。在準備拓撲課時，他從頭思考應該如何定義拓撲學裏的同調羣。他希望這種新的定義能夠更加方便地應用在他和紹德爾研究過的那類問題裏。基於這些想法，他引進了“層”和“譜序列”這兩個概念。他把課程講義的摘要寫成四篇短文，寄給他的博士導師維拉（Henri Villat），於1942年發表在《法國科學院學報》上。詳細的講義則整理成了三篇長論文，在戰爭結束後才發表出來。這三篇論文的副標題是“在戰俘營裏教授的代數拓撲課程”（un cours de topologie algébrique professé en captivité）。

1942年，勒雷在戰俘營裏發表的第一篇論文，開頭便提到他在第十七號軍官戰俘營大學裏教授的拓撲課程。丨圖源：C. R. Acad. Sci. Paris

在戰俘營期間，勒雷於1942年被聘為巴黎大學教授，於1944年當選法國科學院通訊院士。1945年5月，勒雷終於迎來了解放。[7] 重獲自由的勒雷不再從事拓撲學的研究，回到了自己的本行分析學。然而，他引進的“層”和“譜序列”被他的同胞昂立·嘉當（Henri Cartan）、柯歇爾（Jean-Louis Koszul）、塞爾（Jean-Pierre Serre）等人發揚光大，迅速成為現代數學裏的基本工具。1954年，塞爾和小平邦彥獲得菲爾茲獎，他們兩人的獲獎工作都建立在“層”或者“譜序列”的基礎之上。在我們這個系列介紹的所有在監獄裏完成的數學工作中，勒雷的“層”和“譜序列”或許是最重要的。

勒雷於1979年獲得沃爾夫數學獎丨圖源：Wolf Foundation

參考文獻

[1] Moris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.

[2] The International Cyclopaedia: A Compendium of Human Knowledge.

[3] MacTutor History of Mathematics Archive

[4] Richard Schwartz, Sergei Tabachnikov, Centers of mass of Poncelet polygons, 200 years after. Math. Intelligencer 38 (2016), no. 2, 29–34.

[5] encyclopedia.com

[6] Harry Hochstadt, Eduard Helly, Father of the Hahn-Banach Theorem. Math. Intelligencer 2 (1979/80), no. 3, 123–125.

A.F. Monna, Letter: “Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem’’ by Hochstadt.Math. Intelligencer 2 (1979/80), no. 4, 158.

[7] Anna Maria Sigmund, Peter Michor,and Karl Sigmund， Leray in Edelbach

本文經授權轉載自微信公眾號“普林小虎隊”。