華羅庚説王元：如果前進不了，你這輩子就這樣了｜紀念王元先生_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2021-05-15 14:01
2021年5月14日12時46分，我國著名數學家、中國科學院院士、中國科學院數學與系統科學研究院研究員王元因病醫治無效，在北京逝世，享年91歲。
王元先生在解析數論、代數數論以及數論方法應用等方面均作出了卓越貢獻。他26歲時證明關於哥德巴赫猜想“3+4”命題，這是我國在該領域第一個重要成果。後與華羅庚一起開拓開拓了高維數值積分的研究方向，並創造了“華-王方法”；他們的專著《數論在近似分析中的應用》享譽中外。王元先生對代數數域上的丟潘圖分析以及數論方法在統計中的應用等方面也作出了傑出成果。
本文為1990年王元獲得陳嘉庚科學獎後的採訪，訪談中涉及到了王元先生與華羅庚師生合作，對應用數學的看法，以及個人經歷等。如今斯人已去，往事可追，謹以此文紀念王元先生。
努力做一個誠實，不自私和樂於奉獻的知識分子。
——王元
撰文 | 袁向東（中國科學院數學研究所）
Y：王元教授，今天很高興能訪問你。我想開門見山。1990 年的陳嘉庚獎[1]中的物質科學獎，被兩位數學家獲得，就是你和華羅庚教授。在眾多的競爭入選項目中，你們的“數論在數值分析中的應用“一舉奪魁，應該説對數學界是個鼓舞。數學家的工作得到科學界的承認，並給予了很高的榮譽，你是否就此談點感想。
W：數學放在物質科學範圍內不完全合適。但現在陳嘉庚獎沒單獨設數學獎， 數學和物理、化學、天文、力學同歸在物質科學名下。物質科學獎今年是第二次頒發，前年第一次獲獎項目是超導和晶體方面的成果。
我們這項工作起步很早，50 年代末就開始，1977 年基本完成。1978 年出了書（中文版）。它的英文和日文譯稿差不多同時完成。1981 年 Springer 出版社首先出了英文版。英文差不多是國際通用語言，日本人覺得沒必要再出日文本，他們把譯稿寄給了我。譯者是名古屋工業大學教授江田義計，是日本文部省資助翻譯的。
我覺得科學工作主要由時間來作最後的評判。得獎工作可能有點長處，但不是每項好的工作都一定得獎。沒有得獎的工作中有些是很好的。
Y：你們這項工作在國際數學界和應用部門的反響相當大。就我看到的資料，國外的書評就不下 15 篇，引用就更多了。這項工作到底好在什麼地方？
W：這個工作有些實際應用。國內在部隊工作的一些朋友告訴我有用；在美國，得克薩斯的一位教授告訴我，他用我們的方法算過石油工業方面提出的一個五重積分。美國的標準計址局 (Burseau of Standard)，還有加拿大多倫多大學都在計算機上使用過我們的方法，證明它的實際效果是好的。應用數學要有用才行。
“應用數學是新興的學科”
Y：我想你們這項工作無疑屬於應用數學。怎樣來評價一項應用數學工作呢，有沒有什麼標準？
W：我的看法不一定對，僅供參考。純粹數學的歷史比較長。如以 19 世紀初作為近代純粹數學的發端，也有將近 200 年的歷史了。在本世紀三四十年代，英國數學家 Hardy 發表一種觀點，認為美的數學才有價值，才能流傳於世。這代表了一種對純粹數學的評價標準。數學的美倒底是什麼？各人理解不盡相同，大家都用 elegant 或 beautiful 這些詞來形容。我想本質就在於 simple，它是一種“簡單”的美，而不是華麗的美。
應用數學就不同了，它是一門新興的學科。本世紀初， 德國格丁根大學讓 C. Runge 開一門課，叫應用數學。於是他就到處找方法，這個方法、那個方法，當作一門應用數學課來講。
Y：從《希爾伯特》這本傳記上知道，這大概是 1904 年的事。Runge 就是搞出 Runge-Kutta 方法的那位數學家吧！
W：不錯。那時僅是一點點萌芽。二次大戰期間興起了一個運籌學，近代統計學大約在 30 年代或早一些時候出現在英國。所以，應用數學的歷史我猜想只有半個世紀左右。
Y：我想你是説應用數學作為一門獨立學科的歷史不長。應用當然從古至今都有。
W：只是講數學的應用，那是無所謂的， 事實上並沒用到什麼數學中真正重要的東西。Hardy 講過一句絕話，沒有應用的數學才是好的，好就好在沒有應用。因為數學不是一個服務性行業，不能根據有用沒用來判斷它的好壞；否則它就沒有必要獨立存在了，就變成其它科學的附庸了。
“除優美之外，應用數學要真正能用”
W：應用數學現在還不完全成熟，沒有形成一套國際公認的評價標準，分歧比較大。有人認為應用數學就是數學，這種觀點恐怕不全面；有的人認為只要有用就好，也不完全。我想應用數學跟純粹數學總有點差別。差別就是除優美之外，應用數學要真正能用。實際上，這兩方面有緊密的聯繫。不美的東西太繁，用起來不方便或者根本沒法真正去用。這是我們做積分近似計算、搞數值分析的指導思想。
Y：我想坦率地問一句。1958 年你們開始這項研究，那時的特殊環境是否是你們選擇這項應用課題的直接原因。
W：當時的形勢希望數學家去搞跟實際結合的東西。但我們是權衡過利弊的。如果這個題目的永久價值太小，不管什麼形勢我們也不會幹的。正是因為它符合剛才講的兩個條件，我們才可能丟下其它工作，全心全意地深入進去搞。
Y：就是説這並非是權宜之計， 隨便找個應用課題搞搞。是否請你詳細談談搞這項研究的學術背景。
“牛頓本人就是積分近似計算的專家”
W：我們這項工作有一個具體模型， 就是算多重積分。積分近似計算的歷史很悠久了，牛頓發明微積分，本來考慮的也是積分近似計算，因為能求出原函數的函數很少。牛頓本人就是積分近似計算的專家，搞出了一些經典的多項式插值公式來計算積分。在他之後，又有許多數學家得出很多公式，但都是用來計算單重積分的。多重積分即高維的積分，是沒人去做的。為什麼過去幾個世紀都沒人搞呢？因為即使搞出個方法也無法實現，沒有高速電子計算機這種工具。足見數學這個東西並不是可以胡思亂想的。另一方面，多重積分隨着維數的增加，其計算量的增長快得不得了；方法不好，即使計算機的速度再提高几個數量級，仍然算不了多重積分。所以好的方法變得特別重要了。計算方法的研究本質上是一種軟科學，很多人也許還沒注意到軟科學的進步。
Y：多重積分的數值計算最早可以追溯到什麼時候？
W：我想 von Neumann 和 Ulam 時代就開始了。他們用 Monte Carlo 方法。但這個方法粗得很。具體運用時大致只能算到三重積分，維數再高就不一定好算了。而數論方法可以把維數提高到十幾維。
Y：你能不能極簡要地説明一下數論方法的實質？
W：可以。Monte Carlo 方法是把一個分析問題（比如求積分值）變成一個概率問題，兩個問題有同樣的解。這樣就可以用統計實驗的方法來做這個概率問題，從而得到原分析問題的解。但統計實驗是很粗的。我們能不能直接用確定性的方法來計算多重積分呢？而且要脱開古典方法一重一重來算的框架，直接從高維空間的整體出發來做。其關鍵是要在高維空間找出一組點列，分佈得又非常均勻，是一致分佈的。這不是統計意義下的一致分佈，是按照 Hermann Weyl 定義下的分析意義上的一致分佈。我們由實分圓域定義的一致分佈點列出發，求出了它們的 discrepancy （偏差），這樣可以精確地把誤差估出來。
“華羅庚説，被王元拉上了一條路”
Y：用數論方法搞積分近似計算，你們是不是世界上第一家。
W：不是的。我們搞這項研究有點戲劇性。我最初看到蘇聯的一篇文章，表明蘇聯科學院的討論班已在考慮這個問題，是 1958 年。我被這種新的方向吸引住了，拿着那份材料（關鍵就是一行公式）去找華老。
Y：你還記得是誰的文章？
W：記不準是 KopOÓOB 的還是 Гнеденко 的，是篇通俗介紹材料，講了積分近似計算跟 Monte Carlo 方法的關係，講了偽隨機數是服從一致分佈的。他們用一個單和去逼近積分，而這個和是用一致分佈點列構造出來的。那天華老很累，不想看。我説你就看這一行，行不行？他説，那好吧。一看，他就看出 Monte Carlo 方法實質上就是數論中的一種方法。華老説；“一層紙戳穿了，就那麼一點點東西” (Monte Carlo 方法在當時還是比較新的）。此後，他對這個問題就很有興趣。所以華老後來説是被王元拉上了一條路。
Y：這麼説，你先看到的文章還不是正式的研究論文！
W：實際上 KopOÓOB 在 1957 年巳發表了數論方法用於近似計第的第一篇理論文章[2] 。我們也是在 1958 年看到的。他的方法用了完整三角和，但不太精密。我把這篇文章給華老看了。完整三角和是華老在純粹數學方面的最大貢獻。蘇聯人不是用 Виноградов 的三角和，而正是用他的完整三角和在數論與積分近似計算之間搭了座橋。他確實很高興。
Y：看來，你們和蘇聯數學家要展開，一場競爭了。
W：KopOÓOB 比較好的方法是 1959 年發表的。這個方法從應用數學的角度看有一點差勁，計算量太大。從純粹數學的眼光看它確實是構造性的，但從應用數學的眼光看，它還是偏於存在性的。它的適用範圍似乎也比較小。
我們的第一項成果也是在 1959 年得到的，1960 年發表在“科學紀錄”上。對二重積分我們得到了一個完美的逼近公式。
“華老在數學上最強的是直覺”
Y：你們的研究路子跟蘇聯人有沒有差別？
W：我們的問題和目標很明確， 就是要找一種直接的方法，能比較快速地找出一組點，適用範圍要儘可能的大。華老根據他的直覺，認為確定計算二重積分的點，即平面上的點，用 Fibonacci 序列和黃金分割就能得出來。我按他的想法去證，只用兩頁紙就證出來了。日本數學家彌永昌吉在即將發表的一篇紀念華羅庚先生的文章中寫上了這個公式，稱它是elegant。這個公式到今天仍在實際中使用。
蘇聯學者則是搞了很複雜的理論，繞了較大的圈子，最後才推出二重積分可用黃金分割去做。一比較，證明華老的直覺很強。
下一步，在向更高維擴展時，Fibonacci序列怎麼推廣？華老又憑他的直覺，認為應該是分圓域。他覺得從分圓域的單位出發，就可以找出均勻分佈的點列。後來證明他的這個想法是對的。但當時我們兩個都有一種弱點，因為是搞純粹數學出身，把邏輯推導當成唯一的手段。他的直覺，在二維情形很容易證明，高維則不然了。他搞了半年多，證不出來，於是就放棄了。那是 1959 年裏的事。
Y：關於華老在解決二維問題前的直覺，你能不能説得細一點。
W：當時巳把問題歸結為一個很簡單的提法，即如何找一個多變數線性齊次同餘式，使它在儘可能大的區域內沒有非零解。由此他猜出二維時可以用 Fibonacci 序列。很多跟他來往的人認為，華羅庚先生最大的特點、最強的能力是邏輯推導和計算能力。事實上這並不是最重要的。你算得快、推導能力強，你一個月能幹成的，人家多用點時間，比如三個月也能幹出來。我感覺到他最強的是直覺力，這種本事就不是多花點時間和精力能做得到的。
華老的第二個特點是搞什麼都用直接方法，把問題提明確，然後用單刀直入的辦法來對付它。這使他能在很多領域搞研究。
“走頭無路，我用了模擬的方法”
Y：華先生擱下這個課題後，你怎麼辦？
W：我覺得還是不應該放棄。在走頭無路的情況下，我決定把邏輯推導的手段徹底丟掉，而採用應用數學的辦法，就是所謂的 simulation （模擬）。
用模擬方法，就是利用分圓域搞出一個高維的計算程序，沒有證明，對不對不知道，然後直接上計算機去算。當初蘇聯西伯利亞分院為 KopOÓOB 的方法編制過計算表，該表的點數上界是 10 萬，維數達 10 維。我的想法是試圖用計算機找出一組 11 維空間的點列，超出蘇聯學者的表的範圍。即使得不到理論上的結論，我們也可能給出一種算法。
Y：這種搞法跟你以前搞的純數學研究相距十萬八千里了！
W：確實。這時，我們只要在高維空間中找出一組點列，分佈得非常均勻就夠了。而純粹數學就要求研究所有這類點列的共性，只找出一個例子是不行的。兩者截然不同。
經過差不多四年的努力，到 1963 年，終於把這個程序搞了出來。接着就請計算所的同志上機算（我記得數學所還付了 200 元計算費），他們幫了我很大的忙。我們算了個 11 重積分，使用的點數百萬計。它的精確度用計算機硬估出來（函數類確定後，可算出誤差的上界）。
我把這個結果給華老看，用的基本思想還是他提出的那個。1964 年， 我們合寫了一篇短文，在《科學通報》的成果簡報欄發表了。1965 年， 我們正式在《中國科學》上發了一篇文章，把那個程序從純數學的角度推廣了一下；實際上沒什麼新東西，只是把分圓域推廣到一般域。這兩篇文章最後都是華老定稿的。
有一點需要説明，應用數學的另一特點恐怕是不能説一個方法什麼都好。我剛才給我們的方法説了太多好話。所以我還要補充説明一點， KopOÓOB 的方法雖然繁， 但精度比我們的高一些，這是他的方法的優點。
Y：我看到美國數學會的 Bulletin (1983 年 5 月號）上有關於你們的方法的長篇評論，説在許多情形中，你們的方法”以最少的計算批得到最精確的結果”。評價還是不錯的。你們的這項工作就此結束了嗎？
W：後來文化革命，沒法搞了。實際上這時我們的工作僅遺留下一個尾巴，還沒從理論上闡述清楚這個方法的精度。不過，從實際應用的角度考慮，理論的證明也許沒用，因為理論上的誤差往往偏大，要讓誤差趨於零，點數就得趨於無窮才行。
Y：從完整的角度看，理論證明還是有意義的。
W：作為—個科學問題來看是有意義的，但從應用講沒什麼意義。
“國際數學家大會曾邀請華羅庚作報告”
W：1972 年廖承志先生帶了個代表團訪問日本，華老是代表團成員。在日本時，當地學者告訴他我們的數值積分方法非常成功，給了他一本剛剛開過的學術會議的論文集 (1972 年時國際上的學術會還不像現在這麼多）。在這次學術會上專門討論了我們的方法，用二三十頁的文章闡明我們那篇小小的研究簡報，並在 S. Haber 的文章中第一次把它稱為華－王方法。
Y：那時還在文化革命之中，你們聽到這個消息作何感想？
W：華老回國後給我打了個電話，要我去找他，説有一個很好的消息要告訴我。我去了，他給我看了剛才説的論文集。我真沒想到一個研究簡報已在國外受到這樣的重視。所以很想在理論上加緊搞一搞。可是要達到理論上完整需要一條大定理，它的難度有點像證 Riemann 猜想。就是要把 Roth 定理推廣到高維。
Y：請你簡單介紹一下 Roth 定理。
W：Roth 在 1958 年獲 Fields 獎。獲獎工作是代數數的有理逼近，給出了最好的下界是什麼。如能把這條定理推廣到高維空間，我們的理論問題就全解決了，因為分圓域的基就是一大堆代數數。Roth 在得獎時説他對二維的情形就毫無辦法，對高維幾乎無法想象它是對的。Roth 定理起源於 Liouville 的工作，很多大數學家搞過，如 Thue, Siegel，Гельфонд， Dyson， 都只是對 Liouville 定理作出一些實質改進，直到 1955 年 Roth 才得到最佳結果。使我們最後成功的轉機是 1970 年出現的，這也是運氣，W. Schmidt 居然證明了 Roth 定理在高維的推廣。他不愧是當代最大的數論專家之一。
Y：看來，你們這項工作快接近尾聲了。
W：我是在 Acta Mathematica 上看到他的連載文章的，加起來有 100 頁。我就把它用上來，我們的理論完整了。寫的三篇文章華老都仔細看了，是對的。1973-1975 年先後發表了這三篇文章。這是我們五六十年代工作的繼續。
有一件事國內可能很少人知道，就是 1974 年在温哥華召開的國際數學家大會曾邀請華老去做演講，願在大會上做或在專題組上做都行，題目自選。但我們知道多倫多大學很重視積分近似計算這個課題，他們直接上機做過大量計算。華老本人很願意去講，想講的內容也是這項成果。他曾要我幫他寫一個講稿。後來因上面沒批准而沒能成行。四年後的陳景潤和八年後的馮康先生，也都因同樣原因沒能接受國際數學家大會的邀請去作報告。
Y：你們那本《數論在近似分析中應的用》是什麼時候動筆的？
W：數學工作就是這樣，做完了就寫書，好留傳下去。我們還要編出實用的表，象三角函數表那樣，用起來方便。文化革命結束前我們就開始寫了。我請徐廣善和計算所的張榮肖兩位，利用計算所百萬次的計算機算（這次因有張榮肖直接參與，數學所就不用花錢了），把 18 維以內的表都編成了。1977 年書完稿。1978 年出中文版，後來 Springer 很積極要出，他們拿到英文稿後，改都沒改就發排出版了。
Y：我看到的書評説，該書英文版有些本來可以避免的缺點，比如書中沒有 index（索引），有些譯文有點毛病，還有印刷錯誤沒校對出來。看來他們急於出書帶來了點遺憾。
W：還有些情況要説明。我們的書出版前，曾在 1961 年以“積分的近似計算”為名，出了一個通俗小冊子，何祚庥先生看後很欣賞，還專門寫了一篇書評（評“積分的近似計算”一書，兼論多重積分計算方法，《科學通報》1963)。1963 年又出了該書的修訂本，並改名為“數值積分及其應用＂，馮康先生又寫了一個很長的評論（未發表），以後馮康先生又要我為《中國大百科全書》寫一個一千多字的條目，考慮到我們的課題在整個“近似分析”，中只佔一點點，所以我寫了一個約五百字的條目，而且包括了 KopOÓOB 的工作。徐利治先生在他寫的關於數值積分的書中，也把我們的工作列為一章。對於國內同行的鼓勵，我們一直很感激。
“我喜歡音樂和游泳，不是什麼時間都用來讀書”
Y：現在請你談談你在中、小學的表現好嗎？
W：我上小學時趕上抗日戰爭，小學總共只讀了三年。有一段時間是在往四川逃難的路上度過的。後來在重慶遠郊的一所農村小學讀了些日子的書。我記得那是座廟，條件很差。幸虧父親幫了不少忙，給我補習語文和算術。12 歲小學畢業。
Y：你上的是哪所中學？
W：原來四川教育比較落後，沒幾所好中學。後因抗戰，江蘇及其它一些地方的學校遷到了四川。當時有兩所中學名氣大，一是中央大學附中，一是由揚州中學遷川后改建的國立二中。我考取了國立二中。我不是對所有的功課都感興趣，學得比較好的是英文和數學，其它課的成績只有中上水平。另外，我喜歡音樂和游泳，所以，不是什麼時間都用來讀書。抗戰勝利時我正好初中畢業。高二時復員到南京，上的社會教育學院附中（後來的南京六中）。整個中學階段，我是個中上等學生，所以沒考上很好的大學。
Y：哪年考的大學？考上了哪所大學？
W：1948 年考的。因總成績不算好，只考取了英士大學[3]和安徽大學兩個學校。我去了英士大學。這下運氣又來了，解放後這所學校併入浙江大學，我就“混入”了浙大。順便説一句，我對入學以總分取人始終不大讚成！
Y：浙大對你最大的影響是什麼？
W：浙大當時的數學系在國內是相當好的。有陳建功、蘇步青先生，以及其他很多先生，如張索誠，徐瑞雲，盧慶駿，白正國，曹錫華等。浙大的優點有兩條。一是它很重視培養學生的邏輯推導能力，幾乎所有的考試題目都是證明書上的定理。你把這些定理的邏輯結構真正搞清楚了，考試就能得 100 分。我們接受了這方面的嚴格訓練。二是在四年級時有個學生的討論班，老師指定一些論文和書，由學生上台去講，使學生學會自己看書讀文章，這是開展獨立研究的第一步。
Y：你還記得當時啥的主要課程嗎？
W：記得。我是二年級到浙大的，有一門課叫級數概論，搞清了 ，一致收斂…..
這是浙大分析課中的精華。三年級開了複變函數，按 Titchmarch 的書教，重視演算。四年級上實變課，教了實數理論，什麼 Lebesgue 積分， Cantor 的集合論初步。分析是浙大最強的。此外，幾何訓練在浙大也比較重視。解放後還開了幾門新課：初等數論、拓樸學和概率統計。我覺得這些內容到畢業後確定了專業再學也無妨。
Y：你是哪年大學畢業的？怎麼到的中科院數學所？
W：大學四年，1952 年畢業，經統一分配到了數學所。應該説我運氣非常好，到了一個數學中心，到了大數學家華羅庚先生身邊。當年科學院要了四名數學系畢業生，浙大兩名，北大、清華各一名。浙大經陳建功和蘇步青先生推薦派了我和孫和生。清華來的是許孔時，北大畢業生是何善唷。數學所 1952 年 7 月成立，我是 10 月份到所的。
“跟着華老工作的最大好處是……”
Y：你是不是一到所就跟華羅庚搞課題？
W：華羅庚先生曾是數學所籌委會的副主任，正式建所時出任所長。他對建設數學所有個設想，先把數論組和微分方程組搞好，然後一個組一個組地建立其他學科組。我正好碰上他着力建設數論組，參加了他主持的兩個討論班，一個是他講數論導引，一個就是 " Goldbach 猜想“討論班。實際上，除積分近似計算外，我從來沒跟華老搞同樣的課題。
Y：華老對你的主要影響是什麼呢？
W：我學他怎麼進行思維，這個很重要。前面已説過他的直覺力很強，他還特別善於啓發人，善於所謂的 Heuristic method. 他在搞問題時常讓你看一看他的問題和思路。不管多復變也好，代數也好，別的科目也好，他講出來的問題你都聽得懂。處理間題又基本上都是白手起家。你可以看得出來他怎樣思考這個問題。他常常在問題處理以前先有個框圖，框圖中的目標實現得了實現不了並不完全知道，但他有這麼個東西。這是從大數學家那裏最難學到手的一招。在把每一步證明嚴格化以前，他總是先進行概算，這時不管嚴格性，往前跳得很多。我慢慢領悟到他的直覺力和搞框圖的路子。他的有些學生沒在這方面花功夫，就吃了一點虧。
Y：請談談那兩個討論班上的情況？
W：數論導引後來出了書，其實就是他的一個講義。他從頭到尾講，最後有許多章節只講個大概，由學生詳細寫成文，這對學生是很好的訓練。他寫數論導引相當有眼力。早年在美國時他曾想寫一本解析數論的書，據説書的廣告都已經貼出，後來他放棄了。現在看來他放棄得對。因為解析數論當時正在發展，你寫好還未出書就可能過時了，很多重要結果補不進去。而《數論導引》選的材料都是經典的，不大會過時，中文本出了 30 年之後還被譯成英文出版。
還有 “Goldbach 猜想” 討論班。他為什麼選這個問題，因為它跟解析數論的方法有全面的聯繫。把一個個方法搞透，掌握方法的核心，對解析數論也就明白了。他原先並沒想到要去改進以前的結果。
“…如果再進不了的話，你這輩子也就這樣了…”
Y：你是在這個討論班期間證明的“2 + 3”嗎？
W：討論班搞到篩法時，我們就把國外原有的結果改進了，講起了我們自己的東西。
我是從 1954 年開始考慮的，1955 年就做出了“3 + 4” , 1956 年繼續改進，除了“2 + 3 ”， 還在 Riemann 猜想下證出了“ 1 + 3”.
Y：做出這個結果後的心情怎麼樣？當時你還很年輕吧！
W：26 歲。當時很激動，首先希望快點發表，讓中國人佔個先。我很快給科學通報寫了個 note , 華老推薦一下就發表了。這項成果在當時數學所內被認為是最好的，國內也宣傳過；聽説蘇聯塔什干的青年報也登過介紹文章。後來潘承洞跟着做， 證出“1 + 5”和“1 + 4 ”，陳景潤做出“1 + 2” 。以後別人再做不出更好的結果了，除非證掉 Goldbach 猜想。
Y：看來你開的這個頭還是很有意義。你當時的成功肯定鼓舞了不少搞數學的青年。
W：華老當時説本沒想到你們能在這方面有所突破。我做出“2 + 3”後他曾對我講：
你要能再進一步就好了，如果進不了的話，你這輩子也就這樣了。這也讓他説中了，我以後在攻難題方面並無進步。（笑聲）
Y：我記得 Von Neumann 好象説過數學創造的最後年齡是 26 歲，巧合！不過，他後來把這個上限又提高了。我還想請你説説當時討論班上的氣氛。
W：我覺得我們討論班上的年青人，還不是中國數學素質最高的青年，只是索質比較高的。如果當時的政策更寬一點，能象華老到廈門大學去選陳景潤那樣，允許在全國範圍不斷選拔人材，這個討論班也許能搞得象英國的 Davenport 討論班那樣出幾個 Fields 獎得主。
不過話又説回來，我們當時確實是拼命乾的，為建設好社會主義，忘我勞動，根本沒去想個人的升級升職，只是一心一意搞數學。在這個集體中，大家齊心協力幫華老把數論導引寫好。説句公平話，能寫成《數論導引》，華老的功勞也許是 60% 或 70%，其他學生加起來是 40%或 30%，而我們這些學生誰也沒計較自己要不要掛名。這是解放初期的大氣候，不光我們，誰不這樣！
Y：你提到了英國的 Davenport 討論班。對你們的討論班很有點驚惜，能不能談談你的抱憾？
W：談起這件事很痛心，曉得吧！H. Halberstam 在一篇悼念華老的文章中提到，華羅庚和 Davenport 在圓法與三角和估計方面，是僅次於 Hardy、Littlewood 和 Виноградов 的人物。就做出歷史上站得住腳的成果而言， 華老也許更強。Davenport 的面也很廣，總的説兩人在數論方面處於同一水平。可是，他的討論班出了 K.Roth, A.Baker; Bombieri 也受他影響。三個 Fields 獎得主。而華老的討論班過早夭折，事實上到 1957 年後就不允許他正常地搞下去了。他的討論班剛在數論方面做出點成績就給轟掉了。我跟他以後的合作只是一種私人間的關係，沒有組織上的聯繫了。
Y：國家如果一直處在安定的環境下，中國今天數學界的面貌恐怕不會是現在的樣子。
“把 Schmidt 的那套東西推廣到代數數域”
Y：你 l957 年做完 Goldbach 猜想方面的工作， 1958 年到 1975 年又完成了積分近似計算的研究它們分屬純粹數學和應用數學領域，下面往什麼方向搞呢？
W：上面兩項工作方向不同，時間上銜接得很緊。從 1975 到 1 980 年，我只是東碰碰、西撞撞，接不上一個大點的間題。1980 年我隨數學家代表團訪美，知道 W.Schmidt 非線性丟番圖分析極其成功。我又記起華老在我剛畢業時跟我談起的事，他對 Siegel 代數數域上的丟番圖方程及華林問題的工作很欣賞，認為我們應該搞代數數域上的不定方程。這兩個信息碰到一起，我就考慮能不能把 W. Schmidt 的這套東西推廣到代數數域上去, 終於找到了一個好的方向。做到 1985 年，主要結果都得到了，我寫了三篇論文，結果好不好不知道，沒拿去發表。1985 年我到普林斯頓高等研究院工作一年，正巧 W. Schmidt 也在那裏。他看了我的手稿。這個人的加 intuition 也非常強，他看後已經猜出我這項研究的最後形式應是個非線性丟番圖不等式組，而且對不能嵌人到實數域裏的代數數域能證出來。我在普林斯頓的第二個學期證出了他的這個猜測。他的預見果然是對的。天才大概就表現在這些地方。我在這方面的研究成果已寫成書，1991 年春將面世，由 Springer 出版社出版。
從普林斯頓回來差不多又五年過去了，始終沒什麼好的想法。
Y：你最近在積極組織密碼討論班，參加的人很多。是不是想在這方面有所作為？
W：我並沒有什麼 idea 去搞編碼研究，只是想利用我目前的位置去推動一下。密碼學可以説是最早形成的數論的應用分支，數值分析也許可以説是在它之後的又一個數論應用分支。密碼學比較古老，最近由於技術的進步，面貌變化比較大，我認為我們應該趁現在的形勢跟上現代發展的步伐，這對整個國家都很重要。普林斯頓高等研究院 1990-1991 學年的中心課題就跟密碼學有關。要注意這個動向。
Y：現在有人提出這樣的看法，數論是最基礎的，也是最有用的。這個討論班如能堅持下去，有出色的年青人上來。你的推動説不定對中國的數學事業能起些作用。
W：美國貝爾公司理論研究部主任 R. Graham 在 1990 年的一次公開講演中説，數論過去認為是最沒用的東西，現在數論成了所有數學學科中最有用的學科。
Y：你今後的打算能談一點嗎？
W：現在想得到的有幾件事可以做。一是和應用數學所方開泰他們一起把數論方法用於統計研究；一是寫華羅庚傳，實際是一種回憶錄性質的東西[4]。我在當數學所所長和數學會理事長期間，的確是盡了很大的力量，但效果現在很不好説，很多事情很難做。
除上面兩件事之外現在想不出還該幹些什麼。
Y：學術研究方面的前景呢？
W：我想不會再做出什麼了，不會再有一次青春年華。要幹年輕時做的事要多大的工作量呀，現在這個年齡吃得消嗎？
Y：真的謝謝你十分坦率的交談。
註釋
[1] 陳嘉庚獎分“生命科學獎”、“農業科學獎 ”、“物質科學獎”、“技術科學獎”、“醫學科學獎”、“地學科學獎”等六項。從 1988 年始每年頒發三項（無適當頒獎對象，可空缺某項）。第一屆頒發了物質、技術和農業三項獎，第二屆頒發其餘三項，以後照此輪流頒獎。該獎評委會主任是周光召。獎金額為每項三萬元。
[2] Н.М.Коробов, Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов Теории; чисел, Докл. АН СССР, 115(1957), 1062-1065.
[3] 以陳英士命名的大學。陳英士，浙江吳興人 1906 年入同盟會。1914 年參加中華革命黨，1916 年被袁世凱收買張宗昌派人刺死於上海。
[4] 筆者在王元教授處見到了華羅庚先生給王元的親筆文字，內容是華老對寫他的傳記的若干條建議。其中關千積分近似計算的研究情況，華老寫着“被王元拉上了一條路”。
本文來源 ：《數學的實踐與認識》1991年02期