地鐵站裏的時空旅行：從柏拉圖立體到引力波漣漪_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2021-05-29 19:31
在斯德哥爾摩的皇家理工學院地鐵站裏，流轉着人類千年智識的熠熠光輝。
撰文 | 範明
建於1950-1980年代的斯德哥爾摩地鐵線路全長108公里，被稱為世界上最長的藝術長廊，由150位藝術家打造而成。很多地鐵站都與地面景物呼應，設計了不同的藝術主題。鐵軌上奔馳而過的列車，好似帶領人們從古希臘的柏拉圖到近代的愛因斯坦，進行一場穿越2000多年物理時空的旅行。
其中的KTH皇家理工學院站於1973年9月30日落成剪綵，由瑞典著名設計師和藝術家Lennart Mörk主持設計。地鐵站以“元素與自然法則”為主題，是一個數學物理發展歷史的迷你博物館。這個地鐵站與鄰近的Stadion斯德哥爾摩體育場站分享了1973年瑞典建築協會的Salin年度大獎，該獎由瑞典建築師Kasper Salin捐贈，從1962年起頒發，1973年是迄今唯一一次獎勵給地鐵站台設計。
古希臘人最先把對宇宙的認識與宗教觀念分割開來，併力圖建立一個統一的宇宙模型去解釋天體的複雜運動，“希臘三賢”之一柏拉圖 (Plato，前429-前347年，圖1.1) 的正多面體宇宙結構模型就是其中的一種。正多面體是由正多邊形構成、各頂角相等、各稜邊相等的凸多面體，具有高度對稱性和秩序感。因柏拉圖及其追隨者的研究，正多面體得到了“柏拉圖立體”的別稱。
在晚期著作《蒂邁歐篇》中，柏拉圖描寫了通過這些正多面體的幾何和諧組成的宇宙圖景。他將公元前七世紀愛奧尼亞學派的原子論與公元前六世紀畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的數學自然觀相結合，將四個正多面體對應於古典四元素：正四面體代表穿透力最強的火元素；正六面體代表最穩固的土元素；正八面體代表順滑的氣元素；正二十面體代表柔和的水元素。並將不同的物理屬性賦予這些正多面體，以此解説火土氣水諸元素乃至世間萬物的生成與變化。
柏拉圖在《蒂邁歐篇》中還提到神秘的第五個正立方體，作為他心目中的宇宙模型。柏拉圖寫道：“對於剩下的第五種複合圖形，上帝用它來代表全部，並給它繡上精美的圖案。”後來他的學生亞里士多德添加了神性元素“以太” (aether)，這一概念在之後2000多年的物理觀念演化過程中起到了至關重要的作用。
正多面體的作法收錄在公元前300年左右歐幾里得撰寫的《幾何原本》第13卷中，他在書中證明了一共只有五個正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。雖然柏拉圖和亞里士多德都沒有明確提到正十二面體，但後人很自然地將其與宇宙模型和以太聯繫到一起。正十二面體的每個面均為正五邊形，處處都有黃金分割率的影子。KTH地鐵站台中心就懸掛着一個正十二面體，站台四角則是另外四個正多面體。
在走過中世紀的千年黑暗之後，14-17世紀的歐洲發生了一場偉大的思想文化運動，即文藝復興。科學與藝術融合在一起，形成了人文主義的世界觀和思想體系，其完美代表是文藝復興三傑之一、意大利百科全書式的人物列奧納多·達·芬奇 (Leonardo da Vinci，1452-1519；圖1.2，自畫像)。達·芬奇最令人矚目的是繪畫上的成就，以《蒙娜麗莎》和《最後的晚餐》聞名於世，同時他在機械、軍事、建築、數學、物理、醫學等諸多領域都取得了創造性成果。在其私人筆記和手繪稿中，達·芬奇提出了光的折射概念及重力學原理，預見了後來哥白尼創立的日心説，還從水流入碗的過程研究渦旋的形成。達·芬奇寫道：太陽造成元素的運動、產生宇宙的熱，太陽的隱沒造成黑暗和寒冷；月亮受到太陽照亮，本身不發光，我們看到的只是月亮對着我們的被太陽照亮的一面；地球很像月亮，是一顆星。
達·芬奇十分痴迷於飛行現象，深信人類能夠模仿鳥類在天空翱翔。他對鳥類飛行進行了詳細研究，系統探索人類飛行的可能性，還設計了一些飛行器。KTH地鐵站台上懸掛和繪製了巨大的鳥類翅膀模型以及他的設計草圖。達·芬奇闡明空氣動力學知識可以通過水動力學研究間接獲得，比其他人探索類似問題領先幾百年。他在手稿本中這樣寫道：“物體對空氣的阻力與空氣對物體的阻力一樣大。你會看到一隻巨鷹的翅膀置身於最高和最稀有的氣體中，非常接近元素之火。你會看到空氣在海面上移動，充滿了風帆並推動着沉重的船。根據這些例子及有説服力的理由，如果一個人有足夠大的機翼並學會克服空氣阻力，他就可以征服阻力並升起。”
文藝復興見證了“日心説”從開創走向興盛的過程。波蘭數學家和天文學家尼古拉·哥白尼(Nicolaus Copernicus，1473-1543，圖1.3) 深受古希臘先哲的影響，相信宇宙結構取決於單純和諧的數學關係。他去世前在著作《天體運行論》中指出，地球是和五大行星一樣圍繞太陽這個不變的中心作勻速圓周運動的普通行星，其自身又繞地軸自轉。
日心説引起了人類宇宙觀的重大變革，將自然科學從神學中解放出來，標誌着第一次科學革命的開始。德國天文學家約翰內斯·開普勒 (Johannes Kepler，1571-1630，圖1.4) 是哥白尼學説的忠實信徒，在柏拉圖宇宙模型啓發下，他在1596年的著作《宇宙的奧秘》中，從最簡單的正六面體開始，按照正四面體、正十二面體、正二十面體、正八面體的從內向外的順序，利用每個正多面體的外接和內切球面，依次定義了土星、木星、火星、地球、金星的軌道球面。
在1609年的著作《新天文學》及1618年出版的《世界的和諧》中，開普勒整理分析了丹麥天文學家第谷長達20年的天文觀測數據，發現了與哥白尼體系的偏差，從而提出了“開普勒三定律”，即，行星沿着以太陽為一個焦點的橢圓軌道運動，行星與太陽的連線在相同的時間內掃過同樣的面積，行星公轉週期的平方與其軌道半長軸的三次方成正比。
1632年，意大利物理學家、數學家、天文學家及哲學家伽利略·伽利萊的《關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》一書問世，被認為是這次科學革命的轉折點，由希臘與羅馬時代舊有科學知識的復興轉為現代科學的興起。圖4上是站台西端的日心説模型，銘牌上是哥白尼在《天體運行論》中的七條假説及開普勒的行星運動三定律，右下圖是開普勒的行星運動模型。
站台主體建築的背景是近代第一個物理天文學體系，即17世紀法國哲學家、數學家和物理學家勒內·笛卡爾 (René Descartes，1596-1650；圖1.5，弗蘭斯·哈爾斯作) 的渦旋宇宙論模型。笛卡爾是二元論唯心主義與歐陸理性主義的代表、西方現代哲學的奠基人，他認為人類應該可以使用理性的數學方法來進行哲學思考，其名言是：“我思，故我在。”笛卡爾曾將人類的全部知識比作一棵大樹，樹根是形而上學、樹幹是物理學、樹枝是其他科學，他的主要哲學著作包括《方法論》、《幾何學》、《形而上學的沉思》 和《哲學原理》等。笛卡爾對數學最重要的貢獻是成功地將代數與幾何學整合，創立了以自己名字命名的平面直角座標系，因而被認為是解析幾何之父，為牛頓和萊布尼茲在微積分學的工作提供了堅實的基礎。
笛卡爾根據亞里士多德的以太學説在《哲學原理》中提出了渦旋宇宙論，最早賦予以太一種力學性質。他認為宇宙是均質無中心無邊界的，所有物體都由同等的微粒構成，原初物質在混沌狀態下由勻速直線運動過渡為渦旋運動，在這種旋風式的運動中分化結合而生產萬事萬物，笛卡爾把行星的圓周運動、重物的下落都歸之於旋渦吸引的結果。站台的一個銘牌上借用了英國大文豪威廉·莎士比亞在1602年創作的悲喜劇《特洛勒斯與克瑞西達》中的一段台詞，用來形容笛卡爾的渦旋理論，其大意是：當行星開始在船隊周圍徘徊時，看看會發生什麼吧！瘟疫爆發，颶風咆哮，一切統統粉粹，海水將地球一口吞噬。圖5中的左上圖是1973年Salin年度大獎的標牌，右上圖和下圖是渦旋宇宙論模型。
笛卡爾與斯德哥爾摩有着不解之緣，1649年秋天，他接受瑞典克里斯蒂娜女王之邀，前來擔任女王的私人教師。克里斯蒂娜 (Kristina Alexandra，1626-1689) 是1632-1654年間的瑞典女王，她的曾祖父Gustav Vasa是16世紀瑞典王國瓦薩王朝的開國君主，並確立基督教新教路德宗為國教；她的父親Gustav II Adolf是瑞典史上唯一被國會尊為“大帝”的君主，於歐洲三十年戰爭的呂岑會戰中陣亡。克里斯蒂娜女王被認為是17世紀最博學多聞的女性，有“北方智慧女神”之譽。她對宗教、哲學、數學與鍊金術均十分感興趣，吸引了許多想使斯德哥爾摩成為“北方雅典”的科學家，其中包括笛卡爾。克里斯蒂娜年輕時秘密改信羅馬天主教，是反對宗教改革的重要人物，她於1654年6月5日退位，後來正式皈依天主教並移居羅馬。
多年來，坊間盛傳笛卡爾與女王之間的一段"浪漫"故事，並稱笛大叔在給女王的一封“情書”中，寫下了表示心形曲線的極座標方程式 r=a(1-sinθ)。其實這是和“諾貝爾緋聞情敵”一樣的大烏龍，女王對異性並不感興趣，她在自傳中寫道自己“對婚姻感到無比厭惡”。更重要的是，雖然笛卡爾創立了直角座標系，但瑞士數學家雅各布·貝努利於1691年發表了一篇基本上是關於極座標的文章，因此通常被認為是極座標系的發現者。史上最先使用極座標來確定平面上點的位置的是牛頓，而三角函數的符號則是1707年出生的瑞士數學家歐拉引入的。圖6為法國畫家杜梅尼爾於1710年創作的《笛卡爾與瑞典克里斯蒂娜女王對話》 ，現藏巴黎凡爾賽宮。這是畫家為凡爾賽宮竣工創作的致賀油畫，堪稱世間最“凡爾賽”的一張畫。畫面以王宮客廳為背景，右下方站立的笛卡爾手指桌面，為坐在桌旁的女王講解直角座標系，廷臣們或站或坐，悉心聆聽。
笛卡爾在斯德哥爾摩這片“熊、冰雪與岩石的土地”上住了不久，即於1650年2月去世，終年不滿54歲。他的死因至今撲朔迷離，比較公認的説法是他不適應北歐的寒冷氣候和女王的作息時間，因此得了肺炎。笛卡爾的宗教信仰在學術界一直存在爭議，他聲稱自己是虔誠的羅馬天主教徒，“沉思”的目的是為了維護基督教信仰。他一直試圖在宗教與科學、理性和信仰的問題上尋找一種妥協方法，但是在那個時代，他被指控為宣揚秘密的自然神論和無神論信仰。笛卡爾是與女王保持聯繫的唯一的天主教徒，因此另一種説法是，一位瑞典當地的天主教神父生怕他的激進宗教觀點對女王產生影響，所以將其毒死。理論上三維空間中的任意一點都可作為直角座標系的原點，而笛卡爾生命的終點卻是固定的，即圖7（左）中位於斯德哥爾摩老城的這座房子。
作為一名逝於新教國家的天主教徒，笛卡爾被臨時安葬在一個主要用於埋葬受洗前夭折的嬰兒墓地裏，17年後他的遺體移葬巴黎。100多年之後，在笛卡爾最初的埋骨之地上建起了以時任瑞典國王Adolf Fredrik名字命名的教堂，教堂內懸掛着當時的瑞典王太子、後來的國王古斯塔夫三世（Gustav III）於1770年設立、由雕塑家Johan Tobias Sergel創作的笛卡爾紀念碑。紀念碑的下方雕塑是一位有翅膀的天才，左手持火炬，右手揭開地球上的覆蓋物，表示將真理從謊言中解放出來 (圖7右)。故事到這裏還沒有結束，1667年，笛卡爾的遺體運回巴黎時，由於靈柩狹小，頭骨被留了下來，最後不知所終。直到19世紀初，瑞典著名化學家Jöns Jacob Berzelius在斯德哥爾摩的一家拍賣行將笛卡爾的頭骨購回，現存巴黎夏樂宮人類學博物館。
南站台頂部懸掛着一個巨大的蘋果 (圖8左)，源自牛頓被自家莊園的蘋果激發靈感，從而發現重力學説的故事。無論其真實性如何，英國物理學家、數學家、天文學家和自然哲學家艾薩克·牛頓 (Isaac Newton，1643-1727；圖1.6，戈弗雷·內勒作) 在他最重要的著作《自然哲學之數學原理》 (簡稱《原理》) 中闡述並證明了三大運動定律及萬有引力定律，展示了地面物體與天體運動都遵循的相同自然規律，消除了世間對“日心説”的最後一絲疑慮，點燃了人類認識宇宙科學的曙光。18世紀英國的偉大詩人亞歷山大·蒲柏為牛頓撰寫了墓誌銘：“Nature and Nature’s law lay hid in night; God said, ‘Let Newton be’, and all was light。”北京大學朱照宣先生在《牛頓原理三百年祭》一文中將這段話譯為：“道法自然，久藏玄冥；天生牛頓，萬物生明。”
在近代科學誕生的過程中，笛卡爾和牛頓各自發展出了不同的宇宙圖景。笛卡爾的渦旋宇宙理論是牛頓力學體系形成之前歐洲天文學的重要思想成果；牛頓在《原理》中證明了在均勻介質的渦旋中，物體的運動不可能遵守開普勒三定律，進而得出結論：行星不是由物質渦旋帶動的。直到18世紀中葉，牛頓體系才在這場論戰中獲得完全優勢，以至於今日已經很少有人知曉笛卡爾的渦旋宇宙理論了。
圖8（右）是烏普薩拉大學（Uppsala University）Carolina Rediviva圖書館的鎮館之寶——1687年拉丁文首版《原理》，該書最早的主人是牛頓的同時代科學家、該校數學和天文學教授Petrus Elvius，扉頁右下角是他的簽名及年份，後由Carolina Rediviva圖書館收藏，直到1960年代失竊。這本書在歐美被多次轉賣，2004年在紐約克里斯蒂拍賣行最後一次露面。2008年底，買主決定將原書捐贈給Carolina Rediviva圖書館，這本書終於在流浪了40多之年後完璧歸趙。
瑞典科學家、發明家和實業家克里斯托弗·普爾海姆 (Christopher Polhem，1661-1751，圖1.7) 被譽為“瑞典力學之父”，一生中有很多力學和機械發明。普爾海姆年輕時曾在烏普薩拉大學學習物理學、數學和力學，並於1697年創辦了瑞典第一所工程師學校——力學實驗室。他發明了一套機械字母表，最初由79個木製模型組成，展示了不同運動之間的轉換規則，其中包括普爾海姆結 (即萬向接頭)、各種軸承、凸輪機構、貨架的鎖定機構等。站台東端展示着普爾海姆機械字母表以及麥克斯韋電磁場力線圖 (圖9上)。機械字母表自創建以來就是力學實驗室基礎機械教學使用的教具，直到後來皇家理工學院還在沿用。普爾海姆還撰寫了第一本瑞典文的代數學著作，他的半身像被印在1989-2017年間使用的瑞典500克朗面值紙幣上。
牛頓理論雖然正確地給出了萬有引力的定量表達式，卻沒有解釋引力傳遞過程，而且這條定律與時間無關。19世紀上半葉，邁克爾·法拉第發現了電磁感應現象，進而推導出場的觀念。蘇格蘭數學物理學家詹姆斯·麥克斯韋 (James Clerk Maxwell，1831-1879，圖1.8) 用八個數學方程式歸納了電磁場的概念，建立了完整的電磁場理論體系，科學地預言了電磁波的存在，1887年赫茲用實驗證實了這一預言。電磁場理論揭示了光、電、磁現象的內在聯繫及統一性，完成了物理學的又一次大綜合，併為20世紀狹義相對論和量子力學的發展奠定了理論基礎。1884年奧利弗·黑維塞將麥克斯韋方程組的原始形式修改成現在通用的四個對稱方程的形式，在站台北側可以發現這組優美的方程式 (圖9右下)。
17世紀以來，牛頓力學推動的一系列技術革命引起了從手工勞動向動力機器生產轉變的重大飛躍。1794年，歐洲第一所工科大學——巴黎高等理工學院成立，19世紀初各國紛紛效仿巴黎高工的模式辦學。同時期瑞典進入工業化時代，普爾海姆創辦的力學實驗室經過逐年發展、幾次易名，於1827年在其基礎上成立了瑞典最早也是至今規模最大的工科大學——皇家理工學院KTH（Kungliga Tekniska högskolan），最早的兩個專業是機械和化學。瑞典全國約三分之一的工程師都出自這所學府，故KTH可算是瑞典工程師的搖籃。KTH現在的主校園建於1917年，是一片民族浪漫主義的紅磚建築，在圖10（下）的高塔上可以俯瞰斯德哥爾摩全城。
圖10中左上圖的半圓形拱門通往大學主建築，門楣浮雕是瑞典著名雕塑家卡爾·米勒斯的作品，表現人類與火、土、氣、水四種元素的抗爭，這一浮雕與地鐵站台的正多面體（圖2下）上下呼應。右上圖是校園裏米勒斯的另一作品——青銅噴泉雕塑"工業紀念碑"， 表達了對瑞典工業化的禮讚。其設計靈感源自古希臘的飲用器皿，這個大碗碗壁上的浮雕是古希臘神化故事中的阿瑪宗女傑及逐獵半人馬的野狗，基座上是木匠、鐵匠、裁縫、鞋匠眾雕像，凸顯工匠精神。根據米勒斯的説法，大碗象徵水利發電，有水從下方三個孔流出。而這一創意似乎不為眾人理解，百餘年來瓜眾們給它起了不少外號，如"湯盆" “蘑菇碗” “米勒斯的痰盂"等，其實在漢語語境裏，就是一個青銅大鼎。
20世紀初，阿爾伯特·愛因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955，圖1.9) 創立了相對論，他將引力場詮釋成“時空彎曲”效應，推廣了經典的牛頓萬有引力定律，統一了時空和引力。他在《廣義相對論》一書中預言了三個物理現象：星光彎曲、引力波、黑洞天體，後來都逐一得到驗證。引力波是一種以光速傳播的時空漣漪，存在於整個宇宙，愛因斯坦認為引力波可能難以被探測到。直到2015年9月14日，13億光年之遙的雙中子星合併產生的引力波跨越漫長時空到達地球，被位於美國的“激光干涉引力波天文台”LIGO探測器捕獲。這是人類首次觀測到宇宙中的引力波現象，獲得了時空干擾的直接證據，填補了廣義相對論實驗驗證中最後一塊“拼圖”，三名美國科學家——Rainer Weiss、Barry C. Barish和Kip S. Thorne因此分享了2017年諾貝爾物理學獎。
黑洞是宇宙中時空曲率強大到連光線都無法逃逸的物體，或者説是一個無底的重力墳墓。2019年4月10日，人類歷史上首張黑洞照片公佈。英國數學家Roger Penrose因證明黑洞是廣義相對論的直接結果，德國物理學家Reinhard Genzel和美國物理學家Andrea Mia Ghez因在銀河系中央發現超大質量天體，三人共享2020年諾貝爾物理學獎。1963年Penrose的原創論文只有三頁，數學的存在性定理對於物理學的重要性因他獲獎而首次得到承認。KTH地鐵站台中心懸掛的正十二面體（圖11左）表示17世紀的宇宙模型，圖11（右）是這個十二面體的投影，其中的圓圈和線條表現了行星圍繞黑洞的運動規律，中間不同直徑的同心圓描繪了引力場的平方反比定律；平行直線及其顏色表示在距離黑洞很遠處粒子發出的光及其在引力場的位置；螺旋線則表示時間的進程如何受到空間位置的影響。
貫穿本文的五個正多面體是“簡單多面體”的特例，即與球面同胚的多面體。關於簡單多面體最有趣的定理之一是歐拉公式“ V-E+F=2”，這裏V、E、F分別表示多面體的頂點、稜邊、面的數目。此公式最早是由笛卡爾在1635年左右發現的，並寫下了一篇關於多面體理論的文章。1675年萊布尼茨在巴黎看到這份手稿，用拉丁文抄錄了其中的重要部分，此後笛卡爾的手稿遺失。萊昂哈德·歐拉在1750年獨立發現、並於1752年宣佈了這個公式，1809年奧古斯丁·柯西給出了第一個嚴格證明。而笛卡爾的研究直到1860年才被發現，此後這個方程也稱為笛卡爾-歐拉公式，被後人譽為拓撲學中最美公式。根據這一公式，可以推出只存在五個正多面體的結論。笛卡爾-歐拉公式定義了現代數學的一個重要分支拓撲學中的一個基本概念——歐拉示性數，它是許多幾何課題中整體不變量的源泉。
受愛因斯坦關於引力波的猜想以及LIGO觀測結果的啓發，2017年丹麥80後女性藝術家Lea Porsager創作了大型地球藝術作品“引力漣漪”（圖12），以紀念2004年底在東南亞印度洋海嘯中的遇難者，其中有543位瑞典遊客。這件作品由斯德哥爾摩狩獵南島上許多覆蓋着花朵和草皮的長短不一的弧形堤壩組成，形狀來自Fibonacci黃金雙螺旋，截面是波動函數。作品中心的兩個青銅雕塑表示量子纏繞，大的一個雕塑上面鐫刻着遇難者的名字。其整體像一個迷宮，將引發海嘯的地震波與宇宙中的引力波結合在一起，體現了人類的脆弱以及對於我們生存的宇宙的好奇心。
1921年，愛因斯坦獲諾貝爾物理學獎，迄今整整100年。謹以他在諾貝爾獎演説《我的信仰》中的一段話結束本文：
“我們認識到某種為我們所不能洞察的東西存在，感覺到那種只能以其最原始的形式為我們所感受到的最深奧的理性和最燦爛的美 —— 正是這種認識和這種情感構成了真正的宗教感情；在這個意義上，而且也只是在這個意義上，我才是一個具有深摯宗教感情的人。…… 我自己只求滿足於生命永恆的奧秘，滿足於覺察現存世界的神奇結構，窺見它的一鱗半爪，並且以誠摯的努力去領悟在自然界中顯示出來的那個理性的一部分，即使只是其極小的一部分，我也就心滿意足了。”
注：除圖1及特別指明外，文中圖片均為筆者所攝。