當數學和物理聯手，會搞出什麼大事情呢？_風聞
中科院物理所-中科院物理所官方账号-2021-06-22 11:20
原創：中科院物理所
人們對量子場論的數學內涵的加速理解將對數學和物理都產生深遠的影響。
在過去的一個世紀裏，量子場論（quantum field theory，QFT）被證明是有史以來應用最廣泛也最成功的物理理論。它是一個總體的概念，裏面包含了許多特定的量子場理論，就像“形狀”的概念涵蓋了一些例如正方形和圓形那樣具體的例子。量子場論中最突出的理論被稱為標準模型，正是這種物理框架取得了巨大的成功。
“它可以從根本上合理地解釋我們所做的每一個實驗，”劍橋大學的物理學家湯大衞（David Tong）如是説。
但無可爭辯的是，QFT是不完整的。物理學家和數學家都不知道是什麼使得量子場論成為了量子場論。他們已窺見了全貌，但尚未理清頭緒。
“各種跡象表明，我們有可能找到更好的方式來思考QFT，”來自普林斯頓高等研究院（Institute for Advanced Study，IAS）的物理學家內森·塞伯格（Nathan Seiberg）説道。“這感覺就像盲人摸象一樣。”
數學需要考慮內在的一致性，並且關注每一個細節，它是使QFT完整的語言。如果數學能夠學着像描述成熟的數學對象那樣，用同樣嚴格的方式來描述QFT，那麼更完整的物理世界圖景將很可能出現。
“如果你真的以正確的數學方式理解了量子場論，這將帶給我們許多開放的物理問題的答案，甚至可能包括引力的量子化。”高級研究院主任羅伯特·迪傑格拉夫（Robbert Dijkgraaf）説道。
“在過去的世紀裏，物理學中使用的每一個概念在數學上都有其天然的地位——除了量子場論。”
——內森·塞伯格，高等研究院
這也不是單行道。千年來，物理世界一直是數學最偉大的靈感來源。古希臘人發明了三角法來研究恆星的運動。數學把它變成了一門有定義和規則的學科，現在的學生們學習這些學科時不必參考這個課題的天體起源。又過了2000年後，艾薩克·牛頓想進一步理解開普勒行星運動定律，並試圖找到一種嚴謹的方法來思考無窮小的變化。這種衝動（加上萊布尼茲的啓示）催生了微積分領域，數學對其進行了適當的改進，時至今日微積分已經無處不在。
現在，數學家們想為QFT做同樣的事情——把物理學家們為研究基本粒子而開發的思想、對象和技術納入數學的主體。這意味着我們要定義出QFT的基本特徵，這樣未來的數學家就不必考慮該理論最初產生時的物理環境。
這樣做的回報可能是巨大的：一旦數學發現新的探索對象和用來獲取數字、方程式和形狀之間的一些重要聯繫的新結構，數學就會進步成長。而QFT就提供了這兩者。
“物理學本身作為一種結構而言，是非常深刻的。通常它是一種更好的方式來思考我們已經感興趣的數學問題。這只是一種更好的組織方式。”德克薩斯大學奧斯汀分校的數學家大衞·本-茲維（David Ben-Zvi）説道。
在過去的至少40年以來，QFT一直吸引着數學家去探索其中的內涵。近年來，他們終於開始理解QFT本身的一些基本對象——數學家憑藉自己的努力從粒子物理世界中將其剝離出來，並將它們轉化為數學對象。
不過，這項努力目前還處於初期階段。
來自羅格斯大學的物理學家格雷格·摩爾（Greg Moore）表示：“要等真到了那一步我們才能夠知曉答案，但我當然希望我們目前只是看到冰山一角。如果數學家真的理解了QFT，那將會導致數學領域的巨大進步。”
永恆的場
人們通常認為宇宙是由基本粒子構成的，比如電子、夸克、光子等等這些東西。但是物理學很久以前就超越了這個觀點。物理學家們現在不再談論粒子，取而代之的是所謂的“量子場”，就像現實的經緯線一樣。
這些場橫跨了宇宙的時空。它們有很多種形式，像波動的海洋一樣起伏。在場起伏並相互作用時，粒子從中浮現出來，然後又消失在其中，就像稍縱即逝的波峯。
“粒子不再是永恆不變的東西了”，湯説道，“現在它們只是場的舞步泛起的漣漪。”
想要理解量子場，最簡單的方法是從普通場或説經典場開始。想象一下測量地球表面每一點的温度。我們將無限多個點組合在一起，在這些點上進行温度的測量，最終形成一個稱為場的幾何體，它包含了所有這些温度的信息。
一般來説，只要你有一些可以在空間中以無限精細的分辨率來唯一測量的量，就會出現場的概念。“你可以問關於時空中每個點的獨立問題，比如這裏的電場相對於那邊的電場是多少。” 大衞·蓋奧托（Davide Gaiotto）説道。他是加拿大滑鐵盧圓周理論物理研究所（Perimeter Institute for Theoretical Physics）的物理學家。
當你觀察的是量子現象，比如在時間和空間的每一點的電子能量時，量子場就產生了。但是量子場與經典場又有着根本的不同。
地球上某一點的温度是確切的，該是多少就是多少。不同的是，不管你是否測量它，電子在你觀察到它的那一刻才有確切的位置。在此之前，它們的位置只能通過概率來描述。通過給量子場中的每一點賦值，來獲取到在那裏找到一個電子相對於其他地方的可能性。在觀察之前，電子基本上無處不在。
“物理學中的大多數東西不僅僅是物體。它們是存在於在時空的每一個點上的東西。” 迪傑格拉夫説。
在量子場論中有一套人們稱為關聯函數（correlation functions）的規則，它解釋了場中某一點的測量與另一點的測量之間的關聯。
每一種量子場論都描述了特定維數的物理。二維量子場****論通常用於描述絕緣體等材料的行為；六維量子場論則與弦理論密切相關；四維量子場論描述了我們實際四維宇宙中的物理現象。標準模型就是其中之一，它也可能是唯一最重要的量子場論，因為它最能描述我們的宇宙。
宇宙中有12種已知的基本粒子。每一個都有自己獨特的量子場。對於這12個粒子場，標準模型還加入了四種力場來表示四種基本力：引力、電磁力、強相互作用和弱相互作用。它將這16個場寫入一個可以描述它們如何相互作用方程中。通過這些相互作用，基本粒子被理解為各自量子場的漲落——物理世界於是出現在我們眼前。
標準模型
這聽起來可能很奇怪。但物理學家在20世紀30年代就意識到，基於場而不是粒子的物理學能夠解決一些最緊迫的矛盾——從因果關係問題到粒子不會永遠存在的問題。它還解釋了在物理世界中一些似乎不太可能的一致性問題。
“宇宙中所有相同類型的粒子都是一樣的，”湯説。“如果我們用大型強子對撞機製造出一個新的質子，它和已經運行了100億年的質子完全相同。這應該得到一些解釋。”——是的，QFT提供了它：所有的質子都只是在同一個更深層的質子場中的漲落（或者，如果你可以更仔細地觀察，是深層次的夸克場的漲落）。
但是，QFT的解釋能力是以很高的數學代價來實現的。
“到目前為止，量子場論是數學中最複雜的對象，以至於數學家都不知道如何理解它們。”湯説，“量子場論是尚未被數學家發明的數學。”
太多的無限
是什麼讓數學家感覺如此複雜？兩個字，無限。
當你在一個點上測量一個量子場，得到的結果不是幾個像座標和温度這樣的數字。相反，它是一個矩陣——這意味着得到的是一組排列好的數字。而且你得到的不是隨隨便便的一個矩陣——它是一個大的矩陣，我們也稱之為算符，它有無限多的列和行。粒子從場中浮現出來包含了許許多多可能性，而這些算符反映了量子場是如何將這些可能性都包括在內的。
“粒子可以有無限多個位置，這就導致了這樣一個事實，即描述位置和動量測量的矩陣也必須是無限維的。”約克大學的卡西亞·雷茲納（Kasia Rejzner）説。
當一個理論涉及到無窮時，關於它們的物理關聯性就會出現一些疑問。因為無限是一個概念，而不是實驗所能測量到的任何東西。這也使得這些理論很難用數學來解釋。
“我們不喜歡有一個能説明無限的框架。這就是為什麼你開始意識到你需要對發生的事情有更好的數學理解。”阿姆斯特丹大學的物理學家亞歷杭德拉·卡斯特羅（Alejandra Castro）説。
位於日內瓦歐洲核子研究中心的大型強子對撞機
當物理學家開始思考兩個量子場如何相互作用時，無限的問題就變得更糟了，例如，科學家在日內瓦郊外的大型強子對撞機對粒子碰撞進行了模擬。在經典力學中，這種計算方法很簡單：要模擬兩個枱球碰撞時發生的情況，只需使用指定碰撞點上每個球的動量。
當兩個量子場相互作用時，你可以做一個類似的事情：在它們相遇的時空點上用一個場的無窮維算符乘以另一個場的無窮維算符。但是這個計算——涉及到兩個無限接近的無限維物體——是困難的。
雷茲納説：“問題就出在這裏。”
了不起的成功
物理學家和數學家不能用無窮來計算，但他們已經開發出瞭解決辦法——用近似的方法來回避這個問題。這些解決辦法產生了近似的預測——而這已經足夠好了，因為實驗也不是無限精確的。
“我們可以做精度到小數點後13位的測量實驗，到這裏和理論符合得很好。這是所有科學中最令人驚訝的事情。”湯説。
一個解決辦法是，首先想象你有一個量子場，在這個量子場中什麼都沒有發生。在這個被稱為“自由”理論——因為它不包含相互作用——的環境中，你不必擔心無限維矩陣的乘法，因為沒有任何物體在運動，也沒有任何物體發生碰撞。這是一個很容易用數學細節來描述的情況，儘管這種描述價值不大。
雷茲納説：“這完全是無聊透頂的，因為你描述了一個沒有任何相互作用的孤立場，所以這有點像是一種學術練習。”
但你可以讓它更有趣。物理學家們加入了一點點相互作用，試圖保持對圖像的數學控制，不讓相互作用變得更強。
這種方法被稱為微擾QFT。從某種意義上講，我們允許在自由場中進行小的變化或擾動。你可以把微擾的觀點應用到類似於自由理論的量子場論中。它對驗證實驗也非常有用。“你會得到令人驚訝的精度，還有驚人的實驗一致性，”雷茲納説。
但是，如果你進一步增強相互作用，微擾的方法最終也會適得其反。它沒有產生越來越精確的接近真實物理宇宙的計算，反而變得越來越不精確。這表明，雖然微擾法能夠對實驗提供有效的指導，但最終它並不是試圖描述宇宙的正確方法：它在實際操作上是有用的，但理論上是不穩定的。
蓋奧托説：“我們並不知道如何把所有的東西加起來，並得到一些合理的東西。”
我們一直在使用QFT作為外部激勵，但如果它是內部激勵，那就更好了。
——丹·弗裏德，德克薩斯大學奧斯汀分校
另一個近似方案試圖通過其他方法不斷逼近成熟的量子場論。理論上，量子場包含無限精細的信息。為了製造出這些場，物理學家從一個網格或晶格開始，並將測量限制在網格線相互交叉的地方。所以，你不能在任何地方測量量子場——在一開始你只能在相隔一定距離的地方測量它。
**以此為起點，物理學家提高了格子的分辨率，拉近了網格線的距離，創造出越來越細的網格。**當它變緊密時，你可以測量的點的數量會增加，從而接近一個理想化概念的場——在那裏你可以在任何地方進行測量。
“點之間的距離變得很小，最終就變成了一個連續的場，”塞伯格説。從數學上講，連續的量子場是緊緻格子的極限。
數學家習慣於用極限工作，並且知道如何確定某些極限確實是存在的。例如，他們證明了無限序列的極限1/2+1/4+1/8+1/16…是1。而物理學家想證明量子場是這個網格操作的極限所得。他們只是不知道怎麼做。
摩爾説：“目前還不清楚如何利用這個極限，以及它在數學上有什麼意義。”
物理學家毫不懷疑緊緻格子最終會指向理想化的量子場。QFT的預測和實驗結果之間的緊密吻合有力地表明瞭這一點。
塞伯格説：“毫無疑問，所有這些極限確實存在，因為量子場論的成功確實令人震驚。”但“有確鑿證據證明某件事是正確的”，和“完全證明出來它是正確的”，這是兩件不同的事情。
這是一個不精確的程度的問題。QFT跳脱出了其他偉大的物理理論，並渴望取而代之。艾薩克·牛頓運動定律、量子力學、愛因斯坦的狹義相對論和廣義相對論——它們都只是QFT想講述的更大故事的一部分。但與QFT不同的是，它們都可以用精確的數學術語寫下來。
“量子場論作為物理現象的一種幾乎通用的語言出現了，但它的數學形式很糟糕，”迪傑格拉夫説。對一些物理學家來説，這是停下腳步的原因。
“如果整個房子都是建立在這個核心概念上的，而這個概念本身並不是用數學的方式來理解的，那你憑什麼這麼自信這是在描述我們的世界？這讓整個問題變得更加尖鋭。”迪傑格拉夫説。
外在的推動力量
即便在理論不完備的狀態下，量子場論（Quantum Field Theory，QFT）也引發了許多重要的數學發現。QFT促進數學發展的一般模式是：使用QFT的物理學家偶然發現了令人驚訝的計算，然後數學家試圖給出一些解釋。
“這就像是一台產生想法的機器，”湯大衞説。
在基本層面上，物理現象與幾何學有着密切的關係。舉一個簡單的例子，如果你把一個運動的小球放在一個光滑的表面上，它的軌跡將對應出表面上任意兩點之間的最短路徑，這種特性稱為測地線。這樣一來，物理現象就可以檢測出某種形狀的幾何特徵。
現在我們用電子代替之前説的小球。電子以某種概率存在於表面上的每一點。通過研究包含這些概率的量子場，你可以瞭解到表面的整體性質（用數學家的術語來説是流形），比如它有多少個洞。這是從事幾何學和拓撲學相關領域的數學家想要回答的一個基本問題。
“一個粒子即使待在那裏什麼也不做，我們也能瞭解流形的拓撲結構。”湯大衞説。
在20世紀70年代末，物理學家和數學家開始應用這種觀點來解決幾何中的基本問題。到了90年代初，塞伯格和他的合作者愛德華·威滕（Edward Witten）弄清楚瞭如何使用它來創建一個新的數學工具——現在我們稱之為塞伯格-威滕不變量，它將量子現象轉化為一個形狀的純數學特徵的指標：通過計算量子粒子以某種方式表現的次數，可以有效地計算出了形狀中的孔洞數量。
愛德華·威滕
來自牛津大學的數學家格雷姆·西格爾（Graeme Segal）説：“威滕指出，量子場論為幾何問題提供了完全出乎意料但又完全精確的見解，這使棘手的問題得以解決。”
另一個兩種學科交叉的例子也出現在20世紀90年代早期。當時物理學家正在進行與弦理論相關的計算，他們根據本質上不同的數學規則，在兩個不同的幾何空間中進行這些運算，並不斷生成精確的長串數字，這些數字彼此吻合得很好。數學家們抓住了這條線索，把它發展成一個全新的研究領域，叫做鏡像對稱。數學家用它來研究一致性以及其他許多類似的問題。
“物理學能提出這些驚人的預言，而數學家會用自己的方法來加以證明，”本-茲維説道，“儘管這些預言既奇怪又精彩，但結果幾乎總是正確的。”
然而，儘管QFT已經成功地為數學創造了線索，但它核心思想的大部分仍然存在於數學之外。數學家們有方法去使用多項式、羣、流形和其他學科的支柱（其中許多也同樣起源於物理學），但是對於量子場論，數學家們理解得還不夠好。
對於物理學家來説，這種與數學的遙遠關係是一種跡象——對於這個他們創造出來的理論，物理學家們還需要去了解更多。“在過去的世紀裏，物理學中使用的每一個概念在數學上都有其天然的地位——除了量子場論。”塞伯格説。
我想説的是物理學家不一定無所不知，但物理學是的。
大衞·本-茲維，德克薩斯大學奧斯汀分校
而對於數學家來説，QFT和數學之間的關係似乎應該比偶爾的互動更深。這是因為量子場論包含了許多對稱性，或者説是潛在的結構，它們決定了場的不同部分中的點是如何相互聯繫的。這些對稱性具有物理意義——它們體現了量子場隨時間演化時像能量這樣的物理量是如何守恆的。同時它們本身也是數學上有趣的研究對象。
“數學家可能關心某種對稱性，而我們可以把它放在物理環境中，”卡斯特羅説，“這就在這兩個領域之間建立了一座美麗的橋樑。”
數學家已經利用對稱性和幾何的其他方面來研究從不同類型方程的解到質數分佈的所有問題。通常，幾何會將數字問題的答案編碼。QFT為數學家提供了一種豐富的新型幾何對象，如果他們能直接着手處理，那就不知道他們能做什麼了。
“在某種程度上，我們是在玩QFT。”德克薩斯大學奧斯汀分校的數學家丹·弗裏德説。“我們一直在使用QFT作為外部激勵，但如果它是內部激勵，那就更好了。”
為QFT鋪平道路
數學不會輕易接受新學科。許多基本概念都經過了長時間的考驗，才在這一領域中確立了其應有的、規範的地位。
以實數為例——它是數軸上無限多的所有刻度。人們通過將近2000年的數學實踐，才在定義它們的方法上達成一致。最後，在19世紀50年代，數學家們確定了一個精確的五字陳述，將實數描述為一個“完備有序域（complete ordered field）”。它們之所以完備，是因為它們不包含間隙；之所以是有序的是因為總有一種方法可以確定一個實數是否大於另一個實數；並且它們形成了一個“域”，對數學家來説，這意味着它們遵循算術規則。
弗裏德説：“這幾個詞代表了歷史上的一段艱難的鬥爭。”
為了將QFT轉化為一種內部激勵——一種他們可以用於實現他們自己目的的工具——數學家們希望對QFT給予與實數相同的處理：任何特定的量子場論都需要滿足的一個嚴格的特徵表。
圓周理論物理研究所的凱文·科斯特洛正在構建一個框架，它可能將量子場論最終構建於在嚴格的數學基礎上
把QFT的一部分轉化成數學的許多工作來自圓周理論物理研究所的數學家凱文·科斯特洛（Kevin Costello）。2016年，他同別人合著了一本教材，這使得微擾QFT理論有了堅實的數學基礎——包括形式化地描述了如何處理隨着相互作用增強而出現的無限量。這項工作是在2000年代早期的一項叫做代數量子場論的研究的基礎上進行的，該理論也是在尋求類似的目的。所以現在雖然微擾QFT仍然不能真正描述宇宙，但數學家知道如何處理它產生的沒有物理意義的無窮大。
“他的貢獻非常巧妙，也很有見地。他把微擾理論放在一個很好的新框架中，而這個框架適用於嚴格的數學。”摩爾説。
科斯特洛解釋説，他寫這本書是為了讓微擾量子場論更合乎邏輯。“我只是發現某些物理學家的方法沒有動機，而且是臨時的。我想要一個更獨立的、數學家可以使用的東西。”
通過精確地説明微擾理論是如何工作的，科斯特洛構造出了一個基礎。物理學家和數學家可以在此基礎上構建滿足他的微擾方法所要求的新的量子場理論。這個工作很快就被領域的其他人所接受。
“肯定有很多年輕人在這個框架下開展研究。”弗裏德説，“凱文的書產生了很大影響。”
科斯特洛也一直致力於定義什麼是量子場論。簡單地説，量子場論需要一個幾何空間，在這個空間中，你可以在每個點上進行觀測，並結合相關函數來表示不同點的觀測值是如何相互關聯的。科斯特洛的工作描述了一組相關函數需要具備的性質，以便將此作為量子場論的可行基礎。
最常見的量子場論，如標準模型，包含了並非在所有量子場論中都存在的附加特性。缺乏這些特徵的量子場論可能描述了其他尚未發現的性質，這些性質可以幫助物理學家解釋標準模型無法解釋的物理現象。如果你對量子場論的看法過於接近我們已知的版本，你甚至很難想象其他必要的可能性。
蓋奧托説：“有一個大燈柱，你可以在燈柱下找到某些場的理論（比如標準模型），它周圍則是（量子場論）的一大片黑暗，我們不知道如何定義，但我們知道它們就在那裏。”
科斯特洛用他對量子場的定義照亮了一些黑暗的空間。從這些定義中，他發現了兩個令人驚訝的新的量子場論。儘管它們都不能描述我們的四維宇宙，但它們確實滿足了具有相關函數的幾何空間的核心要求。這是一項純思維的發現，類似於你發現了一個可能存在於物理世界中的形狀，一旦你對一個形狀有了一個大致的定義，你就可以用自己的方式去思考那些與物理無關的例子。
如果數學能夠確定量子場論的全部可能性——滿足一個涉及關聯函數的一般定義的所有不同可能性——物理學家可以利用這些可能性找到解釋他們最關心的重要物理問題的具體理論的途徑。
卡斯特羅説：“我想知道所有QFT的空間，因為我想知道量子引力是什麼。”
延續幾代的挑戰
這項工作還有很長的路要走。到目前為止，所有的量子場論都是用數學術語來描述的，它們都依賴於各種簡化——這使得它們更容易進行數學處理。
幾十年前，簡化問題的一種方法是研究更簡單的二維QFT，而不是四維QFT。一個法國的團隊最近敲定了一個重要的二維QFT的所有數學細節。
其他的簡化方法假設量子場是對稱的，但這有時不符合物理現實。不過從數學的角度看，這使它們更容易處理。其中包括“超對稱”和“拓撲”QFT。
而下一步，也是更困難的一步，是去掉“枴杖”，提供一個更適合物理學家最想描述的物理世界的量子場論的數學描述：四維連續的宇宙，所有的相互作用都可能同時發生。
“有一件很尷尬的事：我們沒有一個可以用四個維度、非微擾的方式描述的量子場論。” 雷茲納説。“這是一個很難解決的問題，顯然需要一兩代以上的數學家和物理學家來解決。”
但這並不能阻止數學家和物理學家不斷為之努力奮鬥。對於數學家來説，QFT是一種和他們所預想的一樣的豐富的研究對象。定義所有量子場論所共有的特性幾乎肯定需要合併數學的兩大支柱：解釋如何控制無窮的分析方法和為討論對稱性提供語言的幾何學。
迪傑格拉夫説：“就數學本身而言，這是一個迷人的問題，因為它結合了兩類偉大的思想。”
如果數學家能夠理解QFT，誰也不知道在這一過程中有什麼樣的數學發現在等待着數學家們。很久以前，數學家定義了其他對象的特性，如流形和羣，現在這些對象幾乎滲透到數學的每個角落。當它們第一次被定義時，不可能預料到它們所有的數學結果。QFT至少在數學方面有着同樣的希望。
“我想説的是，物理學家不一定無所不知，但物理學是的。” 本-茲維説。“如果你問對了問題，它就已經具備了數學家正在尋找的現象。”
對於物理學家來説，對QFT的一個完整的數學描述體現了他們領域最重要目標的另一面：對物理現實的完整描述。塞伯格説：“我覺得有一種知識結構涵蓋了QFT的所有方面，説不準它將涵蓋所有的物理學。”
現在數學家要做的就是將其揭示出來。
作者：Kevin Hartnett
翻譯：Dannis
審校：C&C
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