《雲端腳下》：人在泥裏，氣在雲端丨展卷_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2021-07-04 14:49
We are all in the gutter, but some of us are looking at the stars1).
~Oscar Wilde
到
記得是1978年夏季某日，12歲的鄉間少年我在自家房後的河岸上撿到了半張揉皺了的《參考消息》，在那上邊看到了膠子、夸克、非阿貝爾羣等奇怪的字眼，天書一般。那年秋，我開始接觸到一元二次方程，令我感到新奇因而印象深刻的是那個b2-4ac 。1994年閒來無事時，我在德國Kaiserslautern大學物理系的圖書館裏思考高階代數方程的解法（那時候要靠翻圖書館找資料）。面對一元五次方程沒有有限根式解的説法，我自己推導出了拉格朗日對稱多項式，然後試圖用方程x^n=1的根張開的空間構造解的一般形式，然後，然後就一籌莫展了。後來我知道，法國小青年伽羅華在1830年前後就解決了這個問題，並深刻地影響了數學的發展。讓我大受刺激的是，伽羅華辭世時也才不足21週歲，也就是説，人家是在20歲以前就學會了解決這些問題的系統知識的。我呢，我20歲以前學過什麼代數方程的知識？ b^2-4ac？
這件事一直壓在我心頭。雖然這些年來我拉拉雜雜地學過晶體羣，讀過羣論在量子力學中的應用，抽象代數，但也一直沒有把五次方程沒有有限根式解相關的學問弄通過。2017年，我不想再這樣糊弄自己了。哪怕因為不務正業砸了飯碗，我也要把這個問題理理清楚。不把這個問題弄清楚，心裏不敞亮。這本小書，可以説就是記錄了我為了弄懂一元二次方程一路學到規範場論的筆記，當然還有一些個人思考。有些思考是我個人得來的收穫，我也不揣鄙陋寫進了書裏。我這麼説是因為我真不知道此前有相關文獻。若有人發現在此前的某個文獻裏有相關論述，盼不吝指教以正視聽。
這本書的內容涵蓋我誤以為小時候就學會了的一元二次方程直到我現在清楚地知道我也不甚了了的規範場論，這中間經過一元三次、四次方程的解法，一元五次方程的沒有代數解的證明，抽象代數特別是羣論的發展，複數 (複分析) 及其在物理學中的應用，四元數與八元數這些超複數，羣的表示與應用，電磁學理論、廣義相對論與量子力學，等等。本書，以及其他的拙著，唯一的限制來自作者本人的水平、眼界與品位。在我寫作的時候，我從來都是預設讀者們都是好學之士 (mathematician的本義) 的。面對這些內容，少年 (無關歲數) 朋友們完全不必心生怯意，這本書是為你們寫的，我會努力讓你們看懂的。本書的內容對你們有益，最重要的是，我認為這是每個人在20歲前就該學會的——至少你要學過。我再強調一遍，本書的關鍵內容之一，代數方程理論，是差不多200年前一個法國中學生為我們於倉促間創造的。面對本書的內容，教授朋友們也完全不必心生鄙夷。我個人的經歷是，哪怕是我第一天上算術課就開始學的加法，也是deceitfully simple (具有欺騙性地看似簡單)，有很多我沒認識到、即便認識到也可能理解不了的內容。學問的深淺，取決於學習者自身境界的深淺，這真是一件有趣好玩的事兒。
從一元二次方程到規範場論，對於作者本人來説，就是腳下與雲端了。我生長於泥濘之中，不止是雨天上學的路上滿是泥濘，我讀到初三時課桌還是泥壘的呢。腳下有泥，天上有云，我不想讓我的雙腳總停留在泥濘中。所謂 “人在泥裏，氣在雲端”，這真是一句鼓舞人心的話。就學數學而言，ax^2+bx+c=0就是腳下泥濘的開始了，可是它裏面隱藏着通向雲端的學問。雲泥作對照，古已有之。拿我1978年學過的一元二次方程課本，對比拉格朗日1770年的關於方程代數解的思考 (Réflexions sur la Résolution Algébrique des Équations)，所謂雲泥之別、高下立判就是這個景象吧。而在我試着閲讀拉格朗日這本經典的時候，果然有“乘雲行泥……何嘗不嘆” (語出范曄《後漢書》) 的感覺。所謂受過教育的人啊，總要多多地去讀一些深刻的書才好。
這本書如我從前的著作，依然會關注所講述對象的歷史。一門學問發生的歷史，必然暗含它的內在邏輯，雖然成熟學問的邏輯關係未必是其歷史的再現。學問要嚴謹，歷史則是學問的聯絡。本書試圖體現的是學問自身發展的邏輯，而對人的提及則着眼於未來科學家的培養，那些學問家與其所創造的具體學問之間的關聯、相遇絕不是偶然的，那中間的聯繫至少是放言有能力培養科學家的人該關注的地方。我總認為，給初學者的數學和物理的好教科書應當是七分學問、三分歷史。這是我的觀點，我的著作受我的觀點支配。本書每一章前除了摘要和關鍵詞，還會列出相關的關鍵人物，這也算是魯莽的創舉。一本好書首先必須是一件藝術品。其次，一本學術書必須有學術的品味。這本書，一如我從前的和未來的書，嚴格按照學術著作的格式撰寫。我們的少年，尤其是立志成為科學家的少年，要從小習慣於科學範式，早早受到嚴格的學術訓練。讀書，要讀真是書的書。
藉助這本書，我還想傳達一個被蔑視了的，也許只是被忽視了的觀念，即數理一家。從前的數學家、物理學家是一個人的角色，那些有能力認識自然從而為我們創造物理知識的人，大多是數學達人甚至本身也是數學的締造者，having a visionary with the deepest sense of mathematics. 實際上，如果我們檢視一下科學發展的歷史，就會發現從前的數學和物理很多是共生的、相糾纏的。筆者多年修習物理最慘痛的教訓是，沒有基本的數學功底那物理就是一團迷霧，這種感覺在初學量子力學和相對論時特別強烈。我希望我們的物理課程還能多少沾上一點從前的古典傳統，把數學、物理、哲學放在一起參詳。譬如煮粥，大米小米玉米碴兒，紅豆綠豆蠶豆瓣兒，放一起，熬成一鍋的緊緻綿密、渾然一體，求的是能融會貫通、涵氣養神。2019年，承朋友襄助，筆者在一所高校開啓了“學不分科”講座，就是為了傳達這種理念。後來這個名稱被散播了開來，看來不乏心有慼慼之人。啥叫專業？廣袤背景上的過人之處，那才叫專業。
我一如既往地拒絕認為本書內容太難的評論。這本書確實很難，首先對作者來説就很難，否則作者也不會花了數年的時間才將它寫成。可是，畏難不是必然會造成我們的淺薄嗎？恰恰是因為作者在從前求學和做學問的過程中學的東西太淺，淺薄得愧對祖宗，才有瞭如今深深的愧意以及愧意催生的這本書。其實，以我的能力，我能介紹的這些遠遠談不上高深。這本書裏的內容，可多是100年前甚至200年人家少年的創造物啊。我們得有怎樣的勇氣，才好意思嫌它難呢？心靈, 應該朝高遠處悠盪。
不要強求讀懂一本書所有的內容。內容能完全讀懂的書是不值得讀的，或者説對做學問是沒有幫助的。一本書應該含有一些一時讀不懂的內容，一時不易弄懂但又有必要弄懂的內容才是一本書的價值所在。理解當前內容的鑰匙在下一個高度上。學習如登山，總要登到力所不逮處才肯停歇。即便這停歇時，也請不要放棄向更高處的張望。知識的疆域不是平的。居高臨下是觀風景的正確打開方式之一：會當凌絕頂，一攬眾山清楚。
可能是因為作者表述不到位，也可能是因為自己理解不到位，遇到一下子讀不懂的書那是學者的日常。在不能一遍就懂的時候你一定要堅持讀下去。讀完一本完全不懂的書是一個讀書人的基本素養，而堅持讀完一本打開了的書也是讀書人對自己的禮讚。多年前，我一個希臘語的字兒都不認識，但我數着字母讀完了柏拉圖的《蒂邁歐篇》(Τίμαιος)。讀完了再看那希臘語文本，字兒固然還是不認識，但感覺親切多了。
絕大部分人類已有的數學、物理知識，就物理而言也許超過80%, 還未進入中文世界，還未為我們所認識，遑論應用之、發展之。數學相較而言可能更嚴重、也更不嚴重。數學是顯性的，它的成果可以都體現在紙面上，而物理學卻具有更多水面以下的東西。物理學是水中的冰山，露出頭的只是一角。對一門學問最好的敬重，是學會它、應用它、延伸它、深化它直至最後使它成為歷史的遺蹟。不要用靜止的、單純的眼光看待一門學問，要學會看到每一門學問後面的艱辛 (它教你如何做學問) 和前方的無限風景 (它教你往哪裏做學問)。
多少基礎知識，俺只學了個皮毛，更多的是聞所未聞。幸虧，俺沒無知到以為天下知識只有俺知道的那麼一點兒那麼愚蠢的地步。多少未曾認真學過一天數學的人在真誠地叫囂數學很難學。只有深入地學習過數學的人，才能真正理解數學的艱難所在，而這時的他對數學已愛得不能自拔。數學的魅力，是任何有思想的人都無法抗拒的。
總有人指望學習低配版，總有人試圖教給別人簡化版，愚以為這可不是什麼好習慣。學問就該以學問本來的面目呈現到我們面前。刪減了的學問，不是簡化不簡化的問題，而是不完備的問題。沒有完備，就沒有正確理解。太多的問題，不理解還因為我們未曾深入過。每一個水滴都聯繫着大海，藴藏着整個大海的信息。本書裏遇到的每一個主題，都有大海一樣的寬廣與深邃。把你扔到深水裏掙扎，讓你學會在風浪裏搏擊，那才是教育的藝術。
知識的貧窮限制了我們的想象力，但是受過一定程度教育的人應該告訴後來者在遠處、高處有更多、更美的風景，甚至有那些我們只是道聽途説但未曾親臨也無力想象的風景。多少人不過學了幾年加減乘除外加數理方程微分幾何就以為自己懂得了加減乘除。每當我看到b^2-4ac，我就會想起童年的我自己。因式分解是我小時候做過最認真的事情，沒有之一，那就是解代數方程的基本功啊。那些無人教誨的歲月，那些無處安放的好奇心，都在貧瘠的土地上隨風揚長而去。
親愛的朋友，不要害怕讀不懂。當你捧起這本書的時候，你已經不是原來的你了。如果你發現你還是你，那請你耐心地把這本書讀完再説。作為這本書的作者，本書所涉及的許多內容我也不懂，可我依然決定寫這樣一本書，我想用這樣的一本書來安慰那些個從前不同時刻的我。那個可憐的小男孩，曾經的我，那時候沒有書，沒有老師，只有無知的眼裏濃得化不開的懵懵懂懂。
這是一本導引性的小書，an introductory booklet. Introduce, intro (往裏)+ducere (導引)，就是領入門。其實正確的説法是我恍惚置身一個看似是門的地方，向你指點許多個可能是門的地方。從這本書你會看到一條斷斷續續的從腳下到雲端的小路，雲端之上有更廣闊的天地。從泥濘的腳下到曠遠的雲端是一條真實的路，因為抽象而比真實更加真實。我非常笨，任何跳躍我都跟不上，都需要補足。也為此，我寫書總喜歡把歷史的、邏輯的步驟給補齊了，免得跟我一樣笨的讀者看不懂。我不可能在這樣的一本書裏深入講述我提及的所有主題。但是，你請注意，我提及了(yet I mentioned it!)。那意味着我知道了點兒什麼。那意味着，這個世界存在那樣的學問，(對我而言) 很深的學問。那是人類中的精英帶給人類的寶貴財富。學會她，讚美她！讚美自然，讚美知識的創造者，讚美熱愛知識的我們自己。依科學史而觀之，每一個時代，都有零星的不那麼猥瑣。
寫書的人，大概只能欺負或者憐憫青少年朋友知識之暫時不足。所以，一本書欲圖見功，還得指望讀者的合作意願 (sympathetic willingness to cooperate is expected from the reader) 。一本書，當然是寫給那些願意讀它想從中學到點什麼的人的。博學如大神海爾曼·外爾也明言其經典著作The classical groups (經典羣) 不是寫給對相關內容爛熟於胸的傲驕又博學的人的 (rather than for the proud and learned who are already familiar with the subject)。關於這本書的缺點，我自己都忍不住要批評。但是，我還是覺得，無所助益的批評是無意義的。這本書的所有缺點，無它，都來自作者的力有不逮, 這在最後兩章尤為明顯。
本書撰寫過程中，筆者有幸閲讀了部分真大學者之原始文獻，時常得享抓耳撓腮的喜悦。其間的感慨之一，便是這些大學問者之文采斐然，所謂“不求其成文，而文生焉者，文之至也。” 故而閲讀真學問家之文章，不獨可以窺見其學識之淵博，亦可浸染其文意之雋秀。我希望，此書面世之後, 吾中華少年在解一元二次方程的時候，手邊的參考書能是拉格朗日的《關於代數方程解的思考》和克萊因的《二十面體與五次方程解教程》之類的典籍。
莊子《外篇·刻意》雲：“刻意尚行，離世異俗，高論怨誹，為亢而已矣；此山谷之士，非世之人，枯槁赴淵者之好也。” 好吧，我就是枯槁赴淵者，我不跟命運彆扭。關於書的命運，我覺得書的命運就是作者的命運，雖然法國人説過一本傑作 (本書不是) 出版以後就有了自己的命運，與作者無關了。作者應該在工作的樂趣和去除了思想負擔的釋然中找到回報而不問其它，管它是讚揚還是非難，失敗還是成功。某智者雲，我寫這些書除了自娛自樂以外若還有任何想法我都是三倍的傻蛋——這個態度我很讚賞。本書的學術價值，我個人認為在於補 (通) 足 (告) 從一元二次方程到規範場論之間的知識斷層，其社會意義在於給中國未來的學子介紹那些把學問從腳下做到了雲端的榜樣。
這本書的風格，如果談得上有什麼風格的話，就是聊家常話。聊作者的困惑、思考、驚喜與感慨，捎帶着分享找到的原始文獻。有作者認為一本好書應該讓讀者讀完後有成就感和美的感覺。成就感好説。一個人若能堅持讀完這本書，知道Gal(K/F)和SU(3)×SU(2)×U(1)的字面意思，就足以有點兒成就感了。至於美的感覺，這個卻讓人為難了。成就一篇美文，哪怕是對數學、物理著作而言，也是著述第一義，卻也是極難達到的境界。著述者有此意識，也十分地努力過了，結果未能差強人意，那也是沒法子的事兒。范曄所謂“此書行，故應有賞音者”, 這得算是許多作嘔心瀝血狀的作者的願望吧。
我的書，期待“風神穎悟，力學不倦”的少年。
2017.05.14 動筆
2020.09.13 完稿
註釋
1）我們都置身陰溝裏，但有人仰望星空~王爾德
目 錄
作者序
第一章 導言
第二章 一元二次方程
§2.1 代數方程概念簡介
§2.2 一元多項式方程
§2.3 一元二次方程的一般代數解
§2.4 幾何法解一元二次方程
§2.5 一元二次方程與分割數
§2.6 解一元二次方程的深意
第三章 一元三次方程
§3.1 一元三次方程的緣起
§3.2 解一元三次方程
§3.3 一元三次方程解的危機與虛數的引入
§3.4 關於一元三次方程解的深度思考
第四章 一元四次方程
§4.1 問題的導出
§4.2 一元四次方程的幾種解法
第五章 一元五次方程代數不可解
§5.1 解一元五次方程
§5.2 拉格朗日的總結
§5.3 不可解證明
§5.4 Abel-Ruffini 定理
§5.5 伽羅華理論
§5.6 伽羅華其人其事
§5.7 阿諾德的拓撲證明
§5.8 多餘的話
第六章 五次及更高階方程解
§6.1 一元五次方程解
§6.2 一元六次方程解
§6.3 代數基本定理
§6.4 無窮階代數方程解探索
第七章 複數
§7.1 虛數的引入
§7.2 複數的意義與表示
§7.3 複數的數學應用
§7.3a 複數與平面幾何
§7.3b 複變函數
§7.3c 復幾何
§7.4 複數之於物理學
§7.4a 振盪與轉動
§7.4b 物理量複數化
§7.4c 傅里葉變換
§7.4d 複數之於量子力學
§7.4e 複數之於相對論
§7.5 多餘的話
第八章 超複數及其應用
§8.1 複數作為二元數
§8.2 四元數的引入
§8.3 四元數的算法與其它表示
§8.4 四元數的威力與意義
§8.4a 表示矢量空間
§8.4b 表示轉動
§8.5 四元數的延伸
§8.5a 數系的推廣
§8.5b 代數的推廣
§8.5c 另一種意義上的代數推廣
§8.6 八元數
§8.7 Hurwitz 定理
§8.8 多餘的話
第九章 羣論
§9.1 羣的定義與性質初步
§9.1a 羣的定義
§9.1b 羣的性質初步
§9.2 羣概念起源
§9.2a 羣的代數起源
§9.2b 羣的數論起源
§9.2c 羣的幾何起源
§9.2d 羣的分析起源
§9.3 羣的性質進階
§9.4 羣表示初步
§9.4a 有限羣表示
§9.4b 連續羣表示
§9.5 羣論的眼光回頭看代數方程
§9.6 幾個重要酉羣
§9.7 時空裏的轉動
§9.7a 角動量
§9.7b 洛倫茲羣
§9.8 旋量
§9.9 物理學中的羣論舉例
§9.9a 空間羣
§9.9b 羣與量子力學
§9.9c 羣與相對論
§9.10 多餘的話
第十章 規範場論
§10.1 物理學是怎麼拼湊出來的？
§10.2 電磁理論與規範
§10.3 引力場論與微分幾何
§10.4 外爾的引力與電理論
§10.4a 引力規範
§10.4b 對外爾理論的批判與詮釋
§10.5 外爾的電子與引力理論
§10.6 規範場論
§10.6a 楊-米爾斯的嘗試
§10.6b 廣義同位旋變換下的不變性
§10.6c 內山的一般形式推導
§10.7 標準模型的數學表示
§10.7a 標準模型簡介
§10.7b 電弱作用與SU(2)規範場
§10.7c 強相互作用與SU(3)規範場
§10.8 多餘的話
跋