李雅普諾夫：逐夢唯美天空的俄羅斯數學家_風聞

聖彼得堡數學學派是俄羅斯在數學領域創建最早、實力最強、影響最大的學派，是推動19世紀數學科學發展的重要生力軍，使俄羅斯數學從幾乎一窮二白的極端落後境地躍居世界強國之列。

李雅普諾夫（1857-1918年）便是聖彼得堡數學學派的中流砥柱，為該學派的發展和繁榮做出了卓越貢獻。

本文通過採擷李雅普諾夫的動人愛情詩篇和唯美科學奮鬥目標，展示了其美麗的愛情觀和追求卓越的科學精神。

撰文 | 徐傳勝

李雅普諾夫是俄羅斯著名天文學家和數學家，為俄羅斯躋身世界科技強國奠定了科學理論基礎。為弘揚和傳承他的科學思想，俄羅斯國家郵政局於1957年發行了紀念郵票。

李雅普諾夫及其紀念郵票

李雅普諾夫的父親英年早逝，為了減輕家庭負擔，母親只能允讓姑媽把11歲的李雅普諾夫領去撫養。表妹娜塔莉婭從內心喜歡這個靦腆的表哥，他們一同成長、學習和玩耍。

直到1870年，雖與表妹難捨難分，但李雅普諾夫還是回到自己家中，開始了求學生涯。

1876年李雅普諾夫考入了嚮往已久的聖彼得堡大學，4年後因學習成績優異，大學畢業被留校任教。

1886年，李雅普諾夫與表妹舉行了隆重婚禮。婚後夫妻倆形影相隨，温柔美麗的妻子給李雅普諾夫的生活帶來了歡樂，使之更加全身心地撲在教學和科學研究上。

欲上九天攬新月

在聖彼得堡大學留校任教後，李雅普諾夫僅用2年時間就通過了所有碩士課程考試。

切比雪夫建議其學位論文的研究課題為：已知在角速度影響下，橢球體不再保持原旋轉液團平衡形狀。則在角速度略微增大時，其可能轉變為哪些新平衡形狀？

這是當時學界公認的力學難題，源於天體力學，牛頓、馬克勞林、雅可比等進行了一定探索，但皆未能取得實質性進展。

李雅普諾夫對該課題充滿了濃厚興趣，並展開了深入研究。雖然1年下來幾乎沒有多大進展，但該問題把李雅普諾夫引向橢球狀旋轉液團平衡形態的穩定性研究，並以此作為碩士學位論文研究內容。

儘管該論文僅討論了“切比雪夫問題”的一個特殊情形，但其學術價值很快就引起了科學界的極大關注。

在哈爾科夫大學任職後，李雅普諾夫對有限自由度力學系統平衡形狀穩定性問題展開了研究，該問題是18世紀的研究熱點之一。

自1888年始，李雅普諾夫陸續發表了系列論文，並由此撰寫而成博士學位論文《運動穩定性一般問題研究》，給出了系統穩定性的基本概念、研究方法和基本理論，包括穩定性分析兩種基本方法，即李雅普諾夫第一方法、第二方法。

李雅普諾夫第一方法主要是通過分析非線性系統的線性化狀態微分方程特徵值分佈來判定相關係統穩定性。

對於較為複雜的非線性系統，李雅普諾夫則根據其平衡點附近線性化系統的穩定性，來判別它局部穩定性。李雅普諾夫穩定性理論不僅適用於分析線性系統和非線性系統，還能分析定常系統和時變系統的穩定性，不過第一方法只適於低維線性系統或可線性化的非線性系統。

李雅普諾夫第二方法通過對相關係統構造一個類似能量的純量函數考察該函數隨時間變化來判斷系統的穩定性，可適用於任意階系統，且不必求解系統狀態方程來判定穩定性。

李雅普諾夫定理表明，對於一個控制系統，若能找到一個正定函數，其導數是負定的，則該系統就是漸近穩定的。在現代控制理論中，李雅普諾夫第二方法仍是研究系統穩定性的主要方法之一。

經過30餘年的不懈努力，李雅普諾夫終於在1903年取得了關於天體形狀理論探索的新突破，圓滿解決了“切比雪夫問題”。

首先，他以克萊羅方程作為相關理論體系的第一步近似，證明了近似球體平衡形狀的存在條件，並將該問題轉化為某微分方程組之解。

第2年又繼續深入研究該類微分方程組，嚴格證明了其中每個方程皆有一個滿足某種自然條件的定解。

在1905年發表的論文中，簡要介紹了其整個研究過程和研究技術路線，後以《近似於橢球體均勻旋轉液團的平衡狀態之研究》為題，分成4大部分內容先後發表於《聖彼得堡科學院院刊》。

在科學史上，李雅普諾夫第一個嚴格論證了近似於橢球體的新平衡狀態存在性，而且達到所要求任何精度。他還找到了橢球數目與旋轉液團傾角之間的密切關係，並給出2個馬克勞林橢球和1個雅可比橢球的存在條件。

他給出了若干近似計算方法，以簡化天文學問題的計算複雜性，並創造了一系列巧妙數學方法來求解微分方程。此後，李雅普諾夫仍對“切比雪夫問題”鍥而不捨，發表多篇論文來完善其相關理論。

值得稱道的是，李雅普諾夫1916年發表的2篇論文，應用數學工具證明了各種平衡存在性問題，並給出一些新平衡形狀方程的構建模式。

而在其遺稿《論非均勻旋轉液團的某些平衡形狀》中，已證得任何非分叉的馬克勞林橢球或雅可比橢球皆可演化為新的平衡形狀，其與原形狀相近且保持角速度不變，但其密度呈現弱變化。

隨機世界求真詮

在概率論研究領域，李雅普諾夫繼承和弘揚了切比雪夫概率思想，創建特徵函數法來證明中心極限定理，實現了概率論極限定理研究方法的理論變革，奠定了近現代概率論基礎。

在拉普拉斯概率理論基礎上，切比雪夫對中心極限定理展開了研究，他將局部理論應用到概率論研究中，構造了矩方法來證明極限定理。

李雅普諾夫對中心極限定理也很感興趣，極力尋求更加一般的定理條件和更為簡潔的定理證明，即應用特徵函數來證明中心極限定理。因相互獨立隨機變量和分佈就是各加項分佈之卷積，而在加項數目趨於無窮時，對卷積作數學處理較為困難，李雅普諾夫突破了這個難點，特徵函數成為研究極限分佈的切入點。

特徵函數法為研究相互獨立隨機變量和的極限分佈提供了簡便有力的工具，現已成為解決隨機變量之和問題的基本方法之一。主要原因為：

1）特徵函數法要求條件更低一些，對於任意隨機變量其特徵函數皆存在，亦可用特徵函數來確定分佈函數各階矩（若是存在的話）。

2）特徵函數方法保留了隨機變量分佈律全部信息，而矩方法喪失了其中一部分信息。

3）隨機變量之矩是否存在，皆可由特徵函數唯一確定其分佈函數，同時提供了特徵函數收斂性質與分佈函數收斂性質間一一對應關係。

4）相互獨立隨機變量和的特徵函數等於相應隨機變量特徵函數之積。

在1900年發表的論文中，李雅普諾夫證明了中心極限定理，其證明方法與現在用於素數理論方法相類似，其唯一要求就是存在3階矩，避免了矩方法要求高階矩存在的苛刻條件。

在1901年發表的論文中，李雅普諾夫試圖再次減弱定理的條件，後李雅普諾夫又在2篇短文中指出，定理的條件可進一步“一般化”。

正是特徵函數性質的靈活運用，使得李雅普諾夫圓滿證明了所給中心極限定理。

他利用特徵函數精確描述了中心極限定理的條件，首次科學詮釋了大多數隨機變量皆近似服從正態分佈的原因：現實世界中存在較多的隨機變量，其為大量相互獨立隨機變量之和，且每個隨機變量的作用很小。

此外，這個隨機變量之和的分佈可為任意概率分佈，而這種類型的隨機變量在實際問題中經常發生。

相對於更一般的中心極限定理，李雅普諾夫定理更容易驗證，如當隨機變量序列的密度函數未知時，僅需要求知道隨機變量的2個數字特徵。

李雅普諾夫在證明過程中所構造的獨特新方法，為概率極限理論研究打開了一扇新窗口，實現了概率分析方法的重大革新，為極限定理進一步精確化研究奠定了理論基礎。

李雅普諾夫常常沉醉於科學問題，追求科學的至善至美，創立了運動穩定性理論和旋轉液團平衡形狀理論，探索了概率論中心極限定理和一系列其他深刻數學力學課題。

尤其值得讚美的是，李雅普諾夫所創立穩定性理論無論是在理論研究還是實際應用中均有着重要指導作用，引領了近半個世紀控制系統理論特別是非線性系統穩定性的研究方向。

比翼雙飛天地間

時間一晃而逝，李雅普諾夫夫婦已過銀婚紀念日，二人前往瑞士旅行，不幸的是，娜塔莉婭在旅行中感染了肺病，這在當時是不治之症。

1913年李雅普諾夫夫婦來到敖德薩，經過一段時間的精心治療和温馨呵護,娜塔莉婭的病情略有好轉。1917年春，李雅普諾夫夫婦到芬蘭療養，6月再度來到敖德薩。

娜塔莉婭的病情越來越重，一再昏迷虛脱，為購買高價藥品，李雅普諾夫為敖德薩國立大學開設《天體形狀》講座。1918年10月28日，李雅普諾夫正在進行第7次演講，得知愛妻病危消息後，立即向聽眾致歉而回家，最終娜塔莉婭在李雅普諾夫懷抱中安詳離去。

李雅普諾夫悲痛欲絕，難以接受這殘酷現實。他用手槍對着自己胸膛扣動了扳機，雖經家人奮力搶救，李雅普諾夫還是於1918年11月3日隨愛妻而去。這就是俄羅斯版的梁祝。

作者簡介：徐傳勝，臨沂大學數學與統計學院，教授，研究方向為近現代數學思想發展史。

本文經授權轉載自微信公眾號“科技導報”。