丘成桐：數學為基礎科學之基礎（修訂版）_風聞
西方朔-2021-07-26 20:59
斯文至樂 今天
編者薦語：
丘成桐先生既是享譽全球的數學領袖，也是數學教育的當代宗師。他半個世紀來為世界培養了無數傑出數學家，為中國發展，尤其是科學進步嘔心瀝血無私奉獻。他在清華創辦的求真書院，集世界數理大師，育中華英才，擬以十年之功，使數學奠定中國現代化發展之基。
以下文章來源於數理人文 ，作者丘成桐
我每天在跑步機上跑步，總會打開電視，看看新聞，最受鼓舞而又感動的是：中國精準扶貧的成功，改變了中國兩千年來
“興，百姓苦。亡，百姓苦”
的貧苦家庭的困境。
但是我們仔細觀察一下，扶貧工作最重要的幾件事情就是
水、電、交通；
有了這些基本設施，才有機會脱貧。
其實人類文明的進程跟這些都有密切關係。以下略為討論：
（1）水： 水是地球上生命之源。沒有足夠的水，談不上什麼文化！為了得到水，老百姓會拼命。
我到安陽見到紅旗渠的時候，我嚇了一跳，一千五百公里的大渠，依山傍懸崖而築。十萬農民，用粗糙的工具蓋成。中國人民真偉大，真值得我們欽佩！當時工具不足，但到了今天，看看雲貴高原的鐵道大橋隧道的構造，比五十多年前做紅旗渠的工程大得多了，都能夠成功，這都拜高科技之賜。
中國從大禹治水以來，黃河、長江這兩條母親河，孕育着我們的民族，但是載舟之水也能覆舟。
我們對於水性，始終未全部瞭解，河水沖積，可以沃野千里，國富民強。但是河水氾濫，也可以做成哀鴻遍野的狀況。何以故？我們對於水和一般流體的性質，始終未能充分了解也！
古希臘的阿基米德就開始研究比較簡單的水的性質，雖然已經很有用場，但是所得到的知識有限。
歷史上第一次突破，是伯努利兄弟、歐拉和拉格朗日的工作出現以後，他們利用微積分寫下了流體力學的重要方程。他們的結果因此解釋了一大片有關流體的自然現象，甚至可以應用到星雲的問題上。清華大學畢業的林家翹，就是因為用方程解釋為何某些星雲會成為螺旋狀而名滿天下。
對於理想不可壓縮流體
（歐拉）運動方程
定常流動、重力是唯一的質量力、沿着流線
伯努利方程
總流伯努利方程
可是直到如今，有很多重要的流體力學的問題，還是沒有解決；湍流就是這些問題中最突出的。這些都是深奧數學能夠幫忙的科學。
（2）電： 大家都知道雷電，古人已經知道電的能力可以很強。但是直到十七世紀和十八世紀初期，人類才開始從不同的現象中科學地觀察到電和磁的各種現象。
在十八世紀時，富蘭克林用雷電進行了各種電學實驗，證明了天上的雷電與人工摩擦產生的電具有完全相同的性質。這樣就開始了對電的研究。
在 1820 年時，奧斯特發現磁和電相互影響。之後，一大批學者開始研究電磁的定律，包括高斯、黎曼、法拉第和麥克斯韋在內，最後的方程組由麥克斯韋完成。
赫茲則完成它的驗證。電磁理論是牛頓以後，物理學進入新紀元的學問，它很快被用來做很多日用的工具，包括電燈在內。但是它的應用和影響遠遠超過電燈！
麥克斯韋方程組堪稱為二十世紀物理學的根源，而人類文明也進入了新紀元。
麥克斯韋方程組
電磁學通過麥克斯韋方程組，大量地利用數學；反過來説，它也對數學，尤其是幾何學，有着深遠的影響。
（3）交通： 這裏有古代和近代的交通意義。古代的陸路、水路，空中的交通工具都需要大量工具；日新月異，科技愈來愈發達，用的現代數學也是愈來愈豐富。
但是自從電腦發達，互聯網被大量利用已經到達全國各地。無論遠近，在扶貧的鄉村裏，也見到老百姓用互聯網幫助自己的產業！
這麼大一個網絡，如何處理，是一個極端困難的事情。近三十年來，大量的數學成果投入到這個產業中，也因此而產生了大量的財富。
舉個例來説，網絡上搞交易，很明顯需要大量的保密系統，而整個保密系統用的都是深奧的數學：數論中很多看來沒有用的定理大部分都派上用場，從因子分解、橢圓曲線，到抽象代數都在保密系統中出現蹤跡。
當然計算機硬件的進步絕對是驚人的，但是所有這些二十世紀高科技的產生，都和量子力學有着密切的關係。
二十世紀初期的物理學家和數學家為了瞭解物質最基本的結構和它們的數學原理，創造了這些偉大的科技發展，這是當年創立這些學科的學者也預料不到的！而基礎數學始終是這些學問的基礎。
為什麼許多中國百姓和官員不知道數學的重要？大概是中國傳統的“學以致用”而不計較數學本身的重要性所造成的！要用數學，必須要了解數學本身的結構，才能夠發揮數學的精華！
我們看到應用科技的好處，就想趕快學好，覺得可以大賺一筆；就如改革開放之初，到國外去買大型機器，將工業做好了，也賺了大錢。反過來，去和賣出機器的外國產業競爭，有時候可以成功，但是當我們不懂得機器運作的原理時，難以取得決定性勝利。
我將這個狀況和兩千兩百年前漢高祖劉邦的臣下陸賈和他討論的一件事相比較：
馬上得天下，卻不能馬上治之。
高帝罵之曰：“乃公居馬上而得之，安事詩書！”陸生曰：“居馬上得之，寧可以馬上治之乎？且湯武逆取而以順守之，文武並用，長久之術也，向使秦已並天下，行仁義，法先聖，陛下安得而有之？”
——《史記·酈生陸賈列傳》
我們的工業可以通過學習別人而速成，甚至勝過我們學習的人，但是繼續去抄襲，就無以為繼,很難獲得持續性增長。
中國古代有不少次是胡人攻入中原後，發現他們文化不足以管理中華大地，於是迅速漢化了。
我們發現異族入主中原，和他們漢化深度有關。前秦苻堅用漢人王猛，統一了中國北方；在漢化未深以前，發動淝水之戰，結果滅亡了。
北魏孝文帝拓跋宏遷都洛陽，以求深度漢化；臣子不服，結果也不成功。
漢化最成功的清朝，康熙、雍正和乾隆，都精通漢文，國祚也最長。
其實人類文化發展所走過的道路，從石器時代到青銅器時代，從青銅器時代到鐵器時代。每一個跳躍，都是經過千年以上的磨練而累計下來的經驗才能夠達到的。中間不乏各個時代的智者，傳説中的伏羲作八卦、周文王演《易》以通陰陽、大禹治水、周人祖先後稷則治農。這些智者都是通過觀察大自然得到結論後，再應用到人類社會。
這樣的過程，在現代社會中也不斷出現。我們可以從國外學習到一定的知識後，用這些知識來強國，但是基礎不深，往往無法領先世界。所以我們在開始發展工業時，可以大幅引入他人的技術，但是同時也必須深入瞭解這些技術成功的基本原則，這樣才能夠長治久安。基礎科學就是了解技術成功的基礎，也幫助我們產生新的技術。
基礎數學則是基礎科學的基礎！
現在我們來了解一下基礎數學發展的一些例子。
西方科技的大發展，在文藝復興以後。伽利略是其中最重要的初始領導；牛頓集其大成，發現微積分。自此以後，西方大量發展科學和技術，產生了工業革命。而這個年代正好發生在清代康熙、雍正、乾隆的三朝盛世時期。
康熙喜愛科技和數學，但是實際上他沒有看到基本科學的精髓。他喜歡幾何，也看過歐幾里得的《幾何原本》。
清宮裏面的《幾何原本》，只敍述定理而不帶證明。《幾何原本》在明末時由耶穌會傳教士利瑪竇和徐光啓開始翻譯了前面六章，要到十九世紀才由李善蘭全面翻譯成功。
《幾何原本》是科學的基礎，當年牛頓寫《自然哲學的數學原理》，就是用《幾何原本》的方法寫的。二十世紀到現在，理論物理學家很看重的愛因斯坦提出的統一場論，也是受到《幾何原本》的想法影響。
中國直到十九世紀才能夠看到這本書的全貌，這表明中國的基礎科學發展是很緩慢的。
其實傳教士到中國的目標是傳教，他們自己的科學知識並不深入，沒有興趣也沒有能力去詳細解釋當時歐洲偉大的科學知識。傳教士引入的是西方社會獲得的技術，中國的執政者和學者頂多欣賞到這些技術的用處，而沒有去了解產生這些技術的科學基礎。他們見到火車這些龐然大物自己會走動，竟然產生恐懼的感覺。
乾隆皇帝自以為十全武功，自大自傲，而不願派人到歐洲去尋求科學的根源。這個態度一直保持到清末，所謂“中學為體，西學為用”，這個“用”的意思就是西學只是應用而已耳！
中國真正開始願意瞭解基礎科學，要到十九世紀末到二十世紀初期大量派遣留學生到歐美才開始。
中國在甲午戰敗後，派了一大批學者到日本留學，到 1905 年時，達到八千人之多。
微積分被引入中國，其實要早於日本。但是自 1867 年明治維新開始後，日本大量派遣學者留學英國和德國，除了技術外，也學習數學。東京大學和京都大學的第一任校長都是數學家。
但是十九世紀的日本數學與歐洲相差太遠。中國人在十九世紀末，捨棄了到世界科學中心的德國去學習，而大量派出學者去尚屬二流的日本去學科學，實在是失策！當時中國政府如何做的決策，值得研究。
日本的基礎科學在二十世紀早期迅速崛起，創造了日本二十世紀的科技成就。
就日本數學來説，最重要的人物是高木貞治。他 1894 年進入東京大學讀書，受教於當時日本主要的數學學者菊池和藤澤，後者教育他讀代數，包括伽羅華理論和阿貝爾方程。
高木貞治在 1898 年先去柏林大學聽弗羅貝尼烏斯、施瓦茨、福克斯的課，雖然他對於這些課的內容已經在日本時學習過，但是他們三位都是一代大師，對於他還是有很大的影響。
然後高木貞治到哥廷根，跟隨當時最偉大的數學家希爾伯特，學習數論中的類域論。他在 1901 年回到日本作助理教授，在 1903 年拿到博士學位，解決了克羅內克關於類域論的一個猜想。
他一面做研究，一面寫書，包括中學的教科書，八年內寫了十三部著作。
高木貞治的研究主要在第一次世界大戰期間（1914--1918），當時信息不通，反而提供了他開始作獨立研究的機會。1920 年時，他在斯特拉斯堡舉行的國際數學家大會上，報告了最近完成的在類域論方面的工作（Sur quelques théoremes généraux de la théorie des nombres algébriques（關於代數數論的一些一般定理）），反響很大。西格爾推薦阿廷閲讀這篇論文，從而開始了現代數論的建立。
這件事情對日本數學影響很大，畢竟日本人在本土上開始能夠做到在數學上舉足輕重的文章了。日本民族在基礎數學有了信心後，無論基礎數學和應用數學，都得到長足的進步。
伊藤清在 1938 年的博士論文中創造了伊藤微積分，實質上開始了隨機方程的研究，影響巨大！現代工業界，尤其是信息科學，都依靠着隨機方程的發展。
在四十年代和五十年代時的重要日本數學大師，風起雲湧，不可勝數。其中出色的有岡潔、小平邦彥、廣中平佑、巖澤健吉、志村五郎、佐藤幹夫等大師。他們不單單改變了日本的數學，也改變了全世界的數學。
西方文藝復興開始時，和繪畫一樣，基礎數學就被看成是西方文化的一部分，大家以懂得數學為光榮。
費馬是一個法國商人，但是醉心於數學的研究。他沉迷於數論，也對用數學來解釋物理現象，有着濃厚的興趣。
笛卡爾引入解析幾何，從哲學的觀點來研究數學。他們的工作影響了微積分的發展。
從那時開始，法國從政府到老百姓對於數學，都認為是崇高而有意義的事情。拿破崙身邊常常有數學家跟着，他遠征埃及時，傅里葉就隨侍在側。
大概和他們的文化有關，法國數學家對於數學的不同分支，甚至物理學，都有很廣泛的興趣。帕斯卡、拉普拉斯、拉格朗日，都是學富五車有深入貢獻的學者。
拿破崙：“數學的發展與國家的繁榮密切相關。”
1797 年 12 月，經過兩輪投票後，拿破崙以大多數票勝出，當選為法蘭西科學院數學部院士。
與數百年前法國人和法國政府對數學家無比尊重形成對比，直到現在，我們的地方官員見到數學家時的反應卻是：
“中央政府號召我們支持基礎科學，我們當然義無反顧，但是你們究竟什麼時候才可以產生上市公司，有多少個？”
這樣的問題，我在深圳、上海、海南、南通、杭州都曾遇到過。
英國產生了牛頓、法拉第、麥克斯韋、狄拉克、哈密爾頓等偉大的物理學家和數學家。
德國則產生了高斯、黎曼、普朗克、希爾伯特、愛因斯坦、外爾、海森堡、泡利等奠定現代數學和物理學的科學家。
俄羅斯皇后葉卡捷琳娜大帝在十八世紀時聘請了歐拉到聖彼得堡，開始了俄羅斯優良的數學傳統。
由於歐拉出身於瑞士，又在德國待了相當長時間，俄羅斯和瑞士及法德始終有較頻繁的來往。
到了二十世紀初期，偉大的柯爾莫哥洛夫開始了近代概率論的研究。他精研數學中各門學科，包括動力系統、流體力學、湍流、傅里葉級數等，與朗道分別領導了俄羅斯二十世紀數學和物理學的先河。
柯爾莫哥洛夫特別注重中學生的數學訓練，這個傳統一直保持到今天，培養了一大批博大精深的學者。聽説解放初期的院系調整是學習俄羅斯，但遺憾的是沒有見到俄羅斯學者做學問的精髓。
現在來看看近百年來獨霸全球數學的霸主——美國。美國的很多大學都有悠久的歷史，例如哈佛大學、耶魯大學都有幾百年的歷史。但是在 1875 年之前，都不是研究型大學。在 1875 年，約翰霍普金斯大學聘請了英國數學家西爾維斯特做校長。之後，美國多所高等大學開始轉型為研究型大學。
開始時，正如我國改革開放那段時間，美國大學派大量留學生到歐洲；大部分學生後來回到了美國高校，引發了這些高校的改變。
但是真正使得美國數學產生革命性的改變，是哈佛大學年青的教授伯克霍夫。他在沒有離開美國本土的情形下，於 1913 年（Proof of Poincaré’s geometric theorem）解決了出名的限制三體問題——這是一個重要的問題，龐加萊在去世前還對這個問題念念不忘。
這個問題的解決不單使伯克霍夫一舉成名，也賦予美國數學工作者無限的信心，從此勢如破竹，取代德法，成為數學盟主。
歐美的文化與中國距離比較遠，但是日本的文化在十九世紀以前深受中國的影響。日本能夠在明治維新後很迅速地建立起基礎數學，到了上世紀竟然出人頭地，使人欽佩。
我想有幾個原因：
明治天皇志氣遠大，力爭上游，花了國庫一大筆錢去聘請人才，也派學者去全球科學的中心。
學者受到尊重和重用，為了強國，上下一心。
政府和學者都注重教育，培養幼童。高木貞治乃數學大師，居然寫了十多本教科書。在中國，百年以來，未見這樣熱心教育的大學者。
至少在數學這個領域，日本嚴守“質”的重要性。當今日本學士院，有四位數學家（廣中平佑、森重文、柏原正樹、深谷賢治），都是名動四方的學者，其中前兩位是菲爾茲獎得主。
無論是日本，無論是俄羅斯、歐美，他們的數學大師都會花費很多時間，特定的去培養特別傑出的中學生和大學生。
我在哈佛大學的兩位同事就是俄羅斯的大學者蓋爾範德培養的，另外一位則是德國的大學者希策布魯赫培養的。
文藝復興以後，偉大的數學家至少有幾百個，大部分都是歐洲、俄羅斯和美國出身，但是也有不少是二十世紀初期湧現出來的日本數學大師。
大家都同意歷史上最偉大的幾個數學家是牛頓、歐拉、高斯和黎曼。其中黎曼生命最短，但也是最有創意的數學家。事實上，愛因斯坦在 1933 年一篇演講詞中就指出他的廣義相對論最重要的部分是黎曼解決的。
我在下面解釋，黎曼稱為偉大數學家的背景。
德國數學家黎曼一生才四十歲，但是他二十年不到的研究生涯中得到的成果對數學的影響力，幾乎可以説是前無古人，後無來者！他的工作開創了一百五十年來的幾何學、複變函數、黎曼曲面、拓撲學、解析數論、橢圓函數、代數曲線、激波理論，也為電磁學和廣義相對論做了極為重要的奠基工作。
黎曼一直到去世，都是個虔誠的基督徒。他的父親是路德會的牧師。在 1846 年時，他到哥廷根大學讀神學，但是在聽完高斯和斯特恩的課後，他決定改讀數學。
在 1847 年的春天，他搬到柏林大學去專修數學，這裏有斯坦納、雅可比、艾森斯坦和狄利克雷。在這些名師的教導下，他得到很深厚的數學和物理學的訓練。
舉例來説，1847 到 1848 年的冬天，雅可比在柏林教導分析力學，黎曼在他班上學習。雅可比對於力學有獨特的看法“從純數學的觀點來看，這些定律是無法證明的：它們僅僅是慣例，卻被假定為與自然相對應 --- 它們不是先驗證明的，但它們對應的性質必須通過實驗來證明。”
受到這個説法的影響，黎曼就把他在 1854 年偉大就職的演講（Habitation Lecture）命名為《論作為幾何學基礎的假設》（Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen）。黎以後解力學和物理學原理時，就提到“牛頓對運動定律或作用力定律和假設的區別，在我看來是站不住腳的。慣性定律是假設…”。
當時在柏林大學的艾森斯坦是數論大師，影響了黎曼在數論方面的研究，黎曼開始研究在橢圓函數領域中如何運用複變函數的方法。在柏林大學這段時間，他完成了複變函數的基礎理論。
他也深受狄利克雷的影響。狄利克雷師從法國的傅里葉和泊松，他在 1855 年繼承高斯在哥廷根大學的位置。
克萊因説：“由於一種相似的思維方式，黎曼內心強烈的志同道合使他與狄利克雷結下了不解之緣。狄利克雷喜歡用直覺的方式把事情説清楚；除此之外，他還會對基本問題進行尖鋭的、符合邏輯的分析，並儘可能避免冗長的計算。他的方式適合黎曼，黎曼就採納了這一點並按照狄利克雷的方法工作。”
黎曼在 1849 年返回哥廷根大學跟隨高斯讀博士學位，他在複變函數的工作受到高斯的影響，他從高斯處知道複變函數也是保角變換，因此黎曼在複變函數的工作中，靈活地運用到了幾何學，而偏微分方程（柯西-黎曼方程）也變得很重要。
他的博士論文《單復變量函數的一般理論基礎》（Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse）在 1851 年提交。
在黎曼的博士論文中，他已經提出了單值化定理及其可能的證明。他的想法深入地影響了複變函數和復幾何兩門學科的發展，包括卡拉比猜想和瑟斯頓的幾何結構定理。
從此以後，黎曼的工作改變了現代數學的面貌，無論是積分學、複變函數、黎曼面、黎曼幾何、拓撲學、代數曲線、解析數論、電磁學、激波等學問都因為黎曼原創的想法，成為數學和物理學的主流。
他的博士論文繼續柯西開始的複變函數論，但是他比柯西跨進了更大一步，他開創了黎曼曲面的觀念。解決了複函數解析延拓的問題，深入瞭解歐拉時代出現的發散函數，包括 函數在內（參見《論小於給定數值的素數個數》（Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse，1859）。
函數定義為
本來只是在實數上定義的 通過解析延拓可以在複平面上定義，黎曼又證明它有一個極為重要的對稱性，就是 滿足一個泛函方程.
在複平面上，可以討論它的零點和極點的分佈。黎曼發現它有深入的數論性質。他做了一個有劃時代意義的重要猜想，即黎曼猜想，困擾數學界至於今日。這個猜想説黎曼 函數 的不平凡的零點必須在直線 上。這個猜想對素數的分佈有深入的瞭解。
黎曼研究他的 函數的解析延拓及其在數論中應用的方法，在數學上有着極大的影響。
現代微分幾何和量子場論在研究空間的拓撲時，往往需要用到指標定理，而指標定理的證明和應用都會需要處理拉普拉斯算子譜。
現代幾何學家在處理這些問題的過程中，都會沿着黎曼的想法從譜中構造出類似 的函數，用黎曼的方法來處理它們的解析延拓。這樣得到的複變函數和它們導數的零點，對於空間的拓撲帶來了極為重要的幾何訊息。在雷（Daniel Burrill Ray，1928--1979）-- 辛格（Isadore Manuel Singer，1924--2021）、阿蒂亞（Michael Atiyah，1929--2019）-- 辛格 -- 帕託迪（Vijay Kumar Patodi，1945--1976）、阿蒂亞 -- 博特（Raoul Bott，1923--2005）-- 帕託迪、威騰（Edward Witten，1951--）等人的文章中可以看到 函數在幾何和物理學中的重要性。
在 1910 年時，希爾伯特指出數學物理上一個極為重要的問題，就是拉普拉斯算子譜的漸進分佈。希爾伯特認為他有生之年不會見到解答。
但是一年後，他的學生外爾就用黎曼的方法將它解決了:
其中 是有界區域， 表示不超過 的拉普拉斯算子的狄利克雷特徵根的個數， 是 中的單位球體積， 表示 的體積。
黎曼曲面的引入可以説是一舉數得。它解決了很多基本複變函數，例如 的開方，，的多值定義問題：通過黎曼曲面得到完美的定義和了解（這個做法被稱為單值化（uniformization））。
黎曼曲面的引入賦予了二維拓撲曲面一個重要的復結構，黎曼因此對拓撲學開始感到興趣。他對於如何切割一個拓撲流形有重要的貢獻，他將這些想法推廣到高維空間，貝蒂跟從黎曼學習高維拓撲。
在一封信中，貝蒂指出“黎曼在與高斯就物理學中的一個話題進行交談時，產生了用切割來描述曲面“連通序”的想法。”
高斯和黎曼一直都對物理學有興趣。事實上，當黎曼從柏林回到哥廷根時，他做過物理學家韋伯的助理。他研究如何融合光和電動力學，在一篇報告《對電動力學的貢獻》（Ein Beitrag zur Electrodynamik） 中黎曼説：“我把我發現的電和光的聯繫在這裏遞交給了皇家學會。”
他在 1850 年到 1852 年間在韋伯的實驗室中做助教，教導學生。他在 1854 年春天還在幫忙韋伯和科爾勞什量度韋伯常數 的重要實驗。
韋伯這一代物理學家開始不再全部相信牛頓的光為粒子的理論，他做了重要的波動力學的實驗，也學習泊松及菲涅爾的理論。他們重視假説演繹法（hypothetico-deductive method）。
狄利克雷在聆聽完韋伯的演講後，説到：“通過最簡單的實驗發現的基本事實與人類思維與之相連的假設之間的嚴格分離，為真正的科學研究提供了一個無與倫比的模式。”
這一段日子，大部分物理學家在光粒子理論轉為光波時刻，開始相信物理學的理論需要有一個假設。他們開始相信無論實驗多準確，總比不上找到一個可以推導出一個能夠解釋現象的真實的理論。這個看法影響了黎曼在 1854 年的出名演講。
在那裏，他説：“幾何學的命題（把空間與其他可以想象到的三維延申量區分開來的性質）不能先驗地確認，而必須從經驗中推導出來。這樣就有一個問題，尋求那種足以規定空間度量關係的最簡單的事實——根據這組事情的本質，這是一個不能完全確定的問題，因為允許有多組簡單事實都可以用來規定空間的度量關係；對我們目前來説最重要的是歐幾里得所奠定基礎的那一組。這組事實，和其他事實一樣，不是必然的，但僅是經驗上的確認性，它們是假設。因此，我們可以研究它們的可信性，這可信性在觀察的範圍內當然是非常大的。”
由於複變函數的需要，黎曼開創了復曲線（尤其是代數曲線）的奠基理論，他綜合了歐拉的橢圓積分，阿貝爾在這方面的研究，加上他自己引發的 函數等偉大貢獻，可以説是近代代數幾何的正式開始。
黎曼本來想跟着他父親的腳步，去學神學，但是碰到偉大的數學家高斯以後，才知道自己的興趣是數學，便毅然放棄神學去學數學。
除了在哥廷根見到高斯外，他的準備工作在柏林大學，在這兩年中，他受到幾位一代大師的薰陶，學習數論、橢圓函數和複變函數。這些學問影響了他的一生工作。
他回到哥廷根後，跟隨高斯，但是也在當時的大物理學家韋伯的實驗室中做了兩年助教，幫忙韋伯量度磁學的常數，並且學習電磁學的理論。以後他在電磁學有極大的貢獻，他推導出麥克斯韋方程中的三個方程，也推導出電磁場中的波動方程，知道電磁波以光速進行。
他的目標很是明顯，他要了解數學的真髓，往往做大量的計算，從而瞭解到數學的內在結構。為了研究這些結構，他大膽地提出新的看法，走出一條前人未敢闖的新方向。
他的研究方向多姿多采，橫跨數學好幾個不同的領域，相互相成。
他的學問雖然以基礎數學為主，但是他開始了激波的理論，並且在可壓縮流體力學中，做出巨大的貢獻。
經過四十年改革開放以來的準備工作，中國已經可以迎接一個嶄新的數學時代，使得我們的基礎科學和世界並駕齊驅，甚至領導世界。但是今天中國要培養這樣的大師，必須要超越已經進行了幾十年的常規。同時，培養大師，必須要有大師水平的老師。西方的科學文化，累積了四百多年的經驗。中國要加速成長，單是今天本土的中國數學家是不夠的。
所幸我們的經濟環境已經足夠，我們可以集中一批全國的精英子弟，有大批世界一流的學者，和他們一起生活，一起學習，希望十年內達成我們的目標。這就是我們求真書院領軍班成立的初衷。
為有犧牲多壯志，敢教日月換新天！
從高斯到黎曼，再從黎曼到希爾伯特，到外爾，德國數學超越意大利、英國和法國，領導世界一百五十年之久，但是其他這些國家的數學也是歷久不衰。在這個背景下，美國、俄羅斯和日本卻在二十世紀中後葉異軍突起，數壇江山，三分實有其二！
二十一世紀伊始，由於經濟及文化傳承的種種原因，西方列強及日本，強弩雖在，已經無復當年威風。
賈誼《過秦論》言及秦之興，在於孝公變法。漢之興，則在文景之後。
今日中國科學之興，亦在此時乎!
謝謝！■
西方視點：
“《幾何原本》是科學的基礎，當年牛頓寫《自然哲學的數學原理》，就是用《幾何原本》的方法寫的。二十世紀到現在，理論物理學家很看重的愛因斯坦提出的統一場論，也是受到《幾何原本》的想法影響。
中國直到十九世紀才能夠看到這本書的全貌，這表明中國的基礎科學發展是很緩慢的”
重點：《幾何原本》是科學的基礎！！
而古代中國，根本就沒有這種邏輯嚴密的公理體系，所以我的觀點是----
中國古代沒有科學！