【CC講壇】梁進:大自然是個數學老師_風聞
CC讲坛-CC讲坛官方账号-创新引领未来,传播改变世界。2021-07-27 14:24
數學是人類與自然交流的語言和揭開奧秘的鑰匙。自然規律的抽象是數學,自然美的表達是數學。萬物皆數,讓我們一起找尋大自然中暗藏的數學密碼。
大家好,我是同濟大學數學科學學院的梁進,今天我來和大家分享大自然中的數學奧秘。
我的演講以唐代詩人王之渙的一首小詩開始
白日依山盡,黃河入海流。
欲窮千里目,更上一層樓。
這首小詩的上一聯描繪了大自然的壯美景觀,下一聯以一種數學的方式,隱喻着人和自然的關係,我們想要深入地瞭解自然,我們就得站得更高,看得更遠。
我小時候物質生活比較匱乏,水果是比較稀罕的。有一次我拿到一個蘋果久久捨不得吃,放在手裏轉啊轉的。看着蘋果心裏就尋思着,為什麼蘋果會是圓的呢,為什麼它長成了一個球形呢?
當時我想了半天,給自己找到的答案就是它如果不長成球形,如果長得有些稜角,那麼這些稜角就是最容易受到傷害的部分。後來長大了,我學了數學,我知道對於一個三維體來説同樣的表面積,球形是最大體積的形狀。也就是説,蘋果長成了它一種最優的形式。
小的時候我也喜歡望着太空胡思亂想。有一次我問我的父親:天到底有多大?父親並沒有直接回答我,他只是反問我説:你認為天有多大呢?我想了一下説:天應該是一個很大很大的盒子。他笑了,他接着問我:那麼這個盒子的外面又是什麼呢?我被他問住了,我當時想了想又説:那個盒子的外面應該還是天吧。他説:對了,這就對了,天就比任何一個有限的盒子都要來得大。後來我學了數學,我學了微積分,碰到了無窮的概念,就知道了無窮就是比任何一個有限的盒子都要來得大。
大自然給了我們很多簡單的形態:我們看到太陽、月亮是圓的、是球形的。我們還看到各種的植物,它們的果實、它們的花朵是球形的,它們的枝幹是圓柱形的,以及它們的葉子是扇形的。
我們還有很多的晶體的形態,地下的礦石是多面體的形狀存在着。上面的那一個圖形是碳原子形成的分子結構,我們知道,它不一樣的結構會有不一樣的物理性態,底下的那個正方形的樣子是食鹽的晶體結構。晶體給了我們一些多面體的,數學中的幾何形狀。自然通過一些簡單的幾何形狀,告訴了我們一些信息,數學就是研究這些最簡單的形狀來開始的。
數學是從代數、幾何開始,代數就研究數,幾何就研究形,最後隨着研究的更加深入,通過這些簡單的形狀,我們得到了這樣的一些信息:三角形的穩定性 ;矩形的規則性;圓形的圓滿性、優化性;直線的簡單性、直達性;曲線的柔和性等等。
大自然也有很多的規律,有些規律我們是直接能感受到的,比如四季的交替,日月的交替,聲波的傳播,還有神秘的間歇泉等等。數學的發展,以它自己的方式來描述這樣的一些規律,這些方式其中之一就是函數。
大自然是美的,中間有很多很漂亮的東西,比如花朵的形狀,花籽的排列,還有枝杈的角度,以及神奇的海螺,還有花椰菜的狀態等等,這個背後都有一個神奇的比例關係,叫做黃金分割。這個比例就是0.618和1.618,這兩個數是無理數,它們之差是等於1 ,它們是互為倒數的。大自然通過一些很簡單的形式表現給我們,例如説黃金三角形、黃金矩形、黃金角度、黃金數列、還有黃金螺線等等。
大家有沒有注意到過我們有一句話叫做:沒有一片雪花是同樣的。而關於雪花,你如果是願意拿着放大鏡去觀察一下的話,你就會發現放大以後還是有很精細的結構,如果你把放大鏡放的更大,你會發現這種精細的結構還是存在的。所以大自然中有這樣的一種形態,這種形態在很多時候能發現,譬如説地脈、葉脈、蘆葦花、還有火山岩等等。
在上個世紀有一位數學家叫芒德勃羅,他曾經提了一個問題,他問道:英國的海岸線到底有多長?這個問題聽起來好像比較簡單,海岸線有多長,你拎個尺子去量就好了。結果當你真的拿着尺子走到到海岸線的時候,你就會發現,這是一個不可能完成的任務。因為海岸線曲曲折折、彎彎繞繞,你越量越長,所以芒德勃羅就從中引出了一個新的數學分支叫做分形。
分形描述的是在任意小的尺度裏,都有這種精細的結構,而且它具有一定的自相似性。這個裏頭我們給大家展示兩個比較簡單的例子,一個叫做科克曲線,一個叫謝爾賓斯基三角形。我就以科克曲線為例,科克曲線它是一種遞歸的方式定義的。我們先定義一個等邊三角形,然後把這三角形的邊分成三等份,再從三等份中間的那個部分,讓它再長出一個相似的三角形。這種方式你就不停地做下去,做到一定程度後,你就會發現,會得到一個像雪花一樣的圖案。
那麼現在問題來了,這一朵雪花的周長會是多少呢?首先你會知道這朵雪花,一定是被框在一個有限的二維面區域裏,但是因為它是遞歸構造的,所以它的周長就是一個級數的形式,而這個級數是發散的,這就意味着它的周長是無窮長。在一個有限區域裏頭的,一個無窮長的曲線是個什麼概念?數學會告訴你,這條曲線的維數不再是1,它是多少呢?它是1和2之間的一個無理數。
這張很漂亮的圖是計算機模擬的,不斷重複的這麼一個過程,計算機模也做不到無窮,但是它做到了次數很大很大,比我們人做的次數要大多了,我們會發現它形成一種特別美妙、令人窒息的美和複雜。
在十七世紀有一位哲學家、數學家叫笛卡爾。他當時窮困潦倒,躺在一個小破舊旅館的牀上,望着天花板上的蜘蛛網在那兒發呆,忽然一個靈想擊中了他,他想着代數點可以和幾何點互相對應起來,於是就提出了直角座標系。今天我們知道直角座標系,中學都會學到,而且現在把它叫做笛卡爾座標系。
今天的**“網”**更是不得了,它不僅僅把代數點和幾何點對應起來,還有各種各樣的關係,甚至風馬牛不相及的關係都可以連起來,這就是我們的互聯網時代,這張網把我們一網打盡,而這張網的源頭就是一個小小的蜘蛛。
數學以它的方式發展着,發展出很多很深奧的學科出來,其中有一門叫做微積分。很多同學進了大學都是會去學微積分,而且覺得它很難,但是大自然卻用很多形式,為我們詮釋了微積分的很多的概念。這幾張圖是我在世界各地拍的,還有兩張圖是射電望遠鏡拍的,例如相切、趨近、差分、剖分、還有最值、收斂和發散等等。這些圖片中的現象,在我們學了數學以後,馬上就可以用數學去解釋,這些現象看起來不是很簡單,其實可以算出來。
例如説很多人都見過彩虹。你有沒有發現一件事,不管你在什麼時間,在什麼地點觀察到彩虹,彩虹的虹點就是最高的那個點和你眼睛,以及地面的夾角好像都是不變的。對的,微積分可以計算出來,告訴你,那個角度就是42º。
我們很多人還很喜歡水生動物,魚在水裏頭自由自在遊,樣子非常可愛,但是你有沒有注意到,魚在水裏從來不是一條直線地遊,是忽上忽下地遊,為什麼要這樣遊呢?因為它要藉助重力,去達到一個省力的狀態。微積分可以根據魚的重量,根據水的阻力,計算出魚最佳的遊角度。
現在問題就來了,我剛才説的花兒、草兒、還有這些魚兒,它們為什麼以數學的方式在那兒行為,在那兒生活着呢?這個好像有點不可思議,但是背後的原因就是它們必須要以一種最佳的方式,才能在最激烈的大自然的競爭中生存下來,而數學就是解開最優方式的方法。
數學還解開了一些我們人類自古以來的一些疑問,比如説遺傳。我們知道有一句俗語叫龍生龍,鳳生鳳,老鼠生兒打地洞。
生物是如何把自己的生物密碼遺傳給下一代的?這個問題一直困惑着人們。上一個世紀有一位遺傳學家叫孟德爾,他做了很多遺傳試驗,其中通過豌豆花解開了顯性遺傳和隱性遺傳的數學的方式。
後來人們有了進一步的發展,特別是DNA的發現,當時大家認為我們找到了遺傳密碼。不過遺傳密碼還有很多工作要做,於是大家開始寫DNA基因組的基因組序列。基因組序列寫出來以後,大家就傻了眼,為什麼?這個就是一部天書,看不懂,真是看不懂,裏面的信息我們完全無法捕捉,我們只能知道幾個片段是什麼意思,大量的信息不懂,所以大自然給了我們更大的一個謎,這個謎就是基因的密碼。我們人類是喜歡接受挑戰的,要解開這個密碼的工具或者説方法就是數學方法。
**數學在我們的經濟生活和社會生活中同樣也起到了很大的作用。**我們剛剛結束了第七次人口普,為什麼要做人口普查呢?因為我們有數學模型,這個數學模型可以刻畫人口變化的一些規律,通過這些規律,我們來制定政策,制定我們的管理方案,從而達到科學管理的目的。這個數學模型中間有好多參數,這些參數是根據我們的文化背景,生活習慣,我們的觀念,科技水平,生活水平,經濟水平等等因素,在不停地變,所以我們需要實時地通過人口普查,從實際數據中獲取這些參數,讓我們人口普查的模型,更加確切地反映我們的實際情況。我展示了一個非常簡單的模型,這個模型就是人口滯阻增長模型。我們真正用的模型比它複雜,右邊的這個圖就是這個模型所描繪的圖像。
在大自然中不僅有人類,還有很多的物種,這些物種相互之間都有很多的關係,關係很複雜,但是你可以把它簡化成基本上有三個最基本的模型。物種形成了我們大自然中的生物鏈,這三種最基本的關係就是捕食模型,驅替模型還有互助模型。
而我們人和大自然之間的關係,最近出了一點問題,大家都知道這個問題就是温室效應。為什麼温室效應會引起大家那麼大的重視呢?因為我們有數學模型,可以用數學模型去模擬、去刻畫温室效應帶來的後果,我們發現這個後果真的還是比較嚴重的。所以我們要通過不停地調整我們人類的行為,以達到和大自然和諧相處的目的。
**還要通過數學來調整我們的行為,大自然對你不檢點的行為會有警告,這些警告就是通過自然災害告訴你。**這些自然災害包括龍捲風、海嘯、火山、地震、還有最近施虐我們全球的新冠肺炎以及其它的病毒。這些東西數學也是要去進行刻畫、瞭解、描述的。描述這些東西對數學來講也很挑戰,因為所有的這些災難都有突發性。我們想要了解它的規律,我們現在做了一些工作,但是還遠遠的不夠,只有我們真正瞭解這些規律,我們才可以減災,我們不敢説控災,我們只能説我們可以最大程度地減災,讓我們從自然災害的警告中警醒過來。
這個裏頭我給大家展示一個模型,這個模型就是傳染病的數學模型,最近是用的很多。這個模型當然是一個簡單的形式了,真正用的比這個要複雜。那麼這個簡單的模型實際上是三個方程的方程組,這三個方程的描述了患病人羣,還有易感人羣以及死亡人羣之間的關係,其中有三個重要的參數就是感染率,死亡率和治癒率。我們現在的抗疫措施就是調整這三個參數,就是提高治癒率,減少死亡率,減少傳染率,然後能達到我們儘快地讓疫情控制下來的目的。
太空對我們人類來説是永遠的奧秘,最偉大的科學家都為此做了很多的工作。牛頓提出了三大定律,奠定了經典物理學的基礎,而且他還和另外一個數學家萊布尼茲,一起提出了微積分。在他們的同時代,還有一位天體學家叫開普勒,也提了一個三大定律,描述了行星的規律。其中有一個規律就是説,行星是繞着太陽,以一個橢圓形的軌道進行運行,而且太陽就在焦點上。而牛頓的定律基本上是説物體、星體、和物體之間的關係,所以這兩個定律看起來是不一樣的,但是通過微積分可以證明,這兩樣東西都是等價的。更有甚者,當時根據這些定律計算,還預示了當時的觀察手段還看不到的兩顆星,一顆是海王星,一個顆冥王星,觀察技術提高以後,證實了海王星和冥王星的存在。
在上個世紀,愛因斯坦也提出了廣義相對論,他的數學計算基本上很多都用到了很高深的像黎曼幾何這樣的東西。當時他還預言了一件事情就是引力波,在當時是觀察不到的。引力波在他預言以後將近過了差不多一百年,今天我們測繪的、觀察的手段都有了很大的提高,而我們在今天觀察到了,並且證實了引力波的存在。我們看到像愛因斯坦,像牛頓都是偉大的科學家,他們同時又是數學家。
科學跟自然的關係是最緊密的,而數學正是科學的基礎。
關於科學,我非常喜歡一首英語的小詩,這首詩我把它翻譯過來就是:
為什麼颶風會旋?
為什麼水波會斷?
為什麼火焰會燃?
為什麼閃電會顫?
我們關於這個世界的問題,
與生俱來。
科學可以回答這些疑問,
然而科學更是問問題的程階。
數學和科學的關係,科學和自然的關係是這樣子的。所以我們可以看到:
自然規律的抽象是數學;
自然美的表達是數學;
數學是我們與自然交流的語言;
揭開自然奧秘的鑰匙就是數學。
數學對我們來説不僅僅是很多人心裏中算算賬,買買菜那種意思,而是我們和自然之間關係的一種紐帶和聯繫。
最後我的演講以我寫的一首詞為結尾,這首詞就是《望海潮·致新年》這首詞的最後兩句話:寄故人來日,多聚陽晴。即便風雨,也是清爽伴君行。
我講的內容,寫在了我這本書裏邊,這本書獲得了2020年5月的中國好書,這本書就是《大自然是個數學老師》。