【CC講壇】梁進：大自然是個數學老師_風聞

數學是人類與自然交流的語言和揭開奧秘的鑰匙。自然規律的抽象是數學，自然美的表達是數學。萬物皆數，讓我們一起找尋大自然中暗藏的數學密碼。

大家好，我是同濟大學數學科學學院的梁進，今天我來和大家分享大自然中的數學奧秘。

我的演講以唐代詩人王之渙的一首小詩開始

白日依山盡，黃河入海流。

欲窮千里目，更上一層樓。

這首小詩的上一聯描繪了大自然的壯美景觀，下一聯以一種數學的方式，隱喻着人和自然的關係，我們想要深入地瞭解自然，我們就得站得更高，看得更遠。

我小時候物質生活比較匱乏，水果是比較稀罕的。有一次我拿到一個蘋果久久捨不得吃，放在手裏轉啊轉的。看着蘋果心裏就尋思着，為什麼蘋果會是圓的呢，為什麼它長成了一個球形呢？

當時我想了半天，給自己找到的答案就是它如果不長成球形，如果長得有些稜角，那麼這些稜角就是最容易受到傷害的部分。後來長大了，我學了數學，我知道對於一個三維體來説同樣的表面積，球形是最大體積的形狀。也就是説，蘋果長成了它一種最優的形式。

小的時候我也喜歡望着太空胡思亂想。有一次我問我的父親：天到底有多大？父親並沒有直接回答我，他只是反問我説：你認為天有多大呢？我想了一下説：天應該是一個很大很大的盒子。他笑了，他接着問我：那麼這個盒子的外面又是什麼呢？我被他問住了，我當時想了想又説：那個盒子的外面應該還是天吧。他説：對了，這就對了，天就比任何一個有限的盒子都要來得大。後來我學了數學，我學了微積分，碰到了無窮的概念，就知道了無窮就是比任何一個有限的盒子都要來得大。

大自然給了我們很多簡單的形態：我們看到太陽、月亮是圓的、是球形的。我們還看到各種的植物，它們的果實、它們的花朵是球形的，它們的枝幹是圓柱形的，以及它們的葉子是扇形的。

我們還有很多的晶體的形態，地下的礦石是多面體的形狀存在着。上面的那一個圖形是碳原子形成的分子結構，我們知道，它不一樣的結構會有不一樣的物理性態，底下的那個正方形的樣子是食鹽的晶體結構。晶體給了我們一些多面體的，數學中的幾何形狀。自然通過一些簡單的幾何形狀，告訴了我們一些信息，數學就是研究這些最簡單的形狀來開始的。

數學是從代數、幾何開始，代數就研究數，幾何就研究形，最後隨着研究的更加深入，通過這些簡單的形狀，我們得到了這樣的一些信息：三角形的穩定性 ；矩形的規則性；圓形的圓滿性、優化性；直線的簡單性、直達性；曲線的柔和性等等。

大自然也有很多的規律，有些規律我們是直接能感受到的，比如四季的交替，日月的交替，聲波的傳播，還有神秘的間歇泉等等。數學的發展，以它自己的方式來描述這樣的一些規律，這些方式其中之一就是函數。

大自然是美的，中間有很多很漂亮的東西，比如花朵的形狀，花籽的排列，還有枝杈的角度，以及神奇的海螺，還有花椰菜的狀態等等，這個背後都有一個神奇的比例關係，叫做黃金分割。這個比例就是0.618和1.618，這兩個數是無理數，它們之差是等於1 ，它們是互為倒數的。大自然通過一些很簡單的形式表現給我們，例如説黃金三角形、黃金矩形、黃金角度、黃金數列、還有黃金螺線等等。

大家有沒有注意到過我們有一句話叫做：沒有一片雪花是同樣的。而關於雪花，你如果是願意拿着放大鏡去觀察一下的話，你就會發現放大以後還是有很精細的結構，如果你把放大鏡放的更大，你會發現這種精細的結構還是存在的。所以大自然中有這樣的一種形態，這種形態在很多時候能發現，譬如説地脈、葉脈、蘆葦花、還有火山岩等等。

在上個世紀有一位數學家叫芒德勃羅，他曾經提了一個問題，他問道：英國的海岸線到底有多長？這個問題聽起來好像比較簡單，海岸線有多長，你拎個尺子去量就好了。結果當你真的拿着尺子走到到海岸線的時候，你就會發現，這是一個不可能完成的任務。因為海岸線曲曲折折、彎彎繞繞，你越量越長，所以芒德勃羅就從中引出了一個新的數學分支叫做分形。

分形描述的是在任意小的尺度裏，都有這種精細的結構，而且它具有一定的自相似性。這個裏頭我們給大家展示兩個比較簡單的例子，一個叫做科克曲線，一個叫謝爾賓斯基三角形。我就以科克曲線為例，科克曲線它是一種遞歸的方式定義的。我們先定義一個等邊三角形，然後把這三角形的邊分成三等份，再從三等份中間的那個部分，讓它再長出一個相似的三角形。這種方式你就不停地做下去，做到一定程度後，你就會發現，會得到一個像雪花一樣的圖案。

那麼現在問題來了，這一朵雪花的周長會是多少呢？首先你會知道這朵雪花，一定是被框在一個有限的二維面區域裏，但是因為它是遞歸構造的，所以它的周長就是一個級數的形式，而這個級數是發散的，這就意味着它的周長是無窮長。在一個有限區域裏頭的，一個無窮長的曲線是個什麼概念？數學會告訴你，這條曲線的維數不再是1，它是多少呢？它是1和2之間的一個無理數。

這張很漂亮的圖是計算機模擬的，不斷重複的這麼一個過程，計算機模也做不到無窮，但是它做到了次數很大很大，比我們人做的次數要大多了，我們會發現它形成一種特別美妙、令人窒息的美和複雜。

在十七世紀有一位哲學家、數學家叫笛卡爾。他當時窮困潦倒，躺在一個小破舊旅館的牀上，望着天花板上的蜘蛛網在那兒發呆，忽然一個靈想擊中了他，他想着代數點可以和幾何點互相對應起來，於是就提出了直角座標系。今天我們知道直角座標系，中學都會學到，而且現在把它叫做笛卡爾座標系。

今天的**“網”**更是不得了，它不僅僅把代數點和幾何點對應起來，還有各種各樣的關係，甚至風馬牛不相及的關係都可以連起來，這就是我們的互聯網時代，這張網把我們一網打盡，而這張網的源頭就是一個小小的蜘蛛。

數學以它的方式發展着，發展出很多很深奧的學科出來，其中有一門叫做微積分。很多同學進了大學都是會去學微積分，而且覺得它很難，但是大自然卻用很多形式，為我們詮釋了微積分的很多的概念。這幾張圖是我在世界各地拍的，還有兩張圖是射電望遠鏡拍的，例如相切、趨近、差分、剖分、還有最值、收斂和發散等等。這些圖片中的現象，在我們學了數學以後，馬上就可以用數學去解釋，這些現象看起來不是很簡單，其實可以算出來。

例如説很多人都見過彩虹。你有沒有發現一件事，不管你在什麼時間，在什麼地點觀察到彩虹，彩虹的虹點就是最高的那個點和你眼睛，以及地面的夾角好像都是不變的。對的，微積分可以計算出來，告訴你，那個角度就是42º。

我們很多人還很喜歡水生動物，魚在水裏頭自由自在遊，樣子非常可愛，但是你有沒有注意到，魚在水裏從來不是一條直線地遊，是忽上忽下地遊，為什麼要這樣遊呢？因為它要藉助重力，去達到一個省力的狀態。微積分可以根據魚的重量，根據水的阻力，計算出魚最佳的遊角度。

現在問題就來了，我剛才説的花兒、草兒、還有這些魚兒，它們為什麼以數學的方式在那兒行為，在那兒生活着呢？這個好像有點不可思議，但是背後的原因就是它們必須要以一種最佳的方式，才能在最激烈的大自然的競爭中生存下來，而數學就是解開最優方式的方法。

數學還解開了一些我們人類自古以來的一些疑問，比如説遺傳。我們知道有一句俗語叫龍生龍，鳳生鳳，老鼠生兒打地洞。

生物是如何把自己的生物密碼遺傳給下一代的？這個問題一直困惑着人們。上一個世紀有一位遺傳學家叫孟德爾，他做了很多遺傳試驗，其中通過豌豆花解開了顯性遺傳和隱性遺傳的數學的方式。

後來人們有了進一步的發展，特別是DNA的發現，當時大家認為我們找到了遺傳密碼。不過遺傳密碼還有很多工作要做，於是大家開始寫DNA基因組的基因組序列。基因組序列寫出來以後，大家就傻了眼，為什麼？這個就是一部天書，看不懂，真是看不懂，裏面的信息我們完全無法捕捉，我們只能知道幾個片段是什麼意思，大量的信息不懂，所以大自然給了我們更大的一個謎，這個謎就是基因的密碼。我們人類是喜歡接受挑戰的，要解開這個密碼的工具或者説方法就是數學方法。

**數學在我們的經濟生活和社會生活中同樣也起到了很大的作用。**我們剛剛結束了第七次人口普，為什麼要做人口普查呢？因為我們有數學模型，這個數學模型可以刻畫人口變化的一些規律，通過這些規律，我們來制定政策，制定我們的管理方案，從而達到科學管理的目的。這個數學模型中間有好多參數，這些參數是根據我們的文化背景，生活習慣，我們的觀念，科技水平，生活水平，經濟水平等等因素，在不停地變，所以我們需要實時地通過人口普查，從實際數據中獲取這些參數，讓我們人口普查的模型，更加確切地反映我們的實際情況。我展示了一個非常簡單的模型，這個模型就是人口滯阻增長模型。我們真正用的模型比它複雜，右邊的這個圖就是這個模型所描繪的圖像。

在大自然中不僅有人類，還有很多的物種，這些物種相互之間都有很多的關係，關係很複雜，但是你可以把它簡化成基本上有三個最基本的模型。物種形成了我們大自然中的生物鏈，這三種最基本的關係就是捕食模型，驅替模型還有互助模型。

而我們人和大自然之間的關係，最近出了一點問題，大家都知道這個問題就是温室效應。為什麼温室效應會引起大家那麼大的重視呢？因為我們有數學模型，可以用數學模型去模擬、去刻畫温室效應帶來的後果，我們發現這個後果真的還是比較嚴重的。所以我們要通過不停地調整我們人類的行為，以達到和大自然和諧相處的目的。

**還要通過數學來調整我們的行為，大自然對你不檢點的行為會有警告，這些警告就是通過自然災害告訴你。**這些自然災害包括龍捲風、海嘯、火山、地震、還有最近施虐我們全球的新冠肺炎以及其它的病毒。這些東西數學也是要去進行刻畫、瞭解、描述的。描述這些東西對數學來講也很挑戰，因為所有的這些災難都有突發性。我們想要了解它的規律，我們現在做了一些工作，但是還遠遠的不夠，只有我們真正瞭解這些規律，我們才可以減災，我們不敢説控災，我們只能説我們可以最大程度地減災，讓我們從自然災害的警告中警醒過來。

這個裏頭我給大家展示一個模型，這個模型就是傳染病的數學模型，最近是用的很多。這個模型當然是一個簡單的形式了，真正用的比這個要複雜。那麼這個簡單的模型實際上是三個方程的方程組，這三個方程的描述了患病人羣，還有易感人羣以及死亡人羣之間的關係，其中有三個重要的參數就是感染率，死亡率和治癒率。我們現在的抗疫措施就是調整這三個參數，就是提高治癒率，減少死亡率，減少傳染率，然後能達到我們儘快地讓疫情控制下來的目的。

太空對我們人類來説是永遠的奧秘，最偉大的科學家都為此做了很多的工作。牛頓提出了三大定律，奠定了經典物理學的基礎，而且他還和另外一個數學家萊布尼茲，一起提出了微積分。在他們的同時代，還有一位天體學家叫開普勒，也提了一個三大定律，描述了行星的規律。其中有一個規律就是説，行星是繞着太陽，以一個橢圓形的軌道進行運行，而且太陽就在焦點上。而牛頓的定律基本上是説物體、星體、和物體之間的關係，所以這兩個定律看起來是不一樣的，但是通過微積分可以證明，這兩樣東西都是等價的。更有甚者，當時根據這些定律計算，還預示了當時的觀察手段還看不到的兩顆星，一顆是海王星，一個顆冥王星，觀察技術提高以後，證實了海王星和冥王星的存在。

在上個世紀，愛因斯坦也提出了廣義相對論，他的數學計算基本上很多都用到了很高深的像黎曼幾何這樣的東西。當時他還預言了一件事情就是引力波，在當時是觀察不到的。引力波在他預言以後將近過了差不多一百年，今天我們測繪的、觀察的手段都有了很大的提高，而我們在今天觀察到了，並且證實了引力波的存在。我們看到像愛因斯坦，像牛頓都是偉大的科學家，他們同時又是數學家。

科學跟自然的關係是最緊密的，而數學正是科學的基礎。

關於科學，我非常喜歡一首英語的小詩，這首詩我把它翻譯過來就是：

為什麼颶風會旋？

為什麼水波會斷？

為什麼火焰會燃？

為什麼閃電會顫？

我們關於這個世界的問題，

與生俱來。

科學可以回答這些疑問，

然而科學更是問問題的程階。

數學和科學的關係，科學和自然的關係是這樣子的。所以我們可以看到：

自然規律的抽象是數學；

自然美的表達是數學；

數學是我們與自然交流的語言；

揭開自然奧秘的鑰匙就是數學。

數學對我們來説不僅僅是很多人心裏中算算賬，買買菜那種意思，而是我們和自然之間關係的一種紐帶和聯繫。

最後我的演講以我寫的一首詞為結尾，這首詞就是《望海潮·致新年》這首詞的最後兩句話：寄故人來日，多聚陽晴。即便風雨，也是清爽伴君行。

我講的內容，寫在了我這本書裏邊，這本書獲得了2020年5月的中國好書，這本書就是《大自然是個數學老師》。